Fock空间上两个Hankel算子乘积的有界性

Boundedness of the Product of Two Hankel Operators on Fock Space

摘要: 本文给出了Fock空间上两个Hankel算子乘积的有界性的必要条件描述，且结合反例证明此条件是两个Hankel算子乘积的有界性的必要不充分条件。

Abstract: In this paper, we give a description of the necessary condition for boundedness of the product of two Hankel operators on Fock space, and prove that this condition is a necessary and insufficient condition for boundedness of the product of two Hankel operators.

1. 引言

对于任意正参数，考虑复平面上的Gaussian测度，其定义为：

$\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)=\frac{\alpha }{\pi }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)$ ,

其中$\text{d}A\left(z\right)$ 为面积测度。设$H\left(ℂ\right)$ 表示$ℂ$ 上所有整函数的空间。则

$F_{\alpha }^2=L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)\cap H\left(ℂ\right)$

称为Fock空间。Fock空间作为$L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)$ 的闭子空间，内积为：

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z\right)}\overline{g\left(z\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(z\right)$,

众所周知，正交投影$P:L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)\to F_{\alpha }^2$ 是一个积分算子，

$Pf\left(z\right)=\langle f,K_z\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(w\right){\text{e}}^{\alpha z\overline{w}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }}\left(w\right)\text{.}$ (1)

其中$K_z\left(w\right)={\text{e}}^{\alpha z\overline{w}}$是$F_{\alpha }^2$ 的再生核。关于Fock空间理论的一些相关研究见[1]。

设D表示$F_{\alpha }^2$ 的线性子空间，包含$F_{\alpha }^2$ 中核函数的所有有限线性组合。D在$F_{\alpha }^2$ 稠密。f满足如下条件：

${\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|f\left(w\right)K_z\left(w\right)\right|\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}<+\infty ,z\in ℂ.$ (2)

由于${\left|K_z\left(w\right)\right|}^2=\left|K_{2z}\left(w\right)\right|$ ，条件(2)等价于

${\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|f\left(w\right)\right|}{\left|K_z\left(w\right)\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)<+\infty \text{, }z\in ℂ.$

通过(1)和Cauchy-Schwarz不等式，则

$T_f\left(g\right)=P\left(fg\right),H_f\left(g\right)=\left(I-P\right)\left(fg\right),g\in D,$

在D上稠定义，算子

$T_f:D\to F_{\alpha }^2,H_f:D\to L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)$ ,

其中I是$L^2\left(ℂ,\text{d}{\lambda }_{\alpha }\right)$ 上的恒等算子，分别称为Toeplitz算子和Hankel算子，符号函数为f。

Sarason的Toeplitz算子乘积问题的自然伴生问题是Hankel算子的类似问题：找到解析函数f和g上的条件使得Hankel算子乘积$H_{\overline{f}}^{*}{H}_{\overline{g}}$ 是有界的。由于Toeplitz算子乘积问题对Hardy或Bergman空间仍然是开放的，因此在Hardy或Bergman空间中，目前可能没有希望解决上述Hankel算子乘积问题。但Cho-Park-Zhu对Fock空间下Toeplitz算子乘积问题的解决方法表明，$F_{\alpha }^2$ 上对应的Hankel算子乘积问题的解可能是可以实现的。本篇论文基于两个Hankel算子乘积的有界性的必要条件展开相关探究。有关Hankel和Toeplitz算子的更多信息和结果，请参阅文献[1]-[4]。

2. 两个Hankel算子乘积的有界性

前有其他作者描述了$H_{\overline{f}}^{*}{H}_{\overline{g}}$ 有界性的一个必要条件，见下面定理1。以下考察其必要条件。

定理1：设$f,g\in F_{\alpha }^2$ 。如果$H_{\overline{f}}^{*}{H}_{\overline{g}}$ 是有界的，那么存在一个常数C使得，

$\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[f\left(z+w\right)-f\left(w\right)\right]\left[\overline{g\left(z+w\right)}-\overline{g\left(w\right)}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\right|\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2},\forall z\in ℂ.$

下面为了描述两个Hankel算子乘积的有界性引入两个辅助函数$F_2\left(z\right)$ ，$H_2\left(z\right)$

$\begin{array}{l}{F}_2\left(z\right)=\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[f\left(z+w\right)-f\left(w\right)\right]\left[\overline{g\left(z+w\right)}-\overline{g\left(w\right)}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\right|,\\ H_2\left(z\right)=\underset{z\in ℂ}{\sup }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}{F}_2\left(z\right).\end{array}$

定理2：如果$H_{\overline{f}}^{*}{H}_{\overline{g}}$ 是有界算子，那么$H_2\left(z\right)$ 是有界函数。

证明：由定理1可知，如果$H_{\overline{f}}^{*}{H}_{\overline{g}}$ 有界，那么存在一个常数C使得 $\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[f\left(z+w\right)-f\left(w\right)\right]\left[\overline{g\left(z+w\right)}-\overline{g\left(w\right)}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\right|\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2},\forall z\in ℂ$成立。即$F_2\left(z\right)\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2}$ ，则 $H_2\left(z\right)=\underset{z\in ℂ}{\sup }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}{F}_2\left(z\right)\le C$ ，故$H_2\left(z\right)$ 有界。

≤

注记：$H_2\left(z\right)$ 是有界函数，但$H_{\overline{f}}^{*}{H}_{\overline{g}}$ 不一定是有界算子。

定理3：

(a) 若$f\left(z\right)=g\left(z\right)=z^2$ 时，则$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 无界，但$H_2\left(z\right)$ 有界。

(b) 若$f\left(z\right)={\text{e}}^{az+b}+A,g\left(z\right)={\text{e}}^{az+d}+B\left(a\ne 0\right)$ 时，则$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 无界，但$H_2\left(z\right)$ 有界。

证明：(a) 若$f\left(z\right)=g\left(z\right)=z^2$ 时，由计算可得

$\begin{array}{c}{F}_2\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|f\left(z+w\right)-f\left(w\right)\right|\left|\overline{g\left(z+w\right)}-\overline{g\left(w\right)}\right|\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|{\left(z+w\right)}^2-w^2\right|\left|{\left(z+w\right)}^2-w^2\right|\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|z^2+2zw\right|\left|z^2+2zw\right|\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|z^2+2zw\right|}^2\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ =\langle z^2+2zw,z^2+2zw\rangle \\ ={\left|z\right|}^4+\frac{4}{\alpha }{\left|z\right|}^2.\end{array}$

那么

$\begin{array}{c}{H}_2\left(z\right)=\underset{z\in ℂ}{\sup }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\left({\left|z\right|}^4+\frac{4}{\alpha }{\left|z\right|}^2\right)\\ =\underset{z\in ℂ}{\sup }\frac{{\left|z\right|}^4+\frac{4}{\alpha }{\left|z\right|}^2}{{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2}}\\ =\underset{z\in ℂ}{\sup }\frac{{\left|z\right|}^4+\frac{4}{\alpha }{\left|z\right|}^2}{1+\alpha {\left|z\right|}^2+\frac{{\alpha }^2{\left|z\right|}^4}{2!}+\frac{{\alpha }^3{\left|z\right|}^6}{3!}+\cdots }\le M.\end{array}$

此时，$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 无界(详见参考文献[1])，但$H_2\left(z\right)$ 有界。

(b) 若$f\left(z\right)={\text{e}}^{az+b}+A,g\left(z\right)={\text{e}}^{az+d}+B$ 时，首先计算$F_2\left(z\right)$ ，

由于$F_2\left(z\right)=\left|{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[f\left(z+w\right)-f\left(w\right)\right]\left[\overline{g\left(z+w\right)}-\overline{g\left(w\right)}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\right|$，那么

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z+w\right)\overline{g\left(z+w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}{\text{e}}^{\overline{a\left(z+w\right)+d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+A{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\overline{a\left(z+w\right)+d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+\overline{B}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+A\overline{B}.\end{array}$

计算

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{az+aw+b}{\text{e}}^{\overline{az}+\overline{aw}+\overline{d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)={\text{e}}^{az+\overline{az}+b+\overline{d}}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{aw}{\text{e}}^{\overline{aw}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ ={\text{e}}^{az+\overline{az}+b+\overline{d}}\frac{1}{2}\langle {\text{e}}^{aw},{\text{e}}^{\alpha \overline{\frac{\overline{a}}{\alpha }}w}\rangle \\ ={\text{e}}^{az+b+\overline{az}+\overline{d}}{\text{e}}^{\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}.\end{array}$

其次计算

$\begin{array}{c}A{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\overline{a\left(z+w\right)+d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=A{\text{e}}^{\overline{az+d}}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\overline{aw}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ =A{\text{e}}^{\overline{az+d}}\langle 1,{\text{e}}^{aw}\rangle \\ =A{\text{e}}^{\overline{az+d}}\overline{\langle {\text{e}}^{aw},1\rangle }\\ =A{\text{e}}^{\overline{az+d}}.\end{array}$

最后计算

$\begin{array}{c}\overline{B}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}=\overline{B}{\text{e}}^{az+b}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{aw}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ =\overline{B}{\text{e}}^{az+b}\langle {\text{e}}^{aw},1\rangle \\ =\overline{B}{\text{e}}^{az+b}.\end{array}$

所以

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}+A\right]\left[{\text{e}}^{\overline{a\left(z+w\right)+d}}+\overline{B}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\text{e}}^{az+\overline{az}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}+A{\text{e}}^{\overline{az+d}}+\overline{B}{\text{e}}^{az+b}+A\overline{B}.\end{array}$

又

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z+w\right)\overline{g\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}{\text{e}}^{\overline{aw}+\overline{d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+A{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\overline{aw}+\overline{d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+\overline{B}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+A\overline{B}.\end{array}$

首先计算

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}}{\text{e}}^{\overline{aw}+\overline{d}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)={\text{e}}^{az+b+\overline{d}}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{aw}}{\text{e}}^{\overline{aw}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)\\ ={\text{e}}^{az+b+\overline{d}}\langle {\text{e}}^{aw},{\text{e}}^{aw}\rangle \\ ={\text{e}}^{az}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}.\end{array}$

其次计算

$\overline{B}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=\overline{B}{\text{e}}^{az+b}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{aw}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=1.$

最后计算

$A{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\overline{aw}+\overline{d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=A{\text{e}}^{\overline{d}}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\overline{aw}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=1.$

所以

${\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[{\text{e}}^{a\left(z+w\right)+b}+A\right]\left[{\text{e}}^{\overline{a\left(z+w\right)+d}}+\overline{B}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}={\text{e}}^{az}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}+A{\text{e}}^{\overline{az}}{\text{e}}^{\overline{d}}+\overline{B}{\text{e}}^b+A\overline{B}.$

进而

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(w\right)\overline{g\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}={\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[{\text{e}}^{aw+b}+A\right]\left[{\text{e}}^{\overline{aw+d}}+\overline{B}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{aw+b}{\text{e}}^{\overline{aw+d}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}+A{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{\overline{aw+d}}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+\overline{B}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{aw+b}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)+A\overline{B}.\end{array}$

主要计算

${\displaystyle {\int }_{ℂ}{\text{e}}^{aw+b}{\text{e}}^{\overline{aw+d}}}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)={\text{e}}^{b+\overline{d}}\langle {\text{e}}^{aw},{\text{e}}^{aw}\rangle ={\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}.$

所以

${\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(w\right)}\overline{g\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)={\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}+A{\text{e}}^{\overline{d}}+\overline{B}{\text{e}}^b+A\overline{B}.$

综上所述，我们有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z+w\right)\overline{g\left(z+w\right)}-f\left(z+w\right)\overline{g\left(w\right)}-f\left(w\right)\overline{g\left(z+w\right)}+f\left(w\right)\overline{g\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\text{e}}^{az+\overline{az}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}+A{\text{e}}^{\overline{az+d}}+\overline{B}{\text{e}}^{az+b}+A\overline{B}-{\text{e}}^{az}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}-\overline{B}{\text{e}}^{az+b}-A{\text{e}}^{\overline{d}}-A\overline{B}\\ -{\text{e}}^{\overline{az}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}-A{\text{e}}^{\overline{az+d}}-\overline{B}{\text{e}}^b-A\overline{B}+{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}+A{\text{e}}^{\overline{d}}+\overline{B}{\text{e}}^b+A\overline{B}\\ ={\text{e}}^{az+\overline{az}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}-{\text{e}}^{az}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}-{\text{e}}^{\overline{az}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}+{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}\\ ={\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}\left[{\text{e}}^{az+\overline{az}}-{\text{e}}^{az}-{\text{e}}^{\overline{az}}+1\right]\\ ={\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}\left[\left({\text{e}}^{az}-1\right)\left({\text{e}}^{\overline{az}}-1\right)\right].\end{array}$

所以

$F_2\left(z\right)=\left|{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}\right|\left|\left({\text{e}}^{az}-1\right)\left({\text{e}}^{\overline{az}}-1\right)\right|.$

则

$H_2\left(z\right)=\underset{z\in ℂ}{\sup }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}{F}_2\left(z\right)=\underset{z\in ℂ}{\sup }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\left|{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}\right|\left|\left({\text{e}}^{az}-1\right)\left({\text{e}}^{\overline{az}}-1\right)\right|.$

记$C_1=\left|{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }}\right|$，则上式等于

$\begin{array}{l}\underset{z\in ℂ}{\sup }{C}_1{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\left({\text{e}}^{az+\overline{az}}-{\text{e}}^{az}-{\text{e}}^{\overline{az}}+1\right)\\ \le \underset{z\in ℂ}{\sup }{C}_1{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\left({\text{e}}^{2\mathrm{Re}\left(az\right)}+1\right)\\ \le \underset{z\in ℂ}{\sup }{C}_1{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2+2\mathrm{Re}\left(az\right)}+\underset{z\in ℂ}{\sup }{C}_1{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\\ \le \underset{z\in ℂ}{\sup }{C}_1{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2+2\left|a\right|\cos \theta \left|z\right|}+C_1.\end{array}$

不妨取定$\theta$ ，使得$\mathrm{Re}\left(az\right)=\left|az\right|\cos \theta$ ，则对于函数

$q\left(\left|z\right|\right)=-\alpha {\left|z\right|}^2+2\left|a\right|\cos \theta \left|z\right|,$

当$\left|z\right|=-\frac{b}{2a}=-\frac{2\left|a\right|\cos \theta }{2\left(-\alpha \right)}=\frac{\left|a\right|}{\alpha }\cos \theta$ 时，

$q{\left(\left|z\right|\right)}_{\max }=-\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }{\cos }^2\theta +\frac{2{\left|a\right|}^2}{\alpha }{\cos }^2\theta =\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }{\cos }^2\theta$ .

则有$H_2\left(z\right)\le C_1{\text{e}}^{\frac{{\left|a\right|}^2}{\alpha }{\cos }^2\theta }+C$ 。此时，$f\left(z\right)={\text{e}}^{az+b}+A$ ，$g\left(z\right)={\text{e}}^{az+d}+B$ ，$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 无界，但是$H_2\left(z\right)$ 有界。

由此可得，如果$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 是有界算子，那么$H_2\left(z\right)$ 是有界函数。而$H_2\left(z\right)$ 是有界函数时，根据参考文献[1]可知$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 不一定是有界算子。

≤

3. 两个反例

下面给出两个反例证明定理1只能是$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 有界的必要条件而非充分条件。

例1：若$f\left(z\right)=z^n$ ，$g\left(z\right)=z^n\left(n>1\right)$ 时，则

$F_2\left(z\right)\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2},\forall z\in ℂ.$

证明：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[{\left(z+w\right)}^n-w^n\right]\left[\overline{{\left(z+w\right)}^n}-\overline{w^n}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[{\left|z+w\right|}^{2n}-{\left(z+w\right)}^n\overline{w^n}-w^n\overline{{\left(z+w\right)}^n}+{\left|w\right|}^{2n}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }}\left(w\right).\end{array}$

易知，当且仅当$k=l$ 时，$\langle w^k,w^l\rangle \ne 0$ ，当$k\ne l$ 时，$\langle w^k,w^l\rangle =0$ 。

首先计算

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|z+w\right|}^{2n}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=\langle {\left(z+w\right)}^n,{\left(z+w\right)}^n\rangle \\ =\langle {\displaystyle \sum _{k=0}^n{C}_n^k{z}^{n-k}{w}^k,{\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }{C}_n^l{z}^{n-l}{w}^l}}\rangle \\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(C_n^k\right)}^2}{\left|z^{n-k}\right|}^2\langle w^k,w^k\rangle \\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(C_n^k\right)}^2}{\left|z^{n-k}\right|}^2\frac{k!}{{\alpha }^k}.\end{array}$

其次计算

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left(z+w\right)}^n\overline{w^n}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=\langle {\left(z+w\right)}^n,w^n\rangle \\ =\langle {\displaystyle \sum _{k=0}^n{C}_n^k{z}^{n-k}{w}^k,w^n}\rangle \\ =C_n^n{z}^{n-n}\frac{n!}{{\alpha }^n}=\frac{n!}{{\alpha }^n}.\end{array}$

再次计算

${\displaystyle {\int }_{ℂ}{w}^n\overline{{\left(z+w\right)}^n}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=\langle w^n,{\left(z+w\right)}^n\rangle =\frac{n!}{{\alpha }^n}.$

最后计算

${\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|w\right|}^{2n}}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)=\langle w^n,w^n\rangle =\frac{n!}{{\alpha }^n}.$

综上，整理上式，我们得到

$\left|{\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(C_n^k\right)}^2}{\left|z^{n-k}\right|}^2\frac{k!}{{\alpha }^k}-\frac{n!}{{\alpha }^n}\right|\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2}\text{.}$ (3)

由${\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2}={\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }\frac{a^t}{t!}}{\left({\left|z\right|}^2\right)}^t={\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }\frac{a^t}{t!}}{\left|z\right|}^{2t}$ 所以对于(3)，左侧是关于$\left|z\right|$ 有限次求和，而右侧是关于$\left|z\right|$ 无限次求和，所以一定存在足够大的常数C，使得不等式成立。而且此时$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 是无界算子。

因为$H_{{\overline{z}}^2}{H}_{{\overline{z}}^2}^{*}$ 也是无界的，所以只需考虑$n=2$ 情况。

不等式(3)左侧等于

$\left|{\displaystyle \sum _{k=0}^2{\left(C_n^k\right)}^2}{\left|z^{n-k}\right|}^2\frac{k!}{{\alpha }^k}-\frac{2!}{{\alpha }^2}\right|=\left|{\left|z\right|}^4+4{\left|z\right|}^2\frac{1}{\alpha }+\frac{2!}{{\alpha }^2}-\frac{2!}{{\alpha }^2}\right|={\left|z\right|}^4+\frac{4}{\alpha }{\left|z\right|}^2$ ,

不等式(3)右侧等于

$C{\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }\frac{a^t}{t!}}{\left|z\right|}^{2t}=1+\alpha {\left|z\right|}^2+\frac{{\alpha }^2{\left|z\right|}^4}{2!}+\frac{{\alpha }^3{\left|z\right|}^6}{3!}+\cdot \cdot \cdot$ .

所以一定存在一个常数C使得不等式成立，因此定理1只是必要条件，并非充分条件。

≤

例2：若$f\left(z\right)={\text{e}}^{az+b}+A$ ，$g\left(z\right)={\text{e}}^{cz+d}+B$ 时，则

$F_2\left(z\right)\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2},\forall z\in ℂ.$

证明：根据定理3中(b)的计算过程，得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{ℂ}\left[f\left(z+w\right)-f\left(w\right)\right]\left[\overline{g\left(z+w\right)}-\overline{g\left(w\right)}\right]\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z+w\right)\overline{g\left(z+w\right)}-f\left(z+w\right)\overline{g\left(w\right)}-f\left(w\right)\overline{g\left(z+w\right)}+f\left(w\right)\overline{g\left(w\right)}\text{d}{\lambda }_{\alpha }\left(w\right)}\\ ={\text{e}}^{az+\overline{cz}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}+A{\text{e}}^{\overline{cz+d}}+\overline{B}{\text{e}}^{az+b}+A\overline{B}-{\text{e}}^{az}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}-\overline{B}{\text{e}}^{az+b}-A{\text{e}}^{\overline{d}}-A\overline{B}\\ -{\text{e}}^{\overline{cz}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}-A{\text{e}}^{\overline{cz+d}}-\overline{B}{\text{e}}^b-A\overline{B}+{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}+A{\text{e}}^{\overline{d}}+\overline{B}{\text{e}}^b+A\overline{B}\\ ={\text{e}}^{az+\overline{cz}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}-{\text{e}}^{az}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}-{\text{e}}^{\overline{cz}}{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}+{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}\\ ={\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}\left[{\text{e}}^{az+\overline{cz}}-{\text{e}}^{az}-{\text{e}}^{\overline{cz}}+1\right]\\ ={\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}\left[\left({\text{e}}^{az}-1\right)\left({\text{e}}^{\overline{cz}}-1\right)\right].\end{array}$

所以我们得到

$\left|{\text{e}}^{b+\overline{d}+\frac{a\overline{c}}{\alpha }}\right|\left|\left({\text{e}}^{az}-1\right)\left({\text{e}}^{\overline{cz}}-1\right)\right|\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2}.$

由于$z\in ℂ$ ，可知$F_2\left(z\right)\le C{\text{e}}^{\alpha {\left|z\right|}^2}$ 成立。但此时$H_{\overline{f}}{H}_{\overline{g}}^{\ast }$ 是无界算子。

≤