奇数阶2倍素数度的局部本原图的刻画

Characterization of Locally Primitive Graphs of Odd Order with Twice Prime Valency

摘要: 局部本原图是图论与群论交叉研究的重要对象，在图的结构和对称性研究中意义重大。本文在已有研究基础上，针对奇数阶2倍素数度的局部本原但非拟本原图展开深入研究。研究证明，此类图是某一商图的正规覆盖。并进一步研究了其自同构群关于极大非传递正规子群的商群，要么是几乎单的，要么其基柱同构于$Z_p^k$ ，其中$p$ 是素数，$k\le r$ 。

Abstract: Locally primitive graphs are important objects in the intersection of graph theory and group theory, and they are of great significance in the study of the structure and symmetry of graphs. Based on previous research, this paper conducts an in-depth study on locally primitive but non-quasiprimitive graphs with odd order and twice prime valency. The research proves that such graphs are normal covers of a certain quotient graphs. Furthermore, it is investigated that the quotient group of the automorphism group of these graphs with respect to a maximal non-transitive normal subgroup is either almost simple or has a socle isomorphic to $Z_p^k$ , where p is a prime number, $k\le r$ .

1. 引言

令$\Gamma$ 是一个图，若图$\Gamma$ 既没有重边也没有自环，则称该图为简单图；如果$\Gamma$ 任意两个顶点之间都存在路径(路径是指一系列顶点$v_1,v_2,\cdots ,v_k$ ，使得对于每个i ($1\le i<k$ )，$v_i$ 和$v_{i+1}$ 之间都有一条边相连)，则该图称为连通图。下文中涉及到的图均为简单连通图。我们用$V,E,A$ 分别表示$\Gamma$ 的顶点集、边集和弧集。图$\Gamma$ 的所有自同构映射构成一个群，称为图$\Gamma$ 的自同构群，记为$Aut\Gamma$ 。设群$G\le Aut\Gamma$ ，若G在$\Gamma$ 的顶点集V (边集E或弧集A)上作用传递，则称图$\Gamma$ 是G-点传递的(相应地，G-边传递的或G-弧传递的)。对于非负整数s，图$\Gamma$ 的s弧是指s + 1个有序点列$\left(v_0,v_1,\cdots ,v_s\right)$ 满足$v_{i-1}$ 与$v_i$ 在图$\Gamma$ 上是相邻的，且$v_{i-1}\ne v_{i+1}$ (其中$1\le i\le s$ )。若$Aut\Gamma$ 在$\Gamma$ 的s-弧集上都是传递的，则$\Gamma$ 是s-弧传递的，如果$\Gamma$ 是s-弧传递而不是(s + 1)-弧传递，则$\Gamma$ 为$s$ -传递的。当s = 1时，1-弧传递也称为弧传递的。

进一步地，自同构群的性质不仅影响图的传递性，还与群的结构密切相关。我们称群G是拟本原的，如果G的所有非平凡正规子群都是传递的；称$\Gamma$ 是G-局部本原的，如果对任意的$\alpha \in V$ ，点稳定子群$G_{\alpha }$ 在$\alpha$ 的邻域$\Gamma \left(\alpha \right)$ 上诱导了一个本原置换群$G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ 。研究局部本原图的重要性在于它深刻揭示了图的自同构群在局部顶点集上的本原性作用，有助于理解图的结构，为对称图分类和代数图论提供了关键工具。

实际上，局部本原图和拟本原群存在着密切的联系。我们知道，本原置换群一定是拟本原的，所以在研究图的局部本原性时，可以借助拟本原图的分类结果来进行讨论。早在1993年，Praeger就在文章[1]中引入了拟本原置换群，他将本原群的O’Nan-Scott定理推广到了拟本原的情形，并给出了分类2-弧传递图的系统步骤。1997年他在文献[2]中，以此分类方法为基础，把拟本原群分为了8种类型，分别为：HA、HS、HC、AS、SD、CD、TW、PA，其中HA是仿射型，AS是几乎单型，TW是挠圈积型。这一分类不仅为拟本原群的研究提供了清晰的框架，也为局部本原图的研究奠定了重要的理论基础。

拟本原群的研究成果为群与图的结合提供了新的视角。事实上，群与图的研究有着悠久的历史。早在1939年，Frucht证明了对任意给定的有限群，都存在一个以这个群为自同构群的图[3]，这一成果促使学者们将群与图紧密结合，开启了众多深入的研究。局部本原图作为图论与群论交叉研究中的重要研究对象，有着丰富的研究历史。早期，数学家们在研究图的对称性时，逐渐引入了局部本原的概念，即局部本原图的自同构群在某个顶点的邻域上诱导出本原置换群。这一概念的引入，为深入研究图的结构和对称性提供了有力工具。

上世纪60年代，Tutte在文章[4]研究3度对称图时，就涉及到了局部本原图的相关性质，其研究成果为后续工作奠定了坚实的基础，吸引了众多学者们开始关注局部本原图的分类、结构特征以及与群的内在联系等问题。随后，在上世纪70~80年代，不少学者进一步探索了不同类型的局部本原图的结构，以及它们与群的关系等[5] [6]。这些早期的研究成果，为后来局部本原图的研究积累了宝贵的理论基础，推动了局部本原图研究在后续的蓬勃发展。

在群论与图论的研究中，局部本原图一直是一个热门的研究方向，它的研究起源于对称群在图上的作用。Praeger在其开创性工作中系统地研究了局部本原图的性质，证明了局部本原图的分类与群的本原作用密切相关，并给出了局部本原图的结构定理[7]。这一结果为后续对称图的研究奠定了基础。李才恒在文章[8]对局部本原图进行了系统的分类，他证明了在某些条件下，局部本原图可以完全由它们的自同构群和局部结构决定。Giudici和李才恒在文章[9]中，研究了局部本原图的弧传递性质，提出了一种基于自同构群作用的分类方法，并对一些重要的弧传递图进行了分类。在文章[10]中，Praeger和Schneider提出了一种新的分类框架，来研究局部本原图的边传递性质，并给出了具体的分类结果。此外，李才恒，潘江敏和娄本功还在文章[11]中，结合交换群的特殊性质和Cayley图的构造特点，给出了有限局部本原交换Cayley图的具体形式和相关性质；徐尚进，刘贵贤和李靖建在文章[12]中给出了一些群的局部本原图的结构特征，并完全分类了当阶为$p^{2}qr$ 时的局部本原图。

基于上述的研究背景，我们发现对于非拟本原的局部本原边传递图还有可以深入研究的空间。我们通过分析图的局部结构、自同构群的正规结构以及商图的传递性质等，实现由图到商图的归约，利用群扩张理论以及稳定子群的结构特征，再借助商图技巧，对奇数阶2倍素数度局部本原图的非拟本原情形进行刻画和完全分类。这一工作有助于进一步完善奇数阶2倍素数度局部本原图的分类。本文的主要研究结论如下：

定理1.1 设$\Gamma =\left(V,E\right)$ 是奇数阶2r度的连通图，r为素数，$G\le Aut\Gamma$ ，G在边集E上传递。若$\Gamma$ 是G-局部本原但非G-拟本原的，则$\Gamma$ 是某一商图的正规覆盖。进一步，若M是G的极大非传递正规子群，则$G/M$ 要么是几乎单的，要么$soc\left(G/M\right)\cong Z_p^k$ ，p是奇素数，$k\le r$ 。

2. 预备知识

本节主要是给出一些重要的定义和图例。

拟本原群和局部本原图在图论中有着十分重要的作用，它们是研究图的对称性和结构的关键工具，为对称图的分类和构造提供了理论基础。下面我们就给出拟本原群和局部本原图的定义。

定义2.1 我们设$\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个图，令群G是$\Gamma$ 的自同构群的子群，即$G\le Aut\Gamma$ 。对任意$\alpha \in V$ ，点$\alpha$ 的点稳定子群$G_{\alpha }=\left\{g\in G|{\alpha }^g=\alpha \right\}$ ，与点$\alpha$ 邻接的点集称为$\alpha$ 的邻域，记为$\Gamma \left(\alpha \right)$ 。即 $\Gamma \left(\alpha \right)=\left\{\beta \in V|\left(\alpha ,\beta \right)\in E\right\}$ 。

(1) 称群G是拟本原的，如果G的所有非平凡正规子群都是传递的；

(2) 称图$\Gamma$ 是G-局部本原的，如果对任意的$\alpha \in V$ ，点稳定子群$G_{\alpha }$ 在$\alpha$ 的邻域$\Gamma \left(\alpha \right)$ 上诱导了一个本原置换群$G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ 。

根据定义2.1，局部本原图实际上就是指图的自同构群在每个顶点的邻域上作用是本原的。我们又知道，本原置换群一定是拟本原的，因此局部本原图和拟本原群的联系是密切相关的。根据Praeger将本原群的O’Nan-Scott定理推广到拟本原情形，并把拟本原群分为了八类[2]，我们可以借助他对拟本原群的分类结果，对局部本原图的结构性质进行刻画与分类。

在代数图论中，轨道与群作用密切相关，它描述了群作用在某个集合上时，集合中元素的等价类。以下是轨道的定义：

定义2.2 设G是一个群，X是一个集合，对任意$i\in X$ ，$g\in G$ ，i在g下的像记为$i^g$ 。i在G作用下的轨道就是指所有i的像的集合，即：$Or{b}_G\left(\alpha \right)=\left\{{\alpha }^g|g\in G\right\}$ 。

通常，我们称群G为集合X上的传递群，如果G在X上只有一个轨道；称群G为集合X上的非传递传递群，如果G在X上的轨道个数大于等于2。

设$\Gamma$ 是G-弧传递图，并设N是G的极大非传递正规子群(极大正规子群是指N是G的真正规子群中最大的，即$N\underset{\_}{⊲}G$ ，且不存在G的其他正规子群M使得$N\subseteq M\subseteq G$ )。又设${\rm B}=\{B_1,B_2,\cdots ,B_n\}$ 表示N在V上轨道的集合，即$B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 都是N在V上的轨道。

根据轨道的定义和群传递的性质，我们可以给出商图的定义和相关性质，它是我们后续研究的基础。

定义2.3 ([13]) 如下规定的图${\Gamma }_N$ 称为$\Gamma$ 关于N的商图：称${\Gamma }_N=\left(V\left({\Gamma }_N\right),E\left({\Gamma }_N\right)\right)$ 为商图，即${\Gamma }_N$ 是一个由顶点集$V\left({\Gamma }_N\right)={\rm B}$ 和边集$E\left({\Gamma }_N\right)=\left\{\{B_i,B_j\}|\exists {\mu }_i\in B_i,{\mu }_j\in B_j,\text{st}.\{{\mu }_i,{\mu }_j\}\in E\right\}$ 构成的图。

商图通过压缩图的顶点集，既简化了图的结构，又保留了自同构群的对称性。本质上，商图体现了自同构群对图的作用。自同构群通过对图顶点、边或弧的不同作用，直接影响图的传递性。通过分析自同构群作用对图传递性的影响，能够对图进行分类。例如，点传递图、边传递图和弧传递图等的分类。

根据商图的定义，我们有下面关于商图性质的引理：

引理2.4 (1) 商图${\Gamma }_N$ 也是G-弧传递的；

(2) 商图${\Gamma }_N$ 也是连通的；

(3) 对于任意的N-轨道$B\in {\rm B}$ ，B中不含图$\Gamma$ 的边。

由上面引理易得要么${\Gamma }_N\cong K_2$ ，要么图$\Gamma$ 和商图${\Gamma }_N$ 有相同的度数。如果图$\Gamma$ 和商图${\Gamma }_N$ 的度数相同，我们就称$\Gamma$ 是${\Gamma }_N$ 的正规覆盖。

在代数图论中，商图作为一种重要的工具，广泛应用于图的结构分析和对称性研究等。例如：Praeger 在文章[7]中研究了边传递图的商图构造方法，证明了通过正规子群可以构造边传递图的商图，并利用这一方法对边传递图进行了分类；Godsil和Royle 证明了商图可以反映原图的自同构群结构，并对对称图进行了分类[14]；Gross和Tucker对商图与覆盖图之间的关系进行了研究，证明了商图可以用于描述覆盖图的结构和对称性[15]。以上研究结果展示了商图在代数图论中的广泛应用，这些结果为边传递图的研究提供了重要的理论基础和方法支持。

基于引理2.4对商图性质的描述，我们有下面的引理，这在我们后续的讨论中非常重要。

引理2.5 ([1]) 设$\Gamma$ 是G-局部本原的G-弧传递图。若存在$M\underset{\_}{⊲}G$ 在V上至少有3个轨道，则${\Gamma }_M$ 是$G/M$ -拟本原的$G/M$ -局部本原图的一个正规覆盖。

从引理2.5不难看出，决定拟本原的局部本原图是最基本的步骤，相关研究也主要集中在以几乎单的拟本原群为自同构群的2-弧传递图的分类上，相关文献可参考[16] [17]。

最后我们以下面的引理结束本节。

引理2.6 ([18] [19]) 设$\Gamma =\left(V,E\right)$ 是奇数阶2r度的连通图，r为素数。令$G\le Aut\Gamma$ ，若$\Gamma$ 是G-拟本原的且G在E上传递，那么下列情形之一成立：

(1) $\Gamma$ 是$\left(G,2\right)$ -弧传递的；

(2) G是几乎单群；

(3) G是仿射型本原群，$soc\left(G\right)\cong Z_p^k$ ，其中p是素数且$1\le k\le r$ 。

3. 定理1.1的证明

设$\Gamma =\left(V,E\right)$ 是奇数阶2r度的连通图，其中r是素数，$G\le Aut\Gamma$ ，G在边集E上传递，且$\Gamma$ 是G-局部本原但非G-拟本原的。我们首先证明：

引理3.1 $\Gamma$ 是G-弧传递图。

证明：我们首先证明$\Gamma$ 是G-点传递的。否则$\Gamma$ 是二部图，不妨令$V=U\cup M$ ，其中U，W是不相交的两部分。设$\left|U\right|=x$ ，$\left|W\right|=y$ 。因为$\Gamma$ 的度数为2r，所以$x\cdot 2r=y\cdot 2r$ ，得出$x=y$ ，导致$\left|V\right|=2x$ 为偶数，与条件$\Gamma$ 是奇数阶矛盾。因此$\Gamma$ 是G-点传递的。又因$\Gamma$ 是G-局部本原的，即$G_{\alpha }$ 在$\alpha$ 的邻域$\Gamma \left(\alpha \right)$ 上的作用是本原的，因此$\Gamma$ 是G-弧传递的。

由于G在V上作用不是拟本原的，因此G在V上存在不传递的正规子群，不妨设M是G的极大的非传递的正规子群。因为$\left|V\right|$ 是奇数，所以M在V上至少有3个轨道，记这些轨道分别为$B_1,B_2,\cdots ,B_n$ ，($n\ge 3$ )，它们所组成的集合为$orb\left(M\right)=\left\{B_1,B_2,\cdots ,B_n\right\}$ 。根据商图的定义，我们可以构造一个顶点集为$V\left({\Gamma }_M\right)=orb\left(M\right)$ ，边集为$E\left({\Gamma }_M\right)=\left\{\{B_i,B_j\}|\exists {\mu }_i\in B_i,{\mu }_j\in B_j,\text{st}.\{{\mu }_i,{\mu }_j\}\in E\right\}$ 的商图${\Gamma }_M$ ，它是$\Gamma$ 关于G和M的正规商图。再由引理2.4中商图的性质可知，${\Gamma }_M$ 也是G-弧传递图。

引理3.2 M作用在V上是半正则的，即对任意的$\alpha \in V$ ，$M_{\alpha }=1$ 。

证明：对于$\alpha$ 的邻域$\Gamma \left(\alpha \right)$ ，$\Gamma {\left(\alpha \right)}^{M_{\alpha }}=\Gamma \left(\alpha \right)$ ，即$M_{\alpha }$ 固定$\Gamma \left(\alpha \right)$ ，因此$M_{\alpha }$ 也固定所有的$M$ -轨道。

不妨设$B$ 和C是${\Gamma }_M$ 中相邻的轨道，且$\alpha \in B$ 。由于$M_{\alpha }$ 固定$\Gamma \left(\alpha \right)$ 和C，所以$M_{\alpha }$ 固定$M_{\alpha }\cap C$ 。结合G在V上的局部本原性以及$\left|orb\left(M\right)\right|\ge 3$ ，我们有$\left|\Gamma \left(\alpha \right)\cap C\right|=1$ ，再由C的任意性可知$M_{\alpha }$ 固定$\Gamma \left(\alpha \right)$ 中的每一个顶点，最后由$\Gamma$ 的连通性可知，$M_{\alpha }=1$ ，即$M$ 作用在V上是半正则的。

接下来，我们设X为G在${\Gamma }_M$ 上诱导的群，则$X\cong G/M$ 。利用M的极大性可知，X在$orb\left(M\right)$ 上作用是忠实的。由定理2.5可立即得出，${\Gamma }_M$ 是X-拟本原的X-局部本原弧传递图，其阶显然也是奇数，其度数也为2r。因为此时图$\Gamma$ 和商图${\Gamma }_M$ 的度数相同，均为2r，所以$\Gamma$ 是${\Gamma }_M$ 的正规覆盖，并且由定理2.6可知，要么X是几乎单群，要么$soc\left(X\right)\cong Z_p^k$ ，其中p为素数，$k\le r$ 。由此定理1.1得证。