半群${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$的性质

Property of Semigroup ${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$

摘要: 设${\mathcal{S}}_n$ 和${\mathcal{T}}_n$ 分别是$X_n=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 上的对称群和全变换半群。对于$1\le m\le n-1$ ，记$X_m=\left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ 且$X_{n-m}=X_n\backslash X_m$ 。令${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)=\left\{\alpha \in {ℱ}_{\left(n,m\right)}:存在1\le j\le m<i\le n使得i\alpha =j\right\}$ ，则显然${\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ 是${\mathcal{T}}_n$ 的子半群。本文刻画了该半群的格林关系和理想。

Abstract: Let ${\mathcal{S}}_n$ and ${\mathcal{T}}_n$ be the symmetric group and the full transformation semigroup on $X_n=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ , respectively. For $1\le m\le n-1$ , we denote by $X_m$ the set $\left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ and by $X_{n-m}$ the set $X_n\backslash X_m$ . Put ${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)=\left\{\alpha \in {ℱ}_{\left(n,m\right)}:存在1\le j\le m<i\le n使得i\alpha =j\right\}$ , then ${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ is a subsemigroup of $T_n$ . In this paper, we describe the Green relation and ideals of the semigroup ${\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ .

1. 引言与预备知识

在数学领域中，变换半群是一种重要的代数结构。它由非空集合与自身上的一个二元变换组成，满足封闭性、结合律以及存在单位元等性质。而变换半群的研究在多个领域中具有重要应用价值。在图像处理中，我们可以将图像中的变换建模为一个变换半群，通过研究其结构性质来设计和优化图像处理算法。在密码学中，变换半群可以用于构建加密算法，通过研究其结构性质来提高密码算法的安全性。另外，变换半群的研究还在数据压缩、信号处理以及模式识别等方面有着广泛的应用。而在半群代数理论中，格林关系起着至关重要的作用。假设S是一个半群，$a,b\in S$ 。若$S^{1}a=S^{1}b$ ，则称a与b是$ℒ$ 等价的，记为$aℒb$ ；若$a{S}^1=b{S}^1$ ，则称a与b是$ℛ$ 等价的，记为$aℛb$ ；若$S^{1}A{S}^1=S^{1}A{S}^1$ ，则称a与b是$\mathcal{T}$ 等价的，记为$a\mathcal{T}b$ ；其中$S^1$ 表示由S得到的幺半群，若S没有单位元，则可以添加一个单位元，否则$S^1=S$ ，令$\mathscr{H}=ℒ\cap ℛ,\mathcal{D}=ℒ\cup ℛ$ 表示$ℒ$ 关系和$ℛ$ 关系的交和并。众所周知，$\mathcal{D}=ℒ\circ ℛ=ℛ\circ ℒ$ 且$\mathscr{H}\subseteq ℒ$ ，$ℛ\subseteq \mathcal{D}\subseteq \mathcal{T}$ 。特别地，当S是有限半群时，$\mathcal{D}=\mathcal{J}$ 。对任意的$a\in S$ ，通常用${ℛ}_a,{ℒ}_a,{\mathcal{J}}_a,{\mathscr{H}}_a$ 分别表示a所在$ℛ$ -类、$ℒ$ -类、$\mathcal{J}$ -类、$\mathscr{H}$ -类。

对半群研究格林关系具有重要的意义，1995年，Green [1]首次在半群上定义了格林关系，即五类等价关系。1955年，Doss [2]给出了全变换半群上Green关系的等价刻画。1995年，Howie [3]系统地总结了半群上的格林关系的系列结果。2010年，郭聿琦[4]等对格林关系的提出及推广脉络进行了详细阐述。2022年，李德标[5]主要研究了保向扩张全变换半群和保向扩张部分单变换半群的格林关系。2023年，陈辉[6]研究等价关系的变换半群$\mathcal{T}ℰ\left(X\right)$ 和$\mathcal{T}{ℰ}^{*}\left(X\right)$ 的格林关系。

设${\mathcal{S}}_n$ 和${\mathcal{T}}_n$ 分别是$X_n=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 上的对称群和全变换半群。对于$1\le m\le n-1$ ，记$X_m=\left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ 。令

${ℱ}_{\left(n,m\right)}=\left\{\alpha \in {\mathcal{T}}_n:x\alpha =x,x\in X_m\right\},$

${\mathcal{G}}_{\left(n,m\right)}=\left\{\alpha \in {ℱ}_{\left(n,m\right)}:X_{n-m}\alpha =X_{n-m}\right\},$

${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)=\left\{\alpha \in {ℱ}_{\left(n,m\right)}:存在1\le j\le m<i\le n使得i\alpha =j\right\},$

则易证得${ℱ}_{\left(n,m\right)}$ ，${\mathcal{G}}_{\left(n,m\right)}$ 和${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 都是全变换半群${\mathcal{T}}_n$ 的子半群且${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)\subseteq {ℱ}_{\left(n,m\right)}$ 。显然${\mathcal{G}}_{\left(n,m\right)}={ℱ}_{\left(n,m\right)}\cap {\mathcal{S}}_n$ 且${\mathcal{G}}_{\left(n,m\right)}\cong \left\{1_m\right\}\times {\mathcal{S}}_{n\backslash m}$ ，其中$1_m$ 是$X_m$ 上的恒等变换且${\mathcal{S}}_{n\backslash m}$ 是$X_n\backslash X_m$ 上的对称群。2013年，Honyam和Sanwong在文献[7]中刻画了半群${ℱ}_{\left(n,m\right)}$ 的格林关系，并研究了它的秩。2022年，Ronnason Chinram在文献[8]中研究了${ℱ}_{\left(n,m\right)}$ 的正则性质。

本文将考虑半群${\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ ，刻画了它的格林关系以及该半群的理想形式。

2. 主要结果及其证明

设$\alpha \in {\mathcal{T}}_n$ ，通常用$im\left(\alpha \right)$ 表示集合$\left\{x\alpha :\alpha \in X_n\right\}$ ，称$im\left(\alpha \right)$ 为$\alpha$ 的像，记

$ker\left(\alpha \right)=\left\{\left(x,y\right)\in X_n\times X_n:x\alpha =y\alpha \right\},$

则$ker\left(\alpha \right)$ 是$X_n$ 上的等价关系，称$ker\left(\alpha \right)$ 为$\alpha$ 的核。

假设$1\le m\le n-1$ ，任取$\alpha \in {\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ 且$\left|im\left(\alpha \right)\right|=k$ ，则$\alpha$ 有如下标准表示：

$\alpha =\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right),k=m$

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\end{array}\right),k\ge m+1$

其中$i\in A_i$ ，$1\le i\le m$ ，$\left|A_1\cup \cdots \cup A_m\right|\ge m+1$ ，且$a_j\in X_{n-m},m+1\le j\le k$ 。

定理1 设$1\le m\le n-1$ 且$\alpha ,\beta \in {\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ ，则$\alpha ℒ\beta$ 当且仅当$im\left(\alpha \right)=im\left(\beta \right)$ 。

证明：

假设$\alpha ℒ\beta$ ，则存在$\gamma ,\delta \in {\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ ，有$\alpha =\gamma \beta$ ，$\beta =\delta \alpha$ 。于是$im\left(\alpha \right)=im\left(\gamma \beta \right)\subseteq im\left(\beta \right)$ ， $im\left(\beta \right)=im\left(\delta \alpha \right)\subseteq im\left(\alpha \right)$ ，所以$im\left(\alpha \right)=im\left(\beta \right)$ 。

反之，设$im\left(\alpha \right)=im\left(\beta \right)$ ，则$\left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|=k$ 。以下分两种情形讨论：

情形1：$k=m$ ，显然$\alpha$ 和$\beta$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right)$

$\beta =\left(\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right)$

其中$i\in A_i\cap B_i$ ，$1\le i\le m$ ，于是$\alpha =\alpha \beta$ 且$\beta =\beta \alpha$ ，从而$\alpha ℒ\beta$ 。

情形2：$k\ge m+1$ ，显然$\alpha$ 和$\beta$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\end{array}\right)$

$\beta =\left(\begin{array}{ccccccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m& B_{m+1}& \cdots & B_k\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\end{array}\right)$

其中$i\in A_i\cap B_i$ ，$1\le i\le m$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{A}_k}\right|\ge m+1$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{B}_k}\right|\ge m+1$ ，且$a_j\in X_{n-m},m+1\le j\le k$ 。令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& \min B_{m+1}& \cdots & \min B_k\end{array}\right)$

$\delta =\left(\begin{array}{ccccccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m& B_{m+1}& \cdots & B_k\\ 1& 2& \cdots & m& \min A_{m+1}& \cdots & \min A_k\end{array}\right)$

则$\alpha =\gamma \beta$ 且$\beta =\delta \alpha$ ，从而$\alpha ℒ\beta$ 。

定理2 设$1\le m\le n-1$ 且$\alpha ,\beta \in {\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ ，则$\alpha ℛ\beta$ 当且仅当$ker\left(\alpha \right)=ker\left(\beta \right)$ 。

证明：假设$\alpha ℛ\beta$ ，则有$\gamma ,\delta \in {\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ ，使得$\alpha =\beta \gamma$ ，$\beta =\alpha \delta$ 。任取$\left(x,y\right)\in ker\left(\alpha \right)$ ，则$x\alpha =y\beta$ 。于是$x\beta =x\alpha \delta =y\alpha \delta =y\beta$ ，所以$ker\left(\alpha \right)\subseteq ker\left(\beta \right)$ 。同理可证$ker\left(\beta \right)\subseteq ker\left(\alpha \right)$ 。因此，$ker\left(\beta \right)=ker\left(\alpha \right)$ 。

反之，假设$ker\left(\alpha \right)=ker\left(\beta \right)$ ，则$dom\left(\alpha \right)=dom\left(\beta \right)=k$ 。

$\left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|dom\left(\alpha \right)/ker\left(\alpha \right)\right|=\left|dom\left(\beta \right)/ker\left(\beta \right)\right|=k$

以下分两种情形讨论：

情形1：$k=m$ 。显然$\alpha =\beta$ ，从而$\alpha ℛ\beta$ 。

情形2：$k\ge m+1$ ，显然$\alpha$ 和$\beta$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\end{array}\right)$

$\beta =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& b_{m+1}& \cdots & b_k\end{array}\right)$

其中$i\in A_i$ ，$1\le i\le m$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{A}_k}\right|\ge m+1$ ，且$a_j,b_j\in X_{n-m},m+1\le j\le k$ 。注意到$\left|im\left(\beta \right)\right|=k\le n-1$ 令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[X_n\backslash im\left(\beta \right)\right]\cup \left\{1\right\}& 2& \cdots & m& b_{m+1}& \cdots & b_k\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\end{array}\right)$

$\delta =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[X_n\backslash im\left(\alpha \right)\right]\cup \left\{1\right\}& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\\ 1& 2& \cdots & m& b_{m+1}& \cdots & b_k\end{array}\right)$

则$\gamma ,\delta \in {\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ ，$\alpha =\beta \gamma$ 且$\beta =\alpha \delta$ ，从而$\alpha ℛ\beta$ 。

定理3 设$1\le m\le n-1$ 且$\alpha ,\beta \in {\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ ，则$\alpha \mathcal{J}\beta$ 当且仅当$\left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|$ 。

证明：假设$\alpha \mathcal{J}\beta$ ，则有$\gamma \in {\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ ，使得$\alpha ℛ\gamma$ 且$\gamma ℒ\beta$ 。由定理1和定理2可知，$im\left(\alpha \right)=im\left(\beta \right)$ 且$ker\left(\beta \right)=ker\left(\gamma \right)$ 。所以

$\left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\gamma \right)\right|=\left|dom\left(\gamma \right)/ker\left(\gamma \right)\right|=\left|dom\left(\beta \right)/ker\left(\beta \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|$

反之，假设$\left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|=k$ ，以下分两种情形讨论：

情形1：$k=m$ ，显然$\alpha$ 和$\beta$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right)$

$\beta =\left(\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right)$

令$\gamma =\alpha$ ，则由定理1和定理2可知，$\alpha ℛ\gamma ℒ\beta$ ，所以$\alpha \mathcal{J}\beta$ 。

情形2：$k\ge m+1$ ，显然$\alpha$ 和$\beta$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\end{array}\right)$

$\beta =\left(\begin{array}{ccccccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m& B_{m+1}& \cdots & B_k\\ 1& 2& \cdots & m& b_{m+1}& \cdots & b_k\end{array}\right)$

其中$i\in A_i$ ，$i\in B_i$ ，$1\le i\le m$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{A}_k}\right|\ge m+1$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{B}_k}\right|\ge m+1$ 且$a_j,b_j\in X_{n-m},m+1\le j\le k$ 。令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& b_{m+1}& \cdots & b_k\end{array}\right)$

则由定理1和定理2可知，$\alpha ℛ\gamma ℒ\beta$ ，从而$\alpha \mathcal{J}\beta$ 。

设S是一个半群，且$a\in S$ ，若$a^2=a$ ，则称a是S中的一个幂等元；若存在$b\in S$ ，使得$aba=a$ ，则称a为正则元；若存在$b\in S$ ，使得$aba=a$ ，$bab=a$ ，则称b为a的一个逆元。若半群S的每个元都是正则元，则称S是正则半群。设$ℐ$ 是半群S的非空子集，若$ℐS,Sℐ\subseteq S$ ，则称$ℐ$ 是半群S的理想。

假设$m\le r\le n$ ，令

${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)=\left\{\alpha \in {\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right):\left|im\left(\alpha \right)\right|\le r\right\}$ .

则称${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)$ 是${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 理想。

定理4 设$1\le m\le n-1$ ，则半群${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 的理想仅仅如下形式：

${\mathcal{T}}_{{ℱ}_{\left(m\right)}}\left(n,r\right)$ , $m\le r\le n$

证明：假设$ℐ$ 是${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 的理想，令

$r=\max \left\{\left|im\left(\alpha \right)\right|:\alpha \in ℐ\right\}$

显然，$ℐ\subseteq {\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)$ 。由$ℐ$ 的定义知，存在$\alpha \in ℐ$ ，使得$\left|im\left(\alpha \right)\right|=r$ 。任意取$\beta \in {\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)$ ，使得$\left|im\left(\beta \right)\right|=k\le r$ 。我们将证明：$\beta \in ℐ$ ，以下分两种情形讨论：

情形1：$r=m$ ，显然$\beta \alpha =\alpha$ ，从而由$\alpha \in ℐ$ 及$ℐ$ 是半群${\mathcal{T}}_{F_m}\left(n\right)$ 的理想可得，$\beta =\beta \alpha \in ℐ$ 。

情形2：$r\ge m+1$ 。显然$\alpha$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_r\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & r\end{array}\right)$

其中$i\in A_i$ ，$1\le i\le m$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{A}_k}\right|\ge m+1$ ，且$a_j\in X_{n-m},m+1\le j\le k$ 。以下分成两种子情形讨论：

情形2.1：$k=m$ ，显然$\beta$ 有如下标准形式：

$\beta =\left(\begin{array}{cccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right)$

其中$i\in B_i$ ，$1\le i\le m$ 。易验证$\beta =\beta \alpha$ ，从而由$\alpha \in ℐ$ 及$ℐ$ 是半群${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 的理想可得，$\beta =\beta \alpha \in ℐ$ 。

情形2.2：$k\ge m+1$ ，显然$\beta$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m& B_{m+1}& \cdots & B_k\\ 1& 2& \cdots & m& b_{m+1}& \cdots & b_k\end{array}\right)$

其中$i\in B_i$ ，$1\le i\le m$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{B}_k}\right|\ge m+1$ ，且$b_j\in X_{n-m},m+1\le j\le k$ 。注意到$\left|im\left(\beta \right)\right|=k\le n-1$ 。

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccc}{B}_1& B_2& \cdots & B_m& B_{m+1}& \cdots & B_k\\ 1& 2& \cdots & m& \min A_{m+1}& \cdots & \min A_k\end{array}\right)$

$\delta =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[X_n\backslash im\left(\alpha \right)\right]\cup \left\{1\right\}& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\\ 1& 2& \cdots & m& b_{m+1}& \cdots & b_k\end{array}\right)$

则$\beta =\gamma \alpha \delta \in ℐ$ ，从而由$\alpha \in ℐ$ 及$ℐ$ 是半群${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 的理想可得，$\beta \in ℐ$ 。

由$\beta$ 的任意性可得，${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)\subseteq ℐ$ 。因此，${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)=ℐ$ 。

定理5 设$1\le m\le r\le n$ ，则${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)$ 是正则半群。

证明：任取$\alpha \in {\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)$ ，则$m\le \left|im\left(\alpha \right)\right|=k\le r$ 。以下分两种情形讨论：

情形1：$k=m$ ，显然$\alpha$ 有如下标准形式：

$\alpha =\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right)$

其中$i\in A_i$ ，$1\le i\le m$ 。显然$\alpha ={\alpha }^2$ ，即$\alpha$ 是幂等元，从而$\alpha$ 是正则元。

情形2：$m+1\le k\le r$ ，显然$\alpha$ 有如下标准表示：

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_m& A_{m+1}& \cdots & A_k\\ 1& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\end{array}\right)$

其中$i\in A_i$ ，$1\le i\le m$ ，$\left|{\displaystyle {\cup }_{k=1}^m{A}_k}\right|\ge m+1$ ，且$a_j\in X_{n-m},m+1\le j\le k$ 。令

$\beta =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[X_n\backslash im\left(\alpha \right)\right]\cup \left\{1\right\}& 2& \cdots & m& a_{m+1}& \cdots & a_k\\ 1& 2& \cdots & m& \min A_{m+1}& \cdots & \min A_k\end{array}\right)$

则$\alpha =\alpha \beta \alpha$ ，从而$\alpha$ 是正则元。

由$\alpha$ 的任意性可知，从而${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n,r\right)$ 是正则半群。

3. 总结及展望

本文介绍了半群${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 的基本性质，刻画了该半群上的格林关系，给出该半群的理想及其正则性。本文通过相关理论以及其它学科相关知识对一类部分变换半群进行了研究，希望我的研究结果能对该理论或者相关的学科提供一些有意义的信息。但本文没有深入研究半群${\mathcal{T}}_{{ℱ}_m}\left(n\right)$ 的相关秩以及极大正则子半群，因此在今后的学习研究当中，会继续对这一部分进行完善。

基金项目

国家自然科学基金项目(12261022)。

NOTES

^*通讯作者。