单位圆盘上从加权Bergman空间作用到Hard空间上的Toeplitz算子

Toeplitz Operator from the Weighted Bergman Space to the Hard Space on the Unit Disk

摘要: 研究了单位圆盘$\mathbb{D}$ 上从加权Bergman空间到Hardy空间的Toeplitz算子，刻画了单位圆盘上p和q值不同时，从加权Bergman空间$A_{\alpha }^p$ 到Hardy空间$H^p$ 的Toeplitz算子的有界性和紧性。

Abstract: We study Toeplitz operators from weighted Bergman spaces to Hardy spaces in the unit disk of $\mathbb{D}$ . We characterize the boundedness and compactness of Toeplitz operators from weighted Bergman spaces $A_{\alpha }^p$ to Hardy spaces $H^p$ for the different values of p and q in the unit disk.

1. 引言

设为复平面$ℂ$ 中的单位圆盘且为其边界。令$dv$ 为$\mathbb{D}$ 上的标准勒贝格面积测度，那么有。令$d\sigma$ 为$\mathbb{D}$ 上的标准勒贝格旋转不变量测度，并满足$\sigma \left(S\right)=1$ 。

对于$0<p<\infty$ 和$\alpha >-1$ ，令表示由单位圆盘$\mathbb{D}$ 上所有可测函数构成的加权勒贝格空间，并满足

${\Vert f\Vert }_{p,\alpha }={\left({\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{1/p}<\infty$ ,

其中$v_{\alpha }\left(z\right)=c_{\alpha }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }d\left(z\right)$ ，$c_{\alpha }$ 为正数并使$v_{\alpha }\left(\mathbb{D}\right)=1$ 。由此，可定义单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的加权Bergman空间，其中$H\left(\mathbb{D}\right)$ 为单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的解析函数构成的空间。

对于$0<p<\infty$ ，由单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的解析函数$f$ 组成，并且有下列形式：

${\Vert f\Vert }_{H^p}^p=\underset{0<r<1}{\sup }{\displaystyle {\int }_S{\left|f\left(r\zeta \right)\right|}^p}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)<\infty$

组成的空间称为Hardy空间$H^p\left(\mathbb{D}\right)$ 。

令$\mu$ 为单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的正Borel测度。若对任意两个正数$p$ 和$q$ 且$\lambda =q/p$ 及$\alpha >-1$ ，总存在常数$C>0$ ，使得对任意$f\in A_{\alpha }^p$ 都有

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f\left(z\right)\right|}^q}\text{d}\mu \left(z\right)\le C{\Vert f\Vert }_{p,\alpha }^q,$

那么称$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度。同时我们定义

${\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\alpha }=\underset{f\in A_{\alpha }^p,{\Vert f\Vert }_{p,\alpha }\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f\left(z\right)\right|}^q}\text{d}\mu \left(z\right).$

Carleson测度的概念最早是由L. Carleson [1] [2]为了研究单位圆盘上所有有界解析函数的代数$H^{\infty }$ 上的插值序列和日冕问题而引入的。它很快成为研究函数空间和作用于函数空间上的算子的有力工具。Bergman Carleson测度首先由Hastings [3]研究，Oleinik [4]、Luecking [5] [6]、Cima-Wogen [7]等人进一步研究。

在单位圆盘$\mathbb{D}$ 上，给定$\beta >-1$ 和一个正Borel测度$\mu$ ，定义Toeplitz算子$T_{\mu }^{\beta }$ 如下：

$T_{\mu }^{\beta }f\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{f\left(\omega \right)}{{\left(1-z\overline{\omega }\right)}^{2+\beta }}\text{d}\mu \left(\omega \right)},z\in \mathbb{D}.$

Toeplitz算子是研究线性算子性质(如有界性、紧性、谱性质等)的经典模型。它们的结构相对简单，但包含了丰富的数学现象，因此常被用来验证和发展新的算子理论。Toeplitz算子通常定义在函数空间上，研究Toeplitz算子有助于深入理解函数空间的结构和性质，并且Toeplitz算子与复合算子、Volterra型积分算子、Carleson嵌入等经典映射关系密切，相关应用可以参见[8] [9]。最近，在[8]中，Pau和Zhao刻画了单位球${\mathbb{B}}_n$ 上Toeplitz算子$T_{\mu }^{\beta }$ 在不同加权Bergman空间$A_{\alpha 1}^{p_1}$ 到$A_{{\alpha }_2}^{p_2}$ 之间的有界性和紧性，通过使用加权Bergman空间中的函数积，给出单位球${\mathbb{B}}_n$ 上$\left(\lambda ,\gamma \right)$ -Bergman Carleson测度和消失的$\left(\lambda ,\gamma \right)$ -Bergman Carleson测度的新刻画，并将结果应用于研究从加权Bergman空间到一般函数空间族的扩展Cesàro算子和点乘算子的有界性和紧性。随后，在[9]中，Pau和Perälä研究了单位球面${\mathbb{B}}_n$ 上Toeplitz算子$Q_{\mu }$ 在不同的Hardy空间$H^p$ 到$H^q$ 的作用，完全表征了单位球面${\mathbb{B}}_n$ 上$Q_{\mu }:H^p\to H^q$ 在$0<p,q<\infty$ 全范围内的有界性和紧性，其中

$Q_{\mu }f(z)={\displaystyle {\int }_B\frac{f\left(\omega \right)}{{\left(1-z\overline{\omega }\right)}^n}\text{d}\mu \left(\omega \right)},z\in B.$

受到[8]和[9]的启发，本文研究了Toeplitz算子$T_{\mu }^{\beta }$ 从加权Bergman空间$A_{\alpha }^p$ 作用到Hardy空间$H^q$ 的有界性和紧性，对算子的作用空间进行了一定补充，但是考虑到问题的复杂性并为了利用已有的结果，我们将问题放在单位圆盘$\mathbb{D}$ 中考虑。

本文的证明受到了Pau和Zhao在[8]中工作的启发，最主要的两个结果是以下两个定理：

定理1.1 对于$0<p,q<\infty$ 和$\alpha >-1$ ，设$2+\beta >\max \left\{1,\frac{1}{p}\right\}+\frac{1+\alpha }{p}.$

令

$\lambda =1+\frac{1}{p}-\frac{1}{q},\gamma =\frac{1}{\lambda }\left(\beta +\frac{\alpha }{p}+\frac{1}{q}\right),$

且$\mu$ 是单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的一个正Borel测度，那么有：

(i) 当$0<p\le q<\infty$ ，若$T_{\mu }^{\beta }:A_{\alpha }^p\to H^q$ 是有界的，则$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度；

(ii) 当$2\le q<p<\infty$ ，若$T_{\mu }^{\beta }:A_{\alpha }^p\to H^q$ 是有界的，则$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度。

定理1.2 对于$0<p,q<\infty$ 和$\alpha >-1$ ，设$2+\beta >\frac{1}{q}$ 。

令

$\lambda =1+\frac{1}{p}-\frac{1}{q},\gamma =\frac{1}{\lambda }\left(\beta +\frac{\alpha }{p}+\frac{1}{q}\right),$

且$\mu$ 是单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的一个正Borel测度，那么对于$0<q\le 1$ ，若$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度，则$T_{\mu }^{\beta }:A_{\alpha }^p\to H^q$ 是有界的。

在本文中，$C$ 和$M$ 表示正数，它们在每次出现时不一定相同。表达式$A\approx B$ 表示存在常数$C$ ，使得$C^{-1}B\le A\le CB$ 。

2. 预备知识

本节将回顾一些众所周知的结果，这些结果将在整个论文中使用。

我们将引用Bergman Carleson测度的两个结果来证明Bergman Carleson测度只依赖于$\alpha$ 和比值$\lambda =q/p$ 这一事实。第一个结果是由多个作者得出的，可以参考[10]并在[11]中的定理50及其参考文献中找到。

定理A 对于单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的正Borel测度$\mu$ ，$0<p\le q<\infty$ 和$\alpha >-1$ ，下列表述是等价的：

(i) 存在常数$C_1>0$ ，使得对任意$f\in A_{\alpha }^p$ 都有

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f\left(z\right)\right|}^q}\text{d}\mu \left(z\right)\le C_1{\Vert f\Vert }_{p,\alpha }^q.$

(ii) 存在常数$C_2>0$ ，使得对任意实数$r$ 且$0<r<1$ ，以及任意$z\in \mathbb{D}$ ，有

$\mu \left(D\left(z,r\right)\right)\le C_2{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{(2+\alpha )q/p}.$

此外，常数$C_1$ 和$C_2$ 都与${\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\alpha }$ 等价，其中$\lambda =q/p$ 。

对于$0<q<p<\infty$ 的情况，需要用到关于单位圆盘分割的重要结论.以下结果是[10]中的引理4.7。

引理A 存在正整数$N$ 使得对任意$0<r<1$ ，总能在$\mathbb{D}$ 中找到点列$\left\{a_k\right\}$ 具有如下性质：

(i) $\mathbb{D}={\displaystyle \underset{k}{\cup }D\left(a_k,r\right)}$ 。

(ii) 集合$D\left(a_k,r/4\right)$ 互不相交。

(iii) $\mathbb{D}$ 中的每个点$z$ 至多属于$N$ 个集合$D\left(a_k,4r\right)$ 。

在Bergman度量中，满足上述引理的点列$\left\{a_k\right\}$ 被称为$r$ -格。显然$r$ -格是可分的。为方便起见，记$D_k=D\left(a_k,r\right)$ 且${\tilde{D}}_k=D\left(a_k,4r\right)$ 。引理A说明对于$\mathbb{D}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{D}_k}$ 中的每个点$z$ 总存在正整数$N$ 使得$z$ 最多属于$N$ 个集合${\tilde{D}}_k$ 。

下面的结论基于Luecking的论文[12] [13]。对于$\alpha >-1$ ，下面的结论可以与论文[13]类似地证明。第(iv)部分中的条件首次出现在论文[14]中，这用于将调和Bergman空间嵌入到Lebesgue空间中。

定理B 对于单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的正Borel测度$\mu$ ，$0<q<p<\infty$ 和$\alpha >-1$ ，下列表述是等价的：

(i) 存在常数$C_1>0$ ，使得对任意$f\in A_{\alpha }^p$ 都有

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f\left(z\right)\right|}^q}\text{d}\mu \left(z\right)\le C_1{\Vert f\Vert }_{p,\alpha }^q.$

(ii) 对任意固定实数$r$ 且$0<r<1$ ，函数

${\widehat{u}}_r:=\frac{\mu \left(D\left(z,r\right)\right)}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2+\alpha }}\in L^{p/(p-q),\alpha }$

(iii) 对于如引理A中的$r$ -格$\left\{a_k\right\}$ 和$D_k$ ，固定实数$r$ 且$0<r<1$ ，序列

$\left\{u_k\right\}:=\left\{\frac{\mu \left(D_k\right)}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\alpha )q/p}}\right\}\in l^{p/(p-q),\alpha }.$

由上述定理可知，对于$0<r<1$ ，单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的正Borel测度$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度当且仅当

$\frac{\mu \left(D\left(z,r\right)\right)}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2+\alpha }}\in L^{1/(1-\lambda ),\alpha }$

或者

$\left\{\frac{\mu \left(D_k\right)}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\alpha )\lambda }}\right\}\in l^{1/(1-\lambda )}$ .

下面的积分估计(见[15]，定理1.12)在分析过程中是不可或缺的。

引理B 设$z\in \mathbb{D}$ ，$c>0$ 且$t>-1$ 。那么积分

$J_{c,t}(z)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)}^t}{{\left|1-z\overline{w}\right|}^{2+t+c}}\text{d}v\left(w\right)}$

和

$I_c\left(z\right)={\displaystyle {\int }_S\frac{1}{{\left|1-z\overline{\zeta }\right|}^{1+c}}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)}$

都等价于${\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{-c}$ 。

考虑一个Rademacher函数序列$r_k\left(t\right)$ (见[16]，附录A)。对于几乎每一个$t\in \left(0,1\right)$ ，序列$\left\{r_k\left(t\right)\right\}$ 由±1组成。接下来给出的是经典Khinchine不等式(参见[16]，附录A)。

Khinchine不等式 令$0<p<1$ 。那么对任意复数序列$\left\{c_k\right\}$ ，都有

${\left({\displaystyle \sum _k{\left|c_k\right|}^2}\right)}^{p/2}\approx {\displaystyle {\int }_0^1{\left|{\displaystyle \sum _k{c}_k}{r}_k\left(t\right)\right|}^p}\text{d}t.$

有了以上准备便可以证明主要结论了。

3. 有界性

3.1. 证明定理1.1

证明 (i) 当$0<p\le q<\infty$ 时，固定$a\in \mathbb{D}$ 并且令$f_a\left(z\right)={\left(1-z\overline{a}\right)}^{-(2+\beta )}$ 。因此在条件$\left(2+\beta \right)p>2+\alpha$ 下，利用引理B易知$f_a\left(z\right)\in A_{\alpha }^p$ ，并且有

${\Vert f_a\Vert }_{p,\alpha }^p={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{1}{{\left|1-z\overline{a}\right|}^{(2+\beta )p}}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)}={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }}{{\left|1-z\overline{a}\right|}^{(2+\alpha )+(2+\beta )p-(2+\alpha )}}\text{d}v\left(z\right)}\le C{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{2+\alpha -(2+\beta )p}.$

由于

$T_{\mu }^{\beta }{f}_a\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{f_a\left(w\right)}{{\left(1-z\overline{w}\right)}^{2+\beta }}\text{d}\mu \left(w\right)}={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{1}{{\left(1-z\overline{w}\right)}^{2+\beta }\cdot {\left(1-w\overline{a}\right)}^{2+\beta }}\text{d}\mu \left(w\right)},$

可得

$T_{\mu }^{\beta }{f}_z\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{\text{d}\mu \left(w\right)}{{\left|1-z\overline{w}\right|}^{2(2+\beta )}}}\ge C\frac{\mu \left(D\left(z,r\right)\right)}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2(2+\beta )}}.$

根据[17]的定理2.1，结合Toeplitz算子$T_{\mu }^{\beta }$ 的有界性，可知

$\begin{array}{c}\mu \left(D\left(z,r\right)\right)\le C\left|T_{\mu }^{\beta }{f}_z\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2(2+\beta )}\\ \le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }{f}_z\left(z\right)\Vert }_{H^q}{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2(2+\beta )-1/q}\\ \le C\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert {\Vert f_z\Vert }_{p,\alpha }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2(2+\beta )-1/q}\\ \le C\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert {\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2(2+\beta )-1/q+(2+\alpha )/p-(2+\beta )}\end{array}$

因此有

$\mu \left(D\left(z,r\right)\right)\le C\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert {\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{(2+\beta )-1/q+(2+\alpha )/p}=C\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert {\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda }.$

根据定理A可知$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度并且${\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\alpha }\le C\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert .$

(ii) 当$2\le q<p<\infty$ 时，我们注意到$0<\lambda <1$ 。令$r_k\left(t\right)$ 为一个Rademacher函数序列，且$\left\{a_k\right\}$ 为$\mathbb{D}$ 上的任意$r$ -格。由于$2+\beta >\max \left\{1,\frac{1}{p}\right\}+\frac{1+\alpha }{p}$ 。

从[11]的定理2.30可知，对任意实数序列$\left\{{\lambda }_k\right\}\in l^p$ 以及几乎所有$t\in \left(0,1\right)$ ，函数

$f_t\left(z\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k}{r}_k\left(t\right)\frac{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{2+\beta -(2+\alpha )/p}}{{\left(1-z{\overline{a}}_k\right)}^{2+\beta }}$

是属于$A_{\alpha }^p$ 的，且${\Vert f_t\Vert }_{p,\alpha }\le C{\Vert \left\{{\lambda }_k\right\}\Vert }_{l^p}$ 。定义函数

$f_k\left(z\right)=\frac{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{2+\beta -(2+\alpha )/p}}{{\left(1-z{\overline{a}}_k\right)}^{2+\beta }}.$

由$T_{\mu }^{\beta }$ 从$A_{\alpha }^p$ 到$H^q$ 是有界的，那么对几乎所有$t\in \left(0,1\right)$ ，都有

${\Vert T_{\mu }^{\beta }{f}_t\Vert }_{H^q}^q={\displaystyle {\int }_S{\left|{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k}{r}_k\left(t\right)T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(z\right)\right|}^q}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)\le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q\cdot {\Vert f_t\Vert }_{p,\alpha }^q\le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q\cdot {\Vert \left\{{\lambda }_k\right\}\Vert }_{l^p}^q.$

上式两边对$t$ 从0到1进行积分，利用富比尼定理和Khinchine不等式可得

${\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left|{\lambda }_k\right|}^2}{\left|T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(z\right)\right|}^2\right)}^{q/2}}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)\le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q\cdot {\Vert \left\{{\lambda }_k\right\}\Vert }_{l^p}^q.$

设$\left\{D_k\right\}$ 为引理A中与格$\left\{a_k\right\}$ 的关联集。由于$2/q\le 1$ ，那么有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left|{\lambda }_k\right|}^q}{\displaystyle {\int }_S{\left|T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(z\right)\right|}^q}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)={\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left|{\lambda }_k\right|}^q}{\left|T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(z\right)\right|}^q\right)}^{\frac{2}{q}\cdot \frac{q}{2}}}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)\\ \le {\displaystyle {\int }_S{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left|{\lambda }_k\right|}^2}{\left|T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(z\right)\right|}^2\right)}^{\frac{q}{2}}}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)\\ \le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q\cdot {\Vert \left\{{\lambda }_k\right\}\Vert }_{l^p}^q.\end{array}$

又由函数的次调和性([15]，定理4.17)可知

$\left|T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(a_k\right)\right|\le \frac{{\Vert T_{\mu }^{\beta }{f}_k\Vert }_{H^q}}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{1/q}}.$

因此，我们有

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left|{\lambda }_k\right|}^q}\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right){\left|T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(a_k\right)\right|}^q\le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q\cdot {\Vert \left\{{\lambda }_k\right\}\Vert }_{l^p}^q.$ (1)

现在我们注意到

$T_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(a_k\right)={\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{2+\beta -(2+\alpha )/p}\cdot {\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{\text{d}\mu \left(w\right)}{{\left|1-w\overline{a_k}\right|}^{2(2+\beta )}}}$

那么有

$\frac{\mu \left(D_k\right)}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{2+\beta -(2+\alpha )/p}}\le C{T}_{\mu }^{\beta }{f}_k\left(a_k\right)$

并将上式带入公式(1)可得

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left|{\lambda }_k\right|}^q}{\left(\frac{\mu \left(D_k\right)}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^s}\right)}^q\le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q\cdot {\Vert \left\{{\lambda }_k\right\}\Vert }_{l^p}^q.$

其中

$s=2+\beta +\frac{2+\alpha }{p}-\frac{1}{q}=\left(2+\gamma \right)\lambda$ (2)

因为$\left(p/q\right)$ 的共轭指数${\left(p/q\right)}^{\prime }=p/\left(p-q\right)$ ，通过对偶性可知

$\left\{{\nu }_k\right\}:=\left\{{\left(\frac{\mu \left(D_k\right)}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^s}\right)}^q\right\}\in l^{p/(p-q)}$

且${\Vert \left\{{\nu }_k\right\}\Vert }_{l^{p/(p-q)}}\le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q.$

也可记为

$\left\{{\mu }_k\right\}:=\left\{\frac{\mu \left(D_k\right)}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda }}\right\}\in l^{pq/(p-q)}=l^{1/(1-\lambda )}$

且有${\Vert \left\{{\mu }_k\right\}\Vert }_{l^{1/(1-\lambda )}}={\Vert \left\{{\nu }_k\right\}\Vert }_{l^{p/(p-q)}}^{1/q}\le C{\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert }^q.$

因此，由定理B可得$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度。

3.2. 证明定理1.2

证明 现假设$0<q\le 1$ ，测度$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度，我们将证明$T_{\mu }^{\beta }$ 从$A_{\alpha }^p$ 到$H^q$ 是有界的。我们把证明分为两种情况。

情况1 当$q=1$ 时，令$f\in A_{\alpha }^p$ 。因为$\beta >-1$ ，由富比尼定理和引理B，可知

$\begin{array}{c}{\Vert T_{\mu }^{\beta }f\Vert }_{H^1}\le {\displaystyle {\int }_S\left({\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{\left|f\left(w\right)\right|}{{\left|1-z\overline{w}\right|}^{2+\beta }}\text{d}\mu \left(w\right)}\right)\text{d}\sigma \left(\zeta \right)}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\left|f\left(w\right)\right|}{\left(1-{\left|w\right|}^2\right)}^{-(1+\beta )}\text{d}\mu \left(w\right).\end{array}$ (3)

设测度$\nu$ 定义为$d\nu \left(w\right)={\left(1-{\left|w\right|}^2\right)}^{-\left(1+\beta \right)}$ 。因为$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度，利用定理A和定理B易知$\nu$ 是一个$\left(1/p,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度，并有${\Vert \nu \Vert }_{1/p,\alpha }\le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }$ 。

因此，对任意$f\in A_{\alpha }^p$ ，有

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\left|f\left(w\right)\right|\text{d}\nu \left(w\right)}\le C{\Vert \nu \Vert }_{1/p,\alpha }\cdot {\Vert f\Vert }_{p,\alpha }\le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }\cdot {\Vert f\Vert }_{p,\alpha }.$ (4)

结合公式(3)和(4)，可知

${\Vert T_{\mu }^{\beta }f\Vert }_{H^1}\le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }\cdot {\Vert f\Vert }_{p,\alpha },$

所以$T_{\mu }^{\beta }$ 从$A_{\alpha }^p$ 到$H^q$ 是有界的，并且有$\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert \le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }$ 。

情况2 当$0<q<1$ 时，设$\left\{a_k\right\}$ 是$\mathbb{D}$ 的$r$ -格，$D_k$ 是引理A中相应的集合，因此我们知道$\mathbb{D}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{D}_k}$ 并且存在一个正整数$N$ 使得$\mathbb{D}$ 中的每个点最多属于集合${\tilde{D}}_k$ 中的$N$ 个，那么有

$\begin{array}{c}\left|T_{\mu }^{\beta }f\right|\le C{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{D_k}\frac{\left|f\left(w\right)\right|}{{\left|1-z\overline{w}\right|}^{2+\beta }}\text{d}\mu \left(w\right)}}\\ \le C{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{\left|1-z\overline{a_k}\right|}^{2+\beta }}{\displaystyle {\int }_{D_k}\left|f\left(w\right)\right|\text{d}\mu \left(w\right)}}\end{array}$

又由[15]中的引理2.24可知，对于$w\in D_k$ 有

${\left|f\left(w\right)\right|}^p\le \frac{C}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{2+\alpha }}{\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right),$

从中我们可以得到

${\displaystyle {\int }_{D_k}\left|f\left(w\right)\right|\text{d}\mu \left(w\right)}\le \frac{C}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\alpha )/p}}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{1/p}\mu \left(D_k\right).$

因为$0<q<1$ ，这意味着

${\left|T_{\mu }^{\beta }f\right|}^q\le C{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{\left|1-z\overline{a_k}\right|}^{(2+\beta )q}}}\frac{\mu {\left(D_k\right)}^q}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\alpha )q/p}}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}.$

因此，由于$q\left(2+\beta \right)>1$ ，我们可以应用引理B得到

$\begin{array}{c}{\Vert T_{\mu }^{\beta }f\Vert }_{H^q}^q\le C{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{\mu {\left(D_k\right)}^q}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\alpha )q/p}}}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}{\displaystyle {\int }_S\frac{1}{{\left|1-z\overline{a_k}\right|}^{(2+\beta )q}}\text{d}\sigma \left(\zeta \right)}\\ \le C{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{\mu {\left(D_k\right)}^q}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\alpha )q/p}}}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{1-(2+\beta )/q}\\ =C{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{\mu {\left(D_k\right)}^q}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\beta )/q-1+(2+\alpha )q/p}}}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}.\end{array}$ (5)

首先，假设$\lambda \ge 1$ ，即$p\le q$ 。由于$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度，根据定理A，我们得到$\mu \left(D_k\right)\le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda }$ 。

考虑(2)式和公式(5)，以及$p\le q$ 的事实，可知

$\begin{array}{c}{\Vert T_{\mu }^{\beta }f\Vert }_{H^q}^q\le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }^q{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}}\\ \le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }^q{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}\\ \le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }^q\cdot {\Vert f\Vert }_{p,\alpha }^q,\end{array}$

因此，$T_{\mu }^{\beta }$ 从$A_{\alpha }^p$ 到$H^q$ 是有界的且$\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert \le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }$ 。

接下来，假设$0<\lambda <1$ ，即$p>q$ 。对公式(5)用Hölder不等式可得

$\begin{array}{c}{\Vert T_{\mu }^{\beta }f\Vert }_{H^q}^q\le C{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{\mu {\left(D_k\right)}^q}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda q}}}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}\\ \le C{\left\{{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left[\frac{\mu {\left(D_k\right)}^q}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda q}}\right]}^{p/(p-q)}}\right\}}^{1-q/p}\times {\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}.\end{array}$

由于$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度，根据定理B，我们得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left[\frac{\mu {\left(D_k\right)}^q}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda q}}\right]}^{p/(p-q)}}={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left[\frac{\mu \left(D_k\right)}{{\left(1-{\left|a_k\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda }}\right]}^{1/(1-\lambda )}}\\ \le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }^{1/(1-\lambda )}\\ =C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }^{pq/(p-q)},\end{array}$

所以有

${\Vert T_{\mu }^{\beta }f\Vert }_{H^q}^q\le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }^q{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_k}{\left|f\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}}\le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }^q\cdot {\Vert f\Vert }_{p,\alpha }^q$

因此，$T_{\mu }^{\beta }$ 从$A_{\alpha }^p$ 到$H^q$ 是有界的且$\Vert T_{\mu }^{\beta }\Vert \le C{\Vert \mu \Vert }_{\lambda ,\gamma }$ 。

证毕。

4. 紧性

设$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度。若对任意有界序列$\left\{f_k\right\}\subset A_{\alpha }^p$ ，${\Vert f_k\Vert }_{p,\alpha }\le 1$ 且$f_k\left(z\right)$ 在$\mathbb{D}$ 的任意紧子集上一致收敛于0，都有

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f_k\left(z\right)\right|}^q}\text{d}\mu \left(z\right)=0,$

那么称$\mu$ 是一个消失的$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度。

显然，当$\lambda \ge 1$ 时，$\mu$ 是一个消失的$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度当且仅当对任意$t>0$ 有

$\underset{\left|a\right|\to 1}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^t}{{\left|1-z\overline{a}\right|}^{(2+\alpha )\lambda +t}}\text{d}\mu \left(z\right)}=0.$

当$0<\lambda <1$ 时，$\mu$ 是一个消失的$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度当且仅当$\mu$ 是一个$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度。上述结论可参考[11]。

定理4.1 对于$0<p,q<\infty$ 和$\alpha >-1$ ，设$2+\beta >\frac{1}{q}$ 。

令

$\lambda =1+\frac{1}{p}-\frac{1}{q},\gamma =\frac{1}{\lambda }\left(\beta +\frac{\alpha }{p}+\frac{1}{q}\right),$

且$\mu$ 是单位圆盘$\mathbb{D}$ 上的一个正Borel测度，那么对于$0<p\le q\le 1\left(\lambda \ge 1\right)$ ，若$\mu$ 是一个消失的$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度，则$T_{\mu }^{\beta }:A_{\alpha }^p\to H^q$ 是紧的。

证明 若对于$\lambda \ge 1$ ，$\mu$ 是一个消失的$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度。要证明$T_{\mu }^{\beta }$ 是紧的，也就是要证明对任意有界序列$\left\{f_k\right\}\subset A_{\alpha }^p$ 且$f_k\left(z\right)$ 在$\mathbb{D}$ 的任意紧子集上一致收敛于0，都有${\Vert T_{\mu }^{\beta }{f}_k\Vert }_{H^q}\to 0$ 。

当$0<p\le q\le 1\left(\lambda \ge 1\right)$ ，由定理1.2 (见公式(5))证明中得到的估计可知，对于任意格$\left\{a_j\right\}$ ，都有

${\Vert T_{\mu }^{\beta }{f}_k\Vert }_{H^q}^q\le C{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\left(\frac{\mu \left(D_j\right)}{{\left(1-{\left|a_j\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda }}\right)}^q}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_j}{\left|f_k\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}$ (6)

由$\mu$ 是一个消失的$\left(\lambda ,\alpha \right)$ -Bergman Carleson测度和([15]，p. 71)可知，对任意$\epsilon >0$ ，存在$0<r_0<1$ 使得

$\underset{\left|a_j\right|>r_0}{\sup }\frac{\mu \left(D_j\right)}{{\left(1-{\left|a_j\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda }}<\epsilon$ (7)

将(6)式中的求和分为两部分：一部分是满足$\left|a_j\right|>r_0$ 的点；另一部分是满足$\left|a_j\right|\le r_0$ 的点。由于$\left\{f_k\right\}$ 在$\mathbb{D}$ 上的紧子集上是一致收敛于0的，显然当$k$ 趋于无穷时，满足$\left|a_j\right|\le r_0$ 的点的部分和是趋于0的。另一方面，由于$q\ge p$ 和(7)式，可知

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{j:\left|a_j\right|>r_0}{\left(\frac{\mu \left(D_j\right)}{{\left(1-{\left|a_j\right|}^2\right)}^{(2+\gamma )\lambda }}\right)}^q}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_j}{\left|f_k\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}\\ <{\epsilon }^q{\displaystyle \sum _{j:\left|a_j\right|>r_0}{\left({\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_j}{\left|f_k\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}}\\ \le {\epsilon }^q{\left({\displaystyle \sum _{j:\left|a_j\right|>r_0}{\displaystyle {\int }_{{\tilde{D}}_j}{\left|f_k\left(z\right)\right|}^p}}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}\\ \le {\epsilon }^q{\left({\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f_k\left(z\right)\right|}^p}\text{d}{v}_{\alpha }\left(z\right)\right)}^{q/p}\\ \le {\epsilon }^q{\Vert f_k\Vert }_{p,\alpha }^q\le C{\epsilon }^q\end{array}$

因此${\Vert T_{\mu }^{\beta }{f}_k\Vert }_{H^q}\to 0$ ，证毕。