OBE理念下数理统计课程的教学研究——以最大似然估计为例

Teaching Research on Mathematical Statistics Course under the Concept of OBE—Taking Maximum Likelihood Estimation as an Example

摘要: 教育是推动社会发展进步的基石，具有塑造未来、引领发展的重要作用。数理统计主要研究统计量和概率分布，是统计学类专业的一门基础必修课程。它为农业、医疗和通信等领域提供了坚实的理论基础，其教学改革研究具有重要意义。产出导向教育(Outcomes-Based Education, OBE)理念鼓励学生在实践中学习，符合新时代对教育的期待。本文以数理统计中较为重要的最大似然估计为例，遵循OBE理念，通过问题驱动的方式进行教学设计，旨在培养学生的良好品德和实际应用能力。

Abstract: Education serves as the cornerstone for promoting social development and progress, playing a vital role in shaping the future and leading development. Mathematical statistics, which focuses on statistical measures and probability distributions, is a fundamental required course in the field of statistics. It provides a solid theoretical foundation for industries such as agriculture, healthcare, and communications, making research on its teaching reform of great significance. The Outcomes-Based Education (OBE) concept encourages students to learn through practice, aligning with contemporary expectations for education. Taking maximum likelihood estimation, a relatively important concept in mathematical statistics, as an example, this paper designs teaching based on the OBE concept through a problem-driven approach, aiming to cultivate students' good character and practical application abilities.

1. 引言

2024年9月，全国教育大会强调，教师要把握立德树人这一根本任务，坚持社会主义办学方向，妥善处理好知识学习与全面发展、人才培养与社会需求之间的关系，培养品德和能力兼备的人才[1]。这表明了人才培养质量与社会需求相匹配的重要性。在这一宏观背景下，OBE理念逐渐成为教育改革与实践的重要指导原则，其内涵和精髓在于[2] [3]：以学生为中心，成果为导向。强调学生是教育的主体，教学目标应以学生的学习结果为导向，确保每个学生都能根据自己的学习轨迹获得成功；反向设计。从预期的学习成果出发，反向设计课程体系，确保教学活动与学习目标的一致性；持续改进。通过对学生学习成果的定期评估和反馈，及时调整教学策略和方法，优化课程体系和教学内容。简单来说，OBE理念以学生为中心，关注教育成果的输出，鼓励学生在实践中学习，在探索中成长，而非单纯依赖传统的教师中心教学模式。可见，OBE理念不仅符合新时代对教育的期待，也与数理统计课程的教学改革需求不谋而合。

数理统计作为一门理论与实践并重的学科，其教学改革尤为重要。以OBE理念为指导的教学改革应注意：一、以成果为导向，反向设计教学目标，让教师明确教什么，学生清楚要学什么；二、让学生成为学习的主体。教师可以采用提出问题、围绕问题来教的方法，激发学生的学习兴趣，鼓励学生自己动脑筋、动手去探索和解决问题[4]；三、注意课程思政的融入。在教学过程中，可以结合具体的案例，引导学生思考团队合作的重要性以及社会责任的担当等思政元素；四、注重适时评定与学生的反馈意见，以准确掌握学生的学习状态，对教学进行持续地改进。

因此，本文将OBE理念融入数理统计课程的教学设计中，以最大似然估计为例，采用课程思政与问题驱动的教学方法，旨在培养学生的良好品德与实际应用能力。

2. 教学设计

2.1. 教学背景

最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)是数理统计课程的重要内容之一。MLE最早由德国数学家高斯于1821年提出，随后英国统计学家罗纳德·费希尔对其进行了深入的分析和推广，使其广泛应用于农业、医疗和通信等领域。MLE作为一种重要的参数估计方法，其思想在于“给定一个统计模型和一些观测数据，选择使得观测数据出现概率最大的模型参数作为估计值”[5]。

2.2. 学情分析

(1) 知识现状

数理统计课程一般在大二下学期开设。此前，学生已学习了相关的理论基础课程和计算机软件，为学习最大似然估计打下了一定的基础。例如，在概率论课程中，学生学习了概率分布的概念，理解并掌握了条件概率、联合概率和边缘概率等基本概念。在数理统计课程中，学生理解并掌握了抽样分布、矩估计和估计量的评选标准等基本概念和方法。由于学生的学习情况存在差异，所以在教学过程中应当重视对相关知识的复习，使学生能更好地掌握MLE。

(2) 应用能力

学生基本上都会复述最大似然估计的公式，但在面对实际问题时，往往不知如何应用，缺乏对数据信息处理和分析的能力，难以将实际问题转化为数学模型。另外，将最大似然估计方法应用于实际问题时，一般要求学生具备较高的实践能力和创新思维。因此，在教学过程中，应当从基本概念入手，再由浅入深对其公式进行推导和应用，培养学生将所学知识应用于实际问题的能力。

(3) 情感价值观

由于最大似然估计知识本身的复杂性，学生可能会产生一些畏难情绪和挫败感，影响他们持续学习的兴趣和动力。对此，在教学过程中，尽量从贴近生活的简单实例出发，激发出学生对本节知识的学习兴趣，再逐步引导学生进入学习状态，提高学生的学习动力。除此以外，还应注重将课程思政融入课堂之中。例如，通过鼓励学生探索未知领域，亲身实践验证自己的猜想和假设，以此培养学生的科学探索精神。

2.3. 教学目标

教学目标可以为教师和学生提供清晰的方向，确保教学活动围绕核心知识点和技能进行。根据学情分析的情况，本文基于OBE理念反向设计教学目标，具体内容见表1。

Table 1. Teaching objectives

表1. 教学目标

教学目标	内容
知识	① 理解MLE的思想和应用背景；② 掌握MLE的方法，能根据已知条件使用该方法给出参数的估计，解决相应的实际问题。
能力	① 熟悉数学公式，掌握MLE的计算步骤和方法；② 会分析实际案例，能建立相应的数学模型，具备解决问题的能力。
情感价值观	通过对最大似然估计的学习，引导学生积极参与课堂讨论和实践，增强团队合作意识与交流能力，培育学生的科学探索精神。

2.4. 教学重难点

教学重点：理解和掌握MLE的基本原理和计算方法，能通过求导和对数转换找到使似然函数最大化的参数值。

教学难点：学生可能难以直观理解概率密度函数乘积作为似然函数的意义，需要通过生动的例子展示，帮助学生理解似然函数的含义和重要性。对于有些数学问题，可能涉及相对复杂的运算，需要通过逐步推导和详细解释，帮助学生掌握相关的数学技巧。

2.5. 设计思路

设计思路如图1所示：首先，提出问题，激发学生的学习兴趣和好奇心，引导他们关注将要学习的MLE知识。随后，通过引入生活实例，将抽象的数理统计概念与现实生活联系起来，使学生能够更好地理解这些概念的实际应用。在解决问题阶段，注重引导学生运用MLE来解决所提出的问题。接着，在应用举例环节，通过具体的案例来进一步阐释MLE的应用方法，提高学生的应用能力。最后，通过设计具有挑战性和实践性的项目，让学生在实际操作中运用所学知识，增强团队合作意识与交流能力，培育学生的科学探索精神。

Figure 1. Teaching design ideas

图1. 教学设计思路

3. 教学过程

3.1. 提出问题，导入新知

本文利用生活中“打标记估计鱼总数”的案例，导入新知识MLE。案例如图2所示，这种捕鱼打标记的方法可以得知鱼总数$N$ 。那具体是怎么做的呢？

Figure 2. Estimate the number of fish

图2. 估计鱼数目

解答$\frac{100}{10}=\frac{N}{1000}$

则鱼总数$N=10000$ (条)

这种做法看似是一个单纯的数学问题，实际上它是借助统计学思想，以大数定律为依据的矩估计，利用样本均值来估计总体均值。若想解决此问题更清晰地体现统计学思想，可以采用另一种方法——最大似然估计。

【教师】给出生活实例——估计鱼数目，提出问题，引导学生解决问题，进而导入新知。

【学生】思考问题，利用所学知识解答问题。

【设计意图】完成知识目标①，激发学生的思考和学习兴趣。

3.2. 解读内涵，明确定义

最大似然估计的核心为最大似然原理。下面，通过讲解“摸球”案例(见图3)，解释MLE的原理。

Figure 3. Touch the ball

图3. 摸球

显然，不管是取到哪个盒子，结果都只有两种结果：A = {取到黄球}和B = {取到红球}。若取到甲盒子，则$P_1\left(A\right)=0.01$ ；若取到乙盒子，则$P_2\left(A\right)=0.99$ 。由于现在A已经发生，则可以推断这只黄球最有可能源自乙盒子。这一推断背后的理论依据就是最大似然原理，即“概率最大的事件被认为是最有可能发生的”。其中，“最有可能”这一表述，实际上就是在表达“最大似然”的概念，即基于现有观测结果，选择最符合观测数据概率分布的假设。

基于此，MLE的定义为[6]：设总体X的分布为$f\left(x;\theta \right)$ ，$\theta \in \Theta$ ，$\theta$ 是参数$\Theta$ 的参数空间。当X为离散型时，$f\left(x;\theta \right)$ 为X的分布律；当X为连续型时，$f\left(x;\theta \right)$ 为X的概率密度函数。$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的观测值，将样本的联合概率函数看成$\theta$ 的似然函数$L\left(\theta \right)$ ，见公式(1)。

$L\left(\theta \right)={\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f\left(x_i,\theta \right)}$ (1)

当$L\left(\theta \right)$ 取最大值时所对应的$\widehat{\theta }$ 作为$\theta$ 的估计，称$\widehat{\theta }$ 为最大似然估计。

【教师】给出“摸球”的生活实例，解读定义。

【学生】吸纳新知，明确定义。

【设计意图】完成知识目标①和能力目标①。借助摸球的生活案例，帮助学生理解MLE。

3.3. 解决问题，加强理解

现在，我们回到刚才的问题，思考如何使用MLE求解鱼塘中的鱼总数N。

解析：设X表示第二次捞出的鱼中带标记的鱼数，有

$P\left(X=10\right)=\frac{C_{1000}^{10}{C}_{N-1000}^{90}}{C_N^{100}}$ (2)

则似然函数$L\left(N\right)$ 为

$L\left(N\right)=\frac{C_{1000}^{10}{C}_{N-1000}^{90}}{C_N^{100}}$ (3)

现在我们只需要找到一个$\widehat{N}$ 使$L\left(N\right)$ 达到最大值。不妨考虑相邻两项的比值$G\left(N\right)$ 来进行求解，如公式(4)所示。

$G\left(N\right)=\frac{L\left(N\right)}{L\left(N-1\right)}=\frac{\left(N-1000\right)\left(N-100\right)}{N\left(N-1000-90\right)}$ (4)

当$N<10000$ 时，$G\left(N\right)>1$ ；当$N>10000$ 时，$G\left(N\right)<1$ 。因此，10000即为鱼塘中鱼总数的最大似然估计$\widehat{N}$ 。

【教师】结合学生所答，给出具体的解题步骤，帮助学生巩固新知。

【学生】思考利用MLE如何求解N，加强对MLE原理的理解。

【设计意图】完成知识目标①②和能力目标①②。帮助学生理解并掌握求解最大似然估计的方法，培养其解决实际问题的能力。

3.4. 应用举例，巩固知识

OBE理念要求教育者明确学生的学习目标，并围绕这些目标来设计教学活动和评价方式。以上两个案例可以帮助学生达成相应的知识和能力目标。为了培养学生应用知识来解决实际问题的能力，本文采用了抽检灯泡(见题1)和识别石灰石(见题2)两个例子。

题1 (二点分布) [6] 如图4所示。

Figure 4. Spot check light bulbs

图4. 抽检灯泡

题1解析：设X表示经检查后的不合格品数，$X=0,1$ 分别表示不合格品和合格品，$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的观测值。可知X的概率函数为

$P\left(X=x\right)=p^x{\left(1-p\right)}^{1-x},x=0,1$ (5)

则似然函数$L\left(p\right)$ 为

$L\left(p\right)={\displaystyle \prod _{i=1}^n{p}^{x_i}{\left(1-p\right)}^{1-x_i}}=p^{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}}{\left(1-p\right)}_{}^{n-{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}}$ (6)

但是，直接求导不易。考虑到对数似然函数$\ln \left(L\left(p\right)\right)$ 与$L\left(p\right)$ 达到最大是等价的，于是有

$\ln \left(L\left(p\right)\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}\ln p+\left(n-{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}\right)\ln \left(1-p\right)$ (7)

对公式(7)两边同时求导，并令其等于0

$\frac{\text{d}\left(\ln \left(L\left(p\right)\right)\right)}{\text{d}p}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}}{p}-\frac{n-{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}}{1-p}=0$ (8)

解得最大似然估计值为$\widehat{p}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}}{n}=\overline{x}$ ，最大似然估计量为$\overline{X}$ ，二者统称为最大似然估计。

【教师】展示8个小灯泡(有好有坏)和电路座，并随机邀请一位同学进行演示——检测灯泡是否亮灯。根据学生的实验结果，引出题1 (见图4)，引导学生思考在大批量灯泡中如何利用MLE估计不合格品率p，汇总学生的答案，给出具体的解析过程。

【学生】亲身体验抽检灯泡的过程，阐述实验结果。分组讨论并思考如何求解p的估计，并根据教师的评析过程，归纳求解最大似然估计的一般步骤。

【设计意图】完成知识目标①②和能力目标①②。以学生为本，通过学生参与检测灯泡和作答题目，引导学生掌握求解最大似然估计的一般步骤，培养学生由实际问题建立数学模型，并解决问题的能力。

题2 (二项分布) [6] 设有一地质团队为研究青海湖的湖滩地区的岩石成分，随机地从该地区抽取80个样品(每个样品有8块石子)，X为每个样品中的石灰石数，样本数据如表2所示。求石子中石灰石比例$\theta$ 的${\widehat{\theta }}_{MLE}$ (80次观测相互独立)。

Table 2. Sample data for Question 2

表2. 题2的样本数据

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8
样品个数		1	4	6	17	23	19	8	2

题2解析：由题可知，X服从二项分布$b\left(8,\theta \right)$ ，则似然函数$L\left(\theta \right)$ 为(可忽略常数)

$L\left(\theta \right)={\theta }^{{\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i}}{\left(1-\theta \right)}_{}^{8\times 80-{\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i}}$ (9)

进一步有$\ln \left(L\left(\theta \right)\right)$

$\ln \left(L\left(\theta \right)\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i}\ln \left(\theta \right)+\left(640-{\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i}\right)\ln \left(1-\theta \right)$ (10)

对公式(10)两边同时求导，并令其等于0

$\frac{\text{d}\left(\ln \left(L\left(\theta \right)\right)\right)}{\text{d}\theta }=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i}}{\theta }-\frac{640-{\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i}}{1-\theta }=0$ (11)

得${\widehat{\theta }}_{MLE}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{80}{x}_i}}{640}=\frac{396}{640}\approx 0.6188$ ，可见石子中的石灰石的比例约为61.88%。

【教师】利用多媒体展示青海湖湖滩地区的几种不同岩石的图片(含石灰石)以及石灰石实物，演示鉴别石灰石的方法——石灰石遇到盐酸剧烈起泡的化学反应。在此基础上，给出题目2，根据学生的作答情况，进行评阅总结。

【学生】观察所展示出的石灰石图片和实物，阐述石灰石的特点，感受石灰石与盐酸产生的剧烈化学反应。独立求解${\widehat{\theta }}_{MLE}$ ，借助学习通工具完成生生之间相互评阅，并根据教师给出的评阅结果，总结自己的错误之处。

【设计意图】举一反三，完成知识目标①②、能力目标①②和情感价值观目标。通过学生亲身观察石灰石以及参与化学实验，培养学生的科学探索精神。学生通过作答题目，将所学知识应用到实际案例中，锻炼学生解决问题的能力。

课堂测验[7] 设总体分布律如表3所示。$a\left(0<a<1\right)$ 为未知参数。现有样本值1、2、1，求${\widehat{a}}_{MLE}$ 。

Table 3. Overall distribution law

表3. 总体分布律

取值	1	2	3
概率	$a^2$	$2a\left(1-a\right)$	${\left(1-a\right)}^2$

【教师】在学习通上发布题目(以百分制计分)，并进行详细评阅。

【学生】完成题目作答，生生之间相互评阅，并根据教师和同学的评阅，总结归纳自己的错误。

【设计意图】完成知识目标②和能力目标①。借助学习通评阅学生的做题情况，以百分制计分，将教学成果量化，把握学生对MLE的掌握情况，有利于改进教学。

通过以上教学环节，可以帮助学生理解最大似然估计的原理及应用场景，掌握求解最大似然估计的方法，达成相应的教学、能力和情感价值观目标。下面，采用问题驱动的教学方式，协助学生攻克MLE的重难点。问题及展开方式如表4所示。

Table 4. Problem content and teaching approach

表4. 问题内容及教学展开方式

问题内容	展开方式
1) 在连续型场合下，是否也有一样规范的解题步骤？	设例讲解基于正态分布、指数分布求解MLE的题目，归纳解题步骤。帮助学生理解概率密度函数乘积作为似然函数的意义。
2) 当求导后似然函数方程无解时，又该如何求出最大似然估计？	设例：设$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是来自均匀总体$U\left(a,b\right)$ 的样本，求$a,b$ 的最大似然估计[7]。根据学生的作答情况，总结对数似然方程无解时的求解思路及过程。
3) 最大似然估计一定存在吗？存在的话一定就唯一吗？	设例：设$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是来自总体$U\left(\theta -1,\theta +1\right)$ 的样本值，求$\theta$ 的最大似然估计[4]。阐述最大似然估计的统计思想。
4) 未知参数的最大似然估计与之前学过的矩估计是否一样？哪一个估计更好？	设例：设$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是来自总体$U\left(0,\theta \right)$ 的样本值，求$\theta$ 的矩估计和最大似然估计[6]。通过对比结果，引导学生借助所学知识评价优劣。

3.5. 项目实践，提升能力

天气预报对于人们的生活、农业生产等领域都具有重要意义。天气预报模型通常包含多个参数，这些参数的准确估计对于提高预报精度至关重要。为了锻炼学生团队协作和解决实际问题的能力，本文设计了基于MLE的天气预报模型项目实践环节。项目实施内容如图5所示。

【教师】介绍项目的背景意义，阐述天气预报模型建模的基本步骤和相关方法，线上线下全过程指导项目，并邀请几位相关的专业教师，对小组成果进行评阅打分(以百分制计分)。

【学生】3~4人一组，各组自行收集和处理数据，完成模型的建立、优化和评估，撰写研究报告，并选派小组代表进行总结汇报，提交反馈意见表。

【设计意图】完成知识目标①②、能力目标①②和情感价值观目标。通过跨学科的项目实践，协助学生整合不同学科的知识，培养学生的科学探索精神和解决实际问题的能力。通过小组分工合作，培养学生的团队协作精神和沟通交流的能力。通过现场汇报、点评打分和收集意见反馈表，促进教学的持续改进。

综合以上教学过程，MLE的教学活动计划如表5所示。

Figure 5. The implementation content of the weather forecasting model project

图5. 天气预报模型项目的实施内容

Table 5. Teaching activity schedule

表5. 教学活动计划表

教学过程		时间 (分钟)	学习内容	学习活动	设计意图
课前	预备		完成学习通上的习题测验，把握本节的学习目标和任务。	自主学习 师生互动	学生明确学习目标及任务
课中	导入	5	以生活实例提出问题，初步了解最大似然估计的应用。	讲述法 师生互动 案例驱动的探究式学习	激发学生学习兴趣，完成知识目标①
	定义探究	10	理解最大似然估计的基本原理及定义。	讲述法 师生互动	完成知识目标① 能力目标①
	解决问题	10	掌握求解最大似然估计的方法。	讲述法 小组讨论法 师生互动	完成知识目标①② 能力目标①②
课中	应用举例	30	归纳最大似然估计的一般步骤；(10分钟) 根据实际问题，建立数学模型；(10分钟) 课堂测验，百分制计分。(10分钟)	讲述法 师生互动 分组合作 生生互动 课程思政	完成知识目标①② 能力目标①② 情感价值观目标
		40	连续型场合求解MLE；(10分钟) 当求导后似然方程无解时，求出最大似然估计；(10分钟) 最大似然估计是否存在、是否唯一；(10分钟) 矩估计与最大似然估计的比较。(10分钟)	讲述法 师生互动 小组讨论 比较与评价	完成知识目标①② 能力目标①②
课中 + 课后	项目实践	45	课后完成项目内容； 选取小组代表进行总结汇报。(教师点评，百分制计分)	分组合作 小组展示 案例驱动的探究式学习 课程思政	完成知识目标①② 能力目标①② 情感价值观目标
课后	反馈		完成作业(教师批阅，百分制计分)； 提交反馈评价表。		提升教学质量

4. 结语

最大似然估计是数理统计课程的重要内容之一，它提供了一种量化、系统的方法来估计模型参数，具有重要的实际意义。在本文的教学设计中，注重将MLE与实际应用场景相结合，借助案例分析、项目协作和小组讨论等多种教学手段，循序渐进地帮助学生领悟MLE的实际意义，培养其解决实际问题的能力。同时，还着重于在教学中渗透思想政治教育元素，培育学生的团队协作和科学探索精神。

基金项目

2024年统计学教改项目“OBE视角下的数理统计课程教学改革与实践探索”(2024JG0232)。