修正比例失效率尺度模型下的随机比较

Stochastic Comparison under a Model of Modified Proportional Failure Rate Scale

摘要: 本文研究由两组n维独立且异质的样本产生的二阶次序统计量的失效率序。考虑在多元离群值模型的假设下，修正的比例失效率尺度参数不同和两组不同样本量的多元离群值下的随机比较。

Abstract: In this paper, we study the failure order of the second order statistics generated by two groups of n-dimensional independent and heterogeneous samples. Considering the assumption of the multivariate outlier model, the modified proportional failure rate scale parameters and the stochastic comparison of the multiple outliers of two groups with different sample sizes are studied.

1. 引言

次序统计量作为多元统计分析中重要的概念，在可靠性理论、拍卖理论、保险精算和随机运筹学中获得了广泛应用。作为最重要的次序统计量，二阶次序统计量近年来受到学术界与工业界的普遍关注，已取得了一系列丰硕的研究成果。与此同时，独立随机变量极值次序统计量的研究也取得了重要的进展。近年来随着二阶次序统计量的应用越来越广泛，二阶次序统计量的随机比较已然成为可靠性统计领域中的热点问题，引起了学术界的普遍关注。众所周知，次序统计量与n中取k系统的寿命一一对应。常用次序统计量$X_{k:n}$ 表示一个n中取(n − k + 1)系统的寿命，$X_{1:n}$ 和$X_{n:n}$ 分别表示串联系统和并联系统的寿命已被广泛应用在生存分析。在拍卖理论中，二阶次序统计量$X_{2:n}$ 表示二价反向拍卖中中标者的报价。在可靠性方面，$X_{2:n}$ 表示故障安全系统的寿命。因此在不同随机序下有关二阶次序统计量的研究是近来可靠性统计领域中的重要问题。

Zhang and Yan (2018) [1]通过比例失效率模型研究了元件和系统两种冗余分配策略。Guo等(2020) [2]通过相协系统研究了各种随机序，并在相协系统建立了一些老化性质。Zhang等(2022) [3]通过随机序研究了随机冲击生存概率和组件寿命对故障安全系统可靠性的影响。Yan和Niu (2023) [4]研究了由相依或独立异质的修正比例失效率(MPHR)模型产生的二阶统计量的普通随机序、失效率、反失效率，并在MPHR模型下建立多元离群值的随机比较。Shrahili等(2023) [5]在修正比例失效率(MPHR)模型下，研究了相对失效率序和相对反失效率序的性质。Das等(2024) [6]通过修正比例失效率尺度(MPHRS)模型产生的极值次序统计量建立了乘积序和倒优序下的普通随机序、失效率序、反失效率序。Guo等(2024) [7]研究了由两组依赖和异质个体风险模型产生的第二大索赔金额的各种随机序。有关二阶次序统计量的最新研究，有兴趣的读者可以参考Zhang等(2024) [8]。

假设F是支撑为$R^{+}$ 的基分布函数，且对应的基生存函数为$\overline{F}$ 。事实上，结合尺度(SC)、比例优势比(PO)和比例失效率(PHR)模型，Das等(2021) [9]定义了一类新的Marshall-Oklin分布，称为修正的比例失效率尺度(MPHRS)模型。具体的生存函数如下：

$\overline{G}\left(x;\alpha ,\lambda ,\mu \right)=\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}$ ，其中$x,\alpha ,\lambda ,\mu >0$ ，$\overline{\alpha }=1-\alpha$ 。 (1.1)

事实上，修正的比例失效率尺度模型包含了许多常见分布。例如，当$\mu =1$ 时(1.1)式便退化为修正比例失效率(MPHR)模型，当$\lambda =1$ 时，(1.1)式等价于尺度失效率(SPHR)模型。，当$\mu =1$ 且$\alpha =1$ 时，(1.1)式退化为比例失效率(PHR)模型，当$\lambda =1$ 且$\alpha =1$ 时，(1.1)式退化为尺度(SC)模型，当$\lambda =1$ 且$\mu =1$ 时，(1.1)式退化为比例优势比(SC)模型。因此，修正的比例失效率尺度(MPHRS)模型参数具有更好的灵活性。上述模型具体分布见表1。

受Yan和Niu (2023) [4]，Das等(2024) [6]工作的启发，我们将研究独立且异质的修正比例失效率尺度(MPHRS)样本所产生的二阶次序统计量的随机比较，进一步将Yan和Niu (2023) [4]中有关独立的MPHR模型的研究推广到MPHRS模型情形。

Table 1. Five distributions after MPHRS parameters taking specific values

表1. MPHRS参数取特定值退化后的五种分布

模型	生存函数	参数	范围
SC	$\overline{G}\left(x\right)=\overline{F}\left(\mu x\right)$	$\mu$ ：尺度参数	$\mu >0$
PHR	$\overline{G}\left(x\right)={\overline{F}}^{\lambda }\left(x\right)$	$\lambda$ ：脆弱参数	$\lambda >0$
SPHR	$\overline{G}\left(x\right)={\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }$	$\mu$ ：尺度参数 $\lambda$ ：脆弱参数	$\mu >0$ $\lambda >0$
PO	$\overline{G}\left(x\right)=\frac{\alpha \overline{F}\left(x\right)}{1-\overline{\alpha }\overline{F}\left(x\right)}$	$\alpha$ ：倾斜参数	$\alpha >0$
MPHR	$\overline{G}\left(x\right)=\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\right)\right)}^{\lambda }}$	$\alpha$ ：倾斜参数 $\lambda$ ：比例失效率参数	$\alpha >0$ $\lambda >0$

2. 预备知识

在可靠性理论、运筹学、精算学、经济学、金融学等领域，随机序是一个非常有用的工具。首先给出随机序的定义。

定义1 [10]设X和Y是两个连续型随机变量，分别记其分布函数为F和G，生存函数分别为$\overline{F}=1-F$ 和$\overline{G}=1-G$ ，概率密度函数分别为f和g，失效率函数分别记为$h_X=f/\overline{F}$ 和$h_G=g/\overline{G}$ ，则

(1) 若对任意的$t\in R$ ，都有${\overline{F}}_X\left(t\right)\le {\overline{F}}_Y\left(t\right)$ ，则称X在普通随机序下小于Y，记作$X{\le }_{st}Y$ ；

(2) 若对任意的$t\in R$ ，都有$h_X\left(t\right)\ge h_Y\left(t\right)$ ，或者等价于对任意$t\in R$ ，${\overline{F}}_Y\left(t\right)/{\overline{F}}_X\left(t\right)$ 关于t是递增的，则称X在失效率序下小于Y，记作$X{\le }_{hr}Y$ 。

接下来我们介绍优化序的概念，它是建立统计和概率中各种不等式的基本工具之一。

定义2 [11]设$a=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 和$b=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)$ 是两个n维实值向量，设$a_{1:n}\le a_{2:n}\le \cdots \le a_{n:n}$ 和$b_{1:n}\le b_{2:n}\le \cdots \le b_{n:n}$ 分别表示a和b的增排列，

(1) 若${\displaystyle \sum _{j=1}^i{a}_{j:n}}\le {\displaystyle \sum _{j=1}^i{b}_{j:n}},j=1,2,\cdots ,n-1$ ，且${\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_{j:n}}={\displaystyle \sum _{j=1}^n{b}_{j:n}}$ ，则称向量a在优化序下大于b，$a\stackrel{m}{\succcurlyeq }b$ ；

(2) 若${\displaystyle \sum _{j=1}^i{a}_{j:n}}\le {\displaystyle \sum _{j=1}^i{b}_{j:n}},i=1,2,\cdots ,n$ ，则称向量a在弱超优序下大于b，记作$a\stackrel{w}{\succcurlyeq }b$ ；

(3) 若${\displaystyle \sum _{j=1}^i{a}_{j:n}}\ge {\displaystyle \sum _{j=1}^i{b}_{j:n}},i=1,2,\cdots ,n$ ，则称向量a在弱次优序下大于b，记作$a\underset{w}{\succcurlyeq }b$ 。

众所周知，由优化序可以直接得到弱超优序和弱次优序，反之则不一定成立，即

$a\stackrel{w}{\succcurlyeq }b\Leftarrow a\stackrel{m}{\succcurlyeq }b\Rightarrow a\underset{w}{\succcurlyeq }b,$

关于优化序及其应用的更详细讨论，可参阅Marshall等(1979) [11]。

下面介绍一些重要引理以帮助建立本文的主要结果。

引理1 [11]假设ϕ是定义在D上连续可微的实值函数。${\varphi }_{\left(k\right)}\left(z\right)=\partial \varphi \left(z\right)/\partial z_k$ 表示ϕ关于第k个分量的偏导数，则

(1) 对于任何$a,b\in D$ ，$a\stackrel{w}{\succcurlyeq }b$ ，$\varphi \left(a\right)\ge (\le )\varphi \left(b\right)$ 当且仅当$0\ge {\varphi }_{\left(1\right)}\left(z\right)\ge {\varphi }_{\left(2\right)}\left(z\right)\ge \cdots \ge {\varphi }_{\left(n\right)}\left(z\right)$ ；

(2) 对于任何$a,b\in D$ ，$a\underset{w}{\succcurlyeq }b$ ，$\varphi \left(a\right)\ge (\le )\varphi \left(b\right)$ 当且仅当${\varphi }_{\left(1\right)}\left(z\right)\ge {\varphi }_{\left(2\right)}\left(z\right)\ge \cdots \ge {\varphi }_{\left(n\right)}\left(z\right)\ge 0$ 。

3. 主要结果

本节主要研究由两组n维独立且异质的样本产生的二阶次序统计量的失效率序。首先考虑了修正比例失效率尺度模型的失效率参数不同时，多元离群值样本所产生的二阶次序统计量的失效率序。给出了二阶次序统计量的失效率序存在的充分条件。进一步在多元离群值的假设下，考虑多元离群值的样本量不同，多元离群值的修正比例失效率尺度样本产生的二阶次序统计量失效率。

在形式上，对一组随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ ，若$X_1,X_2,\cdots ,X_p$ 同分布X，且$X_{p+1},X_{p+2},\cdots ,X_n$ 同分布Y，其中$1\le p<n$ ，则称该模型为多元离群值模型。假设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是服从多元离群值修正比例失效率尺度(MPHRS)模型的一组独立随机变量，则对应的生存函数为：

$\underset{p个}{\underbrace{(\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}},\cdots ,\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}}},\underset{q个}{\underbrace{\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }},\cdots ,\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }})}}$

下面定理3.1考虑了修正比例失效率尺度模型的失效率参数不同时，多元离群值样本所产生的二阶次序统计量的失效率序。

定理3.1设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是n个相互独立的随机变量，多元离群的MPHRS模型生存函数为

$\left(\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{I}_p,\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{I}_q\right)$ ，$X_1^{*},X_2^{*},\cdots ,X_n^{*}$ 是另一组n个相互独立的随机变量，多元离群的MPHRS模型生存函数为$\left(\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}{I}_p,\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{I}_q\right)$ 的n个相互独立的随机变量，其中$p,q\ge 1$ ，$p+q=n$ 。若$\lambda \ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_1,$ ，则$X_{2:n}{\ge }_{hr}{X}_{2:n}^{*}$ 。

证明：$X_{2:n}$ 和$X_{2:n}^{*}$ 的生存函数分别表示为

$\begin{array}{c}{\overline{F}}_{X_{2:n}}\left(x\right)=p{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}\right]}^{p-1}{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}\right]}^q+q{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}\right]}^p\\ \times {\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}\right]}^{q-1}-\left(n-1\right){\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}\right]}^p{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}\right]}^q\end{array}$ (3.1)

和

$\begin{array}{c}{\overline{F}}_{X_{2:n}^{*}}\left(x\right)=p{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}\right]}^{p-1}{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}\right]}^q+q{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}\right]}^p\\ \times {\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}\right]}^{q-1}-\left(n-1\right){\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}\right]}^p{\left[\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}\right]}^q,\end{array}$

其中$\overline{\alpha }=1-\alpha ,p+q=n$。令${\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }={\text{e}}^{-\lambda \left(-\ln \overline{F}\left(x\mu \right)\right)}$，$t=-\ln \overline{F}\left(x\mu \right)$ 。则(3.1)可写为

$\begin{array}{l}{\overline{F}}_{X_{2:n}}\left(t\right)=p{\left[\frac{\alpha }{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right]}^{p-1}{\left[\frac{\alpha }{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]}^q+q{\left[\frac{\alpha }{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right]}^p{\left[\frac{\alpha }{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]}^{q-1}\\ -\left(n-1\right){\left[\frac{\alpha }{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right]}^p{\left[\frac{\alpha }{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]}^q,t\ge 0.\end{array}$

为了方便，简记为

$A_i=\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_i{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }},$

$B_i=p\frac{{\lambda }_i{\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }},$

$C_i=p\frac{{\lambda }_i{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }},$其中$i=1,2.$

因此，$X_{2:n}$ 的失效率函数可表示为

$h_{x_{2:n}}\left(t\right)=\frac{\text{d}\ln F_{X_{n-1:n}}\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{p{A}_1\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q{B}_1\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda }-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)C_1}{p\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda }-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}.$

为了证明想要的结果，需证$h_{X_{2:n}}\left(t\right)\le h_{X_{2:n}^{*}}\left(t\right)$ ，即对任意$\lambda \ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_1>0$ ，

$\frac{p{A}_1\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q{B}_1\left(\frac{{\text{e}}^w-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)C_1}{p\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}\le \frac{p{A}_2\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q{B}_2\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)C_2}{p\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}.$ (3.2)

事实上，(3.2)式等价于

$\begin{array}{l}\left\{p\left[\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }+q\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right\}\\ -\left(n-1\right)\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\times \frac{1}{p\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}\\ \le \left\{p\left[\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }+q\left[p\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right\}\\ -\left(n-1\right)\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\times \frac{1}{p\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}.\end{array}$

为了表示方便，我们分别记

$\begin{array}{c}{M}_1=\frac{1}{p\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}\times \{p\left[\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\\ +q\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }-\left(n-1\right)\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\},\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_2=\frac{1}{p\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}\times \{p\left[\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\\ +q\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }-\left(n-1\right)\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda e^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\},\end{array}$

$\begin{array}{c}{M}_3=\frac{1}{p\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}\times \{p\left[\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\\ +q\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }-\left(n-1\right)\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\}.\end{array}$

根据假设$\lambda \ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_1>0$ 和$\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}$关于$\lambda$ 的递增性，可得

$\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}\ge \frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}.$

于是有

$\begin{array}{l}{M}_3-M_2\stackrel{\text{sgn}}{=}p\left(p-1\right)\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{a}\right)\left[\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}-\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]+pq\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)\\ \times \left[\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}-\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right]-p\left(n-1\right)\left[\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}-\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}-\overline{\alpha }}\right]\\ =p\left[\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}-\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right]\left[\left(p-1\right)\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)\right]\\ \ge p\left[\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}-\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right]\left[p+q-1-\left(n-1\right)\right]=0.\end{array}$

令

$P=q\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right]\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }-\left(n-1\right)\left[p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right],$

$Q=p\left[\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}\right],$

$U=q\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right),$

$V=p.$

于是

$QU-PV=pq\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)\left[\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}-\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right]+p\left(n-1\right)\left(\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}\right)\ge 0.$

因此

$\begin{array}{l}{M}_2-M_1=\frac{Q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+P}{V\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+U}-\frac{Q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\overline{\alpha }}\right)+P}{V\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+U}\\ =\frac{\left[Q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+P\right]\left[V\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+U\right]-\left[Q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+P\right]\left[V\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+U\right]}{\left[V\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+U\right]\left[V\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+U\right]}\\ \stackrel{\text{sgn}}{=}\left(QU-PV\right)\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }-\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)\ge 0.\end{array}$

结合$M_1\le M_2$ 和$M_2\le M_3$ ，有$M_1\le M_3$ 。证毕。

定理3.1表明多元离群值模型下，如果修正比例失效率尺度模型中的比例失效率参数越大，则对应的修正比例失效率尺度样本所产生的二阶次序统计量在失效率序的意义下越小。

下面定理3.2考虑了多元离群值的样本量不同，多元离群值的修正比例失效率尺度样本产生的二阶次序统计量失效率。

定理3.2设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是n个相互独立的随机变量，其多元离群的修正比例失效率生存函数为

$\left(\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_1}}{I}_p,\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{I}_q\right)$ ，$p,q\ge 1$ ，$p+q=n$ 。$X_1^{*},X_2^{*},\cdots ,X_n^{*}$ 是另一组n个相互独立的随机变量，多元离群的MPHRS模型生存函数为$\left(\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{{\lambda }_2}}{I}_{p^{*}},\frac{\alpha {\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{1-\overline{\alpha }{\left(\overline{F}\left(x\mu \right)\right)}^{\lambda }}{I}_{q^{*}}\right)$ ，其中$p^{\text{*}},q^{\text{*}}\ge 1$ ，$p^{\text{*}}+q^{\text{*}}=n^{\text{*}}$ 。若$p^{*}\le p\le q\le q^{*}$ 且${\lambda }_2\ge {\lambda }_1$ ，则

$\left(p^{*},q^{*}\right)\underset{w}{\succcurlyeq }\left(p,q\right)\Rightarrow X_{2:n}{\ge }_{hr}{X}_{2:n^{*}}^{*}.$

证明：根据定理3.1的证明，$X_{2:n}$ 的失效率函数可以表示为

$h_{X_{2:n}}\left(t\right)=\frac{p{T}_1\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q{T}_2\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)T}{p\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)},$

这里$T_1=\left(p-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}$，$T_2=p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+\left(q-1\right)\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}$和$T=p\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}$。

为了证明想要的结果，需证$h_{X_{2:n}}\left(t\right)\le h_{X_{2:n}^{*}}\left(t\right)$ ，即证对任意${\lambda }_2\ge {\lambda }_1>0$ ，

$\frac{p{T}_1\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q{T}_2\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)T}{p\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}\le \frac{p^{*}{T}_1^{*}\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_1}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q^{*}{T}_2\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n^{*}-1\right)T^{*}}{p^{*}\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q^{*}\left(\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n^{*}-1\right)},$

其中$T_1^{*}=\left(p^{*}-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q^{*}\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}$，$T_2^{*}=\left(p^{*}-1\right)\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q^{*}\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}$，$T^{*}=p^{*}\frac{{\lambda }_1{\text{e}}^{{\lambda }_{t}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{1}t}-\overline{\alpha }}+q^{*}\frac{{\lambda }_2{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{2}t}-\overline{\alpha }}$。

令$a_i=\frac{{\lambda }_i{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}}{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}$，$b_i=\frac{{\text{e}}^{{\lambda }_{i}t}-\overline{\alpha }}{\alpha }$，$c_{ij}=a_i{b}_j$ ，$i,j=1,2$ 。记

$\begin{array}{c}\varphi \left(p,q\right)=\frac{p{T}_1\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q{T}_2\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)T}{p\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)+q\left(\frac{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}{\alpha }\right)-\left(n-1\right)}\\ =\frac{p\left(p-1\right)c_{11}+pq{c}_{21}+pq{c}_{12}+q\left(q-1\right)c_{22}-\left(n-1\right)\left(p{a}_1+q{a}_2\right)}{p{b}_1+q{b}_2-\left(n-1\right)}.\end{array}$

接下来我们只需证明在条件$p^{*}\le p\le q\le q^{*}$ 和$\left(p,q\right){\le }_w\left(p^{*},q^{*}\right)$ 下，$\varphi \left(p,q\right)\le \varphi \left(p^{\ast },q^{\ast }\right)$ 成立即可。

对$\varphi \left(p,q\right)$ 关于p求偏导可得

$\begin{array}{l}\frac{\partial \varphi \left(p,q\right)}{\partial p}\stackrel{\text{sgn}}{=}\left[\left(2p-1\right)c_{11}+q\left(c_{21}+c_{12}\right)-\left(n-1\right)a_1-p{a}_1-q{a}_2\right]\left[p{b}_1+q{b}_2-\left(n-1\right)\right]\\ -\left[p\left(p-1\right)c_{11}+pq{c}_{21}+pq{c}_{12}+q\left(q-1\right)c_{22}-\left(n-1\right)\left(p{a}_1+q{a}_2\right)\right]\left(b_1-1\right)\\ =a_1\left[p{b}_1+q{b}_2-\left(n-1\right)\right]\left[\left(p-1\right)b_1+q{b}_2-\left(n-1\right)\right]+\left(p{c}_{11}+q{c}_{22}\right)\left(b_1-1\right)\\ \ge 0.\end{array}$

类似地，对$\varphi \left(p,q\right)$ 关于q求偏导可得

$\begin{array}{l}\frac{\partial \varphi \left(p,q\right)}{\partial q}\stackrel{\text{sgn}}{=}{a}_2\left[p{b}_1+q{b}_2-\left(n-1\right)\right]\left[p{b}_1+\left(q-1\right)b_2-\left(n-1\right)\right]+\left(p{c}_{11}+q{c}_{22}\right)\left(b_2-1\right)\\ \ge 0.\end{array}$

根据定理3.1的证明过程，$\frac{\lambda {\text{e}}^{\lambda t}}{{\text{e}}^{\lambda t}-\overline{\alpha }}$关于$\lambda$ 的递增性，有$a_2\ge a_1\ge 0$ 和$b_2\ge b_1\ge 1$ 。

因此

$\begin{array}{l}\frac{\partial \varphi (p,q)}{\partial p}-\frac{\partial \varphi \left(p,q\right)}{\partial q}\stackrel{\text{sgn}}{=}\left[p{c}_{21}+\left(q-1\right)c_{22}-\left(p-1\right)c_{11}-q{c}_{12}-\left(n-1\right)\left(a_2-a_1\right)\right]\\ \times \left[p{b}_1+q{b}_2-\left(n-1\right)\right]+\left(p{c}_{11}+q{c}_{22}\right)\left(b_2-b_1\right)\\ \ge \left[p{c}_{21}+\left(q-1\right)c_{22}-\left(p-1\right)c_{11}-q{c}_{12}-\left(n-1\right)\left(a_2-a_1\right)\right]\\ \times \left[p{b}_1+q{b}_2-\left(n-1\right)\right]+\left(p{b}_1+q{b}_2\right)\left(a_1{b}_2-a_1{b}_1\right)\\ =\left[p{c}_{21}+\left(q-1\right)c_{22}-p{c}_{11}-\left(q-1\right)c_{12}-\left(n-1\right)\left(a_2-a_1\right)\right]\\ \times \left[p{b}_1+q{b}_2-\left(n-1\right)\right]+\left(n-1\right)\left(c_{12}-c_{11}\right).\end{array}$

根据引理1，有$\varphi \left(p,q\right)\le \varphi \left(p^{\ast },q^{\ast }\right)$ 。证毕。

定理3.2表明在两组多元离群值模型样本量不同下，如果修正比例失效率尺度模型中的样本量在弱次优序下异质性越大，则对应的修正比例失效率尺度样本所产生的二阶次序统计量在失效率序的意义下越小。

基金项目

本文受到国家自然科学基金项目：不完全数据下相依竞争失效单调关联系统可靠性的统计推断(No. 12361060)的支持。