几乎单群与区传递Steiner 5-设计

Almost Simple Groups and Block-Transitive Steiner 5-Designs

摘要: 研究具有几乎单型的区传递自同构群的区传递Steine 5-设计的分类问题。利用二齐次置换群分类定理证明了：一个具有几乎单型区传递自同构群$G$ 的Steiner 5-设计$D$ ，则要么是一个$5\text{-}\left(12,6,1\right)$ 设计且自同构群$G\cong M_{12}$ 或者是一个$5\text{-}\left(24,8,1\right)$ 且自同构群$G\cong M_{24}$ ，要么设计的自同构群$G$ 的基柱$\text{Socle}\left(G\right)$ 只能是典型单群。

Abstract: The classification problem of block-transitive Steiner 5-designs with an almost simple block-transitive automorphism group is studied. By using the classification theorem of 2-homogeneous permutation groups, it is proved that if the Steiner 5-design has an almost simple block-transitive automorphism group, then either it is a $5\text{-}\left(12,6,1\right)$ design and the automorphism $G\cong M_{12}$ or it is a $5\text{-}\left(24,8,1\right)$ design and the automorphism $G\cong M_{24}$ , or the socle of the automorphism $G$ , $\text{Socle}\left(G\right)$ can only be a classical simple group.

1. 引言

一个$t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计是指一个点集合X和区组集合$\tilde{B}$ 相关联的二元组$D=\left(X,\tilde{B}\right)$ ，满足$\tilde{B}$ 中区组是X的一个k-子集且X中任意t个点恰好包含在$\lambda$ 个$\tilde{B}$ 的区组中。

点集合X中元素的个数记为v，区组集合$\tilde{B}$ 中包含的区组的个数记为b，包含给定点$\alpha \in X$ 的区组的个数记作r。如果$0<t<k<v-t$ ，则称D是非平凡的。

D的点集合上的一个置换$\pi$ 称为D的一个自同构，如果它把D的区组仍然变为区组。D的全体自同构组成一个群，称为D的全自同构群，记为$Aut\left(D\right)$ 。

设$G\le Aut\left(D\right)$ ，如果G作用在D的点集合(区组集合)上传递，则称G点–传递(区–传递)。如果G作用在D的旗集合(一个旗是指一个点–区对$\left(\alpha ,B\right)$ ，$\alpha \in X$ ，$B\in \tilde{B}$ )上传递，则称G旗–传递。

t-设计的构造和分类问题，是组合设计中一个有趣而有意义的问题。对于旗传递的Steiner t-设计，人们已经完成了完全的分类(见文献[1]-[7])。对于区传递的t-设计的分类问题，P. Cameron和C. Praeger在文献[8]中证明了不存在$t>7$ 的区传递t-设计，且猜想不存在区传递6-设计。最近几十年，Steiner 2-设计的区传递自同构群的研究取得了一系列的好的结果(参见文献[9]-[12])。对与区传递3-设计的分类，最近刘与他的学生甘，蓝，尹等给出了区传递Steiner 3-设计的自同构群分类的规约定理，将其自同构群规约到了仿射型和几乎单型两种情形，并分类了设计的自同构群的基柱Socle (G)为例外李型单群和交错群的区传递Steiner 3-设计(见[13]-[15])。关于区传递t-设计的其他研究结论可参见文献[16] [17]。当$t=4,5$ 时的t-设计的相关研究还不多。

本文继续前人的工作，研究区传递5-设计的分类问题，证明了如下主要定理。

主要定理：设D是一个非平凡的$5\text{-}\left(v,k,1\right)$ 设计。如果D具有一个几乎单型区传递自同构群G，则要么$D=5\text{-}\left(12,6,1\right)$ 且$G\cong M_{12}$ 或者$D=5\text{-}\left(24,8,1\right)$ 且$G\cong M_{24}$ ，要么G的基柱$\text{Socle}\left(G\right)$ 只能是典型单群。

这一结果是区传递Steiner 5-设计的自同构群分类了重要组成部分。

2. 预备引理

这一节主要介绍本文将要用到的一些符号和基本结论。

如果$D=\left(X,\tilde{B},I\right)$ 是一个$t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，其中$t\ge 2$ ，那么对于任意$x\in X$ ，关于x的导出设计是$D_x=\left(X_x,{\tilde{B}}_x,I_x\right)$ ，这里$X_x=X\backslash \left\{x\right\}$ ，${\tilde{B}}_x=\left\{B\backslash \left\{x\right\}|B\in \tilde{B},\left(x,B\right)\in I\right\}$且$I_x={I|}_{X_x\times {\tilde{B}}_x}$ 。显然，$D_x$ 是一个$\left(t-1\right)-\left(v-1,k-1,\lambda \right)$ 设计。

对于任意的$x\in X$ ，用$\lfloor x\rfloor$ 表示小于或等于x的最大的正整数。

引理2.1 [8] 设$D=\left(X,\tilde{B},I\right)$ 是一个$t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，其中$t\ge 2$ ，$G\le Aut\left(D\right)$ ，则

(a) 如果G在D上区传递，那么G在D上是点$\lfloor t/2\rfloor$ -齐次的；

(b) 如果G在D上旗传递，那么G在D上是点$\lfloor \frac{t+1}{2}\rfloor$ -齐次的。

引理2.2 [7] 设G是非空集合X上的一个2-齐次置换群。若G包含一个单的正规子群N，且$N\le G\le Aut\left(N\right)$ ，则N与$\left|X\right|=v$ 必是下列情形之一：

(1) $A_v,v\ge 5$ ；

(2) $PSL\left(2,11\right);v=11$ ；

(3) $PSL\left(2,8\right);v=28$ ；

(4) $M_v;v=11,12,22,23,24$ ；

(5) $M_{11};v=12$ ；

(6) $A_7;v=15$ ；

(7) $HS;v=176$ ；

(8) $C{o}_3;v=276$ ；

(9) $Sz\left(q\right),q=2^{2e+1}>2;v=q^2+1$ ；

(10) $Re\left(q\right),q=3^{2e+1};v=q^3+1$ ；

(11) $PSL\left(d,q\right),d\ge 2;v=\frac{q^d-1}{q-1},\left(d,q\right)\ne \left(2,2\right),\left(2,3\right)$ ；

(12) $PSU\left(3,q^2\right),q>2;v=q^3+1$ ；

(13) $Sp\left(2d,2\right),d\ge 3;v=2^{2d-1}\pm 2^{d-1}$ 。

由文献[18]知这些2-齐次置换群也是2-传递的。

引理2.3 [19] 设$D=\left(X,\tilde{B},I\right)$ 是一个$t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，则：

(a) $bk=vr$ ；

(b) $\left(\begin{array}{c}v\\ t\end{array}\right)\lambda =b\left(\begin{array}{c}k\\ t\end{array}\right)$ ；

(c) 对任意$1\le s<t$ ，一个$t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，也是一个$s\text{-}\left(v,k,{\lambda }_s\right)$ 设计，其中

${\lambda }_s=\lambda \frac{\left(v-s\right)\left(v-s-1\right)\cdots \left(v-t+1\right)}{\left(k-s\right)\left(k-s-1\right)\cdots \left(k-t+1\right)}$

(d) 特别地，如果$t=4$ ，那么$r\left(k-1\right)\left(k-2\right)\left(k-3\right)=\lambda \left(v-1\right)\left(v-2\right)\left(v-3\right)$ 。

引理2.4 [9] 设$D=\left(X,\tilde{B},I\right)$ 是一个$t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，那么如下的关系式成立：

(a) $v\ge \left(k-t+1\right)\left(k-t+2\right)$ ；

(b) $\lambda \cdot \left(v-t+1\right)\ge \left(k-t+1\right)\left(k-t+2\right)$ ，这里$t>2$ 。

引理2.5 [6] 设$D=\left(X,\tilde{B},I\right)$ 是一个$4\text{-}\left(v,k,1\right)$ 设计，那么

$k\le \lfloor \sqrt{v}+\frac{5}{2}\rfloor$

引理2.6 [20] 设$D=\left(X,\tilde{B},I\right)$ 是一个t-设计，满足$k\ge t+1\ge 4$ 。若$G\le Aut\left(D\right)$ 是t-传递的，则要么

(1) D是由$AG\left(d,2\right)$ 的点和平面组成，$G=Z_2^d\times GL\left(d,2\right)$ 或$G={\text{Z}}_2^d\times A_7$ 且$d=4$ ；

(2) D的区是$\left\{\infty \right\}\cup GF\left(q\right)$ 在$PGL\left(2,q^e\right),e\ge 2$ 下的像的全体，且$PSL\left(2,q^e\right)\underset{\_}{⊲}G$ ；

要么

(3) D是$3\text{-}\left(22,6,1\right)$ ，$4\text{-}\left(11,5,1\right)$ ，$4\text{-}\left(23,7,1\right)$ ，$5\text{-}\left(12,6,1\right)$ 或$5\text{-}\left(24,8,1\right)$ ，且$M_v\underset{\_}{⊲}G$ ，这里$M_v$ 是相应的马休群。

引理2.7 [15] 设$D=\left(X,\tilde{B},I\right)$ 是一个G-区传递$t\text{-}\left(v,k,1\right)$ 设计，$t\ge 3$ 。令H是G的一个子群，则

(a) 若$\left|H\right|=t$ 且在X上半正则，那么$k|v$ ；

(b) 若$\left|H\right|=t$ 且在X上拟半正则，那么$k|v-1$ 或$k-1|v-1$ ；

(c) 若$\left|H\right|=t-1$ 且在X上拟半正则，那么$k-1|v-1$ 。

3. 主要定理的证明

注意到引理2.1的结论，我们只需对2-齐次的几乎单型的置换群进行讨论。设G是一个作用在$v\left(v>11\right)$ 个点的有限集合X上的2-齐次置换群。因此，我们只需对引理2.2中的13种情形分别进行讨论。下面我们来证明我们的结论。

情形1：$N=A_v,v>5$ 。

因为D是一个非平凡的$5\text{-}\left(v,k,1\right)$ 设计，所以v > 10。从而，G作用在X上是5-传递的。由引理2.6知，这样的5-设计不存在。

情形2：$N=M_v,v=11,12,22,23,24$ 。

由引理2.5知，在这种情形下，D只可能是$5\text{-}\left(11,6,1\right)$ ，$5\text{-}\left(12,6,1\right)$ ，$5\text{-}\left(22,6,1\right)$ ，$5\text{-}\left(22,7,1\right)$ ，$5\text{-}\left(22,8,1\right)$ ，$5\text{-}\left(23,6,1\right)$ ，$5\text{-}\left(23,8,1\right)$ ，$5\text{-}\left(24,6,1\right)$ ，$5\text{-}\left(24,7,1\right)$ ，$5\text{-}\left(24,8,1\right)$ 。由引理2.3(c)知以上设计只有$5\text{-}\left(12,6,1\right)$ ，$5\text{-}\left(24,6,1\right)$ ，$5\text{-}\left(24,8,1\right)$ 才可能构成设计。因为$M_{12},M_{24}$ 是5-传递的，故由引理2.6知$D=5\text{-}\left(12,6,1\right)$ 且$G\cong M_{12}$ 或者$D=5\text{-}\left(24,8,1\right)$ 且$G\cong M_{24}$ 。

情形3：$N=M_{11},v=12$ 。

由文献[6]知，这一情形不可能成立。

情形4：$N=A_7，v=15$ 。

由引理2.5知，此时的D只可能是$5\text{-}\left(15,6,1\right)$ 和$5\text{-}\left(15,7,1\right)$ 设计。这两个设计的参数都不满足引理2.3(c)，故是不存在的。

情形5：$N=HS,v=176$ 。

由引理2.5知，$k\le 16$ 。除了$k=6,8$ ，其他的k值都不满足引理2.3(c)，故D只可能是$5\text{-}\left(176,6,1\right)$ 和$5\text{-}\left(176,8,1\right)$ 设计，由文献[17]知，这种设计不存在。

情形6：$N=C{o}_3,v=276$ 。

由引理2.5知，$k\le 20$ 。除了$k=6$ ，其他的k值都不满足引理2.3(c)。因此，D只可能是$5\text{-}\left(276,6,1\right)$ 设计，由文献[17]知，这种设计不存在。

情形7：$N=PSL\left(2,11\right),v=11$ 。

由引理2.5知，$k\le 6$ 。这些k都不满足$k-4|v-4=7$ ，这与引理2.3(c)矛盾。

情形8：$N=PSL\left(2,8\right),v=28$ 。

此时，$G=PSL\left(2,8\right):\left(G\cap \langle \alpha \rangle \right)$ ，其中$\alpha$ 是$GF\left(8\right)$ 的域自同构。由$PSL\left(2,q\right)$ 的子群结构知识可知，$PSL\left(2,8\right)$ 中有4阶子群恰好固定X中的一个公共固定点。从而G中存在一个4阶子群H恰好固定X中的一个点，即就是说H在X上拟正则。由引理2.7，$k-1|v-1=27$ 。而由引理2.5知，$k\le 8$ ，这些值显然不满足以上的整除关系，这是一个矛盾。

情形9：$N=Sz\left(q\right),v=q^2+1,q=2^{2e+1}>2$ 。

此时，$Aut\left(N\right)=Sz\left(q\right):\langle \alpha \rangle$ ，这里$\alpha$ 表示Frobenius自同$GF\left(q\right)\mapsto GF\left(q\right),x\mapsto x^2$ 。因此，由Dedekind定律，$G=Sz\left(q\right):\left(G\cap \langle \alpha \rangle \right)$ ，并且$\left|G\right|=\left(q^2+1\right)q^2\left(q^2-1\right)a,a|2e+1$ 。由引理2.3(b)和G的2-传递性可推出，

$\left(q^3-3\right)\left(q^3-2\right)\left(q+1\right)=k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\left(k-3\right)\left(k-4\right)\frac{a}{\left|G_B\right|}$ , (1)

这里B是属于$\tilde{B}$ 一个区。

对于任意的$g\in G$ ，设$\left|Fi{x}_X\left(g\right)\right|\ge 3$ 。令$x\in Fi{x}_X\left(g\right)$ ，P是$Sz{\left(q\right)}_x$ 的一个正规的Sylow 2-子群，它正则的作用在集合$X\backslash \left\{x\right\}$ 上。定义$C:=C_P\left(g\right)$ 。如果$y,z\in Fi{x}_X\left(g\right)\backslash \left\{x\right\}$ ，那么存在$h\in P$ ，使得$z=y^h$ 。因此，$y^{hg}=y^h=y^{gh}$ ，于是，我们可得$\left[h^{-1},g^{-1}\right]\in G_{xy}\cap \left[P,G_x\right]\le P_y=1$ 。从而$h\in C$ ，因此C点传递的作用于集合$Fi{x}_X\left(g\right)\backslash \left\{x\right\}$ 上。因为$\left|Fi{x}_X\left(g\right)\right|\ge 3$ ，故$\left|Fi{x}_X\left(g\right)\right|\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$ 。

显然，集合$Fi{x}_X\left(g\right)$ 左乘$C_{Sz\left(q\right)}\left(g\right)$ 是不变的，且群$C_{Sz\left(q\right)}\left(g\right)$ 作用在集合$Fi{x}_X\left(g\right)$ 上。因为$x\in Fi{x}_X\left(g\right)$ 是可以任意选择的，从而群$C_{Sz\left(q\right)}\left(g\right)$ 作用在集合$Fi{x}_X\left(g\right)$ 上是点传递的。

因此，$\left|Fi{x}_X\left(g\right)\right||\left|Sz\left(q\right)\right|$ 。由于3不能够整除$\left|Sz\left(q\right)\right|=\left(q^2+1\right)q^2\left(q^2-1\right)$ ，从而$\left|Fi{x}_X\left(g\right)\right|\ne 3$ 。再由$\left|Fi{x}_X\left(g\right)\right|\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$ ，可得$\left|Fi{x}_X\left(g\right)\right|\ge 5$ 。

因为G的区传递性，我们可以选择某个合适的唯一区组进行讨论。显然，$\langle \alpha \rangle \le Aut{\left(N\right)}_{0,1,\infty }$ 。从而$\langle \alpha \rangle$ 必稳定某5个点。故由Steiner 5-设计的定义可知，$G\cap \langle \alpha \rangle \le G_B$ ，从而$a|\left|G_B\right|$ 。因G 2-传递，从而$\left|G_{xy}\right|=\left(q-1\right)a$ 。故G的4阶元最多稳定X中的一个点，而$v=q^2+1$ 为奇数，故G的4阶元恰好稳定X中的一个点。由引理2.7，我们有$k-1|v-1$ ，从而$\left(k-1,a\right)=1$ 。由(1)可得，$k-1|2\left|G_B\right|$ ，且$a|\frac{2\left|G_B\right|}{k-1}$ 。于是

$\left(q^2-3\right)\left(q^2-2\right)\left(q+1\right)\le 2k\left(k-2\right)\left(k-3\right)\left(k-4\right)$ .

这与引理2.5矛盾。

情形10：$N=Re\left(q\right),q=3^{2e+1};v=q^3+1$ 。

此时，$Aut\left(N\right)=Re\left(q\right):\langle \alpha \rangle$ ，这里$\alpha$ 表示Frobenius自同$GF\left(q\right)\mapsto GF\left(q\right),x\mapsto x^2$ 。因此，由Dedekind定律，$G=Re\left(q\right):\left(G\cap \langle \alpha \rangle \right)$ ，并且$\left|G\right|=\left(q^3+1\right)q^3\left(q^3-1\right)a,a|2e+1$ 。由引理2.3(b)和G的2-传递性可推出

$\left(q^3-3\right)\left(q^3-2\right)\left(q^2+q+1\right)=k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\left(k-3\right)\left(k-4\right)\frac{a}{\left|G_B\right|}$ , (2)

这里B是属于$\tilde{B}$ 一个区。

于是

$\left(q^3-3\right)\left(q^3-2\right)\left(q^2+q+1\right)\le k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\left(k-3\right)\left(k-4\right)a$ ,

这与引理2.5得到的$k\le \sqrt{q^3+1}+\frac{7}{2}<q^{\frac{3}{2}}+4$ 矛盾。

综合以上讨论，本文的主要定理得证。

基金项目

本论文是第三作者的湖南省教育厅科研重点项目(No. 23A0737)和第一作者的长沙师范学院科研课题(No. XJYB 202336)的阶段性成果。

NOTES

^*通讯作者。