基于递进结构的广义Nekrasov矩阵的判定

Determination of Generalized Nekrasov Matrices Based on Progressive Structure

摘要: 本文通过递进结构选取正对角矩阵因子的元素，利用Nekrasov矩阵的性质以及不等式的放缩技巧，给出了一类新的Nekrasov矩阵的判定方法。

Abstract: This article presents a new method for determining a class of Nekrasov matrices by selecting the elements of diagonal matrix factors through a progressive structure, utilizing the properties of Nekrasov matrices and scaling techniques of inequalities.

1. 引言

Nekrasov矩阵是一类具有重要作用和意义的特殊矩阵，其在数值代数、控制理论、电力系统理论、经济学理论乃至统计学等众多领域中都有着广泛的应用。近些年，中外很多学者在这方面取得了研究成果[1]-[7]。如何简洁有效地判定一个矩阵是否为Nekrasov矩阵具有重要的理论和现实意义。不过判定广义Nekrasov矩阵的结论中有很多是基于非奇异H-矩阵中的思路，沿袭了判别非奇异H-矩阵的方法，没有对$l_i\left(A\right)$ 部分进行充分考虑(见文献[8]-[12])。本文从Nekrasov矩阵富有特色的递进结构分析，给出了基于递进结构的Nekrasov矩阵的新的判定方法。为了叙述方便，下面列出一些记号及相关定义：

我们用$C^{n\times n}$ 表示n阶复方阵集，用N表示指标集$\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 。设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，记$P_i\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{j\ne i}\left|a_{ij}\right|}$ ，$S_i\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{j\ne i}\left|a_{ji}\right|}$ 。若$\left|a_{ii}\right|>r_i\left(A\right)$ ，$i\in N$ ，则称A为严格(行)对角占优矩阵，记为$A\in D$ 。若存在正的对角矩阵X使得$AX$ 为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵(非奇异H-矩阵)，记为$A\in D^{*}$ 。

下面我们引入Nekrasov矩阵的定义。

定义1.1 令$R_1\left(A\right)=r_1\left(A\right)$ 并且$R_i\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}$ ，$\forall i\in N\backslash \left\{1\right\}$ 。如果矩阵$A\in C^{n\times n}=\left(a_{ij}\right)$ 满足

$\left|a_{ii}\right|\ge R_i\left(A\right)$ , $\forall i\in N$ (1.1)

则A被称为弱Nekrasov矩阵，如果(1.1)中所有不等式都是严格不等式，则A为Nekrasov矩阵。若存在正的对角矩阵D使得$AD$ 为Nekrasov矩阵，称矩阵A为广义Nekrasov矩阵，记为$A\in N^{*}$ 。广义Nekrasov矩阵等价于广义对角占优矩阵。令

$l_i\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}$ ，于是$R_i\left(A\right)=l_i\left(A\right)+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}$ 。

如果矩阵A是严格对角占优矩阵，根据Nekrasov矩阵的结构特点有$r_i\left(A\right)\ge R_i\left(A\right)$ ，$\forall i\in N$ ，从而A显然属于Nekrasov矩阵。众所周知Nekrasov矩阵是非奇异H-矩阵的重要子类。我们需要以下符号：

$R_1^1\left(A\right)=P_1\left(A\right)$ ，$R_1^k\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{j\ne 1,k}^n\left|a_{1j}\right|}+\left|a_{1k}\right|\frac{R_k\left(A\right)}{\left|a_{kk}\right|}$ ，$k>1$

$R_i^k\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{j\ne 1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}\frac{R_j^k\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\ne k}^n\left|a_{ij}\right|}+\left|a_{ik}\right|\frac{R_k\left(A\right)}{\left|a_{kk}\right|}$ ，$i\in N\backslash \left\{1,k\right\}$

$R_k^k\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{k-1}\left|a_{kj}\right|}\frac{R_j^k\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=k+1}^n\left|a_{kj}\right|}$ ，

${\delta }_i\left(A\right)=\frac{R_i^i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}$ ，因为$R_i^i\left(A\right)\le R_i\left(A\right)$ ，所以有${\delta }_i\left(A\right)\le \frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}$ 。

$N_1\left(A\right)=\left\{i\in N|0<\left|a_{ii}\right|\le R_i\left(A\right)\right\}$ ，$N_2\left(A\right)=\left\{i\in N|\left|a_{ii}\right|>R_i\left(A\right)\right\}$ ；

显然$N=N_1\left(A\right)\oplus N_2\left(A\right)$ ，在不产生混淆的情况下$N_1\left(A\right),N_2\left(A\right),{\delta }_i\left(A\right)$ 可以相应地简写为$N_1,N_2,{\delta }_i$ 。本文总是假定矩阵A中的每个指标对应的$P_i\left(A\right)$ 以及$\left|a_{ii}\right|$ 非零。

2. 基于迭代结构的Nekrasov矩阵的新判定

本节我们给出判定广义Nekrasov矩阵的新方法，改进了现有的若干结论。并通过举例说明它的有效性。我们需要以下技术性引理。

引理2.1 [2] 设$A\in C^{n\times n}=\left(a_{ij}\right)$ ，$X=diag\left(x_1,\cdots ,x_n\right)$ ，并且$x_i\le 1$ ，$\forall i\in N$ ，则对于矩阵有

$R_i\left(AX\right)\le R_i\left(A\right)$ ，$\forall i\in N$ (2.1)

给定矩阵A，以及$i,j\in N$ 。令$A_i=A{D}_i$ ，其中对角矩阵$D_i=diag\left(d_1,\cdots ,d_n\right)$ ，并且$d_j=\{\begin{array}{l}1,j\ne i\\ \frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|},j=i\end{array}$ 。我们得到以下结论：

引理2.2 设$A\in C^{n\times n}=\left(a_{ij}\right)$ ，对于任意正整数$i\in N$ 有

$R_j\left(A_i\right)=R_j^i\left(A\right)$ ，$\forall j=1,2,\cdots ,i$ (2.2)

证明：当$i=1$ 时，$j=1$ ，显然有$R_1\left(A_1\right)=R_1^1\left(A\right)$ 。下面讨论$i>1$ 的情形。首先我们考虑$j<i$ 的情况。当$j=1$ 时，则$R_1\left(A_i\right)={\displaystyle {\sum }_{j=2,\ne i}^n\left|a_{1j}\right|}+\left|a_{1i}\right|\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}=R_1^i\left(A\right)$ 。因此(2.2)成立。

设$a<i-1$ 为正整数，假设当$j=2,\cdots ,a$ 时(2.2)式都成立，则当$j=a+1$ 时可以得到：

$\begin{array}{c}{R}_j\left(A_i\right)={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|{\left(A_i\right)}_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A_i\right)}{\left|{\left(A_i\right)}_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1}^n\left|{\left(A_i\right)}_{jk}\right|}\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|a_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A_i\right)}{\left|a_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1,\ne i}^n\left|a_{jk}\right|}+\left|a_{ji}\right|\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|a_{jk}\right|}\frac{R_k^i\left(A\right)}{\left|a_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1,\ne i}^n\left|a_{jk}\right|}+\left|a_{ji}\right|\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}\\ =R_j^i\left(A\right)\end{array}$

我们用数学归纳法证明了当$\forall j=1,2,\cdots ,i-1$ ，(2.2)均成立。

现在我们证明$R_i\left(A_i\right)=R_i^i\left(A\right)$ ：

$\begin{array}{c}{R}_i\left(A_i\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|{\left(A_i\right)}_{ij}\right|}\frac{R_j\left(A_i\right)}{\left|{\left(A_i\right)}_{jj}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|{\left(A_i\right)}_{ij}\right|}\\ ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}\frac{R_j\left(A_i\right)}{\left|a_{jj}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}\\ ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{tj}\right|}\frac{R_j^i\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}\\ =R_i^i\left(A\right)\end{array}$

至此我们完成了引理2.2的证明。

下面给出本文的主要结论。

定理2.1 设$A\in C^{n\times n}=\left(a_{ij}\right)$ ，若对于$\forall i\in N_1$ ，以下不等式都成立，

$\left|a_{ii}\right|>{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_1}^n\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|{\delta }_j}$ (2.3)

则矩阵$A\in D^{*}$ 。

证明：令${\gamma }_i=\frac{\left|a_{ii}\right|-{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_1}^n\left|a_{ij}\right|}-{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|{\delta }_j}}{{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|}}$ (若${\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|}=0$ ，则取${\gamma }_i=1$ )，令$\gamma =\frac{1}{2}\min \left\{\underset{i\in N_1}{\min }{\gamma }_i,\underset{i\in N_2}{\min }1-\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}\right\}$ 。显然有$0<\gamma <\underset{i\in N_1}{\min }{\gamma }_i$ 并且${\delta }_i\left(A\right)+\gamma <1$ ，$\forall i\in N_2$ 。

令正对角矩阵$X=diag\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ ，其中

$x_i=\{\begin{array}{l}1,i\in N_1\\ {\delta }_i\left(A\right)+\gamma ,i\in N_2\end{array}$ ,

构造矩阵$B=AX$ ，我们将证明$B\in N$ 。不过在此之前我们先给出两个不等式。

令$D_i^{\gamma }=diag\left(d_1^{\gamma },d_2^{\gamma },\cdots ,d_n^{\gamma }\right)$ 其中$d_j^{\gamma }=\{\begin{array}{l}1,j\ne i\\ \frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}+\gamma ,j=i\end{array}$ ，构造矩阵$A_i^{\gamma }=A{D}_i^{\gamma }$ 。

根据矩阵的构造很容易得出：

$R_j\left(B\right)\le R_j\left(A_i^{\gamma }\right)$ , $i\in N_2,j<i$ (2.4)

我们将用数学归纳法证明对于任意$i\in N_2,j<i$ ，都有

$R_j\left(A_i\right)+\gamma R_j\left(A\right)\ge R_j\left(A_i^{\gamma }\right)$ (2.5)

我们假设$i>1$ ，否则不存在正整数$j<i$ 。

当$j=1$ 时，

$\begin{array}{c}{R}_1\left(A_i\right)+\gamma R_1\left(A\right)={\displaystyle {\sum }_{k=2}^n\left|{\left(A\right)}_{1k}\right|}+\gamma P_1\left(A\right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=2,\ne i}^n\left|a_{1k}\right|+\left|a_{1i}\right|\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}}+\gamma {\displaystyle {\sum }_{k=2}^n\left|a_{1k}\right|}\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{k=2,\ne i}^n\left|a_{1k}\right|+\left|a_{1i}\right|\left(\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}+\gamma \right)}\\ =R_1\left(A_i^{\gamma }\right)\end{array}$

设$a<i-1$ 为正整数，假设当$j=2,3,\cdots ,a$ 时，(2.5)都成立，则当$j=a+1$ 时，有

$\begin{array}{l}{R}_j\left(A_i\right)+\gamma R_j\left(A\right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|{\left(A_i\right)}_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A_i\right)}{\left|{\left(A_i\right)}_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1}^n\left|{\left(A\right)}_{jk}\right|}+\gamma \left({\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|a_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A\right)}{\left|a_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1}^n\left|a_{jk}\right|}\right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|a_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A_i\right)}{\left|a_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1,\ne i}^n\left|a_{jk}\right|}+\left|a_{ji}\right|\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}+\gamma \left({\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|a_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A\right)}{\left|a_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1}^n\left|a_{jk}\right|}\right)\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|a_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A_i\right)+\gamma R_k\left(A\right)}{\left|a_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1,\ne i}^n\left|a_{jk}\right|}+\left|a_{ji}\right|\left(\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}+\gamma \right)\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{k=1}^{j-1}\left|a_{jk}\right|}\frac{R_k\left(A_i^{\gamma }\right)}{\left|a_{kk}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{k=j+1,\ne i}^n\left|a_{jk}\right|}+\left|a_{ji}\right|\left(\frac{R_i\left(A\right)}{\left|a_{ii}\right|}+\gamma \right)=R_j\left(A_i^{\gamma }\right)\end{array}$

现在我们开始定理2.1的证明。当$i\in N_1$ 时，如果${\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|}\ne 0$ ，应用引理2.1可以得到：

$\begin{array}{c}\left|b_{ii}\right|=\left|a_{ii}\right|>{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_1}^n\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|{\delta }_j}+\gamma {\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|}\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_1}^n\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|}\left({\delta }_j+\gamma \right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|b_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|b_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|b_{ij}\right|}\ge {\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|b_{ij}\right|\frac{R_j\left(B\right)}{\left|b_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|b_{ij}\right|}=R_i\left(B\right)\end{array}$

如果${\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_2}^n\left|a_{ij}\right|}=0$ ，则有$\left|a_{ij}\right|=0$ ，$\forall j>i,j\in N_2$ ，从而可得：

$\begin{array}{c}\left|b_{ii}\right|=\left|a_{ii}\right|>{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_1}^n\left|a_{ij}\right|}\\ ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|b_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|b_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_1}^n\left|b_{ij}\right|}\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{j=1,\in N_1}^{i-1}\left|b_{ij}\right|\frac{R_j\left(B\right)}{\left|b_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1,\in N_1}^n\left|b_{ij}\right|}=R_i\left(B\right)\end{array}$ .

当$i\in N_2$ 时，应用(2.2)、(2.4)、(2.5)可得

$\begin{array}{c}\left|b_{ii}\right|=\left|a_{ii}\right|\left({\delta }_i+\gamma \right)>\left|a_{ii}\right|{\delta }_i+R_i\left(A\right)\gamma =R_i^i\left(A\right)+R_i\left(A\right)\gamma \\ =R_i\left(A_i\right)+R_i\left(A\right)\gamma ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A_i\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}+R_i\left(A\right)\gamma \\ ={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A_i\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}+\gamma \left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}\right)\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(A_i\right)+\gamma R_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|\frac{R_j\left(B\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|a_{ij}\right|}\\ \ge {\displaystyle {\sum }_{j=1}^{i-1}\left|b_{ij}\right|\frac{R_j\left(B\right)}{\left|b_{jj}\right|}}+{\displaystyle {\sum }_{j=i+1}^n\left|b_{ij}\right|}=R_i\left(B\right)\end{array}$

于是我们得到$\left|b_{ii}\right|>R_i\left(B\right)$ ，$\forall i\in N$ ，所以$B\in N$ ，从而$A\in D^{*}$ 。

例2.1 观察矩阵

$A=\left(\begin{array}{cccc}10& 1& 6& 3\\ 5& 8& 2& 1\\ 0& 0& 8& 4\\ 5& 0& 1& 5\end{array}\right)$

$R_1\left(A\right)=10$ ，$R_2\left(A\right)=8$ ，$R_3\left(A\right)=4$ ，$R_4\left(A\right)=5.5$ 。因为$R_4\left(A\right)=5.5>5=\left|a_{44}\right|$ ，所以文[8]定理1、2、3，文[10]定理1都不能判断矩阵A是否为非奇异H-矩阵。根据定理2.1有$N_1=\left\{1,2,4\right\}$ ，$N_2=\left\{3\right\}$ ，于是

$A_3=\left(\begin{array}{cccc}10& 1& 3& 3\\ 5& 8& 1& 1\\ 0& 0& 4& 4\\ 5& 0& 0.5& 5\end{array}\right)$ ,

$R_1\left(A_3\right)=7$ , $R_2\left(A_3\right)=5.5$ , $R_3\left(A_3\right)=4$ .

3. 结论

放缩矩阵是研究非奇异H-矩阵的一个重要工具。本文从Nekrasov矩阵的结构特点入手，构造一类新的放缩矩阵，得到了判断非奇异H-矩阵的一个新的充分条件。该结论在一定条件下改进了已有成果。