一类新的DZT矩阵的放缩矩阵及在行列式计算中的应用

A New Scaling Matrix of DZT Matrices and Its Application in Determinant Calculation

摘要: DZT矩阵是一类重要的非奇异H-矩阵，本文构造了一类新的DZT矩阵的放缩矩阵，新的放缩性矩阵在估计DZT矩阵的行列式中有重要应用。

Abstract: The class of DZT matrices is an important subclass of nonsingular H-matrices. This paper presents a new scaling matrix of DZT matrices. The new scaling matrix has important applications in estimating the determinant of the DZT matrix.

1. 引言

非奇异性H-矩阵是理论和实践中重要的矩阵，在计算数学，控制理论，动态系统理论以及弹性动力学等许多领域都有广泛的应用。2018年，Zhao，Liu和Li等引入了一类新的矩阵类——DZT矩阵，并证明DZT矩阵为非奇异性H-矩阵的子类[1]。最近，关于DZT矩阵的性质被广泛关注，如逆矩阵的无穷范数的界[2]，舒尔补[3]，子直和[4] [5]等。

非奇异H-矩阵的放缩矩阵在非奇异性H-矩阵的理论研究与实际应用中均有重要作用，比如行列式的估计，求解大型线性方程组，估计逆矩阵的无穷范数等。Zeng，Liu和Mo等给出了一类DZT矩阵的放缩矩阵[3]。本文，我们给出一类新的DZT矩阵的放缩矩阵，并利用其得到了DZT矩阵的行列式的上下界。算例说明了所得结果的正确性。

2. 预备知识

令$C^{n\times n}$ 表示n阶复矩阵的全体，记$\langle n\rangle =\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ ，对任意的$A\in C^{n\times n}$ ，定义如下符号：

$r_i\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}^n\left|a_{ij}\right|}$ (2.1)

$r_i^S\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i,j\in S}^n\left|a_{ij}\right|}$ (其中S为$\langle n\rangle$ 的非空子集) (2.2)

$N^{+}\left(A\right)=\left\{i\in \langle n\rangle :\left|a_{ii}\right|>r_i\left(A\right)\right\}$ (2.3)

$N^{-}\left(A\right)=\left\{i\in \langle n\rangle :\left|a_{ii}\right|\le r_i\left(A\right)\right\}$ (2.4)

${\Gamma }_i\left(A\right)=\left\{j\in \langle n\rangle -\left\{i\right\}:\left(\left|a_{ii}\right|-r_i^{\langle n\rangle -\left\{j\right\}}\left(A\right)\right)\left|a_{jj}\right|>\left|a_{ij}\right|r_j\left(A\right)\right\},i\in \langle n\rangle$ (2.5)

定义2.1. 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，若对所有$i\in \langle n\rangle$ ，都有$\left|a_{ii}\right|>r_i\left(A\right)$ ，即矩阵A的主对角线元素的绝对值严格大于同行其它元素绝对值之和，则称A是严格对角占优(SDD)矩阵。

定义2.2. 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，若存在正对角矩$X=diag\left(x_1{x}_2\cdots x_n\right)$ ，使矩阵$AX$ 是SDD矩阵，则称A为非奇异H-矩阵。

定义2.3. 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，当任意的$i\in \langle n\rangle$ ，满足$i\in N^{+}\left(A\right)$ ，或者满足${\Gamma }_i\left(A\right)\ne \varnothing$ ，则称矩阵A为DZT矩阵。

引理2.1. SDD矩阵是DZT矩阵的子类，DZT矩阵是非奇异H-矩阵的子类。

引理2.2. 设$a,b,c>0$ ，$a\ge b+c$ ，则

$\frac{c}{a-b}\le \frac{b+c}{a}$ .

本文总是假设$a_{ii}\ne 0$ ，$N^{-}\left(A\right)\ne \varnothing$ 。

引理2.3. 设A是一个DZT矩阵，存在对角矩阵$W=diag\left(w_1,w_2,\cdots ,w_n\right)$ ，其中

$w_i=\{\begin{array}{l}1,i\in N^{-}\left(A\right),\\ \frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}+\epsilon ,i\in N^{+}\left(A\right),\end{array}$

使得$AD$ 是一个SDD矩阵。

3. 一类新的DZT矩阵的放缩矩阵

对任意的$A\in C^{n\times n}$ ，符号$r_i\left(A\right),r_i^S\left(A\right),N^{+}\left(A\right)\text{, }{N}^{-}\left(A\right),{\Gamma }_i\left(A\right)$ 如(2.1)~(2.5)定义。同时定义如下符号：

$\gamma =\underset{i\in N^{+}\left(A\right)}{\max }\frac{{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}$ , (3.1)

${\delta }_i\left(A\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}+\gamma {\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|},i\in N^{+}\left(A\right)$ . (3.2)

引理3.1. 设$A\in C^{n\times n}$ ，$\gamma$ 与${\delta }_i\left(A\right)$ 分别由式(3.1)与(3.2)定义，则

$0\le {\delta }_i\left(A\right)\le \gamma <1$ , (3.3)

${\delta }_i\left(A\right)\le \frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|},i\in N^{+}\left(A\right)$ . (3.4)

证明：由引理2.2可知

$\frac{{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}\le \frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}$ , $i\in N^{+}\left(A\right)$ ,

所以$\gamma =\underset{i\in N^{+}\left(A\right)}{\max }\frac{{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}\le \underset{i\in N^{+}\left(A\right)}{\max }\frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}<1$ 。

对于任意的$i\in N^{+}\left(A\right)$ ，都有$0\le {\delta }_i\left(A\right)$ 和$0\le \frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}<1$ 。根据(3.1)，可以看出

$\gamma \ge \frac{{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}$ , $i\in N^{+}\left(A\right)$ ,

则可知

$\gamma \left(\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}\right)\ge {\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}$ , $i\in N^{+}\left(A\right)$ ,

所以

$\gamma \left(\left|a_{ii}\right|\right)\ge {\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}+\gamma {\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}$ , $i\in N^{+}\left(A\right)$ ,

$\gamma \ge \frac{{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}+\gamma {\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|}$ , $i\in N^{+}\left(A\right)$ ,

即$\gamma \ge {\delta }_i\left(A\right)$ 。因此(3.3)成立。

由于$0\le \gamma <1$ ，所以

${\delta }_i\left(A\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}+\gamma {\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}}{\left|a_{ii}\right|}\le \frac{r_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|},i\in N^{+}\left(A\right)$ .

因此(3.4)成立。证毕。

现定义对角矩阵$D=diag\left(d_1,d_2,\cdots ,d_n\right)$ ，其中

$d_i=\{\begin{array}{l}1,i\in N^{-}\left(A\right),\\ {\delta }_i\left(A\right)+\epsilon ,i\in N^{+}\left(A\right),\end{array}$ (3.5)

以及

$0<\epsilon <\underset{i\in N^{-}\left(A\right)}{\min }\frac{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right)}{\delta }_j\left(A\right)\left|a_{ij}\right|}}{{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}}$ . (3.6)

注3.1：(3.6)中$\epsilon$ 的定义是有意义的。这是因为，对于任意$i\in N^{-}\left(A\right),j_0\in {\Gamma }_i\left(A\right)$ ，都有

$\left|a_{ii}\right|>r_i^{\langle n\rangle -\left\{j_0\right\}}\left(A\right)+\frac{r_{j_0}\left(A\right)}{\left|a_{j_0{j}_0}\right|}\left|a_{i{j}_0}\right|$ .

则

$\begin{array}{l}\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right)}{\delta }_j\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|\\ >r_i^{\langle n\rangle -\left\{j_0\right\}}\left(A\right)+\frac{r_{j_0}\left(A\right)}{\left|a_{j_0{j}_0}\right|}\left|a_{i{j}_0}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right)}{\delta }_j\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|\\ ={\displaystyle \sum _{j\ne i,j_0}\left|a_{ij}\right|}+\frac{r_{j_0}\left(A\right)}{\left|a_{j_0{j}_0}\right|}\left|a_{i{j}_0}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right)}{\delta }_j\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|\\ =\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne j_0}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}\right)+\frac{r_{j_0}\left(A\right)}{\left|a_{j_0{j}_0}\right|}\left|a_{i{j}_0}\right|\\ -{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}-\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne j_0}{\delta }_j\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|+{\delta }_{j_0}\left(A\right)\left|a_{i{j}_0}\right|\right)\\ =\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}-{\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}\right)+\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne j_0}\left|a_{ij}\right|}-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne j_0}{\delta }_j\left(A\right)\left|a_{ij}\right|}\right)\\ +\left(\frac{r_{j_0}\left(A\right)}{\left|a_{j_0{j}_0}\right|}\left|a_{i{j}_0}\right|-{\delta }_{j_0}\left(A\right)\left|a_{i{j}_0}\right|\right)\\ \ge 0.\end{array}$

因此$\epsilon$ 的定义有意义。

定理3.1. 设A是$n\times n$ 阶的DZT矩阵，$D=diag\left(d_1,d_2,\cdots ,d_n\right)$ ，其中$d_i$ 和$\epsilon$ 分别如(3.5)与(3.6)定义，则$AD$ 是一个SDD矩阵。

证明：令$B=AD$ ，则

$\left|b_{ii}\right|=\{\begin{array}{l}\left|a_{ii}\right|,i\in N^{-}\left(A\right),\\ {\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|+\gamma {\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|+\epsilon \left|a_{ii}\right|}},i\in N^{+}\left(A\right).\end{array}$

且

$r_i\left(B\right)={\displaystyle \sum _{j\ne i}\left|b_{ij}\right|}={\displaystyle \sum _{j\ne i}\left|a_{ij}\right|d_j}={\displaystyle \sum _{j\in N^{-},j\ne i}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|\left({\delta }_j\left(A\right)+\epsilon \right)}$ .

当$i\in N^{+}\left(A\right)$ 时，我们有

$\begin{array}{c}\left|b_{ii}\right|-r_i\left(B\right)={\displaystyle \sum _{j\in N^{-}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}+\gamma {\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|+\epsilon \left|a_{ii}\right|}-\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{-},j\ne i}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|\left({\delta }_j\left(A\right)+\epsilon \right)}\right)\\ =\left(\gamma -{\delta }_j\left(A\right)\right){\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right),j\ne i}\left|a_{ij}\right|}+\left(\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle \sum _{j\in N^{+}\left(A\right)}\left|a_{ij}\right|}\right)\epsilon \\ >0.\end{array}$

当$i\in N^{-}\left(A\right)$ 时，我们有

$\begin{array}{c}\left|b_{ii}\right|-r_i\left(B\right)=\left|a_{ii}\right|-\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{-},j\ne i}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|\left({\delta }_j\left(A\right)+\epsilon \right)}\right)\\ =\left|a_{ii}\right|-\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{-},j\ne i}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|{\delta }_j\left(A\right)}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|\epsilon }\right).\end{array}$

根据(3.6)可知

$\left|a_{ii}\right|-\left({\displaystyle \sum _{j\in N^{-},j\ne i}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|{\delta }_j\left(A\right)}+{\displaystyle \sum _{j\in N^{+},j\ne i}\left|a_{ij}\right|\epsilon }\right)>0$ ,

所以

$\left|b_{ii}\right|-r_i\left(B\right)>0,i\in N^{-}\left(A\right)$ .

综上所述，对任意，均满足$\left|b_{ii}\right|-r_i\left(B\right)>0$ 。证毕。

注3.2：由引理3.1和引理2.3可知，$d_i\le w_i$ ，对任意$i\in \langle n\rangle$ 。这就意味着运用我们构造的这个矩阵D去估算DZT矩阵的行列式或者逆无穷范数，可能会得出更好的界。

4. DZT矩阵的行列式估计

引理4.1 [6]. 设$A\in C^{n\times n}$ ，如果存在一个对角矩阵$X=diag\left(x_1{x}_2\cdots x_n\right)$ ，使得$AX$ 为SDD矩阵，则有

${\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(\left|a_{ii}\right|-\frac{1}{x_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{x}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}\le \left|\det A\right|\le {\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(\left|a_{ii}\right|+\frac{1}{x_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{x}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}$ .

定理4.1. 设A是一个DZT矩阵，$D=diag\left(d_1,d_2,\cdots ,d_n\right)$ ，其中$d_i$ 和$\epsilon$ 分别如(3.5)与(3.6)定义，则

${\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(\left|a_{ii}\right|-\frac{1}{d_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{d}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}\le \left|\det A\right|\le {\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(\left|a_{ii}\right|+\frac{1}{d_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{d}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}$ .

证明：由引理4.1和定理3.1可知，结论显然成立。证毕。

推论4.1. 设A是一个DZT矩阵，若$r_i\left(A\right)\ne 0,i\in N^{+}\left(A\right)$ ，则

${\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(\left|a_{ii}\right|-\frac{1}{d_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{d}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}\le \left|\det A\right|\le {\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(\left|a_{ii}\right|+\frac{1}{d_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{d}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}$ ,

其中

$d_i=\{\begin{array}{l}1,i\in N^{-}\left(A\right),\\ {\delta }_i\left(A\right),i\in N^{+}\left(A\right).\end{array}$

证明：若$r_i\left(A\right)\ne 0,i\in N^{+}\left(A\right)$ ，则

${\delta }_i\left(A\right)\ne 0,i\in N^{+}\left(A\right)$ .

在定理4.1中的$\epsilon \to 0$ ，即得结论。证毕。

推论4.2. 设A是一个具有非负对角元的实DZT矩阵且$r_i\left(A\right)\ne 0,i\in N^{+}\left(A\right)$ ，

则

${\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(a_{ii}-\frac{1}{d_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{d}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}\le \det A\le {\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(a_{ii}+\frac{1}{d_i}{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n{d}_j\left|a_{ij}\right|}\right)}$ ,

其中

$d_i=\{\begin{array}{l}1,i\in N^{-}\left(A\right),\\ {\delta }_i\left(A\right),i\in N^{+}\left(A\right).\end{array}$

例：我们考虑如下DZT矩阵

$A_1=\left[\begin{array}{cccccc}-2& 3& 0& 1& 0& 0\\ 2& 7& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 3& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 3& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 5& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1& 10\end{array}\right]$ $A_2=\left[\begin{array}{ccccc}20& 2& 0& 4& 2\\ 4& 16& 2& 0& 2\\ 12& 0& 10& 2& 2\\ 6& 8& 0& 12& 2\\ 2& 2& 2& 2& 10\end{array}\right]$ $A_3=\left[\begin{array}{ccccc}24& 0& 1& 2& 3\\ 8& 12& 1& 2& 4\\ 4& 2& 36& 3& 0\\ 10& 0& 4& 18& 6\\ 6& 0& 2& 2& 50\end{array}\right]$ $A_4=\left[\begin{array}{cccc}32& 4& 1& 7\\ 1& 30& 3& 3\\ 9& 1& 8& 3\\ 1& 8& 9& 12\end{array}\right]$

Table 1. The determinants of A₁ to A₄ and their estimated values

表1. $A_1$ ~$A_4$ 的行列式及其估计值

DZT矩阵	真实值	由推论4.1估算的界
$A_1$	10,050	$\left[2550,10050\right]$
$A_2$	329,472	$\left[88.49,1691673.85\right]$
$A_3$	8,543,488	$\left[354841.96,33290926.14\right]$
$A_4$	73,495	$\left[87.28,487103.21\right]$

我们将这四个矩阵的行列式的绝对值与由推论4.1估算的界进行比较，见表1。可知，所举出的DZT矩阵的行列式的真实值全部在估算的界之间，可见我们结论的正确性。