一类奇数阶2倍素数度的局部本原图的构造

Construction of a Class of Local Primitive Graphs of Odd Order and Twice Prime Valency

摘要: 早在1878年，A. Cayley为了解释群的生成元和定义关系提出了以他的名字命名的Cayley图。因为其构造的简便性和高度对称性，Cayley图得到了图论学者们的广泛重视。1938年，R. Frucht证明了对于任意给定的抽象群，都存在一个以这个群为自同构群的图。这项重要工作引发了一个新的研究领域——群与图，即以图的自同构群、群在图上的作用和具有各种传递性质的图作为主要的研究对象，同时也借助图来解决某些群论问题。在过去的80多年里，群与图已经发展成为代数图论的一个重要领域，先后出现了许多精彩的理论。本文是在奇数阶2倍素数度的条件下，借助于拟本原图的分类结果，通过分析图$\Gamma$ 的自同构群的子群及其点稳定子群的结构，利用本原群的分类结果，构造出了一类局部本原的拟本原图。

Abstract: As early as 1878, A. Cayley introduced the concept of the Cayley graph, named after him, to explain the generators and defining relations of groups. Due to the simplicity of its construction and high degree of symmetry, the Cayley graph has been paid significant attention from scholars in graph theory. In 1938, R. Frucht proved that for any given abstract group, there exists a graph in which that group is automorphism group. This important work initiated a new research field—groups and graphs, which focuses on the automorphism groups of graphs, the actions of groups on graphs, and graphs with various transitive properties, while also utilizing graphs to solve some group theory problems. Over the past 80 years, groups and graphs have developed into a significant area of algebraic graph theory, yielding many remarkable theories. In this paper, under the condition of odd order and twice prime valency, by means of the classification results of quasi-primitive graphs, through the analysis of the structure of the subgroups of the auto-morphism group of $\Gamma$ and its point stabilizer, and by using the classification results of primitive groups, we construct a class of locally primitive quasi-primitive graphs.

1. 引言

本文所讨论的图均为有限简单图。

令图$\Gamma =\left(V,E\right)$ ，其中V为其顶点集，E为其边集。对于每一条边$\left\{\alpha ,\beta \right\}\in E$ ，其中包含了两条有序对$\left(\alpha ,\beta \right)$ 与$\left(\beta ,\alpha \right)$ ，称为图$\Gamma$ 的弧。称$\left(\alpha ,\beta ,\gamma \right)$ 为图$\Gamma$ 的2-弧，若$\alpha \ne \gamma$ 且$\left(\alpha ,\beta \right)$ 与$\left(\beta ,\gamma \right)$ 均为$\Gamma$ 的弧。同时，我们用$\Gamma \left(\alpha \right)$ 表示在$\Gamma$ 中与顶点$\alpha$ 相邻的点的集合，即顶点$\alpha$ 的邻域。

称顶点集V上的置换g为图$\Gamma$ 的自同构，当且仅当对于所有的$\left\{\alpha ,\beta \right\}\in E$ ，$\left\{{\alpha }^g,{\beta }^g\right\}\in E$ 。图$\Gamma$ 的所有自同构在置换乘法下组成一个群，叫做图$\Gamma$ 的自同构群，记作$Aut\Gamma$ ，显然$Aut\Gamma \le Sym\left(V\right)$ 。通过适当的例子，比如说圈图${\text{C}}_{\text{n}}$ 的自同构群为二面体群${\text{D}}_{\text{2n}}$ ，完全图${\text{K}}_{\text{n}}$ 的自同构群为${\text{S}}_{\text{n}}$ 。利用自同构群在点集，边集或者弧集上的群作用，可进一步揭示图的传递性质，同时还可通过自同构群之间是否存在合适的对应关系来判断两个图同构；在实际判断中，可通过比较自同构群的结构、阶数、生成元等性质来辅助判断图是否同构，若两个图的自同构群不同构，那么这两个图必然不同构。通常情况下，若一个图$\Gamma$ 的自同构群包含一个正则子群，则图$\Gamma$ 同构于一个Cayley图。而Cayley图是研究群结构的有力工具，通过Cayley图的连通性、对称性等可了解群的生成元、元素间的关系等。围绕Cayley图产生了许多新的研究课题和方向，如Cayley图的自同构群、正则性、弧传递性等，促进了代数图论理论体系的完善，也为其他数学分支和计算机科学等领域提供了理论支持。

令$G\le Aut\Gamma$ ，若G作用在图$\Gamma$ 的顶点集、边集、弧集、2-弧集上是传递的，则称图$\Gamma$ 是G-点传递、G-边传递、G-弧传递、(G,2)-弧传递的；进一步，若$Aut\Gamma$ 在顶点集、边集、弧集、2-弧集上是传递的，则相应地称图$\Gamma$ 是点传递、边传递、弧传递、2-弧传递的。前面所说的圈图${\text{C}}_{\text{n}}$ 和完全图${\text{K}}_{\text{n}}$ 均是点传递，边传递的。

设图$\Gamma =\left(V,E\right)$ ，$G\le Aut\Gamma$ ，称G作用在V上是拟本原的，若G的每一个非平凡正规子群作用在V上是传递的，根据Praeger [1]的分类结果，我们知道群G是八种拟本原群中的一种。Praeger的工作促进了对称图理论的快速发展，人们将Praeger的理论应用和拓展到了对称图的分类与刻画、自同构群的结构性质、点拟本原图、边拟本原图、局部拟本原图以及局部s-弧传递图等的研究中，得到了诸多重要的结论。Praeger的工作开创了对称图研究中的一种有效模式，同时也凸显了下面一类问题的重要性，即刻画基本图的对称性、局部结构及其自同构群，并研究限定条件下的分类问题。特别是研究拟本原图的对称性及其自同构群。事实上，当我们对图的顶点数或者度数进行限制时，这样的群G只有八类中的少数几类，例如，当$\Gamma$ 是(G,2)-弧传递时，Praeger [2]证明了G只能是八类中的四类；进一步，如果$\Gamma$ 还具有奇数个顶点，李才恒教授[3]证明了G只能是几乎单的。

令$G\le Aut\Gamma$ ，若对任意的点$\alpha$ ，$G_{\alpha }$ 作用在$\Gamma \left(\alpha \right)$ 上是本原的，则称图$\Gamma$ 是G-局部本原图。关于局部本原图的分类工作已经有许多很好的结果，例如Giudici等人[4]建立了一个关于局部本原二部图的定理，并应用到文献[5]中，成功刻画了素数幂阶的局部本原图。

此外还有一些其他关于Cayley图的有趣结果，比如在文献[6]中，李才恒教授等人研究了在局部本原的条件下的交换群的Cayley图，并对其进行了完整的分类；方新贵教授等人在文献[7]中对于非交换单群下的局部本原Cayley图进行了详细的研究，他们证明了当图的度数满足一定条件时，此类图是存在的；对于二面体群的局部本原Cayley图，潘江敏教授在文献[8]中对于此类图进行了完整的刻画与分类。此外，对于特定度数的局部本原图的研究一直是学者们研究的热点，比如在文献[9]中，韩华教授等人对于度数为18p (p为素数)的局部本原图进行了研究，他们证明了在非弧传递的条件下，图$\Gamma$ 要么同构于一个Gray图，要么同构于一个Benson图。

对于奇数阶2倍素数度的图$\Gamma$ ，路在平教授等人在文献[11]中证明当$\Gamma$ 是G-边传递且G-拟本原时，G要么是几乎单群，要么是仿射型本原群。基于此，本文的主要结论是刻画一类在某些限制条件下的局部本原的拟本原图。

定理1.1 设$\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个奇数阶2r度(r为素数)的连通图，$G\le Aut\Gamma$ ，若$\Gamma$ 是G-边传递的，则存在一个G-局部本原的拟本原图，其中$soc\left(G\right)\cong Z_{11}^2$ ，$G_{\alpha }\cong PSL\left(2,11\right)$ 。

2. 预备知识

在本节中，我们令$\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个奇数阶2倍素数度的连通图，$G\le Aut\Gamma$ ，G在边集E上传递，因为$\Gamma$ 是奇数阶的非二部图，故G在顶点集V上也传递。

引理2.1. ([10]，定理4.2A)设N为交换群，并且N在V上传递，则N在V上正则。

定义2.2. 设G是有限群，S是G的不含单位元的子集，并且$S=S^{-1}=\left\{s^{-1}|s\in S\right\}$ ，以G的元素为顶点定义一个图，记作$Cay\left(G,S\right)$ ，其边的关系如下：$\left\{g,h\right\}$ 为一条边当且仅当$h{g}^{-1}\in S$ ，称$Cay\left(G,S\right)$ 为G关于子集S的Cayley图。特别地，$Cay\left(G,S\right)$ 是点传递图。

下面的命题给出了Cayley图的两个基本事实，参见文献[11]第XIV章第4节。

命题2.3. 1) Cayley图$Cay\left(G,S\right)$ 是连通的，当且仅当$\langle S\rangle =G$ ；

2) 一个图同构于Cayley图$Cay\left(G,S\right)$ 的充要条件是该图的自同构群含有与G同构的正则子群。

令$Aut\left(G,S\right)=\left\{\sigma \in Aut\left(G\right)|S^{\sigma }=S\right\}$ ，于是得到下面的引理：

引理2.4. [12] $N_{Aut\left(Cay\left(G,S\right)\right)}\left(R\left(G\right)\right)=R\left(G\right):Aut\left(G,S\right)$ ；特别地，当$Cay\left(G,S\right)$ 连通时，$Aut\left(G,S\right)$ 在S上的作用是忠实的。

引理2.5 [13] PSL (2, 11)包含一个同构于$A_5$ 的子群。

最后我们以有限群论的一个重要结果来结束本节：

定理2.6. [14] (Frattini论断)设G作用在V上，并且包含一个子群N，它在V上的作用是传递的，则$G=G_{\alpha }N$ ，$\forall \alpha \in \text{V}$ 。

3. 定理1.1的证明

在本节中，我们设图$\Gamma =\left(V,E\right)$ 满足定理1.1中的条件，且不妨设$\Gamma$ 是G-拟本原，G-局部本原的。由于奇数阶的拟本原2-弧传递图已被分类，因此我们只需要考虑局部本原的非2-弧传递图的情形。

引理3.1. $soc\left(G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\right)=A_5$ 或$S_5$ ，且$r=5$ 。

证明：由于$\Gamma$ 是G-局部本原的，可知${\text{G}}_{\alpha }$ 在$\Gamma \left(\alpha \right)$ 上的作用是本原的；并且$\Gamma$ 是非(G,2)-弧传递的，即群G在$\Gamma$ 的所有2-弧集合上不是传递的。而$G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\le G_{\alpha }$ ，故$G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ 是2r次本原置换群但非2-传递的，于是由文献[15]可知，$soc\left(G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\right)=A_5$ 或$S_5$ ，且$r=5$ ，因此$\Gamma$ 是10度图。

引理3.2. 设N为G在V上传递的极小正规子群，则N具有唯一性。

证明：我们不妨假设M是群G的极小正规子群，且满足$M\ne N$ ，则此时成立$M\cap N=1$ ，因此可得$N\le C_G\left(M\right)=\left\{g\in G|mg=gm,\forall m\in M\right\}$ 。于是M作用在V上是半正则的，且$\left|\text{M}\right|$ 是$\left|\text{V}\right|$ 的一个因子，因此我们可知$\left|\text{M}\right|$ 是奇数。又根据子群M的选择并结合文献[16]可知，M是特征单群，于是有 $M=T_1\times T_2\times \cdots \times T_i$ ，其中这些$T_i$ 是彼此同构的单群。结合前面分析可知，$T_i$ 是奇数阶单群，则由文献[15]可知$T_i$ 一定是素数阶循环群，因此M是交换群；如果M在V上传递，则$M=C_G\left(M\right)$ ，导致 $N\le C_G\left(M\right)=M$ ，与假设矛盾。于是M不是G的一个传递子群，故N为G在V上传递的唯一极小正规子群，引理得证。

有了前面这些结论，最后我们来证明定理1.1。

因为图$\Gamma$ 是G-拟本原的，不妨设N为G的传递的极小正规子群，由文献[16]可知，此时，G要么是几乎单群，要么是仿射型群。不妨设$N=Z_p^k$ ，于是由引理2.1和引理3.2可知$soc\left(G\right)=N$ 且N作用在V上是正则的，于是可得$\left|V\right|=\left|N\right|=p^k$ 。同时，基于N的正则性并且结合命题2.2，此时我们可以将图$\Gamma$ 看作是N上的10度正规Cayley图，即$\Gamma =Cay\left(N,S\right)$ ，其中$\langle S\rangle =N$ 。由于N为G的正规子群，因而 $G_{\alpha }\le Aut\left(N,S\right)$ 。由引理2.3可知$G_{\alpha }$ 作用在$\Gamma \left(\alpha \right)$ 上是忠实的，同时结合文献[17]可知$G_{\alpha }\le S_2\wr S_5$ 。故由前面的引理3.1可知$G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}=A_5$ 或$S_5$ ，同时$G_{\alpha }\le GL\left(k,p\right)$ 。

于是我们可以构造出一类满足定理条件的图，不妨令N是G的极小正规子群且$N=Z_{11}^2$ ，点稳定子群$G_{\alpha }=PSL\left(2,11\right)$ 。因为$\Gamma$ 是G-拟本原的，即G的每一个非平凡正规子群在V上都是传递的，结合此正规子群的唯一性可知$N=soc\left(G\right)$ 在V上传递，于是由定理2.5可知$\text{G=}{\text{G}}_{\alpha }\text{N}$ 。又由N在V上正则，所以图$\Gamma$ 的阶与群N的阶相等；故$\left|V\right|=\left|N\right|=2^{11}\text{=}121$ 。再根据条件图$\Gamma$ 是G-局部本原非(G,2)-弧传递的，于是$G_{\alpha }$ 在点$\alpha$ 的邻域$\Gamma \left(\alpha \right)$ 上诱导了一个2r次非2-传递的本原置换群$G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ ，结合前面讨论可知，$G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}=A_5$ 或$S_5$ ，它是点稳定子$G_{\alpha }$ 的子群，则通过引理2.4可知$A_5\le PSL\left(2,11\right)$ ，满足条件。因此，此时图$\Gamma$ 是一个121阶的10度图，并且$G\le Aut\Gamma$ ，满足$soc\left(G\right)\cong Z_{11}^2$ ，$G_{\alpha }\cong PSL\left(2,11\right)$ 。