Fock空间上的小Hankel算子

Small Hankel Operators on Fock Spaces

摘要: 本文主要研究了Fock空间$F_{\alpha }^p$ 上小Hankel算子$h_{\phi }$ 的有界性和紧性，得到了$h_{\phi }$ 在$F_{\alpha }^p$ 上有界的充分必要条件是其符号$\phi$ 属于Fock空间$F_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ ；$h_{\phi }$ 在$F_{\alpha }^p$ 上紧的充分必要条件是$\phi$ 属于$f_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ 。

Abstract: This paper mainly studies the boundedness and compactness of the small Hankel operator $h_{\phi }$ on Fock space $F_{\alpha }^p$ . It is found that the necessary and sufficient condition for $h_{\phi }$ being bounded on $F_{\alpha }^p$ is that its symbol $\phi$ belongs to Fock space $F_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ ; the necessary and sufficient condition for $h_{\phi }$ being compact on $F_{\alpha }^p$ is that $\phi$ belongs to $f_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ .

1. 引言

对任意$\alpha >0$ ，设$\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)=\frac{\alpha }{\pi }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)$ 是复平面$ℂ$ 上的Gauss测度，其中$\text{d}A=\text{d}x\text{d}y$ 是$ℂ$ 上的面积测度。当$0<p<\infty$ 时，我们用$L_{\alpha }^p$ 表示由满足

$\frac{p\alpha }{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|f\left(z\right){\text{e}}^{-\frac{\alpha {\left|z\right|}^2}{2}}\right|}^p\text{d}A\left(\omega \right)}<+\infty$

的Lebesgue可测函数f构成的函数空间。定义f的范数为

${\Vert f\Vert }_{p,\alpha }={\left[\frac{p\alpha }{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|f\left(z\right){\text{e}}^{-\frac{\alpha {\left|z\right|}^2}{2}}\right|}^p}\text{d}A\left(z\right)\right]}^{\frac{1}{p}}$ .

当$p=+\infty$ 时，$L_{\alpha }^{\infty }=\left\{f|f\left(z\right){\text{e}}^{-\frac{\alpha {\left|z\right|}^2}{2}}\in L^{\infty }\left(ℂ,\text{d}A\right)\right\}$ 。

当$f\in L_{\alpha }^{\infty }$ ，${\Vert f\Vert }_{\infty ,\alpha }=\text{esssup}\left\{\left|f\left(z\right){\text{e}}^{-\frac{\alpha {\left|z\right|}^2}{2}}\right|;z\in ℂ\right\}$ 。

当$1\le p\le \infty$ 时，$\left(L_{\alpha }^p,{\Vert \cdot \Vert }_{p,\alpha }\right)$ 是Banach空间，详细内容见参考文献[1]。

Fock空间$F_{\alpha }^p$ 是由上述空间$L_{\alpha }^p\left(ℂ,\text{d}A\right)$ 中的复平面$ℂ$ 上全体整函数构成的闭子空间，因此$F_{\alpha }^p$ 按照范数${\Vert \cdot \Vert }_{p,\alpha }$ 是Banach空间。特别地，$F_{\alpha }^2$ 是Hilbert空间，其内积定义为

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z\right)\overline{g\left(z\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)}$,

其中$f,g\in F_{\alpha }^2$ 。我们知道$L_{\alpha }^2$ 的再生核为$K_z\left(\omega \right)={\text{e}}^{\alpha \overline{z}\omega }$，从$L_{\alpha }^2$ 到$F_{\alpha }^2$ 的正交投影P表示为

$Pf\left(z\right)=\langle f,K_z\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(\omega \right)\overline{K_z\left(\omega \right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}$,

其中$f\in L_{\alpha }^2$ 。如果$f\in F_{\alpha }^2$ ，则$Pf\left(z\right)=f\left(z\right)=\langle f,K_z\rangle$ 。我们称$k_z\left(\omega \right)=\frac{K_z\left(\omega \right)}{\sqrt{K_z\left(z\right)}}$ 为$F_{\alpha }^2$ 的规范再生核，并且

${\Vert k_z\Vert }_{p,\alpha }=1$ ，$1\le p\le +\infty$ 。将投影P看作以再生核$K_z\left(\omega \right)$ 为核的积分算子，我们将其推广到$F_{\alpha }^p$ 上。定义$P:L_{\alpha }^p\to F_{\alpha }^p$ 上的积分算子

$Pf(z)=\langle f,K_z\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(\omega \right)\overline{K_z\left(\omega \right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}$,

其中$f\in L_{\alpha }^p$ 。如果$f\in F_{\alpha }^p$ ，则$Pf=f$ 。

设$\overline{F_{\alpha }^p}=\left\{f|\overline{f}\in F_{\alpha }^p\right\}$ 。定义算子$\overline{P}:L_{\alpha }^p\to \overline{F_{\alpha }^p}$ ，

$\overline{P}f\left(z\right)=\langle f,\overline{K_z}\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(\omega \right)K_z\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}$.

设$K=\left\{{\displaystyle \sum _{k=0}^n{C}_k{K}_a{}_{{}_k}\left(z\right)}|C_k,a_k\in ℂ\right\}$ ，则$\overline{K}=F_{\alpha }^p$ 。我们称$\phi$ 满足条件(I₁)，如果

${\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|\phi \left(\omega \right)\right|{\left|K_z\left(\omega \right)\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}<+\infty$ .

我们在K上定义的小Hankel算子$h_{\phi }:F_{\alpha }^p\to \overline{F_{\alpha }^p}$ 为

$h_{\phi }\left(f\right)\left(z\right)=\overline{P}\left(\phi f\right)\left(z\right)=\langle \phi f,\overline{K_z}\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}\phi \left(\omega \right)f\left(\omega \right)K_z\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}$,

于是$h_{\phi }$ 稠定义于$F_{\alpha }^p$ ，因此可将其推广到$F_{\alpha }^p$ 上。另外，我们还需要一个重要的Fock空间$f_{\alpha }^{\infty }$ ，由复平面上满足

$\underset{z\to \infty }{\lim }f\left(z\right){\text{e}}^{-\alpha \frac{{\left|z\right|}^2}{2}}=0$

的整函数构成的函数空间。$f_{\alpha }^{\infty }$ 是$F_{\alpha }^{\infty }$ 的闭子空间。

Fock空间的概念最早由Fock V. A.提出，它由复平面$ℂ$ 上的全纯函数构成，并在各个领域发挥着重要作用。比如，在量子场论中，Fock空间用于描述不同粒子数的态，通过引入产生和湮灭算子来处理粒子的创建和消灭过程。在统计力学中，则用于研究多粒子系统的统计性质，通过Fock空间来描述系统中粒子的分布和相互作用。在数学物理中，主要用于物理系统的稳定性和性能方面的研究。随着对Fock空间的不断研究，Fock空间上的算子理论得到了快速发展。Hankel算子作为全纯函数空间上一类重要的线性算子模型，在过去几十年中受到了诸多学者的关注，并取得了丰富的研究成果[1]-[12]。小Hankel算子是Hankel算子的一个特例，其具有的性质对于Hankel算子不一定成立，所以讨论小Hankel算子的一些基本性质是很有必要的。

在1987年，Janson在[1]中首次研究了Fock空间上的小Hankel算子，并且讨论了当$1\le p<\infty$ 时，小Hankel算子的有界性，紧性以及属于Schatten类$S_p$ 的充分必要条件。1989年，Wallsten在[2]中进一步研究了当$0<p<1$ 时的情形。目前，有关Fock空间上Hankel算子的研究成果越来越丰富。2016年，胡璋剑等人[4]刻画了当$1\le p<\infty$ 时，Hankel算子在加权Fock空间上的有界性和紧性。2018年，王尔敏[5]以Fock空间为研究对象，得到了该类函数空间上Hankel算子、小Hankel算子的有界性、紧性的刻画以及Hankel算子的Schatten类的刻画等。2019年，王晓峰等人[6]则利用有界(消失)平均振荡函数的性质，刻画了一类广义Fock空间上的Hankel算子的有界性(紧性)。同年，Wang Ermin等人[7]在给定Fock空间上也对小Hankel算子$h_{\overline{f}}:F_{\alpha }^p\to \overline{F_{\alpha }^q}$ 的有界性(和紧性)进行了研究，并且得到了作用在$F_{\alpha }^p\times F_{\alpha }^q\left(1<p,q<\infty \right)$ 上的Hankel形式$T_b^{\alpha }\left(\cdot ,\cdot \right)$ 的范数估计。2023年，刘桂军等人[8]利用IDA空间得到了从doubling Fock空间$F_{\varphi }^p$ 到双Lebesgue空间$L_{\varphi }^p$ 的Hankel算子$H_g$ 的有界性和紧性的等价刻画。同年，Zhangjian, H.等人[9]则通过利用一个新的局部可积函数空间IDA，刻画了加权Fock空间上Hankel算子的有界性和紧性。2024年，Xiaofen等人[10]证明了从对偶Fock空间$F_{\varphi }^p$ 到加权测度空间$L_{\varphi }^q$ 的Hankel算子$H_f$ 和$H_{\overline{f}}$ 的有界(紧)性。2025年，Agbor等人[11]通过外推法刻画了Hankel算子在变指数Fock空间和变指数Lebesgue空间之间的有界性和紧性。最近，Zhicheng等人[12]给出了具有局部可积符号的Hankel算子在给定Fock空间上有界性的充分必要条件，此外还刻画了Hankel算子的紧性和Schatten类。

Zhu在[1]中讨论了Fock空间$F_{\alpha }^2$ 到$\overline{F_{\alpha }^2}$ 上小Hankel算子的有界性、紧性，以及Schatten-类，本文则在此基础上讨论当$1\le p<\infty ,p\ne 2$ 时，小Hankel算子$h_{\phi }:F_{\alpha }^p\to \overline{F_{\alpha }^p}$ 的性质。

2. 主要结论与证明

引理1 设$\phi$ 满足条件(I₁)，$\phi \in L_{\alpha }^p$ ，$P\left(\overline{\phi }\right)\in F_{\alpha }^p$ ，则$h_{\phi }=h_{\overline{P\left(\overline{\phi }\right)}}$ 。

证明 设$f\in F_{\alpha }^p$ ，通过直接计算

$h_{\overline{P\left(\overline{\phi }\right)}}f\left(z\right)=\langle \overline{P\left(\overline{\phi }\right)}f,\overline{K_z}\rangle =\langle f{K}_z,P\left(\overline{\phi }\right)\rangle =\langle P\left(f{K}_z\right),\overline{\phi }\rangle =\langle f{K}_z,\overline{\phi }\rangle =\langle \phi f,\overline{K_z}\rangle =h_{\phi }$,

所以由$\phi \in L_{\alpha }^p$ 可得${\phi }^{\prime }=P\left(\overline{\phi }\right)\in F_{\alpha }^p$ ，从而$h_{\phi }=h_{{\phi }^{\prime }}$ ，故$h_{\phi }=h_{\overline{P\left(\overline{\phi }\right)}}$ 。

注 由上述引理，当我们讨论$h_{\phi }$ 的性质，只需讨论当$\overline{\phi }\in F_{\alpha }^p$ 时，$h_{\overline{\phi }}$ 的性质即可。

引理2 设$1<p,q<+\infty$ ，${\left(\overline{F_{\alpha }^p}\right)}^{\ast }=\overline{F_{\alpha }^q}$ ，其中$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。

证明 因为${\left(F_{\alpha }^p\right)}^{\ast }=F_{\alpha }^q$ ($\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ )，所以当$f\in F_{\alpha }^p$ ，$g\in F_{\alpha }^q$ 时，

$\begin{array}{l}\langle \overline{f},\overline{g}\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{f\left(\omega \right)}g\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}\\ =\overline{{\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(\omega \right)\overline{g\left(\omega \right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}}=\overline{\langle f,g\rangle },\end{array}$

于是$\left|\langle \overline{f},\overline{g}\rangle \right|=\left|\langle f,g\rangle \right|\le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q={\Vert \overline{f}\Vert }_p{\Vert \overline{g}\Vert }_q$，

故${\left(\overline{F_{\alpha }^p}\right)}^{\ast }=\overline{F_{\alpha }^q}$ 。

定理3 设$\phi \in F_{\alpha }^p$ 。$h_{\overline{\phi }}$ 在$F_{\alpha }^p$ 上有界的充分必要条件是$\phi \in F_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ 。

证明 我们首先证明定理的必要性。设$h_{\overline{\phi }}$ 在$F_{\alpha }^p$ 上有界，则当$f\in F_{\alpha }^p$ ，$g\in F_{\alpha }^q$ 时，

$\left|\langle h_{\overline{\phi }}f,\overline{g}\rangle \right|\le \Vert h_{\overline{\phi }}\Vert {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q$.

取$f=g=k_z$ ，则${\Vert f\Vert }_{p,\alpha }={\Vert g\Vert }_{q,\alpha }=1$ 。于是当$z\in ℂ$ 时

$\begin{array}{c}\left|\langle h_{\overline{\phi }}{k}_z,\overline{k_z}\rangle \right|={\displaystyle {\int }_{ℂ}\left(h_{\overline{\phi }}{k}_z\right)}\left(\omega \right)k_z\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{\phi }\left(u\right)k_z\left(u\right)k_{\omega }\left(u\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\right)k_z\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{\phi }\left(u\right)k_z\left(u\right)}\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{k}_{\omega }\left(u\right)k_z\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{\phi }\left(u\right)k_z^2\left(u\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\right|\\ =\left|{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{K}_{2z}\left(u\right)\overline{\phi }\left(u\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\right)\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{\phi }\left(u\right)k_z\left(u\right)k_{\omega }\left(u\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\right)k_z\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{\phi }\left(u\right)k_z\left(u\right)\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{k}_{\omega }\left(u\right)k_z\left(\omega \right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)}\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\overline{\phi }\left(u\right)k_z^2\left(u\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\right|\\ =\left|{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{K}_{2z}\left(u\right)\overline{\phi }\left(u\right)\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(u\right)}\right)\right|\\ =\left|{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\overline{\phi }\left(2z\right)\right|\\ \le {\Vert h_{\overline{\phi }}{k}_z\Vert }_{p,\alpha }{\Vert k_z\Vert }_{q,\alpha }\\ \le \Vert h_{\overline{\phi }}\Vert .\end{array}$

令$z^{\prime }=2z$ ，则

$\left|{\text{e}}^{-\frac{\alpha {\left|z\right|}^2}{4}}\phi \left(z\right)\right|\le \Vert h_{\overline{\phi }}\Vert$,

从而$\phi \in F_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ 。

反之，设$\phi \in F_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ 。令$\psi \left(\omega \right)=2\phi \left(2\omega \right){\text{e}}^{-\alpha {\left|\omega \right|}^2}$ ，则$\psi \in L^{\infty }\left(ℂ,\text{d}A\right)$ 且${\Vert \psi \Vert }_{\infty }={\Vert \phi \Vert }_{\infty ,\frac{\alpha }{2}}$ 。此时

$\begin{array}{c}P\psi \left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}\psi }\left(\omega \right)\overline{k_z\left(\omega \right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(\omega \right)\\ =\frac{\alpha }{\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}2\phi \left(2\omega \right){\text{e}}^{-\alpha {\left|\omega \right|}^2}{\text{e}}^{\alpha z\overline{\omega }}{\text{e}}^{-\alpha {\left|\omega \right|}^2}\text{d}A\left(\omega \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}\phi \left(2\omega \right){\text{e}}^{2\alpha \left(\frac{z}{2}\right)\overline{\omega }}\text{d}{\lambda }_{2\alpha }\left(\omega \right)}\\ =\frac{1}{2}\phi \left(z\right).\end{array}$

设$f,g$ 都是多项式，则$f\in F_{\alpha }^p,g\in F_{\alpha }^q$ 。因为

$\langle h_{\overline{\phi }}f,\overline{g}\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}fg\overline{\phi }\text{d}{\lambda }_{\alpha }}=\langle fg,P\left(\psi \right)\rangle =\langle Pfg,\psi \rangle =\langle fg,\psi \rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}fg\overline{\psi }\text{d}{\lambda }_{\alpha }}$，

所以

$\left|\langle h_{\overline{\phi }}f,g\rangle \right|\le {\Vert \psi \Vert }_{\infty }{\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q=2{\Vert \phi \Vert }_{\infty ,\frac{\alpha }{2}}{\Vert f\Vert }_{p,\alpha }{\Vert g\Vert }_{q,\alpha }$,

可知$\Vert h_{\overline{\phi }}\Vert \le 2{\Vert \phi \Vert }_{\infty ,\frac{\alpha }{2}}$，

故$h_{\overline{\phi }}$ 在$F_{\alpha }^p$ 上是有界的。

定理4 设$\phi \in F_{\alpha }^p$ 。$h_{\overline{\phi }}$ 是$F_{\alpha }^p$ 上的紧算子的充分必要条件是$\phi \in f_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ 。

证明 设P是由复平面上解析多项式构成的函数空间。因为$\overline{P}=f_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ ，所以$\phi \in f_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ ，则存在$p_n\in P$ ，使得

${\Vert p_n-\phi \Vert }_{\infty ,\frac{\alpha }{2}}\stackrel{n\to +\infty }{\to }0$.

由定理3可得

$\Vert h_{\overline{\phi }}-h_{\overline{p_n}}\Vert \le 2{\Vert p_n-\phi \Vert }_{\infty ,\frac{\alpha }{2}}\to 0$.

因为$h_{\overline{p_k}}$ 是有界秩算子，从而是$F_{\alpha }^p$ 上的紧算子，因此可得$h_{\overline{\phi }}$ 是$F_{\alpha }^p$ 上的紧算子。

反之，设$h_{\overline{\phi }}$ 是$F_{\alpha }^p$ 上的紧算子，则${\Vert h_{\overline{\phi }}{k}_z\Vert }_{p,\alpha }\stackrel{z\to \infty }{\to }0$，所以由定理3可得${\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\left|\phi \left(2z\right)\right|\le {\Vert h_{\overline{\phi }}{k}_z\Vert }_{p,\alpha }\to 0$，故$\phi \in f_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ 。

例 令$\phi \left(z\right)=\overline{z^n}$ ，考查$h_{\overline{\phi }}$ 在$F_{\alpha }^p$ 上的有界性(或紧性)。

根据定理3 (定理4)，只需考查$\phi \in F_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ (或$\phi \in f_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ )。由于

${\Vert \phi \Vert }_{\infty ,\frac{\alpha }{2}}=\underset{z\in ℂ}{\sup }\left|\overline{z^n}{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|z\right|}^2}\right|=\underset{z\in ℂ}{\sup }\left|z^n\right|{\text{e}}^{-\frac{\alpha }{2}{\left|z\right|}^2}\stackrel{z\to \infty }{\to }0$,

所以$\phi \in F_{\frac{\alpha }{2}}^{\infty }$ ，于是$h_{\overline{\phi }}$ 在$F_{\alpha }^p$ 上是有界的。同理易得$h_{\overline{\phi }}$ 在$F_{\alpha }^p$ 上也是紧的。

3. 总结

本文主要研究了Fock空间$F_{\alpha }^p$ $\left(1\le p<\infty ,p\ne 2\right)$ 上小Hankel算子的有界性和紧性，并分别得到了关于有界性和紧性的一个充分必要条件。这些结论对于进一步分析、深入理解Fock空间上小Hankel算子的性质具有显著帮助，但当$p=\infty$ 时，小Hankel算子是否还具有这些性质则需要进一步研究。