循环群群代数的胞腔性

Cellularity of the Group Algebra of a Cyclic Group

摘要: 文章主要构建了置换群群元素对应的置换矩阵在复数域上全矩阵代数的中心化子代数的胞腔基，从而说明置换群群元素对应的置换矩阵在复数域上全矩阵代数的中心化子代数是胞腔代数。文章的证明根据章节分成三部分内容，第一部分给出了胞腔代数的定义，中心化子代数的定义，以及一些符号的意义。然后第二部分根据循环群在复数域上的群代数和某些置换矩阵的中心化子代数的联系，证明了循环群在复数域上的群代数是胞腔的。文章的第三部分是根据置换群的群元素可以表示成不相交轮换的乘积，通过其置换矩阵的分块乘积，发现该中心化子的结构和循环群在复数域上的基的联系，最后根据循环群在复数域上的胞腔基构造了一般的置换矩阵在复数域上全矩阵代数的中心化子代数的胞腔基。

Abstract: The article mainly constructs the cellular basis of the centralizer of the permutation matrix corresponding to the elements of the permutation group in the full matrix algebra over the complex field, thus showing that the centralizer of the permutation matrix corresponding to the elements of the permutation group in the full matrix algebra over the complex field is a cellular algebra. The proof of the article is divided into three parts according to the sections. The first part gives the definition of cellular algebra, the definition of centralizer algebra, and the meaning of some symbols. Then, the second part proves that the group algebra of the cyclic group over the complex field is cellular based on the connection between the group algebra of the cyclic group over the complex field and the centralizer algebra of some permutation matrices. The third part of the article discovers the connection between the structure of the centralizer and the basis of the cyclic group over the complex field through the block product of the permutation matrix according to the fact that the group elements of the permutation group can be expressed as the product of disjoint cycles, and then constructs the cellular basis of the centralizer of the general permutation matrix in the full matrix algebra over the complex field based on the cellular basis of the cyclic group over the complex field.

1. 引言

Kazhdan教授和Lusztig教授在研究Hecke代数[1]的时候，构造了Kazhdan-Lusztig多项式和Kazhdan-Lusztig基，并且用相交上同调的理论重新阐述该结构[2]。Kazhdan-Lusztig基在表示论上有良好的性质，在提出Kazhdan-Lusztig基的适合，他们提出了cell的概念，并且将之对应到了Hecke代数的不可约表示，并且提出了很多关于Hecke代数的性质的问题。Graham, J. J.和Lehrer, G. I.受到Kazhdan-Lusztig基乘法和cell的性质的启发，提出了胞腔代数的定义[3]，并且基于胞腔代数的结构和表示，得到了其不可约表示和块理论的一般描述，为研究代数的分类和结构提供了重要工具。由于胞腔代数以及其定义的胞腔基在表示里面的良好性质，所以很多人就开始对胞腔代数进行了研究，发现很多已有的代数是胞腔的，例如在物理学的量子群有诸多应用的Temperley-Lieb代数和研究代数正交群的表示理论的Brauer代数[4]，以及常见的矩阵代数，还有某些常见的半群代数[5] [6]等等。

中心化子环在表示论和同调论里面具有重要作用，例如[7]-[12]，本文将聚焦于对称群元素的中心化子环，研究这些中心化子环的结构。

本文的主要贡献有两点：第一点是证明循环群在复数域上的群代数是胞腔的。第二点是通过循环群的胞腔基去找出置换群元素对应的置换矩阵在复数域上的矩阵代数中心化子的胞腔基。证明中找出该胞腔基的办法是很容易用计算机去实现的，与以前的表示证明办法不一样，也就是即使出了一个很复杂的置换，那么我们也能轻易通过计算机来计算出其置换矩阵再复数域上的矩阵代数的中心化子切确的基。

2. 定义

定义2.1. (胞腔代数定义)假设R是一个环，A是一个R-代数，$\delta$ 是A上的一个对合，若A关于

对合$\delta$ 为胞腔代数，则A会有参数集$\left(I,M,C,\delta \right)$ 满足以下条件：

(1) I是一个偏序集，$\text{λ}\in \text{I}$ 对应一个集合$M\left(\lambda \right)$ 。代数A有一组R-基$C_{s,t}^{\lambda }$ ，其中$\lambda \in I$ ， $\left(s,t\right)\in M\left(\lambda \right)\times M\left(\lambda \right)$ 。

(2) $\delta$ 是A上的一个对合，满足$\delta \left(C_{s,t}^{\lambda }\right)=C_{t,s}^{\lambda }$ 。

(3) 对于$\forall \text{a}\in \text{A}$ ，$a{C}_{s,t}^{\lambda }={\displaystyle {\sum }_{u\in M\left(\lambda \right)}{r}_a\left(u,s\right)C_{u,t}^{\lambda }}+r^{\prime }$ ，其中${\text{r}}_{\text{a}}\left(\text{u},\text{s}\right)\in \text{R}$ ，与参数t无关，$\text{r'}\in \text{A}$ ，是由$\left\{C_{s,t}^{\mu }|\mu <\lambda \right\}$ 的元素所生成。

这组R-基$\left\{C_{s,t}^{\lambda },\lambda \in I，\left(s,t\right)\in M\left(\lambda \right)\times M\left(\lambda \right)\right\}$ 被称为代数A的胞腔基。

将偏序集I任意的补充称为全序$\widehat{\text{I}}$，称由$\left\{C_{s,t}^{\rho }|\rho \le \lambda \in \widehat{I},\left(s,t\right)\in M\left(\rho \right)\times M\left(\rho \right)\right\}$ 生成的理想$D^{\lambda }$ 组成的理想链称为胞腔理想链。

定义2.2. 令R是一个环，C是R的一个子集，C在R的中心化子环被定义为

$\text{S}\left(\text{C},\text{R}\right)=\left\{\text{r}\in \text{R}|\text{rc}=\text{cr},\forall \text{c}\in \text{C}\right\}$ 。

假设$\text{C}=\left\{\text{c}\right\}$ ，则记$\text{S}\left(\text{c},\text{R}\right)=\text{S}\left(\text{C},\text{R}\right)$ ，称其为单因子中心化子环。

由于$\text{S}\left(\text{C},\text{R}\right)={\displaystyle {\cap }_{\text{c}\in \text{C}}\text{S}\left(\text{c},\text{R}\right)}$ ，所以研究单元素的中心化子环对于研究一般集合上的中心化子环极具意义的。

记$M_n\left(R\right)$ 为R上的全矩阵代数，C是$M_n\left(R\right)$ 的非空子集，那么${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{C},R\right):=\text{S}\left(\text{C},M_n\left(R\right)\right)$ 称为R上度为n的中心化子矩阵环，${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},R\right):=\text{S}\left(\text{c},M_n\left(R\right)\right)$ 称为R上度为n的单因子中心化子矩阵环，也称为R上度为n全矩阵代数的中心化子代数。

定义2.3. 假设G是一个n阶置换群，z是G里面的一个阶为k的元素，显然z可表示成一个轮换的形式，设

$\text{z}=\left({\text{z}}_1{\text{z}}_2\cdots {\text{z}}_{\text{k}}\right)$ ，${\text{z}}_{\text{i}}\in {\mathbb{z}}^{+}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{k}\right\}$ ，$\text{k}<\text{n}+1$ ，

记n维列向量$\left\{{\text{x}}_1,\cdots ,{\text{x}}_{\text{n}}\right\}$ 为$\left\{{\left(1,0,\cdots ,0\right)}^T,\cdots ,{\left(0,0,\cdots ,1\right)}^T\right\}$ ，即分别为${\text{x}}_{\text{i}}$ 对应下标的第i个位置为1的列向量，设${\text{K}}_{\text{z}}$ 是一个n阶矩阵，且

${\text{K}}_{\text{z}}{\text{x}}_{{\text{z}}_{\text{i}}}={\text{K}}_{\text{z}}{\text{x}}_{{\text{z}}_{\text{i}+1}}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{k}\right\}$ ，

若

$\text{t}\notin \left\{{\text{z}}_{\text{i}}|\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{k}\right\}\right\}$ ，

则有

${\text{K}}_{\text{z}}{\text{x}}_{\text{t}}={\text{x}}_{\text{t}}$ 。

则称${\text{K}}_{\text{z}}$ 为置换(轮换)元素z所对应的置换矩阵。

3. 主要定理

定理3.1. 假设$\text{c}\in {\text{G}}_{\text{n}}$ 是一个无重复元素的轮换，即$\text{c}=\left({\text{a}}_1{\text{a}}_2\cdots {\text{a}}_{\text{n}}\right),{\text{a}}_{\text{i}}\ne {\text{a}}_{\text{j}}$ ，其中$\text{i}\ne \text{j}$ ，$\text{i},\text{j}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ ，记$ℂ$ 为复数域，${\text{M}}_{ℂ}$ 是复数域上的矩阵代数。那么${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)$ 就是n阶循环群的在复数域上的群代数。

证明：不妨设循环群生成元的置换矩阵如下

$K_c={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]}_{n\ast n}$ ，

记

$x_1=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),x_2=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,x_n=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$

是置换文字${\text{a}}_1,{\text{a}}_2,\cdots ,{\text{a}}_{\text{n}}$ 所对应的向量，${\text{A}}_{\text{c}}$ 对向量的左乘即等价于循环群对相应文字的作用。

假设中心化子的矩阵基为

$B={\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& \dots & b_{nn}\end{array}\right]}_{n\ast n}$ 。

由于${\text{K}}_{\text{c}}\text{B}={\text{BK}}_{\text{c}}$ ，可以得到

${\text{b}}_{\text{k},1}=\cdots ={\text{b}}_{\text{n},\text{n}-\text{k}}={\text{b}}_{1,\text{n}-\left(\text{k}-1\right)}=\cdots ={\text{b}}_{\text{k}-1,\text{n}},\text{k}=\left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ ，

不妨设${\text{b}}_{\text{k},1}={\text{c}}_{\text{k}}$ ，则有

$B={\left[\begin{array}{ccccc}{c}_1& c_n& \cdots & c_3& c_2\\ c_2& c_1& \cdots & c_4& c_3\\ c_3& c_2& \cdots & c_5& c_4\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ c_n& c_{n-1}& \cdots & c_2& c_1\end{array}\right]}_{n\ast n}$ ，

即

$\text{B}={\text{c}}_1{\text{K}}_c^0+{\text{c}}_2{\text{K}}_c^1+\cdots +{\text{c}}_{\text{n}}{\text{K}}_c^{\text{n}-1}$ ，

对应着循环群的n个置换矩阵在复数域上张成的空间，所以在同构意义下有${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)=ℂ\left[{\text{G}}_{\text{n}}\right]$ 。

定理3.2. 假设c是循环群${\text{G}}_{\text{n}}$ 的n阶元，n阶循环群在复数域上的群代数$ℂ\left[{\text{G}}_{\text{n}}\right]$ 是胞腔代数。

证明：循环群可以写成置换矩阵的形式，其生成元$\text{c}=\left(123\cdots \text{n}\right)$ 的置换矩阵如下

$K_c={\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]}_{n\ast n}$ ，

记

$x_1=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),x_2=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,x_n=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$

是循环群的置换矩阵对应的向量。由${\text{K}}_{\text{c}}$ 的特征多项式为$\left|\lambda I-K_c\right|={\lambda }^n-1=0$ ，可得到n个不同的特征值$\text{x}=e^{\text{i}\frac{2\text{k}\pi }{\text{n}}},\text{k}\in \left\{0,1,\cdots ,\text{n}-1\right\}$ 。所以存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}{K}_{c}P=\Lambda$ ，其中$\Lambda$ 是一个以${\text{K}}_{\text{c}}$ 所有特征值为对角线上元素的对角矩阵。

假设矩阵集合$\text{T}=\left\{\text{M}\in {\text{M}}_{ℂ}|{\text{MK}}_{\text{c}}={\text{K}}_{\text{c}}\text{M}\right\}$ ，根据定理3.1.和${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)$ 的定义有$\text{T}={\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)=ℂ\left[{\text{G}}_{\text{n}}\right]$ 。

令$\text{M}\in \text{T}$ 且$\text{N}={\text{P}}^{-1}\text{MP}$ ，由于$P^{-1}{K}_{c}P=\Lambda$ ，则有

$N\Lambda =P^{-1}MP{P}^{-1}{K}_{c}P=P^{-1}{K}_{c}MP=P^{-1}{K}_{c}P{P}^{-1}MP=\Lambda N$ 。

记$K=\left\{N|N\Lambda =\Lambda N\right\}$ ，那么我们可以来证明集合K的元素的结构，对于$\text{N}\in \text{K}$ ，我们假设

$N=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11}& \cdots & d_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ d_{n1}& \cdots & d_{nn}\end{array}\right]$ ，

因为$N\Lambda =\Lambda N$ ，所以

$\left[\begin{array}{ccc}{\text{e}}^{i\frac{0\pi }{n}}{d}_{11}& \cdots & {\text{e}}^{i\frac{2\left(n-1\right)\pi }{n}}{d}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\text{e}}^{i\frac{0\pi }{n}}{d}_{n1}& \cdots & {\text{e}}^{i\frac{2\left(n-1\right)\pi }{n}}{d}_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\text{e}}^{i\frac{0\pi }{n}}{d}_{11}& \cdots & {\text{e}}^{i\frac{0\pi }{n}}{d}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\text{e}}^{i\frac{2\left(n-1\right)\pi }{n}}{d}_{n1}& \cdots & {\text{e}}^{i\frac{2\left(n-1\right)\pi }{n}}{d}_{nn}\end{array}\right]$ ，

对于${\text{d}}_{\text{fg}}$ 元素，需要满足

$e^{i\frac{2\left(g-1\right)\pi }{n}}{d}_{fg}=e^{i\frac{2\left(f-1\right)\pi }{n}}{d}_{fg}$ ，$f,g\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$ 。

当$\text{f}\ne \text{g}$ 时，有${\text{d}}_{\text{fg}}=0$ ，可以得到集合K的元素N是对角矩阵。对于任意的$\alpha ,\beta \in T,k\in ℂ$ ，有

$P^{-1}\left(\alpha +\beta \right)P=P^{-1}\alpha P+P^{-1}\beta P$ ，

$P^{-1}k\alpha P=k{P}^{-1}\alpha P$ 。

因此K与T是同构的，有${\text{P}}^{-1}\text{TP}=\text{K}$ 。

由于T是循环群的群代数，可知T是n维的，而矩阵代数$K=\left\{N|N\Lambda =\Lambda N\right\}$ 基的数量也为n。记${\text{N}}_{\text{i}}$ 为对角线第i个位置不为0，其余位置取0的矩阵，${\text{N}}_{\text{i}}$ 如下

${\text{N}}_{\text{i}}={\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& {\text{n}}_{\text{ii}}& ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{\text{n}\ast \text{n}}$ ，${\text{n}}_{\text{ii}}\ne 0$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ 。

因为$N_i\Lambda =\Lambda N_i$ ，K是n维代数，$\left\{{\text{N}}_{\text{i}},\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}\right\}$ 是线性无关的，所以${\text{N}}_{\text{i}}$ 构成K的一组基，易证这组基关于恒等变换$\delta \left(N_i\right)=N_i$ 是胞腔的，即令$\left\{{\text{C}}_{1,1}^{\text{i}}={\text{n}}_{\text{ii}}|\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}\right\}$ ，我们有

${\text{C}}_{1,1}^{\text{i}}{\text{C}}_{1,1}^{\text{j}}=0$ ，$\text{i}\ne \text{j}$ 。

记${\text{M}}_{\text{i}}={\text{PN}}_{\text{i}}{\text{P}}^{-1}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ ，那么${\text{M}}_{\text{i}}$ 也构成T的一组基。由于$\delta \left(N_i\right)=N_i$ ，则$\delta \left(M_i\right)=M_i$ ，记${\text{<msup> D <mo>′</mo> </msup>}}_{\text{i}}\simeq ℂ\left[{\text{N}}_{\text{i}}\right]$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ ，${\text{<msup> D <mo>′</mo> </msup>}}_0=0$ ，显然K可作分解

$K\simeq {D^{\prime }}_1\oplus \cdots \oplus {D^{\prime }}_n$ ，

其中$\delta \left({D^{\prime }}_i\right)={D^{\prime }}_i$ 。记

${\text{D}}_{\text{i}}=ℂ\left[{\text{N}}_1\right]\oplus \cdots \oplus ℂ\left[{\text{N}}_{\text{i}}\right]\simeq {\text{<msup> D <mo>′</mo> </msup>}}_1\oplus \cdots \oplus {\text{<msup> D <mo>′</mo> </msup>}}_{\text{i}}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ ，${\text{D}}_0=0$ ，

这样就可以得到K的一条理想链

${\text{D}}_0=0\subseteq {\text{D}}_1\subseteq {\text{D}}_2\subseteq \cdots \subseteq {\text{D}}_{\text{n}}=\text{K}$ 。

因为${\text{N}}_{\text{i}}{\text{N}}_{\text{j}}=0,\text{i}\ne \text{j}$ ，所以$\left\{{\text{N}}_{\text{i}}|\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}\right\}$ 是K的一组胞腔基，这样我们就得到了K关于恒等映射是胞腔代数。

由T和K是同构的，$\text{T}={\text{PKP}}^{-1}$ ，定义${\text{<msup> B <mo>′</mo> </msup>}}_{\text{i}}$ 和${\text{B}}_{\text{i}}$ ，如下

${\text{<msup> B <mo>′</mo> </msup>}}_0=0$ ，${\text{<msup> B <mo>′</mo> </msup>}}_{\text{i}}\simeq \text{P}ℂ\left[{\text{N}}_{\text{i}}\right]{\text{P}}^{-1}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ ，

以及${\text{B}}_0=0$ ，且对$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}$ ，

${\text{B}}_{\text{i}}=\text{P}ℂ\left[{\text{N}}_1\right]{\text{P}}^{-1}\oplus \cdots \oplus \text{P}ℂ\left[{\text{N}}_{\text{i}}\right]{\text{P}}^{-1}\simeq {\text{<msup> B <mo>′</mo> </msup>}}_1\oplus \cdots \oplus {\text{<msup> B <mo>′</mo> </msup>}}_{\text{i}}$ 。

于是，${\text{B}}_{\text{i}}$ 是T的一条理想链，$0\subseteq {\text{B}}_1\subseteq {\text{B}}_2\subseteq \cdots \subseteq {\text{B}}_{\text{n}}$ ，而且$\delta \left({\text{<msup> B <mo>′</mo> </msup>}}_{\text{i}}\right)={\text{<msup> B <mo>′</mo> </msup>}}_{\text{i}}$ ，所以T关于恒等映射$\delta$ 是胞腔代数，$\left\{{\text{M}}_{\text{i}}|\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{n}\right\}\right\}$ 是T的一组胞腔基。

命题3.3. 上述方式构建的胞腔代数，对应第一层的${\text{M}}_1$ 可以为全一矩阵。

证明：由于1是${\text{K}}_{\text{c}}$ 的一个特征值，对应特征向量为${\text{a}}_1={\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\end{array}\right)}^T$ ，不妨设$\Lambda$ 的第一个元素1，假设

$P=\left[\begin{array}{ccc}{p}_{11}& \cdots & p_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{n1}& \cdots & p_{nn}\end{array}\right]$ ，$P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{p^{\prime }}_{11}& \cdots & {p^{\prime }}_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {p^{\prime }}_{n1}& \cdots & {p^{\prime }}_{nn}\end{array}\right]$

由于$K_{c}P=P\Lambda$ ，${\text{K}}_{\text{c}}\text{P}$ 为矩阵P所有行往下移一行，即

$\left[\begin{array}{cccc}{p}_{n1}& p_{n2}& \cdots & p_{nn}\\ p_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{\left(n-1\right)1}& p_{\left(n-1\right)2}& \cdots & p_{\left(n-1\right)n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\text{e}}^{i\frac{0\pi }{n}}{p}_{11}& {\text{e}}^{i\frac{2\left(2-1\right)\pi }{n}}{p}_{12}& \cdots & {\text{e}}^{i\frac{2\left(n-1\right)\pi }{n}}{p}_{1n}\\ {\text{e}}^{i\frac{0\pi }{n}}{p}_{21}& {\text{e}}^{i\frac{2\left(2-1\right)\pi }{n}}{p}_{22}& \cdots & {\text{e}}^{i\frac{2\left(n-1\right)\pi }{n}}{p}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\text{e}}^{i\frac{0\pi }{n}}{p}_{n1}& {\text{e}}^{i\frac{2\left(2-1\right)\pi }{n}}{p}_{n2}& \cdots & {\text{e}}^{i\frac{2\left(n-1\right)\pi }{n}}{p}_{nn}\end{array}\right]$

得到P的第一列为

${\text{p}}_{11}{\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\end{array}\right)}^T$ ， (1)

同理由$P^{-1}{A}_n=\Lambda P^{-1}$ ，得到${\text{P}}^{-1}$ 的第一行为

${\text{<msup> p <mo>′</mo> </msup>}}_{11}\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\end{array}\right)$ 。 (2)

可以得到T胞腔基${\text{M}}_1$ 的矩阵

${\text{M}}_1={\text{PN}}_1{\text{P}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& \cdots & 1\end{array}\right]$ 。

得到循环群在复数域上的胞腔基之后，就可以通过该胞腔基去构建复数域中对称群${\Sigma }_n$ 元素c在矩阵代数${\text{M}}_{ℂ}$ 的中心化子矩阵代数${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)$ 的胞腔基。

定理3.4. $\forall x\in {\Sigma }_n$ ，$ℂ$ 是复数域，${\text{M}}_{ℂ}$ 是复数域上的矩阵代数。那么${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{x},ℂ\right)$ 存在胞腔基。

证明：由对称群的性质可知，对称群的元素能够变换成不相交轮换的乘积，假设置换群的元素为

$\text{x}=\left({\text{f}}_{1,1}{\text{f}}_{1,2}\cdots {\text{f}}_{1,{\text{k}}_1}\right)\left({\text{f}}_{2,1}{\text{f}}_{2,2}\cdots {\text{f}}_{2,{\text{k}}_2}\right)\cdots \left({\text{f}}_{\text{t},1}{\text{f}}_{\text{t},2}\cdots {\text{f}}_{\text{t},{\text{k}}_{\text{t}}}\right)$ ，其中${\text{k}}_{\text{t}},\text{t}\in \mathbb{Z}$ 。

不妨把文字x记为

$\text{x}=\left(12\cdots {\text{k}}_1\right)\left(\left({\text{k}}_1+1\right)\left({\text{k}}_1+2\right)\cdots \left({\text{k}}_1+{\text{k}}_2\right)\right)\cdots \left(\left({\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^{\text{t}-1}{\text{k}}_{\text{i}}}+1\right)\left({\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^{\text{t}-1}{\text{k}}_{\text{i}}}+2\right)\cdots \left({\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^t{\text{k}}_{\text{i}}}\right)\right)$ ，

记${\text{K}}_{\text{i}}$ 是$\left({\text{f}}_{\text{i},1}{\text{f}}_{\text{i},2}\cdots {\text{f}}_{\text{i},{\text{k}}_{\text{i}}}\right)$ 的置换矩阵，那么x的置换矩阵${\text{K}}_{\text{x}}$ 就为分块矩阵，主对角线上块的阶数依次为${\text{k}}_1,{\text{k}}_2,\cdots ,{\text{k}}_{\text{t}}$ ，非对角线上的块为零矩阵，即

$K_x=\left[\begin{array}{ccc}{K}_1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & K_t\end{array}\right]$ ，

其中${\text{K}}_{\text{i}}$ 是${\text{k}}_{\text{i}}$ 阶循环群的生成元对应的置换矩阵，阶数为${\text{k}}_{\text{i}}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,\text{t}\right\}$ 。

假设$\text{T}=\left\{\text{A}|{\text{AK}}_{\text{x}}={\text{K}}_{\text{x}}\text{A}\right\}$ ，记$ℂ\left[\text{T}\right]$ 是其$ℂ$ -线性生成的代数，下面我们探究满足条件${\text{AK}}_{\text{x}}={\text{K}}_{\text{x}}\text{A}$ 的矩阵A的结构。对于$\forall \text{A}\in \text{T}$ ，用和${\text{K}}_{\text{x}}$ 相同的分块方式，将A的分块矩阵记为

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1t}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}& \cdots & a_{tt}\end{array}\right]$ ，

其中

$a_{ij}={\left[\begin{array}{ccc}{v}_{11}& \cdots & v_{1k_j}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ v_{k_{i}1}& \cdots & v_{k_i{k}_j}\end{array}\right]}_{k_i\ast k_j}\in M_{k_i\ast k_j}\left(ℂ\right)$ ，$i,j\in \left\{1,\cdots ,t\right\}$ 。

由于${\text{AK}}_{\text{x}}={\text{K}}_{\text{x}}\text{A}$ ，${\text{a}}_{\text{jj}}{\text{K}}_{\text{j}}={\text{K}}_{\text{j}}{\text{a}}_{\text{jj}}$ ，其中$\text{j}=\left\{1,\cdots ,\text{k}\right\}$ 。记${\text{k}}_{\text{j}}$ 阶循环群${\text{G}}_{{\text{k}}_{\text{j}}}$ 的生成元为${\text{c}}_{{\text{k}}_{\text{j}}}$ ，显然${\text{a}}_{\text{jj}}$ 满足${\text{S}}_{{\text{k}}_{\text{j}}}\left({\text{c}}_{{\text{k}}_{\text{j}}},ℂ\right)$ 的定义，则${\text{a}}_{\text{jj}}\in {\text{S}}_{{\text{k}}_{\text{j}}}\left({\text{c}}_{{\text{k}}_{\text{j}}},ℂ\right)$ ，即${\text{a}}_{\text{jj}}\in ℂ\left[{\text{G}}_{{\text{k}}_{\text{j}}}\right]$ 。当$\text{m}\ne \text{n}$ 时，有${\text{K}}_{\text{m}}{\text{a}}_{\text{mn}}={\text{a}}_{\text{mn}}{\text{K}}_{\text{n}}$ ，分别对应行的上移和列的左移如下：

${\left[\begin{array}{ccc}{v}_{21}& \cdots & v_{2k_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ v_{11}& \cdots & v_{1k_n}\end{array}\right]}_{k_m\ast k_n}={\left[\begin{array}{ccc}{v}_{12}& \cdots & v_{11}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ v_{k_{m}2}& \cdots & v_{k_{m}1}\end{array}\right]}_{k_m\ast k_n}$ ，

所以

$a_{mn}=v_{11}{\left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& \cdots & 1\end{array}\right]}_{k_m\ast k_n}$ ，

令

$z=v_{11}$ ，$b_{mn}={\left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& \cdots & 1\end{array}\right]}_{k_m\ast k_n}$ ，

则

$a_{mn}=z{b}_{mn}$ 。

记矩阵${\Lambda }_{m,j}$ 为

${\Lambda }_{m,j}={\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& e^{i\frac{2j\pi }{k_m}}& ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{k_m,k_m}$ ，$j=\left\{0,\cdots ,k_m-1\right\}$ ，

假设${\Lambda }_m$ 是第m个置换矩阵的特征值矩阵，$P_m{K}_m{P}_m^{-1}={\Lambda }_m$ ，${\text{P}}_{\text{m}}$ 是${\text{K}}_{\text{m}}$ 到${\Lambda }_m$ 的相似变换矩阵。

记${\text{A}}_{\text{mn}}$ 第m行n列的块为${\text{b}}_{\text{mn}}$ ，其他位置的块为零矩阵如下

$A_{mn}={\left[\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array} \begin{array}{cc}\cdots & 0\\ ⋮& ⋮\\ \cdots & 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}⋮& ⋮& b_{mn}\\ 0& \cdots & \cdots \end{array}\begin{array}{cc}\cdots & ⋮\\ 0& 0\end{array}\end{array}\right]}_{t\ast t}$ ，$m\ne n$ ，$m,n\in \left\{1,\cdots ,t\right\}$ 。

根据定理3.2，可以得到${\text{k}}_{\text{m}}$ 阶循环群的群代数胞腔基为$\left\{M_{m,i}=P_m{\Lambda }_{m,i}{P}_m^{-1}|i=1,\cdots ,k_m\right\}$ 。记

${\text{b}}_{\text{mm}}^{\text{i}}={\text{M}}_{\text{m},\text{i}}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,{\text{k}}_{\text{m}}\right\}$ 。

由命题3.3的结论，可以设${\text{b}}_{\text{mm}}^1$ 为${\text{k}}_{\text{m}}$ 阶全1矩阵。

定义${\text{A}}_{\text{mm}}$ 是对角线上第m块为全一矩阵${\text{b}}_{\text{mm}}^1$ 的分块矩阵，其余分块位置为0的矩阵，即

$A_{mm}=A_{mm}^1={\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& b_{mm}^1& ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{t\ast t}$ ，$m\in \left\{1,\cdots ,t\right\}$ ，

为了方便，记${\text{A}}_{\text{mm}}={\text{A}}_{\text{mm}}^1$ 。令${\text{A}}_{\text{mm}}^{\text{i}}$ 是对角线上第m块为矩阵${\text{b}}_{\text{mm}}^{\text{i}}$ 的分块矩阵，即

$A_{mm}^i={\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& b_{mm}^i& ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{t\ast t}$ ，$i\in \left\{2,\cdots ,k_m\right\}$ ，$m\in \left\{1,\cdots ,t\right\}$ 。

取$\text{A}={\left({\text{a}}_{\text{jj}}\right)}_{\text{t}\ast \text{t}}$ 是T中的任意元素，分块如上述所取，则有

$A{A}_{mn}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cc}0& \cdots \\ ⋮& \ddots \\ 0& \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1m}{b}_{mn}\\ ⋮\\ \cdots \end{array}\begin{array}{cc}\cdots & 0\\ \ddots & ⋮\\ \cdots & 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& \cdots \\ ⋮& \ddots \\ 0& \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{mm}{b}_{mn}\\ ⋮\\ a_{tm}{b}_{mn}\end{array}\begin{array}{cc}\cdots & 0\\ \ddots & ⋮\\ \cdots & 0\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cc}0& \cdots \\ ⋮& \ddots \\ 0& \cdots \end{array} \begin{array}{c}{z}_{1m}{k}_m{b}_{mn}\\ ⋮\\ \cdots \end{array}\begin{array}{cc}\cdots & 0\\ \ddots & ⋮\\ \cdots & 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& \cdots \\ ⋮& \ddots \\ 0& \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{mm}{b}_{mn}\\ ⋮\\ z_{tm}{k}_m{b}_{mn}\end{array} \begin{array}{cc}\cdots & 0\\ \ddots & ⋮\\ \cdots & 0\end{array}\end{array}\right]$ 。

定义L是对角线上第m块为矩阵${\text{a}}_{\text{mm}}{\text{b}}_{\text{mn}}$ 的分块矩阵，即

$L={\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& a_{mm}{b}_{mn}& ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{t\ast t}$ ，

则

${\text{AA}}_{\text{mn}}={\text{z}}_{1\text{m}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{1\text{n}}+\cdots +{\text{z}}_{\left(\text{m}-1\right)\text{m}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{1\text{n}}+{\text{z}}_{\left(\text{m}+1\right)\text{m}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{\left(\text{m}+1\right)\text{n}}+\cdots +{\text{z}}_{\text{tm}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{\text{tn}}+\text{L}$ ，${\text{k}}_{\text{m}}\in ℂ$ 。

因为${\text{a}}_{\text{mm}}\in ℂ\left[{\text{G}}_{{\text{k}}_{\text{m}}}\right]$ ，

${\text{a}}_{\text{mm}}={\displaystyle \sum {\text{t}}_{\text{i}}{\text{b}}_{\text{mm}}^{\text{i}}}$ ，${\text{t}}_{\text{i}}\in ℂ$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,{\text{k}}_{\text{m}}\right\}$ ，

为了方便记${\text{A}}_{\text{mm}}={\text{A}}_{\text{mm}}^1$ ，因为${\text{b}}_{\text{mn}}$ 的列向量为置换矩阵${\text{K}}_{\text{m}}$ 对应特征值1的特征向量，所以

$K_m{b}_{mn}=P_m{\Lambda }_m{P}_m^{-1}{b}_{mn}=b_{mn}$ ，

由2.3的证明中的公式(1) (2)又存在$\text{f}\in ℂ$ ，满足

$P_m{\Lambda }_{m,1}{P}_m^{-1}{b}_{mn}=f{b}_{mn}$ ， (3)

$\text{f}={\text{k}}_{\text{m}}{\text{p}}_{11}^{\text{m}}{\text{p}}_{11}^{\text{<msup> m <mo>′</mo> </msup>}}$ ，其中${\text{p}}_{11}^{\text{m}}$ 和${\text{p}}_{11}^{\text{<msup> m <mo>′</mo> </msup>}}$ 分别为${\text{P}}_{\text{m}}$ 的第一列元素和${\text{P}}_m^{-1}$ 的第一行元素的公因子。所以有

$b_{mm}^i{b}_{mn}=P_m{\Lambda }_{m,i}{P}_m^{-1}{b}_{mn}=P_m{\Lambda }_{m,i}{\Lambda }_{m,1}{P}_m^{-1}{b}_{mn}$ ，

注意到当$\text{i}\ne 1$ 时，${\Lambda }_{m,i}{\Lambda }_{m,1}=0$ ，所以

$b_{mm}^i{b}_{mn}=\{\begin{array}{l}f{b}_{mn},i=1,\exists t\in ℂ\\ 0,i\ne 1\end{array},i\in \left\{1,\cdots ,k_m\right\}$ ，

于是有

$a_{mm}{b}_{mn}=t_{1}f{b}_{mn}$ 。 (4)

所以我们可以得到

${\text{AA}}_{\text{mn}}={\text{z}}_{1\text{m}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{1\text{n}}+\cdots +{\text{z}}_{\left(\text{m}-1\right)\text{m}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{\left(\text{m}-1\right)\text{n}}+{\text{t}}_1{\text{fA}}_{\text{mn}}+{\text{z}}_{\left(\text{m}+1\right)\text{m}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{\left(\text{m}+1\right)\text{n}}+\cdots +{\text{z}}_{\text{tm}}{\text{k}}_{\text{m}}{\text{A}}_{\text{tn}}$ 。

定义${\text{m}}_{\text{h}}\in \left\{1,\cdots ,\text{t}\right\}$ 使得${\text{m}}_{\text{h}}$ 满足

${\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^{{\text{m}}_{\text{h}}-1}{\text{k}}_{\text{i}}}\le \text{h}\le {\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^{{\text{m}}_{\text{h}}}{\text{k}}_{\text{i}}}$ 。

然后就可以开始构造胞腔基，记

${\text{k}}_0=0$ ，

${\text{C}}_{\text{i},\text{j}}^1={\text{A}}_{\text{ij}}$ ，$\text{i},\text{j}\in \left\{1,\cdots ,\text{t}\right\}$ ，

$C_{i,i}^h=A_{m_h{m}_h}^{h-{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{m_h-1}{k}_j}+1}$ ，$i\in \left\{1\right\}$ ， (5)

其中${\text{m}}_{\text{h}}\in \left\{1,\cdots ,\text{t}\right\}$ ，$\text{h}\in \left\{2,\cdots ,{\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^t{\text{k}}_{\text{i}}}\right\}$ 。

定义

${\text{C}}^1=\left\{{\text{C}}_{\text{i},\text{j}}^1|\text{i},\text{j}\in \left\{1,\cdots ,\text{t}\right\}\right\}$ ，

以及任意的$\lambda \in \left\{2,\cdots ,{\displaystyle {\sum }_{i=1}^t{k}_i}\right\}$ ，令

$C^{\lambda }=\left\{C_{1,1}^{\lambda }\right\}$ 。

令$\delta \left(C_{i,j}^{\lambda }\right)=C_{j,i}^{\lambda }$ ，下面来定义胞腔理想链，首先，假设${\text{D}}_0=0$ ，且任意的$\lambda \in \left\{1,\cdots ,\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^t{k}_i}\right)\right\}$ ，定义

$D_{\lambda }=ℂ\left[C^{\lambda }\right]$ 。

我们来验证相关的事实。

由${\text{AA}}_{\text{mn}}$ 的乘积，我们注意到，对于$\forall \text{g},\text{h},\text{m},\text{n}\in \left\{1,\cdots ,\text{t}\right\}$ ，$\text{i}\in \left\{1,\cdots ,{\text{k}}_{\text{g}}\right\}$ ，$\text{j}\in \left\{1,\cdots ,{\text{k}}_{\text{h}}\right\}$ ，$\exists {\text{c}}_{\text{g}},{\text{c}}_{\text{h}}\in ℂ$ ，

${\text{A}}_{\text{gg}}^{\text{i}}{\text{A}}_{\text{mn}}={\text{c}}_{\text{g}}{\text{A}}_{\text{mn}}$ ，

再利用(3)和(4)，可以得到

${\text{A}}_{\text{mn}}{\text{A}}_{\text{hh}}^{\text{j}}={\text{c}}_{\text{h}}{\text{A}}_{\text{mn}}$ ，

并且当$\text{i}\ne \text{j}$ 或$\text{g}\ne \text{h}$ 时，

${\text{A}}_{\text{gg}}^{\text{i}}{\text{A}}_{\text{hh}}^{\text{j}}=0$ 。

再利用(4)，得到

$C_{1,1}^{i+1+{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{g-1}{k}_j}}{C}_{m,n}^1=c_g{C}_{m,n}^1$ ，

$C_{m,n}^1{C}_{1,1}^{i+1+{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{g-1}{k}_j}}=c_h{C}_{m,n}^1\left(<i+1+{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{g-1}{k}_j}\right)$ ，

且当$\text{i}\ne \text{j}$ 或$\text{g}\ne \text{h}$ 时，

$C_{1,1}^{i+g-1+{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{g-1}{k}_j}}{C}_{1,1}^{i+h-1+{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{h-1}{k}_j}}=0$ 。

所以这组基满足胞腔运算法则，${\text{D}}_0\subset {\text{D}}_1\subset \cdots \subset {\text{D}}_{{\displaystyle {\sum }_{\text{i}=1}^t{\text{k}}_{\text{i}}}}$ 构成一条胞腔理想链。

综上，${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)$ 关于上述对合是胞腔的。

另外，取${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)$ 的元素$\text{c}=\left(123\right)\in {\text{S}}_3$ ，那么${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)$ 就是循环群的群代数${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)=ℂ\left[{\text{G}}_3\right]$ ，由于三阶循环群群代数在实数域上不是胞腔代数，所以${\text{S}}_{\text{n}}\left(\text{c},ℂ\right)$ 在复数域上是胞腔代数，但是在实数域上不是胞腔代数。