李代数Kuranishi形变族的收敛性

Convergence of the Kuranishi Deformation Family for Lie Algebras

摘要: Kuranishi形变族是复流形形变理论中一个重要的研究对象。在李代数上复结构的形变理论中，相应的Kuranishi形变族也是存在的，其构造方式与复流形的情况类似。本文的目标是借鉴Liu-Rao-Yang的方法为李代数上Kuranishi形变族的收敛性提供一个新的证明。

Abstract: Kuranishi deformation family is an important subject in the deformation theory of complex manifolds. In the deformation theory of complex structures on Lie algebras, the corresponding Kuranishi deformation family also exists, and their construction methods are similar to those in the case of complex manifolds. The goal of this paper is to provide a new proof for the convergence of Kuranishi deformation family on Lie algebras by drawing on the method of Liu-Rao-Yang.

1. 引言

Kuranishi形变族是复流形形变理论中一个重要的研究对象，其光滑性与复结构形变无障碍这一性质是等价的。这方面很有名的一个结果是Bogomolov-Tian-Todorov定理[1] [2]：Calabi-Yau流形的Kuranishi形变族是光滑的，或者说，任意Calabi-Yau流形上的复结构形变是没有障碍的。这个定理为后续用微分几何方法研究Calabi-Yau流形模空间奠定了基础[3]。此外，Kuranishi形变族是一个完备的形变族，即：其纤维包含所有充分小的形变。这一特性意味着如果我们想研究形变稳定性问题[4]，只需对Kuranishi形变族进行讨论。

在经典的复结构形变理论中，人们常常应用幂级数法来构造形变。比如：在Kodaira-Morrow的教材[5]中，为了构造复流形的Kuranishi形变族，他们首先确定Maurer-Cartan方程的一个具有典范形式的幂级数解，然后证明这个幂级数是收敛的。这一类的收敛性证明常常是复杂的[5]-[7]。

在[8]中，Gigante和Tomassini研究了实李代数上复结构的形变。他们定义了一些上同调群，以在某些上同调条件下证明刚性结果。一方面，李代数上复结构形变理论与复流形形变理论可以平行发展。另一方面，李代数上复结构形变理论的研究结果可以为探讨幂零复流形上的复结构带来潜在的应用。实际上，在文献[9]中，作者建立了一套李代数上的复结构形变理论，特别是证明了完备解析族(即：Kuranishi形变族)的存在性。其中，关于Kuranishi形变族的收敛性，文献[9]用了Kodaira-Morrow的教材中的经典证明方法。我们注意到，Liu-Rao-Yang在文献[10]中用了全新方法(见2.5小节)来证明Calabi-Yau流形的Kuranishi形变族的收敛性，并得到了具体的收敛半径。本文的目标是借鉴Liu-Rao-Yang的方法为李代数上Kuranishi形变族的收敛性提供一个新的证明。

2. 预备知识

首先，我们回忆一些基本概念和命题。关于复流形和李代数上的复结构形变，更详细的讨论可以参考[5] [9]。

2.1. 李代数上的复结构

令$\mathfrak{g}$ 是一个2n维的实李代数，在$\mathfrak{g}$ 上的一个近复结构是指一个满足$J^2=-1$ 的线性同态$J:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 。如果$\mathfrak{g}$ 上的一个近复结构J满足；

$\left[JX,JY\right]-\left[X,Y\right]-J\left[JX,Y\right]-J\left[X,JY\right]=0$ ，对任意的$X,Y\in \mathfrak{g}$ ， (2.1)

或者等价地：

$\left[{\mathfrak{g}}^{1,0},{\mathfrak{g}}^{1,0}\right]\subseteq {\mathfrak{g}}^{1,0}$ (2.2)

则称J为$\mathfrak{g}$ 上的一个复结构。其中，${\mathfrak{g}}^{1,0}$ 是J在复化${\mathfrak{g}}_{ℂ}=\mathfrak{g}\otimes ℂ$ 上的$\sqrt{-1}$ 的特征空间，且${\mathfrak{g}}_{ℂ}={\mathfrak{g}}^{1,0}\oplus {\mathfrak{g}}^{0,1}$ 。这样的一个带有复结构的李代数将被记作$\left(\mathfrak{g},J\right)$ 。

2.2. 算子d及其分解

给定一个2n维的实李代数$\mathfrak{g}$ ，通过公式

$d\omega \left(x,y\right):=-\omega \left[x,y\right]$ ，对任意的$\omega \in {\mathfrak{g}}^{\ast }$ ，$X,Y\in \mathfrak{g}$ ， (2.3)

我们可以定义一个线性算子

$d:{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }\to {\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }\wedge {\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }$ 。

并且利用Leibnitz法则，我们可以得到：

$d:{\wedge }^k{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }\to {\wedge }^{k+1}{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }$ ，对任意的$k\ge 1$ 。

线性空间和算子d一起构成李代数g的Chevalley-Eilenberg复形。

现在假设$\mathfrak{g}$ 上带有一个复结构J，则有如下分解：

${\wedge }^k{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }=\underset{p+q=k}{\oplus }{\Lambda }^{p,q}$

这里，${\Lambda }^{p,q}:={\wedge }^p{\mathfrak{g}}^{1,0\ast }\wedge {\wedge }^q{\mathfrak{g}}^{0,1\ast }$ 。类似地，我们也可以将${\wedge }^k{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }$ 记作${\Lambda }^k$ 。

记投影算子${\pi }^{p,q}:{\wedge }^{p+q}{\mathfrak{g}}_{ℂ}^{\ast }\to {\Lambda }^{p,q}$ ，则有算子

$\partial :{\Lambda }^{p,q}\to {\Lambda }^{p+1,q}$

其定义为$\partial :={\pi }^{p+1,q}\circ d$ 。类似的，$\overline{\partial }:{\Lambda }^{p,q}\to {\Lambda }^{p,q+1}$ 被定义为$\overline{\partial }:={\pi }^{p,q+1}\circ d$ 。在${\Lambda }^k$ 上，以下分解成立：

$d=\partial +\overline{\partial }$ 。

2.3. $\left(\mathfrak{g},J\right)$ 上的Hodge分解

现在，我们假定$\left(\mathfrak{g},J\right)$ 上配备有一个固定的Hermitian内积。于是，空间${\Lambda }^k$ 和${\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 上可以配备自然诱导的内积。通过Leibnitz法则，算子可以延拓到${\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 上，即：

$\overline{\partial }:{\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\to {\Lambda }^{0,q+1}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ ，

其Morre-Penrose广义逆算子记为

${\overline{\partial }}^{†}:{\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\to {\Lambda }^{0,q-1}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 。

对于任意$0\le q\le n$ ，在${\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 上可以得到

$1={\mathscr{H}}^{0,q}+\overline{\partial }{\overline{\partial }}^{†}+{\overline{\partial }}^{†}\overline{\partial }$ (2.4)

这里，${\mathscr{H}}^{0,q}:{\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\to {\mathscr{H}}^{0,q}$ 是从空间${\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 到其子空间${\mathscr{H}}^{0,q}$ 的投影算子，而${\overline{\partial }}^{†}$ 是$\overline{\partial }$ 的Moore-Penrose广义逆算子。注意，在${\Lambda }^{0,0}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}={\mathfrak{g}}^{1,0}$ 上，我们有$P_{{\left(ker\overline{\partial }\right)}^{\perp }}={\overline{\partial }}^{†}\overline{\partial }$ ，$P_{im\overline{\partial }}=\overline{\partial }{\overline{\partial }}^{†}$ 。

实际上，(2.4)式等价于以下分解：

${\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}={\mathscr{H}}^{0,q}\oplus \text{im}\left(\overline{\partial }:{\Lambda }^{0,q-1}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\to {\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\right)\oplus \ker {\left(\overline{\partial }:{\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\to {\Lambda }^{0,q+1}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\right)}^{\perp }$

这与紧复流形的情况是一致的。

2.4. Kuranishi形变族

设${\eta }_1,\cdots ,{\eta }_r$ 是${\mathscr{H}}^{0,1}\subset {\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 的一组基，对任意的$k\ge 1$ ，令

$\varphi \left(t\right):={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\varphi }_k}$ ，

其中${\varphi }_k$ 是关于t的k次齐次多项式且其系数在${\Lambda }^{0,1}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 中，且

$\{\begin{array}{l}{\varphi }_1={\displaystyle \sum _{v=1}^r{\eta }_v{t}_v}\\ {\varphi }_k=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{j=1}^k{\overline{\partial }}^{†}\left[{\varphi }_j,{\varphi }_{k-j}\right]}\end{array}$ (2.5)

由(2.5)式定义的幂级数$\varphi \left(t\right)\in {\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 决定了一族$\left(\mathfrak{g},J\right)$ 上复结构的形变，称为：Kuranishi形变族。我们将证明幂级数$\varphi \left(t\right)$ 关于充分小的t是收敛的。

根据定义，对任意的$\left[\phi ,\psi \right]\in {\Lambda }^{0,q}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ ，有

$\Vert \left[\phi ,\psi \right]\Vert \le C_1\Vert \phi \Vert \cdot \Vert \psi \Vert$ ，

其中$C_1>0$ 是只依赖于$\left(\mathfrak{g},Ј\right)$ 的常数。

于是得到：

$\Vert {\varphi }_k\Vert \le \frac{C_1}{2}\Vert {\overline{\partial }}^{†}\Vert {\displaystyle \sum _{j=1}^k\Vert {\varphi }_j\Vert }\cdot \Vert {\varphi }_{k-j}\Vert$ ， (2.6)

这里：

$\Vert {\overline{\partial }}^{†}\Vert :=\max \left\{\Vert {\overline{\partial }}^{†}\phi \Vert |\phi \in {\Lambda }^{0,•}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0},\Vert \phi \Vert =1\right\}$ 。

是${\overline{\partial }}^{†}:{\Lambda }^{0,2}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}\to {\Lambda }^{0,1}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ 的算子范数。

2.5. Liu-Rao-Yang的方法

现在，我们介绍Liu-Rao-Yang在文献[10]中对Calabi-Yau流形的Kuranishi形变族收敛性的证明。设

$\phi \left(t\right)={\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_3+\cdots ={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\phi }_k}$

是Calabi-Yau流形$X$ Kuranishi形变族，这里，$\phi \left(t\right)$ 满足：

(1) ${\phi }_k=\frac{1}{2}{\overline{\partial }}^{\ast }G\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{k-1}\left[{\phi }_{k-i},{\phi }_i\right]}\right)$ ，

(2) $i_{{\phi }_k}{\Omega }_0\in \text{im }\partial$ ，

这里，${\Omega }_0$ 是Calabi-Yau流形X上非平凡的全纯$\left(n,0\right)$ -形式。通过下列迭代的方式定义数列

$y_k={\displaystyle {\sum }_{j=1}^k{y}_j{y}_{k-j}},y_1=\frac{1}{4},y_0=0$ 。

则可以归纳地证明：对每个k，向量值1次微分形式${\phi }_k$ 的Holder范数可以由$y_k$ 控制住，但是，由文献[10]中的引理4.1可知：级数${\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{y}_k}$ 的收敛半径是1。由此，可推出Kuranishi形变族$\phi \left(t\right)$ 是收敛的。

3. Kuranishi形变族的收敛性证明

我们叙述并证明本文的主要结果。

定理3.1：定义为(2.5)的幂级数$\varphi \left(t\right):={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\varphi }_k}$ 对于充分小的t是收敛的。

证明：不失一般性，我们可以假设空间${\mathscr{H}}^{0,1}$ 的维数$r=1$ 。令

$c=\frac{C_1}{2}\Vert {\overline{\partial }}^{†}\Vert$ ，

且

$x_k=c\Vert {\varphi }_k\Vert \left(x_0=0\right)$ 。

将c同时应用到等式(2.5)的两边可以得到：

$c\Vert {\varphi }_k\Vert \le \frac{C_1}{2}\Vert {\overline{\partial }}^{†}\Vert {\displaystyle \sum _{j=1}^k\Vert {\varphi }_j\Vert }\cdot c\Vert {\varphi }_{k-j}\Vert$ ，

或等价地，

$x_k\le {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}c\Vert {\varphi }_j\Vert }\cdot c\Vert {\varphi }_{k-j}\Vert ={\displaystyle \sum _{j=1}^k{x}_j{x}_{k-j}}$ 。

受Liu-Rao-Yang的方法启发，考虑数列

$M_k:={\displaystyle \sum _{j=1}^k{M}_j{M}_{k-j}},M_1=1,M_0=0$ 。

我们断言：

如果$x_1\le 1$ ，那么，对每个$k\ge 1$ ，都有$x_k\le M_k$ 。 (3.1)

实际上，假设对任意的$1\le k\le N$ ，有$x_k\le M_k$ 成立。那么：

$x_{N+1}\le {\displaystyle \sum _{j=1}^{N+1}{x}_j{x}_{N+1-j}}\le {\displaystyle \sum _{j=1}^{N+1}{M}_j{M}_{N+1-j}}=M_{N+1}$ 。

因此，上述断言成立。设$S:=S\left(T\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{M}_j{t}^j}$ ，这里的t是取实数值。我们有：

$\begin{array}{c}{S}^2=\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{M}_j{t}^j}\right)\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{M}_j{t}^j}\right)\\ =\left[M_1{M}_1{t}^2+\left(M_1{M}_2+M_2{M}_1\right)t^3+\cdots +\left(M_1{M}_k+\cdots +M_k{M}_1\right)t^{k+1}+\cdots \right]\\ =M_2{t}^2+M_3{t}^3+\cdots +M_{k+1}{t}^{k+1}+\cdots \\ ={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{M}_k{t}^k}-M_1{t}^1=S-M_{1}t\end{array}$

由此可知：$S=\frac{1\pm \sqrt{1-4M_{1}t}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{1-4t}}{2}$ 。这里，我们取$S=\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}$ ，因为：$S\left(0\right)=0$ 。因此，我们有

$S\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{M}_j{t}^j}=\frac{1-\sqrt{1-4t}}{2}$ 。

文献[10]中的引理4.1(或直接计算)可知：幂级数$S\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{M}_j{t}^j}$ 的收敛半径是$\frac{1}{4}$ 。

通过调整$\left(\mathfrak{g},J\right)$ 上的Hermitian内积，我们总可以假设：$x_1=c\Vert {\varphi }_1\Vert \le 1$ 。另一方面，因为$r=1$ ，我们有：$\varphi \left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\varphi }_k}$ ，这里，${\varphi }_k\in {\Lambda }^{0,1}\otimes {\mathfrak{g}}^{1,0}$ ，t取复数值。于是，利用断言(3.1)，我们得到

$\Vert \varphi \left(t\right)\Vert \le {\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }\Vert {\varphi }_k\Vert }\cdot {\left|t\right|}^k\le \frac{1}{c}{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k\cdot {\left|t\right|}^k\le }\frac{1}{c}{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{M}_k\cdot {\left|t\right|}^k}$ 。

我们已经知道：上式最右端级数的收敛半径是$\frac{1}{4}$ 。最后，根据Weierstrass的M判别法可知：级数$\varphi \left(t\right):={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\varphi }_k}$ 对于充分小的t是收敛的。证毕。

上述证明中出现的数列$M_k$ 与组合数学中常见的Catalan数$C_k$ 有密切的关系。实际上，Catalan数$C_k$ 的定义为：

$C_k=\frac{\left(2k\right)!}{k!\left(2k+1\right)!}$ 或者$C_{k+1}:={\displaystyle {\sum }_{j=0}^k{C}_j}{C}_{k-j}$ ，$C_0=1$ 。

所以，数列$M_k$ 与Catalan数$C_k$ 关系是：$M_{k+1}=C_k$ ，对任意的自然数k成立。关于Catalan数的历史和相关研究可以参考文献[11] [12]。

4. 结论

基于Liu-Rao-Yang证明Calabi-Yau流形的Kuranishi形变族收敛性的方法，本文为李代数上Kuranishi 形变族的收敛性提供了一个新的证明。与传统的方法相比，现在这个证明更清晰且容易掌握。此外，这个证明方法未来也许可以应用到文献[6]中考虑的更多其他形变理论的收敛性问题。

基金项目

这项研究得到了重庆市自然科学基金(编号：CSTB2022NSCQ-MSX0876)的资助。