Heisenberg群上p-次Laplace方程的Liouville定理

Liouville Theorem for p-Sub-Laplacian Equation on the Heisenberg Group

摘要: 针对Heisenberg群上p-次Laplace方程，建立其弱解的Liouville型定理，证明过程主要基于Moser迭代技巧和弱解的正则性结果。

Abstract: In this paper, we give a Liouville type theorem for the weak solution of the p-sub-Laplacian equation on the Heisenberg group. The proof process relies on Moser iterative techniques and the regularity results of weak solutions.

1. 引言

Liouville定理是十九世纪的法国著名数学家刘维尔给出的一个重要结果，它在复分析、微分方程中都有出现。Liouville定理作为数学学科的重要基本定理之一，有着较为广泛的应用，它可以直接或间接的推导出很多其他结论，如代数学基本定理，复平面上最大模原理等重要定理。偏微分方程求解过程中，基于先验估计或者拓扑度理论等来证明方程解的存在性时，对应方程解的Liouville型定理是重要内容。此外，Liouville定理还在物理学中也有应用，在经典统计力学和Hamilton力学中，类似地，它断言相空间的分布函数沿系统轨迹是恒定的。偏微分方程中经典的Liouville定理表述为：

若定义在整个平面上的调和函数是有界的，则它必定为一个常数。

Heisenberg群在数学和物理学中，特别是在非交换几何和量子力学领域中，扮演着重要角色。Heisenberg群是一个具有非平凡中心的幂零李群，其几何结构具有非欧几何的特性。经典Laplace方程在电磁学、热传导、波动方程等领域中有广泛应用，而Heisenberg群上的p-次Laplace方程则更多地应用于描述非线性扩散过程、图像处理、渗流问题等领域。与经典欧氏空间场景下的线性Laplace方程相比，p-次Laplace方程具有退化非线性，这种退化非线性特性使得其解的性质更加复杂和多样。Heisenberg群上的Liouville型定理的研究有助于深化对非欧几何结构的理解，也可以为量子力学中的某些粒子的运动状态和能量分布问题提供相应的数学理论支持。

Birindelli和Demengel在文献[1]中研究了Heisenberg群上的半线性退化椭圆方程，证明该方程有界弱解的Liouville型定理。文献[2]-[5]还研究了欧氏空间、黎曼流形和Heisenberg群等不同空间中的对应调和问题的Liouville型定理。受文献[1]-[5]中的研究方法启发，基于文献[6] [9] [10]中p-调和问题的正则性结果，本文研究Heisenberg群${ℍ}^n$ 上含p-次Laplace算子的问题，建立${ℍ}^n$ 上p-次Laplace方程

$-{\Delta }_{p,ℍ}u=-di{v}_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}{\nabla }_{ℍ}u\right)=0$ (1)

弱解的Liouville定理。

2. 准备知识

Heisenberg群以及Heisenberg群上的次Laplace算子和p-次Laplace算子的有关内容。

Heisenberg群${ℍ}^n$ 是欧氏空间${ℝ}^{2n+1}\left(n\ge 1\right)$ 赋予群作用$\circ$ 的分层幂零Lie群，定义其群作用$\circ$ 为

${\xi }_0\circ \xi =\left(x+x_0,y+y_0,t+t_0+2{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i{y}_{i_0}-y_i{x}_{i_0}\right)}\right)$ ,

其中$\xi =\left(x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_n,t\right):=\left(x,y,t\right)$ 和${\xi }_0=\left(x_0,y_0,t_0\right)$ 。

${ℍ}^n$ 上的左不变向量场的Lie代数的定义形式为：

$X_i=\frac{\partial }{\partial x_i}+2y_i\frac{\partial }{\partial t},i=1,\cdots ,n,$

$Y_i=\frac{\partial }{\partial y_i}-2x_i\frac{\partial }{\partial t},i=1,\cdots ,n,$

$T=\frac{\partial }{\partial t}.$

任意函数u对应的Heisenberg梯度为，

${\nabla }_{ℍ}u=\left(X_{i}u,Y_{i}u\right),i=1,\cdots ,n,$

为了方便有时也记$\left(Y_{\text{1}},\cdots ,Y_n\right)=\left(X_{n+1},\cdots ,X_{2n}\right)$ ，其相应的散度的定义为，

$di{v}_{ℍ}\left(V_1,\cdots ,V_{2n}\right)=X_1{V}_1+\cdots +X_n{V}_n+X_{n+1}{V}_{n+1}+\cdots +X_{2n}{V}_{2n}.$

${ℍ}^n$ 上的次Laplace算子${\Delta }_{ℍ}$ 其定义式表示为，

${\Delta }_{ℍ}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i^2+Y_i^2}.$

同样地，${ℍ}^n$ 上的p-次Laplace定义形式为，

$-{\Delta }_{p,ℍ}u=-di{v}_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}{\nabla }_{ℍ}u\right).$

上述左不变向量场$X_i$ 和$X_i$ 满足Lie括号，即有

$\left[X_i,Y_j\right]=-4T{\delta }_{ij},\left[X_i,X_j\right]=\left[Y_i,Y_j\right]=0,\left(i,j\in 1,\cdots ,n\right).$

文献[8]中提到Hörmander条件[7]对于左不变向量场$\left\{X_1,\cdots ,X_n,Y_1,\cdots ,Y_n\right\}$ 是成立的，这就表明算子${\Delta }_{ℍ}$ 是退化椭圆算子，同样p-次Laplace算子也具有退化性。

记常数$Q=2n+2$ 是Heisenberg群${ℍ}^n$ 的齐次维数，文献[8]中记${\left|\xi \right|}_{ℍ}$ 为任意点$\xi$ 到坐标原点的距离为，定义为

$\rho ={\left|\xi \right|}_{ℍ}={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i^2+y_i^2\right)}^2}+t^2\right)}^{\frac{1}{4}},$

则，${ℍ}^n$ 上任意两点$\xi$ 和$\eta$ 之间的距离，可记为

$d_{ℍ}\left(\xi ,\eta \right)={\left|{\eta }^{-1}\circ \xi \right|}_{ℍ}.$

以某点${\xi }_0$ 为中心，$R>0$ 为半径的Heisenberg球可表示为，

$B_{ℍ}\left({\xi }_0,R\right)=\left\{\eta \in {ℍ}^n|d_{ℍ}\left(\eta ,{\xi }_0\right)<R\right\}.$

由幂零Lie群上的群伸缩${\delta }_{\lambda }\left(\xi \right)=\left(\lambda x,\lambda y,{\lambda }^{2}t\right)$ ，易知$\xi \to {\left|\xi \right|}_{ℍ}$ 是一次齐次的，则有

$\left|B_{ℍ}\left({\xi }_0,R\right)\right|=\left|B_{ℍ}\left(0,1\right)\right|R^Q,$

这里$|\cdot |$ 是欧氏空间中常规的Lebesgue测度。

3. 主要结果和证明

首先，引进证明主要定理过程中使用的迭代公式(可见参考文献[1] [5])。说明：不同的常数C在不同的引理和定理中相互独立。

引理1 若给定序列${\varphi }_n$ 满足不等式${\varphi }_n\le C^n{\varphi }_{n-1}^k$ ，则有${\varphi }_n^{k^{-n}}\le C^{\frac{k}{{\left(k-1\right)}^2}}{\varphi }_0$ ，其中$C>0$ ，$k>0$ 为常数。

证明：根据序列${\varphi }_n$ 的假设条件，作如下迭代

${\varphi }_n\le C^n{\varphi }_{n-1}^k\le C^{n+k\left(n-1\right)}{\varphi }_{n-2}^{k^2}\le \cdots \le C^{{\displaystyle \sum _{p=0}^{n-1}\left(n-p\right)k^p}}{\varphi }_0^{k^n},$

易知，

${\displaystyle \sum _{p=0}^{n-1}\left(n-p\right)k^p}=\frac{k^{n+1}-nk-k-n}{{\left(k-1\right)}^2},$

则，

${\varphi }_n^{k^{-n}}\le C^{\frac{k^{n+1}}{{\left(k+1\right)}^2{k}^n}}{\varphi }_0\le C^{\frac{k}{{\left(k-1\right)}^2}}{\varphi }_0.$

其次，建立p-次Laplace方程弱解的估计。

引理2 如果u为方程(1)的弱解，则对所有的正常数$\lambda \ge 1$ ，R和$\sigma$ ，存在正常数C使得

${\displaystyle {\int }_{B_R\left(0\right)}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{\frac{p+\lambda }{2}}\right)\right|}^2}\text{d}\xi \le \frac{C}{{\sigma }^2}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }\left(0\right)}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda }}\text{d}\xi .$

特别地，对所有的正整数$k,n$ ，有

${\displaystyle {\int }_{B_R\left(0\right)}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{\frac{p{k}^{n-1}}{2}}\right)\right|}^2}\text{d}\xi \le \frac{C}{{\sigma }^2}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }\left(0\right)}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p{k}^{n-1}}}\text{d}\xi .$

证明：取球$B_{R+\sigma }\left(0\right)$ 上的光滑截断函数$0\le \zeta \le 1$ ，$\zeta$ 在球$B_R\left(0\right)$ 内取值为1，在球$B_{R+\sigma }\left(0\right)$ 外取值为

零，且满足$\left|{\nabla }_{ℍ}\zeta \right|\le \frac{C}{\sigma }$ 。

首先，把左不变向量场$X_k$ 作用在方程(1)上；然后，乘以试验函数${\left|X_{k}u\right|}^{\lambda }{X}_{k}u{\zeta }^2$ $\left(j,k=1,2,\cdots ,2n\right)$ ；最后，对其在有界区域$B_{R+\sigma }$ 上做积分，可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{X}_k\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}{X}_{j}u\right)X_j\left({\left|X_{k}u\right|}^{\lambda }{X}_{k}u{\zeta }^2\right)\text{d}\xi }\\ =\left(\lambda +1\right){\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}{\left(X_k\left(X_{j}u\right)\right)}^2{\left|X_{k}u\right|}^{\lambda }{\zeta }^2\text{d}\xi }\\ +\left(p-2\right)\left(\lambda +1\right){\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-4}{\left({\nabla }_{ℍ}u\cdot {\nabla }_{ℍ}\left(X_{k}u\right)\right)}^2{\left|X_{k}u\right|}^{\lambda }{\zeta }^2\text{d}\xi }\\ +{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}2{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}{X}_{k}u{X}_j\left(X_{k}u\right){\left|X_{k}u\right|}^{\lambda }\zeta X_j\zeta \text{d}\xi }\\ +\left(p-2\right){\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}2{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-4}\left({\nabla }_{ℍ}u\cdot {\nabla }_{ℍ}\left(X_{k}u\right)\right){\left|X_{k}u\right|}^{\lambda }{X}_{k}u{X}_{j}u\zeta X_j\zeta \text{d}\xi }.\end{array}$

由于$p>1$ ，下面对于指标k来求和，借助于Schwarz和Hölder不等式，可得

$\begin{array}{l}\left(\lambda +1\right)\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda -2}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\nabla }_{ℍ}u\right)\right|}^2{\zeta }^2\text{d}\xi }\\ =2\left(p-1\right){\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda -1}\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\nabla }_{ℍ}u\right)\right|\zeta \left|{\nabla }_{ℍ}\zeta \right|\text{d}\xi }\\ \le \frac{\left(\lambda +1\right)\left(p-1\right)}{2}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda -2}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\nabla }_{ℍ}u\right)\right|}^2{\zeta }^2\text{d}\xi }\\ +\frac{C}{\lambda +1}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda }{\left|{\nabla }_{ℍ}\zeta \right|}^2\text{d}\xi }.\end{array}$ (2)

由(2)式，进而可以得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda -2}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\nabla }_{ℍ}u\right)\right|}^2\text{d}\xi }\\ \le {\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda -2}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\nabla }_{ℍ}u\right)\right|}^2{\zeta }^2\text{d}\xi }\\ \le \frac{C}{{\left(\lambda +1\right)}^2{\sigma }^2}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda }\text{d}\xi }.\end{array}$

容易知道，

$\frac{4}{{\left(p+\lambda \right)}^2}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{\frac{p+\lambda }{2}}\right)\right|}^2\text{d}\xi }\le \frac{C}{{\left(\lambda +1\right)}^2{\sigma }^2}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p+\lambda }\text{d}\xi }.$ (3)

特别的，若在(3)中取$\lambda =p{k}^{n-1}-p$ ，对所有的正整数$k,n$ ，则有

${\displaystyle {\int }_{B_R\left(0\right)}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{\frac{p{k}^{n-1}}{2}}\right)\right|}^2}\text{d}\xi \le \frac{C}{{\sigma }^2}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }\left(0\right)}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p{k}^{n-1}}}\text{d}\xi .$

最后，证明本文的主要定理。

定理3 若u为${ℍ}^n$ 上方程(1)的有界弱解，则u必定为常数。

证明：当指标$k\le \frac{Q}{Q-p}$ 时，借助于Sobolev嵌入定理和Poincaré不等式，可以知道，存在仅依赖于

常数Q和p的正常数C，使得对任意的R和$w\in H_{loc}^1\left({ℍ}^n\right)$ ，有

${\left(\frac{1}{R^Q}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|w\right|}^{2k}}\text{d}\xi \right)}^{\frac{1}{k}}\le C\left(\frac{1}{R^{Q-2}}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|{\nabla }_{ℍ}w\right|}^2}\text{d}\xi +\frac{1}{R^Q}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|w\right|}^2}\text{d}\xi \right).$

特别的，令$w={\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{\frac{p{k}^n}{2}}$ 代入上式，由引理2，知道

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{R^Q}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p{k}^n}}\text{d}\xi \right)}^{\frac{1}{k}}\\ \le C\left(\frac{1}{R^{Q-2}}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|{\nabla }_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{\frac{p{k}^{n-1}}{2}}\right)\right|}^2\text{d}\xi }+\frac{1}{R^Q}{\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p{k}^{n-1}}}\text{d}\xi \right)\\ \le C\frac{1}{R^Q}\left(1+\frac{R^2}{{\sigma }^2}\right){\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p{k}^{n-1}}}\text{d}\xi \\ \le C\left(1+\frac{R^2}{{\sigma }^2}\right){\left(\frac{R+\sigma }{R}\right)}^Q{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p{k}^{n-1}}}\text{d}\xi .\end{array}$ (4)

取序列${\rho }_m=r\left(1+\frac{1}{2^m}\right)$ ，则其满足${\rho }_{m-1}\le 2{\rho }_m$ 。定义序列${\varphi }_m={\left(\frac{1}{{\rho }_m^Q}{\displaystyle {\int }_{B_{{\rho }_m}}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p{k}^n}\text{d}\xi }\right)}^{\frac{1}{k}}$ ，在不等式(4)中取

$R={\rho }_m$ ，$\sigma ={\rho }_{m-1}-{\rho }_m$ ，则有

${\varphi }_m\le C\left(1+{\left(\frac{{\rho }_m}{{\rho }_{m-1}-{\rho }_m}\right)}^2\right){\varphi }_{m-1}^k.$

由不等式$1+{\left(\frac{{\rho }_m}{{\rho }_{m-1}-{\rho }_m}\right)}^2=1+{\left(2^m+1\right)}^2\le 5^m$ ，得到

${\varphi }_m\le C{5}^m{\varphi }_{m-1}^k.$ (5)

由(4)和(5)，结合引理1，可以看出

$\overline{\underset{m\to \infty }{\lim }}{\varphi }_m{}^{\frac{1}{k^m}}\le C{\varphi }_0\le C\frac{1}{{\left(2r\right)}^n}{\displaystyle {\int }_{B_{2r}}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^p\text{d}\xi }.$ (6)

利用文献[9] [10]中的p-次调和方程解的正则性结果，容易道知，方程(1)的弱解$u\in C^1\left({ℍ}^n\right)$ ，且当$p<2$ 时，$u\in W_{loc}^{2,p}$ ；当$p\ge 2$ 时，$u\in W_{loc}^{2,2}$ 。方程(1)两边乘以试验函数$u{\zeta }^p$ ，在有界区域$B_{R+\sigma }$ 上做积分，得到

$\begin{array}{l}-{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}di{v}_{ℍ}\left({\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}{\nabla }_{ℍ}u\right)u{\zeta }^p\text{d}\xi }\\ ={\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}{\nabla }_{ℍ}u\cdot \left({\nabla }_{ℍ}u{\zeta }^p+pu{\zeta }^{p-1}{\nabla }_{ℍ}\zeta \right)\text{d}\xi }\\ =0,\end{array}$

这里$\zeta$ 是上述引理2中引入的截断函数。利用Hölder不等式，即有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^p{\zeta }^p\text{d}\xi }\\ =-p{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^{p-2}u{\zeta }^{p-1}{\nabla }_{H}u\cdot {\nabla }_H\zeta \text{d}\xi }\\ \le p{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^p{\zeta }^p\text{d}\xi }\right)}^{\frac{p-1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{u}^p{\left|{\nabla }_{ℍ}\zeta \right|}^p\text{d}\xi }\right)}^{\frac{1}{p}},\end{array}$

因此，证得

${\displaystyle {\int }_{B_R}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^p\text{d}\xi }\le {\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|{\nabla }_{ℍ}u\right|}^p{\zeta }^p\text{d}\xi }\le \frac{C}{{\sigma }^p}{\displaystyle {\int }_{B_{R+\sigma }}{\left|u\right|}^p\text{d}\xi }$

由于u是有界函数，当$\xi$ 足够大时，由(6)和上式知，${\nabla }_{ℍ}u=0$ ，也即，u必定为常数。

4. 结语

本文利用Moser迭代技巧，建立了Heisenberg群上p-次Laplace方程的有界弱解的Liouville型定理，该结果是对经典的欧式空间中p-Laplace方程Liouville定理的推广，这对于解决更广泛的空间(如Carnot群，向量场等)上该类型问题具有一定的借鉴意义。

致 谢

感谢黄淮学院第五批青年骨干教师的资助。

NOTES

^*通讯作者。