带对数项的非局部Choquard方程解的存在性

Existence of Solutions to Non-Local Choquard Equations with Logarithmic Terms

摘要: 我们主要关注如下非局部Choquard方程解的存在性：$-\Delta u=\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }-2}u+\lambda \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{q-2}u+\beta u\log u^2\text{in}\Omega$ 这里$\Omega$ 是${ℝ}^N$ 中一个具有光滑边界的有界区域，$\lambda ,\beta >0$ 为实参数，$2<q<2_{\mu }^{\ast }$ ，$2_{\mu }^{\ast }=\frac{2N-\mu }{N-2}\left(N\ge 5\right)$ 是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的上临界指标。

Abstract: We are interested in the existence of the following nonlocal Choquard equation: $-\Delta u=\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }-2}u+\lambda \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{q-2}u+\beta u\log u^2\text{in}\Omega$ where $\Omega$ is a bounded domain of ${ℝ}^N$ with smooth boundary, $\lambda ,\beta >0$ are real parameters, $2<q<2_{\mu }^{\ast }$ , $2_{\mu }^{\ast }=\frac{2N-\mu }{N-2}\left(N\ge 5\right)$ is the upper critical exponent in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

1. 引言

椭圆方程

$\{\begin{array}{l}-\Delta u={\left|u\right|}^{2^{\ast }-2}u+\lambda u,x\in \Omega ,\\ u\ge 0,\begin{array}{cccc}& & & \begin{array}{cc}& x\in \Omega ,\end{array}\end{array}\\ u\in H_0^1\left(\Omega \right),\end{array}$ (1.1)

被称为Brezis-Nirenberg型临界问题，并且许多学者致力于方程(1.1)解的存在性研究，这里Ω是${ℝ}^N$ 中的一个有界区域，$N\ge 3$ ，$2^{\ast }=\frac{2N}{N-2}$ ，$\lambda \in \left(0,{\lambda }_1\right)$ ，其中${\lambda }_1\left(\Omega \right)$ 为$-\Delta$ 在Ω上的第一个特征值。若$N\ge 4$ ，$\lambda \in \left(0,{\lambda }_1\right)$ ，或者$N=3$ ，Ω是一个球并且$\frac{1}{4}{\lambda }_1\left(\Omega \right)<\lambda <{\lambda }_1\left(\Omega \right)$ ，方程(1.1)解的存在性已由Brezis和Nirenberg在[1]中证明；涉及方程(1.1)变号解和径向解的解决方案，G Cerami等学者在[2]中通过全局紧性定理建立。更多相关的结果可在[3]-[6]中找到。

本文讨论了如下带有次临界非局部项和对数项的方程的解的存在性：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }-2}u+\lambda \left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{q-2}u+\beta u\log u^2\text{in}\Omega \\ u\in H_0^1\left(\Omega \right)\end{array}$ (1.2)

这里Ω是${ℝ}^N$ 中一个具有光滑边界的有界区域，$\lambda ,\beta >0$ 为实参数，$2<q<2_{\mu }^{\ast }$ ，$2_{\mu }^{\ast }=\frac{2N-\mu }{N-2}\left(N\ge 5\right)$ 是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的上临界指标(见[7])。

当$\beta =0$ 时，高发顺和杨敏波[8]利用著名的山路定理证明了：当$N\ge 3$ ，$0<\mu <N$ ，方程至少有一个非平凡解如果满足(1) $N>\frac{2\left(q+1\right)-\mu }{q-1}$ 并且$\lambda >0$ ；或者(2) $N\le \frac{2\left(q+1\right)-\mu }{q-1}$ 并且$\lambda$ 足够大。

何其涵等学者[9]使用变分方法证明了方程

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}y}\right){\left|u\right|}^{2_{\mu }^{\ast }-2}u+\lambda u+\beta u\log u^2\text{in}\Omega \\ u\in H_0^1\left(\Omega \right)\end{array}$ (1.3)

在参数$\left(\lambda ,\beta \right)$ 不同范围内方程解的存在性。更多相关的结果可在[10]-[13]中找到。

2. 主要定理

定理2.1 令$2<q<2_{\mu }^{\ast }$ ，$0<\mu <N$ ，$N\ge 5$ ，$\lambda ,\beta >0$ ，则方程(1.2)有一个正解如果满足

(1) $N>\max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 或者

(2) $N\le \max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 并且$\lambda$ 足够大。

3. 预备工作

我们运用变分方法解决问题(1.2)从一个著名的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式[7]开始。

命题3.1 令$t,r>1$ 以及$0<\mu <N$ 满足$\frac{1}{t}+\frac{\mu }{N}+\frac{1}{r}=2$ 。假设$f\in L^t\left({ℝ}^N\right)$ 和$h\in L^r\left({ℝ}^N\right)$ ，那么存在不依赖于f和h的常数$C\left(r,N,\mu \right)$ ，使得

$\left|{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\frac{f\left(x\right)h\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\right|\le C\left(r,N,\mu \right){\left|f\right|}_t{\left|h\right|}_r$ (3.1)

注意到，由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，当$t>1$ 且满足$\frac{2}{t}+\frac{\mu }{N}=2$ ，${\left|u\left(x\right)\right|}^p\in L^t\left({ℝ}^N\right)$ 时，积分

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^p{\left|u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}$

是良定义的。由Sobolev嵌入定理，对任意的$u\in H^1\left({ℝ}^N\right)$ 要求p满足

$\frac{2N-\mu }{N}\le p\le \frac{2N-\mu }{N-2}$

我们称$\frac{2N-\mu }{N}$ 为Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的下临界指标，$\frac{2N-\mu }{N-2}$ 为Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的上临界指标。

在[14]中，我们总是使用$S_{H,L}$ 来表示最佳常数

$S_{H,L}:=\underset{u\in D^{1,2}\left({ℝ}^N\right)\backslash \left\{\text{0}\right\}}{\inf }\frac{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}}{{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{\frac{N-2}{2N-\mu }}}$ (3.2)

接下来，我们提出在随后的证明中起关键作用的两个事实(见[14])。

引理3.2 最佳常数$S_{H,L}$ 的一个达到元为

$u=C{\left(\frac{1}{a^2+{\left|x-b\right|}^2}\right)}^{\frac{N-2}{2}}$

其中$a\in \left(0,+\infty \right)$ ，$b\in {ℝ}^N$ ，C为大于零的常数，进一步，我们有$S_{H,L}=\frac{S}{C{\left(N,\mu \right)}^{\frac{N-2}{2N-\mu }}}$ ，其中S为Sobolev嵌入最佳常数。

引理3.3 若$N\ge 3$ ，那么对于${ℝ}^N$ 的任意开子集$\Omega$ 都有

$S_{H,L}\left(\Omega \right):=\underset{u\in D^{1,2}\left(\Omega \right)\backslash \left\{\text{0}\right\}}{\inf }\frac{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}}{{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{\frac{N-2}{2N-\mu }}}=S_{H,L}$

当$\Omega ={ℝ}^N$ 时，$S_{H,L}$ 不可达。

我们用$J_{\lambda }\left(u\right)$ 表示方程(1.2)对应的能量泛函：

$\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\frac{\lambda }{2q}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\frac{\beta }{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{+}^2\left(\log u_{+}^2-1\right)\text{d}x}$

显然，$J_{\lambda }\left(u\right)\in C^1\left(H_0^1\left(\Omega \right),ℝ\right)$ 并且u是(1.2)的弱解当且仅当u是泛函$J_{\lambda }\left(u\right)$ 的一个临界点。

在本文中，我们表示在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 上的范数$\Vert u\Vert :={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}$ ，这里$\Omega$ 是${ℝ}^N$ 中一个具有光滑边界的有界区域，用${\left|\cdot \right|}_p$ 表示$p\in \left[1,\infty \right]$ 时的$L^p\left(\Omega \right)$ 范数。另外，我们定义空间

$D^{1,2}\left({ℝ}^N\right):=\left\{u\in L^{2^{\ast }}\left({ℝ}^N\right)|\nabla u\in L^2\left({ℝ}^N\right)\right\}$

显然，$D^{1,2}\left({ℝ}^N\right)$ 是一个Hilbert空间。如下的范数被定义在$L^{2^{\ast }}\left(\Omega \right)$ 上[14]：

${\Vert \cdot \Vert }_{NL}:={\left({\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|\cdot \right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|\cdot \right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}}$

我们还设

${\lambda }_1\left(\Omega \right):=\underset{u\in H_0^1\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}}{\inf }\frac{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^2\text{d}x}}$ (3.3)

$c:=\underset{\gamma \in \Gamma }{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{J}_{\lambda }\left(\gamma \left(t\right)\right)$ (3.4)

这里

$\Gamma :=\left\{\gamma \in C\left[0,1\right],H_0^1\left(\Omega \right)|\gamma \left(0\right)=0,J_{\lambda }\left(\gamma \left(1\right)\right)<0\right\}$

$I_{\lambda }\left(u\right):={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\lambda {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{+}^2\log u_{+}^2\text{d}x}$ (1.9)

4. 主要定理证明

4.1. 山路几何结构与${\left(PS\right)}_c$ 序列的有界性

首先我们来验证能量泛函$J_{\lambda }\left(u\right)$ 满足山路几何结构：

引理4.1当$1<q<2_{}^{\ast }-1$ 且$\lambda ,\beta >0$ 时，泛函$J_{\lambda }$ 满足如下的性质：

(1) 存在$\alpha ,\rho >0$ 使得对任意的$\Vert u\Vert =\rho$ 都有$J_{\lambda }\left(u\right)\ge \alpha$ ；

(2) 存在$e\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 满足$\Vert e\Vert >\rho$ 使得$J_{\lambda }\left(e\right)<0$ 。

证明：(1) 显然对任意的$p\in \left(2,+\infty \right)$ ，存在$C_p>0$ 使得对任意的$t\ge 1$ 有$t^2\log t^2\le C_p{t}^p$ 成立，则运用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，我们有

$\begin{array}{l}{J}_{\lambda }\left(u\right)\ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}C\left(N,\mu \right){\left|u\right|}_{2^{\ast }}^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}-\frac{\lambda }{2q}C\left(N,\mu \right){\left|u\right|}_{\frac{2Nq}{2N-\mu }}^{2q}\\ -\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega \cap \left\{e^{-1}{u}_{+}^2\ge 1\right\}}{u}_{+}^2\log \left(e^{-1}{u}_{+}^2\right)\text{d}x}-\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega \cap \left\{e^{-1}{u}_{+}^2\le 1\right\}}{u}_{+}^2\log \left(e^{-1}{u}_{+}^2\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}C\left(N,\mu \right){\Vert u\Vert }_{}^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}-\frac{\lambda }{2q}C\left(N,\mu \right){\Vert u\Vert }_{}^{2q}-C\beta {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{2^{\ast }}\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}C\left(N,\mu \right){\Vert u\Vert }_{}^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}-\frac{\lambda }{2q}C\left(N,\mu \right){\Vert u\Vert }_{}^{2q}-C\beta {\Vert u\Vert }_{}^{2^{\ast }}\end{array}$

因为$2<2q<2\cdot 2_{\mu }^{\ast }$ ，我们可以选择适当的$\alpha ,\rho >0$ 使得$J_{\lambda }\left(u\right)\ge \alpha$ 且$\Vert u\Vert =\rho$ 。

(2) 假设$u\left(x\right)\in H_0^1\left(\Omega \right)\backslash \left\{0\right\}$ 且在$\Omega$ 内大于零，则当$t\to +\infty$ 时，

$\begin{array}{l}{J}_{\lambda }\left(tu\right)=\frac{t^2}{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-\frac{t^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\\ -\frac{\lambda t^{2q}}{2q}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\frac{\beta }{2}{t}^2\log t^2{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{+}^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2}{t}^2{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{+}^2\log \left(e^{-1}{u}_{+}^2\right)\text{d}x}\\ \to -\infty \end{array}$

因此，我们可以选择充分大的$t_0>0$ 使得$u_0=t_{0}u$ 满足(2)。

注4.2 由引理4.1及山路定理[15]，$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中存在一个${\left(PS\right)}_c$ 序列$\left\{u_n\right\}$ 满足当$n\to +\infty$ 时，有

$J_{\lambda }\left(u_n\right)\to c$ , ${J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right)\to 0$

引理4.3 设$N\ge 5$ ，$\lambda ，\beta >0$ ，则$J_{\lambda }$ 的任意${\left(PS\right)}_c$ 序列$\left\{u_n\right\}$ 在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 内必定有界。

证明：由$\lambda >0$ ，当n足够大时有

$\begin{array}{l}C\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\ge J_{\lambda }\left(u_n\right)-\frac{1}{2}{I}_{\lambda }\left(u_n\right)\\ =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}\right){\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\\ +\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{2q}\right){\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\frac{\beta }{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left(u_n\right)}_{+}^2\text{d}x}\\ \ge \frac{\beta }{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left(u_n\right)}_{+}^2\text{d}x}\end{array}$ (4.1)

结合(4.1)以及下列对数不等式(见[7]或[16])

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}^2\log u^2}\le \frac{a}{\pi }{\Vert u\Vert }^2+\left(\log {\left|u\right|}_2^2-N\left(1+\log a\right)\right){\left|u\right|}_2^2$ (4.2)

我们得到

$\begin{array}{l}C\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\ge J_{\lambda }\left(u_n\right)-\frac{1}{q+1}{I}_{\lambda }\left(u_n\right)\\ =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q+1}\right){\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}-\beta \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q+1}\right){\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left(u_n\right)}_{+}^2\log {\left(u_n\right)}_{+}^2\text{d}x}+\frac{\beta }{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left(u_n\right)}_{+}^2\text{d}x}\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q+1}\right)\left(1-\beta \frac{a}{\pi }\right){\Vert u\Vert }^2-C\left|{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\right|}_2^2\log \left|{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\right|}_2^2\right|\right|-C\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q+1}\right)\left(1-\beta \frac{a}{\pi }\right){\Vert u\Vert }^2-C\left({\left|{\left(u_n\right)}_{+}\right|}_2^{2-\epsilon }+{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\right|}_2^{2+\epsilon }+\Vert u_n\Vert +1\right)\\ \ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q+1}\right)\left(1-\beta \frac{a}{\pi }\right){\Vert u\Vert }^2-C\left({\Vert u_n\Vert }_{}^{\frac{2-\epsilon }{2}}+{\Vert u_n\Vert }_{}^{\frac{2+\epsilon }{2}}+\Vert u_n\Vert +1\right)\end{array}$

由$q+1>2$ ，我们可以选择$a>0$ 足够小使得$a<\frac{\pi }{2\beta }$ 及$\epsilon \in \left(0,1\right)$ 。这就表明了序列$\left\{u_n\right\}$ 在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 内有界。

现在我们需要对Brézis-Lieb收敛引理进行一些变形来证明${\left(PS\right)}_c$ 条件。

引理4.4 (见[17])设$\left\{u_n\right\}$ 为$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中的有界序列满足当$n\to \infty$ 时，有$u_n\to u$ 在$\Omega$ 上几乎处处成立，则有

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_n^2\log u_n^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}^2\log u^2\text{d}x}$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left(u_n\right)}_{+}^2\log {\left(u_n\right)}_{+}^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{+}^2\log u_{+}^2\text{d}x}$

引理4.5 (见[14]和[18])设$N\ge 3$ ，$0<\mu <N$ 且$\left(2N-\mu \right)/2N\le p\le 2_{\mu }^{\ast }$ 。若$\left\{u_n\right\}$ 为$L^{\frac{2N}{N-2}}\left(\Omega \right)$ 中的有界序列且满足当$n\to \infty$ 时，有$u_n\to u$ 在$ℝ$ 上几乎处处成立，则有

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u_n\right|}^p\right){\left|u_n\right|}^p\text{d}x}-{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u_n-u\right|}^p\right){\left|u_n-u\right|}^p\text{d}x}\right)={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u\right|}^p\right){\left|u\right|}^p\text{d}x}$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left(u_n\right)}_{+}^p\right){\left(u_n\right)}_{+}^p\text{d}x}-{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left(u_n-u\right)}_{+}^p\right){\left(u_n-u\right)}_{+}^p\text{d}x}\right)={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast u_{+}^p\right)u_{+}^p\text{d}x}$

引理4.6 设$u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 是$u_n$ 的弱极限，则u是方程(1.2)的一个弱解。

证明：根据引理4.3，直到一个子列，在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 上存在$u_n$ 的一个弱极限u使得

$u_n\to u$ 在$L^p\left(\Omega \right)$ 中，$1\le p<2^{\ast }$ ，$u_n\rightharpoonup u$ 在$L^{2^{\ast }}\left(\Omega \right)$ 中

则当$1<s<2^{\ast }$ ，$n\to \infty$ 时，在$L^{\frac{2N}{s\left(N-2\right)}}\left(\Omega \right)$ 中有${\left|u_n\right|}^s\rightharpoonup {\left|u\right|}^s$ ，由H-L-S不等式，Riesz位势定义一个从$L^{\frac{2N}{s\left(N-2\right)}}\left(\Omega \right)$ 到$L^{\frac{2N}{2N-sN+2s}}\left(\Omega \right)$ 的连续线性映射，因此当$n\to \infty$ 时，在$L^{\frac{2N}{2N-sN+2s}}\left(\Omega \right)$ 中有

${\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u_n\right|}^s\rightharpoonup {\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u\right|}^s$

联合当$n\to \infty$ 时，在$L^{\frac{2N}{\left(s-1\right)\left(N-2\right)}}\left(\Omega \right)$ 中有${\left|u_n\right|}^{s-2}{u}_n\rightharpoonup {\left|u\right|}^{s-2}u$ ，所以在$L^{\frac{2N}{N+2}}\left(\Omega \right)$ 中，我们有

$\left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u_n\right|}^s\right){\left|u_n\right|}^{s-2}{u}_n\rightharpoonup \left({\left|x\right|}^{-\mu }\ast {\left|u\right|}^s\right){\left|u\right|}^{s-2}u$

并且对任意的$\phi \in H_0^1\left(\Omega \right)$ 有

$\begin{array}{l}0\leftarrow \langle J_{\lambda }\left(u_n\right),\phi \rangle ={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\nabla u_n\nabla \phi \text{d}x}-{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }-2}{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\phi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\\ -\lambda {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{q-2}{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\phi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left(u_n\right)}_{+}\phi \log {\left(u_n\right)}_{+}^2\text{d}x}\end{array}$

令$n\to \infty$ ，我们得到

$\begin{array}{l}0={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\nabla u\nabla \phi \text{d}x}-{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }-2}u\left(y\right)\phi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\\ -\lambda {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^q{\left|u\left(y\right)\right|}^{q-2}u\left(y\right)\phi \left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }u\phi \log u^2\text{d}x}\end{array}$

这就表明了u是方程(1.2)的一个弱解。

最后，我们在方程(1.2)中取测试函数$\phi =u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ ，我们有

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\lambda {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{+}\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{+}^2\log u_{+}^2\text{d}x}$

因此对$2<q<2_{\mu }^{\ast }$ ，我们有

$\begin{array}{l}{J}_{\lambda }\left(u_n\right)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}\right){\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\\ +\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\lambda }{2q}\right){\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|{\left(u_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\frac{\beta }{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left(u_n\right)}_{+}^2\text{d}x}\ge 0\end{array}$

引理4.7 令$2<q<2_{\mu }^{\ast }$ ，$\lambda ,\beta >0$ ，$\left\{u_n\right\}$ 为$J_{\lambda }$ 的一个${\left(PS\right)}_c$ 序列满足$c<\frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N+2-\mu }}$ 。

则$\left\{u_n\right\}$ 有一个收敛子列。

证明：定义$v_n:=u_n-u$ ，则在$H_0^1\left(\Omega \right)$ 中我们有$v_n\rightharpoonup 0$ ，在$\Omega$ 中$v_n\to 0$ 几乎处处成立。

由Brezis-Lieb引理[19]以及引理4.5可得

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u_n\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla v_n\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}+o_n\left(1\right)$ (4.3)

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u_n\right|}^{q+1}\text{d}x}={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|v_n\right|}^{q+1}\text{d}x}+{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u\right|}^{q+q}\text{d}x}+o_n\left(1\right)$ (4.4)

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_n\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_n\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|v_n\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|v_n\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+o_n\left(1\right)$ (4.5)

利用(4.3)，(4.4)，(4.5)以及引理4.4，我们有

$\begin{array}{l}c\leftarrow J_{\lambda }\left(u_n\right)=J_{\lambda }\left(u\right)+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla v_n\right|}^2\text{d}x}-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\\ -\frac{\lambda }{2q}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^q{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+o_n\left(1\right)\\ \ge \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla v_n\right|}^2\text{d}x}-\frac{1}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+o_n\left(1\right)\end{array}$ (4.6)

由$J_{\lambda }\left(u\right)\ge 0$ 及${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|v_n\left(x\right)\right|}^q{\left|v_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\le C\left(N,\mu \right){\left|v_n^q\right|}_{\frac{2N}{2N-\mu }}^2\to 0$ 。同理，由$\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle =0$ 有

$o_n\left(1\right)=\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right),u_n\rangle ={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla v_n\right|}^2\text{d}x}-{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+o_n\left(1\right)$ (4.7)

由(4.7)，我们可以假设存在一个非负常数m使得

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla v_n\right|}^2\text{d}x}\to m$ , ${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\to m$

因此由(4.6)和(4.7)，我们得到

$c\ge \frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }m$ (4.8)

由最佳常数$S_{H,L}^{}$ 的定义可知

$S_{H,L}{m}^{\frac{N-2}{2N-\mu }}\leftarrow S_{H,L}{\left({\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|{\left(v_n\right)}_{+}\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{\frac{N-2}{2N-\mu }}\le {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla v_n\right|}^2\text{d}x}\to m$

这表明$m\ge S_{H,L}{m}^{\frac{N-2}{2N-\mu }}$ 。因此要么$m=0$ 要么$m\ge S_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N-\mu +2}}$ 。若$m\ge S_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N-\mu +2}}$ ，由(4.8)得

$\frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N-\mu +2}}\le \frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }m\le c$

与引理条件矛盾，故$m=0$ ，从而$\Vert u_n-u\Vert \to 0$ 。

4.2. 能量估计

下面我们将构造函数来估计Choquard项和对数项的能量使得$c<\frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N+2-\mu }}$ 。由引理3.2，我们知$U\left(x\right)=\frac{{\left[N\left(N-2\right)\right]}^{\frac{N-2}{4}}}{{\left(1+{\left|x\right|}^2\right)}^{\frac{N-2}{2}}}$ 是S和$S_{H,L}$ 的极小可达元。不失一般性，假设$B_{2\delta }\left(0\right)\in \Omega$ ，$\delta >0$ 且设$\phi \in C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}\phi \left(x\right)=1x\in B_{\delta }\left(0\right)\\ \phi \left(x\right)=0x\in {ℝ}^N\backslash B_{\delta }\left(0\right)\\ 0\le \phi \left(x\right)\le 1x\in {ℝ}^N\\ \left|D\phi \left(x\right)\right|\le Cx\in {ℝ}^N\end{array}$

对于任意的$\epsilon >0$ ，记

$U_{\epsilon }\left(x\right):={\epsilon }^{\frac{2-N}{2}}U\left(\frac{x}{\epsilon }\right)$ , $u_{\epsilon }\left(x\right):=\phi \left(x\right)U_{\epsilon }\left(x\right)$

由[20]中的引理1.46，我们知道${\left|\nabla U_{\epsilon }\left(x\right)\right|}_2^2=S^{\frac{N}{2}}$ ，因此当$\epsilon \to 0^{+}$ ，d为常数，我们有

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u_{\epsilon }\right|}^2\text{d}x}=S^{\frac{N}{2}}+O\left({\epsilon }^{N-2}\right)=C{\left(N,\mu \right)}^{\frac{N-2}{2N-\mu }\cdot \frac{N}{2}}{S}_{H,L}^{\frac{N}{2}}+O\left({\epsilon }^{N-2}\right)$

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|u_{\epsilon }\right|}^2\text{d}x}\ge \{\begin{array}{l}d{\epsilon }^2\left|\log \epsilon \right|+O\left({\epsilon }^2\right)N=4\\ d{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^{N-2}\right)N\ge 5\end{array}$

引理4.8 (见[14])设$N\ge 3$ ，则

${\left({\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{\frac{N-2}{2N-\mu }}\le C{\left(N,\mu \right)}^{\frac{N\left(N-2\right)}{4N-2\mu }}{S}_{H,L}^{\frac{N-2}{2}}+O\left({\epsilon }^{N-2}\right)$

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\ge C{\left(N,\mu \right)}^{\frac{N}{2}}{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{2}}-O\left({\epsilon }^{\frac{2N-\mu }{2}}\right)$

引理4.9 (见[17])设$N\ge 5$ ，$C>0$ 是常数，则当$\epsilon \to 0^{+}$ 时

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\log u_{\epsilon }^2\text{d}x}=C{\epsilon }^2\log \frac{1}{\epsilon }+O\left({\epsilon }^2\right)$

引理4.10 设$N\ge 5$ ，$\beta >0$ ，则存在$u_{\epsilon }$ 使得

$\underset{t\ge 0}{\sup }{J}_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)<\frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N+2-\mu }}$

如果满足

(1) $N>\max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 且$\lambda >0$ 或者

(2) $N\le \max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 并且$\lambda$ 足够大。

证明：我们把证明分成两部分。

Case 1 $N>\max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 且$\lambda >0$ 。

对任意足够小的$\epsilon$ ，当$t\to +\infty$ 时我们有

$J_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)\to -\infty$

由此可知$\underset{t\ge 0}{\sup }{J}_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)$ 会在某点$t_{\epsilon }>0$ 处可达到并且$t_{\epsilon }$ 满足

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u_{\epsilon }\right|}^2\text{d}x}=t_{\epsilon }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\lambda t_{\epsilon }^{2q-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\log t_{\epsilon }^2{u}_{\epsilon }^2\text{d}x}$

由[21]中的引理4.1的证明，对充分小的$\epsilon >0$ ，我们有

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^{\frac{2Nq}{2N-\mu }}\text{d}x}=O\left({\epsilon }^{N-\frac{Nq\left(N-2\right)}{2N-\mu }}\right)+O\left({\epsilon }^{\frac{Nq\left(N-2\right)}{2N-\mu }}\right)=O\left({\epsilon }^{N-\frac{Nq\left(N-2\right)}{2N-\mu }}\right)$

则当$\epsilon \to 0^{+}$ 时

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{S}^{\frac{N}{2}}\le {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u_{\epsilon }\right|}^2\text{d}x}-\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\log u_{\epsilon }^2\text{d}x}\\ =t_{\epsilon }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\lambda t_{\epsilon }^{2q-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\beta \log t_{\epsilon }^2{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\text{d}x}\\ \le 2C{\left(N,\mu \right)}^{\frac{N\left(N-2\right)}{4N-\mu }}{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{2}}{t}_{\epsilon }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }-2}+C{t}_{\epsilon }^{2q-2}+C{t}_{\epsilon }^2\end{array}$

这表明存在$C_1>0$ 使得$t_{\epsilon }>C_1$ 。

另一方面，当$\epsilon \to 0^{+}$ 时，

$\begin{array}{l}2S^{\frac{N}{2}}\ge {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u_{\epsilon }\right|}^2\text{d}x}-\lambda t_{\epsilon }^{2q-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\log u_{\epsilon }^2\text{d}x}\\ =t_{\epsilon }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\beta \log t_{\epsilon }^2{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}C{\left(N,\mu \right)}^{\frac{N}{2}}{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{2}}{t}_{\epsilon }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }-2}-C\left|\log t_{\epsilon }^2\right|\end{array}$

因此存在一个$C_2>0$ 使得$t_{\epsilon }<C_2$ 。因此对足够小的$\epsilon$ ，存在两个与$\epsilon$ 无关的常数$C_2>C_1>0$ 使得$t_{\epsilon }\in \left(C_1,C_2\right)$ 。

联合引理4.8与引理4.9，对足够小的$\epsilon$ ，我们有

$\begin{array}{l}c\le \underset{t\ge 0}{\sup }{J}_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)\\ \le \frac{t_{\epsilon }^2}{2}{\Vert u_{\epsilon }\Vert }^2-\frac{t_{\epsilon }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}{\Vert u_{\epsilon }\Vert }_{NL}^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}-\frac{\beta }{2}{t}_{\epsilon }^2\log t_{\epsilon }^2{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\text{d}x}-\frac{\beta }{2}{t}_{\epsilon }^2{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\log u_{\epsilon }^2\text{d}x}+O\left({\epsilon }^2\right)\\ \le \frac{N-\mu +2}{4N-2\mu }{\left(\frac{{\Vert u_{\epsilon }\Vert }^2}{{\Vert u_{\epsilon }\Vert }_{NL}^2}\right)}^{\frac{2N-\mu }{N-\mu +2}}-\frac{\beta C_1^2}{2}{\epsilon }^2\log \frac{1}{\epsilon }+O\left({\epsilon }^2\right)\\ =\frac{N-\mu +2}{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N-\mu +2}}-\frac{\beta C_1^2}{2}{\epsilon }^2\log \frac{1}{\epsilon }+O\left({\epsilon }^2\right)\\ <\frac{N-\mu +2}{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N-\mu +2}}\end{array}$

Case 1 $N\le \max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 且$\lambda$ 足够大，对任意固定的$\epsilon$ ，当$t\to +\infty$ 时我们有

$J_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)\to -\infty$

由此可知$\underset{t\ge 0}{\sup }{J}_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)$ 会在某点$t_{\lambda }>0$ 处可达到并且$t_{\lambda }$ 满足

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u_{\epsilon }\right|}^2\text{d}x}=t_{\lambda }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\lambda t_{\lambda }^{2q-2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}+\beta {\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\log t_{\lambda }^2{u}_{\epsilon }^2\text{d}x}$

由于${\frac{\partial J_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)}{\partial t}|}_{t=t_{\epsilon }}=0$ ，因此当$\lambda \to +\infty$ 时$t_{\lambda }\to 0$ 。则当$\lambda \to +\infty$ 时，

$\begin{array}{l}\underset{t\ge 0}{\max }{J}_{\lambda }\left(t{u}_{\epsilon }\right)=\frac{t_{\lambda }^2}{2}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\nabla u_{\epsilon }\right|}^2\text{d}x}-\frac{t_{\lambda }^{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}}{2\cdot 2_{\mu }^{\ast }}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^{2_{\mu }^{\ast }}}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}\\ -\frac{\lambda t_{\lambda }^{2q}}{2q}{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\frac{{\left|u_{\epsilon }\left(x\right)\right|}^q{\left|u_{\epsilon }\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\mu }}\text{d}x\text{d}y}}-\frac{\beta }{2}{t}_{\lambda }^2{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_{\epsilon }^2\left(\log t_{\lambda }^2{u}_{\epsilon }^2-1\right)\text{d}x}\to 0\end{array}$

这就得到了我们想要的结论。

定理2.1的证明：当$N\ge 5$ 时，由引理4.1和山路定理，我们得到一组${\left(PS\right)}_c$ 序列$\left\{u_n\right\}$ 使得在$H_0^1{\left(\Omega \right)}^{-1}$ 上有$J_{\lambda }\left(u_n\right)\to c$ ，${J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right)\to 0$ 。由引理4.10知$c<\frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N+2-\mu }}$ 若满足

(1) $N>\max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 且$\lambda >0$ 或者

(2) $N\le \max \left\{\min \left\{\frac{4N+2Nq-2\mu }{Nq},2+\frac{\mu \left(2N-\mu \right)}{2Nq}\right\},\frac{4Nq}{2Nq-2N+\mu }\right\}$ 并且$\lambda$ 足够大。

应用引理4.6和引理4.7，我们知道$\left\{u_n\right\}$ 有一个弱收敛的子列, 其弱极限$u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 并且$J_{\lambda }$ 有一个临界值$c\in \left(0,\frac{N+2-\mu }{4N-2\mu }{S}_{H,L}^{\frac{2N-\mu }{N+2-\mu }}\right)$ ，这就表明了u是问题(1.2)的一个解。设v是$J_{\lambda }$ 的一个临界点，我们取$v_{-}$ 作为测试函数，则我们有

$0=\langle J^{\prime }\left(v\right),v\rangle ={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\left|\Delta v_{-}\right|}^2\text{d}x}$

这就表明了u还是方程(1.2)的正解。

5. 总结

本文针对方程(1.2)，采用变分方法，通过构造能量泛函来证明山路几何结构与${\left(PS\right)}_c$ 序列的有界性，再构造函数来估计Choquard 项和对数项的能量证明了方程存在解，进而证明该解还是方程的正解。由于Choquard方程在物理学上的重要性，我们认为对Choquard型方程解的存在性研究是非常重要的。之后我们可以进一步研究带有不同非局部项的椭圆形方程解的存在性，例如对于分数阶Laplace方程、Kirchhoff型方程等带有非局部项的椭圆方程，我们的方法证明其存在正解是适用的。但是，对于解的唯一性、多重性，本文给出的方法并不适用，在文献[15]中或许可以给我们一些启发。