高速磁浮铁路轨道不平顺谱构建方法研究

Study on the Construction Method of Track Irregularity Spectrum of High Speed Maglev Railway

摘要: 轨道不平顺是列车振动的主要激扰源，是引起列车车辆振动、车轨相互作用增大的主要因素之一，直接关系到列车运行的平稳性、舒适性和安全性，深入研究线路不平顺可为系统振动预测提供必要的基础数据，为线路轨道设计、建造与维护提供重要的理论依据。本文分析了高速磁浮轨道不平顺形式，以线路轨道特征长度为基准，提出一种基于随机过程叠加原理的高速磁浮线路不平顺拟合方法，所生成的垂向不平顺激励与实测数据吻合较好。采用8参数多项式拟合法得到高速磁浮轨道不平顺谱，通过与高速铁路经典谱对比，拟合的高速磁浮轨道不平顺谱在短波范围高于其他谱，在2~20 m波长范围在高速无砟谱和美国谱、德国谱之间，在长波范围内则低于高速无砟谱，特殊的是轨距不平顺在长波范围高于高速无砟谱，低于德国高干扰谱。

Abstract: Track irregularity is the main source of train vibration and one of the main factors causing the increase of train-vehicle vibration and train-rail interaction, which is directly related to the smoothness, comfort and safety of train operation. In-depth study of track irregularity can provide the necessary basic data for system vibration prediction, and provide an important theoretical basis for the design, construction and maintenance of track. In this paper, the irregularity forms of high-speed maglev track are analyzed. Based on the characteristic length of track, a new irregularity fitting method based on the principle of superposition of random processes is proposed. The generated vertical irregularity excitation accords well with the measured data. The irregularity spectrum of the high-speed maglev track is obtained by using 8-parameter polynomial fitting method. Compared with the classical spectrum of high-speed railway, the irregularity spectrum of the high-speed maglev track is higher than other spectra in the short wave range, between the high-speed ballastless spectrum and the American spectrum and the German spectrum in the 2~20 m wavelength range, and lower than the high-speed ballastless spectrum in the long wave range. In particular, the gauge irregularity in the long wave range is higher than the high-speed ballastless spectrum, lower than the German high interference spectrum.

1. 引言

轨道不平顺是列车振动的主要激扰源，是引起列车车辆振动、车轨相互作用增大的主要因素之一，直接关系到列车运行的平稳性、舒适性和安全性，深入研究线路不平顺可为系统振动预测提供必要的基础数据，为线路轨道设计、建造与维护提供重要的理论依据[1] [2]。在轮轨系统随机振动的研究中，国内外学者针对轨道不平顺表现形式、不平顺谱构建方法、车辆敏感波长、不平顺管理限值等方面开展了大量的研究工作[3]-[8]，但由于高速磁浮车辆、轨道结构及车辆与线路轨道的耦合关系发生了根本性的变化，传统轮轨铁路不平顺研究成果不能直接采用。

当前国内外对磁浮不平顺研究多数集中在外界随机激扰对车辆振动和控制系统稳定性影响分析上，着重研究车辆与线路动力作用问题。对磁浮线路不平顺的形成方式、影响因素和预测方法等研究并不常见，特别是针对采用磁浮线路特性结合车辆舒适度指标评估磁浮线路不平顺的限值研究几乎空白。

本文针对高速磁浮轨道结构组成和技术特点，提出一种基于随机过程叠加原理的高速磁浮线路不平顺拟合方法。以线路轨道特征长度(l = 1032 mm)为基准，分析长定子、功能件、桥梁等周期性节点处的不平顺幅值，采用叠加法获得节点处不平顺幅值，采用线性差值方法拟合出不平顺的时域不平顺样本，进而拟合得到高速磁浮轨道不平顺谱。

2. 高速磁浮铁路轨道不平顺模拟方法

2.1. 轨道不平顺表现形式

根据常导高速磁浮轨道结构特点和容许变形和误差控制，轨道不平顺主要分为确定性激励和非确定性激励。其中确定性激励主要是由于轨道结构特点确定，包括定子件长度、功能件长度、桥梁长度等位置确定。而非确定激励主要体现在轨道功能面几何公差的实际尺寸与名义尺寸的偏差，如位置偏差、错位偏差、钳距偏差、偏转角等。磁浮轨道位置偏差和错位要求均在毫米精度范围内；同一梁跨内相邻功能件之间定子间隙小于5.0 mm，功能面坡度变化率控制指标在1.5~3 mm/m内，相邻梁间定子间隙在90~100 mm [9] [10]。本文在模拟磁浮轨道不平顺时考虑了以下轨道结构特点。

(1) 定子件和功能件的安装误差

功能件由制造厂提供成品，定子铁心镶嵌于功能件下部燕尾槽内并以高强度螺栓紧固。在安装时相邻定子件之间存在错位，如图1(a)所示；相邻功能件之间存在错位，如图1(b)所示。

(a) 定子随机不平顺 (b) 功能件随机不平顺

Figure 1. Diagram of the stator and function component installation errors

图1. 定子件和功能件安装误差

(2) 桥梁支墩沉降

高速磁浮线路建设区域地表情况不一，各桥梁支墩沉降量不均匀，如图2所示，并且磁浮列车在通过桥梁时既会给支墩带来巨大的垂向载荷，导致支墩高度偏差，同时也会引起支墩的横向变形，因此，考虑桥梁支墩沉降是模拟轨道不平顺不可或缺的部分。

Figure 2. Diagram of bridge pier settlement

图2. 桥梁支墩沉降示意图

(3) 桥梁梁体变形

铁路桥梁在服役期间受到车辆、风、残余徐变、刚度劣化等多种因素的影响，作为轨道线路的支撑结构，为保证服役期间的行车安全性和乘坐舒适性，在设计阶段就需要针对各种可能的荷载组合预测和评估桥梁变形对车辆动力响应的影响。为分析桥梁变形对轨道平顺及高速磁浮列车动力响应的影响，本文考虑高速磁浮列车通过桥梁时，受载荷作用会导致桥梁产生垂向变形，如图3所示。

Figure 3. Diagram of the bridge beam deformation

图3. 桥梁梁体变形示意图

2.2. 随机不平顺模拟方法

磁浮轨道的悬浮面和导向面存在大量基础长度或与基础长度成倍数关系的部件，本文研究高速磁浮线路不平顺时，除考虑部件安装公差外，结合实际工作中各功能面的安装组成引入其特征基础长度形成不平顺相关频率成分，同时考虑磁浮桥梁变形影响。所涉及的桥梁在y向和z向的变形量按均布力载荷条件下的欧拉梁公式推导，并考虑桥梁1/2倍跨距、1倍跨距和2倍跨距的周期性波长激励。

因此，本文的不平顺模拟方法是从起始点开始，每隔基础长度(1.032 m)或基础长度的整数倍(3.096 m、12.6 m、25 m)确定一个节点坐标，奇数节点为定子件的前端点，偶数节点为定子件的后端点，再确定节点位置的随机偏差，节点间进行线性插值，以定子件的安装误差为例，如图4所示。

Figure 4. Diagram of the stator irregularity simulation

图4. 定子件不平顺模拟示意图

将桥梁在垂向的形变量考虑是由受均布载荷的欧拉梁公式推导的挠度方程决定。根据材料力学可知，挠度方程为

$y\left(x\right)=\frac{384y_{\max }}{5L^4}\left(\frac{x^4}{24}-\frac{L{x}^3}{12}+\frac{L^{3}x}{24}\right)$ (1)

式(1)中y_max为桥梁中部的挠度值；L为桥梁的跨距。

将以上桥梁变形产生的不平顺和导向面的导向不平顺、定子面的高低不平顺线性叠加，除桥梁中部挠度外，其他节点处插值均可采取线性插值的方法处理，将各点处的值叠加即可得到总的不平顺数据最终得到磁浮轨道不平顺。

2.3. 随机不平顺模拟结果及验证

运用上述磁浮轨道不平顺模拟方法生成高低和方向不平顺样本数据，并与上海高速磁浮试验线实测不平顺样本数据对比，如图5所示。从图中可看出，高低和方向不平顺时程图周期性更加明显。高低不平顺和方向不平顺的随机成分和周期成分均吻合较好，模拟高低不平顺幅值略大于实测高低不平顺幅值，模拟方向不平顺幅值略小于实测方向不平顺幅值。

运用周期图法[6]对模拟和实测数据进行处理，如图6所示。在高低和方向不平顺中12.6 m、25 m没有优势频率，短波范围基本能够反映实测不平顺的随机和周期特征。

(a) 高低不平顺时域对比

(b) 方向不平顺时域对比

Figure 5. Time domain correlation of orbital irregularity

图5. 不平顺时域对比

(a) 高低不平顺PSD对比 (b) 方向不平顺PSD对比

Figure 6. Track irregularity PSD comparison

图6. 不平顺PSD对比

3. 高速磁浮轨道不平顺谱拟合

根据对国内外典型轨道谱的分析，现有7参数模型和分段幂函数模型两个标准模型中都是依据频率对轨道谱进行研究。根据波长特征，轨道不平顺可以分为短波、中波和长波三类，因此本文从波长的角度对轨道不平顺功率谱进行拟合。

3.1. 拟合方法

采用n阶多项式进行拟合的曲线方程如下：

$y={\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_n{x}^n+}{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_1{x}^1+a_0$ (2)

用矩阵形式表示为Y = X₀A，其中

$X_0=\left[\begin{array}{ccccc}{x}_1^n& x_1^{n-1}& \mathrm{...}& x_1^2& 1\\ x_2^n& x_2^n& \mathrm{...}& x_2^2& 1\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ x_{k-1}^n& x_{k-1}^{n-1}& \mathrm{...}& x_{k-1}^2& 1\\ x_k^n& x_k^{n-1}& \mathrm{...}& x_{k-1}^2& 1\end{array}\right]$ (3)

系数向量$A=\left[a_n,a_{n-1},\cdots ,a_2,a_1,a_0\right]$ 为待求解项。方程$Y=X_{0}A$ 两边同时乘以X₀T可得到

$A={\left(X_0{}^T{X}_0\right)}^{-1}{X}_0{}^{T}Y$ (4)

根据求得的系数向量可以确定拟合的多项式模型如下

$\lg \left(S\left(\lambda \right)\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^n{a}_i\lg {\left(\lambda \right)}^i=a_n}\lg {\left(\lambda \right)}^n+a_{n-1}\lg {\left(\lambda \right)}^{n-1}+\cdots +a_1\lg \left(\lambda \right)+a_0$ (5)

式中S(λ)为功率谱密度；λ为空间波长，λ = 1/f；f为空间频率。

Figure 7. Simulate the polynomial fitting results of different order of high and low irregularity

图7. 模拟高低不平顺不同阶数多项式拟合结果

多项式的阶数直接影响拟合结果，高速磁浮高低不平顺信号1~9阶多项式拟合的结果如图7所示。从图7可以看出在3阶以下不能较好的拟合轨道谱，但从3阶以上就能够大致反映出轨道谱的趋势。在空间频率为0.1 m~1 m范围时，各阶多项式拟合较为相似；在空间频率为1 m~100 m范围时，各阶多项式拟合有较大差异，其中6~9阶拟合较好。但是从图8各阶多项式拟合均方根误差(RMSE)中可以看出，随着阶数的变化，7阶以下均方根误差相对较大，而8、9阶时均方根误差虽然有所减少，但降低得较少，并且轨道谱拟合应以拟合参数少，便于应用和参数优化为原则，综合以上因素来看，选择7阶多项式进行轨道谱拟合最为合适，具体拟合参数如表1所示。作出高低不平顺谱、方向不平顺谱、水平不平顺谱和轨距不平顺谱，如图9所示，可以看出，拟合曲线与初始曲线重合较好，能充分反映初始曲线的特征，提出的8参数多项式拟合法能够适用于高速磁浮轨道不平顺谱拟合。

Figure 8. Polynomial fitting root-mean-square error of different orders

图8. 不同阶数多项式拟合均方根误差

Table 1. The fitting coefficient of the 7th-order polynomial of track irregularity

表1. 轨道不平顺7阶多项式拟合系数

参数	高低不平顺	方向不平顺	水平不平顺	轨距不平顺
a7	0.4283	−0.0362	−0.0255	−0.0306
a6	0.7945	0.2716	−0.1773	0.2329
a5	−1.0772	0.5704	−0.2633	0.5329
a4	−1.1945	−0.4424	0.4687	−0.3753
a3	1.6258	−0.3562	1.0176	−0.3213
a2	0.0029	0.2723	−0.6990	0.2525
a1	−2.3335	−1.9970	−2.1450	−2.0138
a0	−2.1618	−1.4916	−1.0071	−1.6956

(a) 高低不平顺多项式拟合 (b) 方向不平顺多项式拟合

(c) 水平不平顺多项式拟合 (d) 轨距不平顺多项式拟合

Figure 9. Polynomial fitting results of high speed maglev track spectrum

图9. 高速磁浮轨道谱多项式拟合

3.2. 高速磁浮与高速铁路轨道不平顺谱对比

针对本文拟合的高速磁浮轨道谱曲线，将四种不平顺曲线与中国高速无砟谱[11]、美国5级谱、美国6级谱、德国低干扰谱和德国高干扰谱进行对比，如图10所示。

由图10可见，本文拟合的四个不平顺谱在波长小于1 m时高于高速无砟谱、美国谱和德国谱。其中高低不平顺谱(图10(a))波长在2~5 m范围内低于美国谱、德国谱，高于高速无砟谱；在5~100 m波长范围内，高低不平顺谱低于高速无砟谱。方向不平顺谱(图10(b))波长在2 m至7 m范围内高于德国低干扰谱，低于美国5、6级谱和德国高干扰谱；在波长为7 m至22 m范围内，方向不平顺谱低于德国低干扰谱，高于高速无砟谱；波长22~100 m时，方向不平顺谱低于高速无砟谱。水平不平顺谱(图10(c))在波长为4~20 m范围内，低于美国谱、德国谱，高于高速无砟谱；在波长为20~100 m范围内，水平不平顺谱低于高速无砟谱。轨距不平顺(图10(d))在波长为2~22 m范围内，低于美国谱，高于德国高干扰谱；其余波长均高于高速无砟谱，低于德国高干扰谱。

综上所述，本文拟合的高速磁浮轨道不平顺谱在短波范围高于其他谱，在2~20 m波长范围在高速无砟谱和美国谱、德国谱之间，在长波范围内则低于高速无砟谱，特殊的是轨距不平顺在长波范围高于高速无砟谱，低于德国高干扰谱。

(a) 高低不平顺谱 (b) 方向不平顺谱

(c) 水平不平顺谱 (d) 轨距不平顺谱

Figure 10. Comparison of track irregularity spectra between high-speed maglev and railway

图10. 高速磁浮与高速轮轨铁路轨道不平顺谱比较

4. 研究结论

本文分析了高速磁浮轨道不平顺形式，以线路轨道特征长度(l = 1032 mm)为基准，分析导向基础长度l、3l和桥梁1/2倍跨距、1倍跨距处的节点偏差特征，采用线性插值法拟合其他非节点处的偏差，通过叠加方式获得线路时域不平顺数据，进而拟合得到不平顺谱：

(1) 采用随机叠加的高速磁浮线路不平顺拟合方法，所生成的垂向不平顺激励与实测数据吻合较好，横向不平顺和侧滚不平顺与实测值趋势一致，均值近似相等。从频域角度分析，所拟合的随机不平顺缺少部分周期性尖峰，在10 m以上波长的不平顺样本拟合较差，波长在25 m以上范围的不平顺未考虑。高低和方向不平顺PSD模拟结果没有25 m、12.6 m的优势频率。

(2) 根据拟合出的高速磁浮轨道不平顺样本，采用8参数多项式拟合法得到高速磁浮轨道不平顺谱，拟合曲线与初始曲线重合较好，能充分反映初始曲线的特征。

(3) 高速磁浮轨道不平顺谱与高速铁路经典谱对比，拟合的高速磁浮轨道不平顺谱在短波范围高于其他谱，在2~20 m波长范围在高速无砟谱和美国谱、德国谱之间，在长波范围内则低于高速无砟谱，特殊的是轨距不平顺在长波范围高于高速无砟谱，低于德国高干扰谱。

本文基于随机过程叠加原理提出的高速磁浮轨道不平顺拟合方法能够较为真实地反映线路不平顺状态，可作为高速磁浮车–轨–桥耦合动力学仿真分析的输入，为指导高速磁浮线路不平顺控制标准的建立提供参考。

基金项目

中国铁路设计集团有限公司A类课题：高速磁浮线路轨道不平顺标准与管理限制研究(2023A0223809)。