离散动力系统上的一致收敛与传递集

Uniform Convergence and Transitive Sets on Discrete Dynamical Systems

摘要: 本文主要讨论离散动力系统上一致收敛与传递集的关系。设$\left(X,d\right)$ 是一个紧致度量空间，$f_n:X\to X$ 是$X$ 上的连续自映射序列，并一致收敛于一个连续自映射$f$ 。结果表明，当$\underset{m\to \infty }{lim}{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0$ 时，若$X$ 的非空闭子集$A$ 是$\left(X,f_n\right)$ 的传递集，则$A$ 是$\left(X,f\right)$ 的传递集；若$X$ 的非空闭子集$A$ 是$\left(X,f_n\right)$ 的弱混合集，则$A$ 是$\left(X,f\right)$ 的弱混合集。

Abstract: In this paper, we mainly study the uniform convergence and transitive sets of discrete dynamical systems. Let X be a compact metric space with metric d, and $f_n:X\to X$ be a continuous self-map sequence on X such that $\left(f_n\right)$ converges uniformly to a continuous self-map f. It is shown that under the condition $\underset{m\to \infty }{lim}{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0$ , let A be a closed subset of X, if A is a transitive set of $\left(X,f_n\right)$ , then A is a transitive set of $\left(X,f\right)$ ; if A is a weakly mixing set of $\left(X,f_n\right)$ , then A is a weakly mixing set of $\left(X,f\right)$ .

1. 引言

动力系统最早起源于微分方程的求解问题，主要用来研究非线性系统的长期行为。经过多年的研究与发展，动力系统的体系逐渐完善，成为覆盖多个学科的综合性数学分支，其研究方向包括：符号动力系统、拓扑动力系统、微分动力系统、遍历系统、随机动力系统及无穷维动力系统等。

设X为紧致可度量空间，$f:X\to X$ 为从X到自身的连续映射。记$f^2\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ ，$f^2$ 仍然是X上的自映射。这个过程显然可以无限进行下去，于是得到X上的一个连续自映射的序列：$\left\{f^n\right\},n\ge 0$ ，其中$f^0=id$ 即X的恒同映射，对$n>1$ ，$f^n=f^{n-1}\cdot f$ ，其中的$\cdot$ 表示映射的复合。

称X上的连续自映射序列

$\left\{f^0,f^1,\cdots ,f^n,\cdots \right\}$

为由连续自映射f经迭代而生成的拓扑离散半动力系统。

当f是X上的自同胚时，有相反方向的迭代，因而得到

$\left\{\cdots ,f^{-n},\cdots ,f^{-1},f^0,f^1,\cdots ,f^n,\cdots \right\}$

叫做X上由自同胚f经迭代而生成的拓扑离散动力系统，记为$\left(X,f\right)$ [1]。

对于一个动力系统$\left(X,f\right)$ ，如果$U,V\subset X$ ，定义回复时间集[2]：

$N_f\left(U.V\right)=\left\{n\in \mathbb{N}:U\cap f^{-n}\left(V\right)\ne \varnothing \right\}.$

称系统$\left(X,f\right)$ 是传递的，如果对X的任意两个非空开子集$U,V$ ，回复时间集$N_f\left(U.V\right)$ 非空；称系统$\left(X,f\right)$ 弱混合的，如果乘积系统$\left(X\times X,f\times f\right)$ 是传递的。

运用回复时间集以及局部化的思想来研究离散动力系统，是近年来研究工作中的两个特点。2010年，T. K. S. Moothathu引入了离散动力系统的多重传递性的概念，他证明了弱混合和多重传递性的概念在最小自治离散动力系统中是等价的[3]。2014年，Chen、Lü和Li研究了一个向量上的多重传递，并证明了多重传递系统是Li-Yorke混沌的[4]。2020年，M. Salman和R. Das在最小非自治系统上研究了多重传递、thick传递和各阶弱混合等价的充分条件[5]。在[6] [7]中，作者通过Furstenberg族讨论了自治离散动力系统系统的各种动力学性质。R. S. Li和Y. Zhao等通过Furstenberg族研究了敏感性的性质[8]；J. Li通过Furstenberg族研究了传递点的性质[9]。关于一致收敛与传递性的研究，近年来主要讨论的是紧度量空间$\left(X,d\right)$ 中，X上的连续自映射序列$f_n:X\to X$ 一致收敛于一个连续自映射f，f继承了$f_n$ 哪些动力学性质。2006年A. S. Raghib等人研究了在一个紧度量空间$\left(X,d\right)$ 中，X上的连续自映射序列$f_n:X\to X$ 一致收敛于一个连续自映射f，当满足给定一个$\epsilon >0$ 和任意正整数l，存在一个正整数$n_0$ (可能取决于l)对所有的$n>n_0$ 和$x\in X$ 都有$d\left(f_n^l\left(x\right),f^l\left(x\right)\right)<\epsilon$ ，则若$f_n$ 是对初值条件敏感依赖的，那么f也是[10]。2008年，H. Román-Flores在离散动力系统上研究了一致收敛和传递性的关系：在一个紧度量空间$\left(X,d\right)$ 中，X上的连续自映射序列$f_n:X\to X$ 一致收敛于一个连续自映射f，当$f_n$ 是传递的，f不一定传递，并给出成立的充分条件[11]。2009年A. L. Donne研究了一致收敛情况下，保证极限传递性的一些条件[12]。R. S. Li通过一致收敛性质研究了传递性，并在一定条件下给出了传递性敏感性等性质的等价条件[13] [14]。

本文主要研究一致收敛函数列传递集的性质，主要讨论系统$\left(X,f\right)$ 和系统$\left(X,f_n\right)$ 上传递集、弱混合集、多重传递集的等价条件。设$\left(X,d\right)$ 是一个紧致度量空间，$f_n:X\to X$ 是X上的连续自映射序列，并一致收敛于一个连续自映射f。结果表明，当$\underset{m\to \infty }{\lim }{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0$ 时，若X的非空闭子集A是$\left(X,f_n\right)$ 的传递集，则A是$\left(X,f\right)$ 的传递集；若X的非空闭子集A是$\left(X,f_n\right)$ 的弱混合集，则A是$\left(X,f\right)$ 的弱混合集。本文分为4个部分：第一部分介绍了国内外研究现状，第二部分介绍了基本定义和预备知识，第三部分是主要结果及证明，第四部分是结论。

2. 预备知识

定义2.1 [2] 设$\left(X,f\right)$ 是一个拓扑动力系统，称$\left(X,f\right)$ 是传递的，如果X的任意两个非空开集$U,V$ ，有$N_f\left(U,V\right)\ne \varnothing$ 。

注2.1 [2]：实际上，$\left(X,f\right)$ 为传递的当且仅当$N_f\left(U,V\right)$ 为无限集。

定义2.2 [15] 设$\left(X,f\right)$ 是一个拓扑动力系统，A是X的非空闭子集，称A为$\left(X,f\right)$ 的一个传递集，如果对A的任意一个非空开子集$V^A$ ，和X的任意非空开子集U且满足$A\cap U\ne \varnothing$ ，存在$n\in \mathbb{N}$ 使得

$f^n\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing .$

注2.2 [16]：实际上，A为$\left(X,f\right)$ 的一个传递集当且仅当$N_f\left(U,V^A\right)$ 为无限集。

定义2.3 [2] 设$\left(X,f\right)$ 是一个拓扑动力系统，称$\left(X,f\right)$ 为弱混合的，如果$\left(X\times X,f\times f\right)$ 是传递的。即对X的任意非空开子集$U_1,U_2,V_1,V_2$ ，存在$n\in \mathbb{N}$ 使得

$f^n\left(U_1\right)\cap V_1\ne \varnothing ,f^n\left(U_2\right)\cap V_2\ne \varnothing .$

注2.3 [2]：实际上，$\left(X,f\right)$ 为弱混合的当且仅当对X的任意非空闭子集$U,V$ 回复时间集$N_f\left(U,V\right)$ 为thick集。其中thick集是指：若$A\subset {\mathbb{N}}_{+}$ 且包含了任意长度的整数段，即存在序列$n_i\to \infty$ ，使得 ${\displaystyle {\cup }_{i=1}^{\infty }\left\{n_i,n_i+1,\cdots ,n_i+i\right\}}\subset A$ ，则A是一个thick集。

定义2.4 [15] 设$\left(X,f\right)$ 是一个拓扑动力系统，A是X的非空闭子集，称A为$\left(X,f\right)$ 的一个弱混合集当且仅当对任意$k\in \mathbb{N}$ ，A的任意非空开子集$V_1,V_2,\cdots ,V_k$ ，和X的任意非空开子集$U_1,U_2,\cdots ,U_k$ 且满足 $A\cap U_i\ne \varnothing \left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ ，存在$n\in \mathbb{N}$ 使得

$f^n\left(V_i\right)\cap U_i\ne \varnothing \left(i=1,2,\cdots ,k\right).$

注2.4 [15]：由以上定义很容易得到以下结论

1) 如果$\left(X,f\right)$ 是传递的，那么X是$\left(X,f\right)$ 的一个传递集。

2) 如果A是$\left(X,f\right)$ 的弱混合集，那么A是$\left(X,f\right)$ 的一个传递集。

定义2.5 [11] 设X是一完备度量空间，则对任意给定的两个动力系统$\left(X,f\right)$ 和$\left(X,g\right)$ ，定义两个映射间的距离为

$d_{\infty }\left(f,g\right)={\sup }_{x\in X}d\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right).$

定义2.6 [5] 设$\left(X,f\right)$ 是一个拓扑动力系统，称$\left(X,f\right)$ 是多重传递的，如果对任意的$m\in \mathbb{N}$ ， $f\times f^2\times \cdots \times f^m:X^m\to X^m$ 是拓扑传递的，这里$f^m=f\cdot f\cdots f$ (m次)，$X^m=X\times X\times \cdots \times X$ (m次)。即对于X的任意非空开子集$U_1,U_2,\cdots ,U_m,V_1,V_2,\cdots ,V_m$ ，存在$n\in \mathbb{N}$ 使得对任意的$m\in \mathbb{N}$ ，以及任意$i\in \left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ 使得

$f^{in}\left(U_i\right)\cap V_i\ne \varnothing .$

定义2.7 [17] 设$\left(X,f\right)$ 是一个拓扑动力系统，A是X的非空闭子集，称A为$\left(X,f\right)$ 的一个多重传递集，如果对A的任意非空开子集$V_1^A,V_2^A,\cdots ,V_m^A$ ，以及X的任意非空开子集$U_1,U_2,\cdots ,U_m$ 且满足 $A\cap U_i\ne \varnothing \left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ ，存在$n\in \mathbb{N}$ 使得对任意的$m\in \mathbb{N}$ ，以及任意$i\in \left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ ，有

$f^{in}\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing .$

注2.4 [5]：由以上关于传递性的定义，可以得到以下蕴含关系

$拓扑混合\Rightarrow 多重传递的\Rightarrow 完全传递的$

3. 主要定理及证明

定理3.1 设X是一个紧度量空间，度量为d，$f_n:X\to X$ 是X上的连续自映射，且$f_n$ 一致收敛于X上的映射f。此外，假设对任意的$n\in \mathbb{N}$ 有

$\underset{m\to \infty }{\lim }{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0.$

设A是X的非空闭子集，若对$\forall n,A$ 是$\left(X,f_n\right)$ 的传递集，则A是$\left(X,f\right)$ 的传递集。即若对A的任意非空开集$V^A$ 和X的非空开集U且$U\cap A\ne \varnothing$ ，存在$l\in \mathbb{N}$ ，使得

$f_n^l\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing ,$

则存在$q\in \mathbb{N}$ ，使得

$f^q\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing .$

证明定理3.1：由假设可知，对A的任意非空开集$V^A$ 和X的非空开集U且$U\cap A\ne \varnothing$ ，存在$l\in \mathbb{N}$ 使得$f_n^l\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing$ 。

故存在$u\in f_n^l\left(V^A\right)\cap U$ 和$\epsilon >0$ 使$B\left(u,\epsilon \right)\subset U$ 。

又由$\underset{m\to \infty }{\lim }{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0$ 可知，对上面的$\epsilon >0$ 存在一个$M\in \mathbb{N}$ ，当$m>M$ 时$d_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)<\frac{1}{2}\epsilon$ 。

且由注2.2可知

$\left\{l\in \mathbb{N}:f_n^l\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing \right\}$

为无限集，则有$q\in \left\{l\in \mathbb{N}:f_n^l\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing \right\}$ 且$q>M$ 使得

$V^A\cap f_n^{-q}\left(B\left(u,\frac{1}{2}\epsilon \right)\right)\ne \varnothing ,d_{\infty }\left(f_n^q,f^q\right)<\frac{1}{2}\epsilon$

同时成立。

令$v\in V^A\cap f_n^{-q}\left(B\left(u,\frac{1}{2}\epsilon \right)\right)$ ，则有

$d\left(f^q\left(v\right),u\right)\le d\left(f^q\left(v\right),f_n^q\left(v\right)\right)+d\left(f_n^q\left(v\right),u\right)\le d_{\infty }\left(f_n^q,f^q\right)+\frac{1}{2}\epsilon <\epsilon ,$

即

$f^q\left(v\right)\in B\left(u,\epsilon \right)\subset U,V^A\cap f_n^{-q}B\left(u,\epsilon \right)\ne \varnothing ,$

$f^q\left(V^A\right)\cap B\left(u,\epsilon \right)\ne \varnothing ,$

也就是说

$f^q\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing ,$

则A是$\left(X,f\right)$ 的传递集。

定理3.2 设X是一个紧度量空间，度量为d，$f_n:X\to X$ 是X上的连续自映射，且$f_n$ 一致收敛于X上的映射f。此外，假设

$\underset{m\to \infty }{\lim }{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0.$

设A是X的非空闭子集，若$\forall n,A$ 是$\left(X,f\right)$ 的弱混合集，则A是$\left(X,f_n\right)$ 的弱混合集。即若对A的非空开集$V_1^A,V_2^A,\cdots ,V_k^A$ 和X的非空开集$U_1,U_2,\cdots ,U_k$ 且$U_i\cap A\ne \varnothing \left(1\le i\le k\right)$ ，存在$l\in \mathbb{N}$ ，有

$f_n^l\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing ,$

则存在$q\in \mathbb{N}$ ，使得

$f^q\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing .$

证明定理3.2：由假设可知，对A的任意非空开集$V_1^A,V_2^A,\cdots ,V_k^A$ 和X的非空开集$U_1,U_2,\cdots ,U_k$ 且 $U_i\cap A\ne \varnothing \left(1\le i\le k\right)$ ，存在$l\in \mathbb{N}$ 使得$f_n^l\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing$ 。

故存在$u_i\in f_n^l\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing$ 和$\epsilon >0$ 使$B\left(u_i,\epsilon \right)\subset U_i$ 。

又由$\underset{m\to \infty }{\lim }{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0$ 可知，对上面的$\epsilon >0$ 存在一个$M\in \mathbb{N}$ ，当$m>M$ 时$d_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)<\frac{1}{2}\epsilon$ 。

且由注2.2和注2.4可知

$\left\{l\in \mathbb{N}:f_n^l\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing \right\}$

为无限集，则有$q\in \left\{l\in \mathbb{N}:f_n^l\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing \right\}$ 且$q>M$ 使得

$V_i^A\cap f_n^{-q}\left(B\left(u_i,\frac{1}{2}\epsilon \right)\right)\ne \varnothing ,d_{\infty }\left(f_n^q,f^q\right)<\frac{1}{2}\epsilon$

同时成立。

令$v_i\in V_i^A\cap f_n^{-q}\left(B\left(u_i,\frac{1}{2}\epsilon \right)\right)$ ，则有

$d\left(f^q\left(v_i\right),u_i\right)\le d\left(f^q\left(v_i\right),f_n^q\left(v_i\right)\right)+d\left(f_n^q\left(v_i\right),u_i\right)\le d_{\infty }\left(f_n^q,f^q\right)+\frac{1}{2}\epsilon <\epsilon ,$

即

$f^q\left(v_i\right)\in B\left(u_i,\epsilon \right)\subset U_i,V_i^A\cap f_n^{-q}B\left(u_i,\epsilon \right)\ne \varnothing ,$

$f^q\left(V_i^A\right)\cap B\left(u_i,\epsilon \right)\ne \varnothing ,$

也就是说

$f^q\left(V_i^A\right)\cap U_i\ne \varnothing .$

则A是$\left(X,f\right)$ 的弱混合集。

根据定理3.1和定理3.2，以及多重传递集的定义和注2.4可以得到以下结论：

推论3.1：设X是一个紧度量空间，度量为d，$f_n:X\to X$ 是X上的连续自映射，使$f_n$ 一致收敛于X上的映射f。此外，假设

$\underset{m\to \infty }{\lim }{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0.$

设A是X的非空闭子集，若$\forall n,A$ 是$\left(X,f\right)$ 的多重传递集，则A是$\left(X,f_n\right)$ 的多重传递集。

4. 结论

设$\left(X,d\right)$ 是一个紧致度量空间，$f_n:X\to X$ 是X上的连续自映射，并一致收敛于一个连续自映射f。当$\underset{m\to \infty }{\lim }{d}_{\infty }\left(f_n^m,f^m\right)=0$ 时，我们有以下结论：

1) 若X的非空闭子集A是$\left(X,f_n\right)$ 的传递集，则A是$\left(X,f\right)$ 的传递集；

2) 若X的非空闭子集A是$\left(X,f_n\right)$ 的弱混合集，则A是$\left(X,f\right)$ 的弱混合集。

3) 若X的非空闭子集A是$\left(X,f_n\right)$ 的多重传递集，则A是$\left(X,f\right)$ 的多重传递集。

综上，传递集、弱混合集和多重传递集在一致收敛条件下保持不变。

NOTES

^*通讯作者。