在两个群的直积上对有限群特征标余次数的推广

Generalization of the Co-Degree of Characters for Finite Groups on the Direct Product of Two Groups

摘要: 本文旨在推广钱国华老师的特征标余次数。设$G_1$ 和$G_2$ 是两个有限群，${\chi }_{\xi },{\chi }_{\zeta }$ 分别是$G_1$ 和$G_2$ 的任意不可约特征标，复合得到的特征标${\chi }_{\xi }{{}_{\#}}_{\zeta }$ 是$G_1\times G_2$ 的不可约特征标。我们探讨了$G_1\times G_2$ 的特征标余次数$cod\left({\chi }_{\xi }{{}_{\#}}_{\zeta }\right)$ 与$G_1$ 的特征标余次数$cod\left({\chi }_{\xi }\right)$ 及$G_2$ 的特征标余次数$cod\left({\chi }_{\zeta }\right)$ 之间的数量关系，并在此基础上对原有特征标余次数的相关性质进行了推广和拓展。

Abstract: This paper aims to extend the definition of character codegrees as presented by Professor Qian Guohua. Let $G_1$ and $G_2$ be two finite groups, with ${\chi }_{\xi }$ and ${\chi }_{\zeta }$ being arbitrary irreducible characters of $G_1$ and $G_2$ , respectively. The combined character ${\chi }_{\xi }{{}_{\#}}_{\zeta }$ is an irreducible character of $G_1\times G_2$ . We explore the quantitative relationship between the character codegree $cod\left({\chi }_{\xi }{{}_{\#}}_{\zeta }\right)$ of$G_1\times G_2$ , the character codegrees $cod\left({\chi }_{\xi }\right)$ of $G_1$ , and $cod\left({\chi }_{\zeta }\right)$ of $G_2$ . Based on this relationship, we extend and expand the properties of the original character codegrees.

1. 引言

在[1]文献中常熟理工学院的钱国华老师定义了特征标余次数，假设G是有限群，$\chi \in Irr\left(G\right)$ ，称：

$cod\left(\chi \right):=\frac{\left|G:\ker \chi \right|}{\chi \left(1\right)}$ ，为不可约特征标$\chi$ 的余次数，[2]中广西师范大学卢加宽老师从余次数的算术条件

对有限群结构的影响、余次数与其他算术量之间的联系等方面综述该领域的相关研究成果，也叙述了特

征标余次数定义的由来，在此简述一下子，Chillag等学者在[3] [4]中定义了$cod\left(\chi \right):=\frac{\left|G\right|}{\chi \left(1\right)}$ 定义为$\chi$ 对应

的不可约特征标次数的商，并且还刻画了每个非线性不可约特征标次数的商均很小时的性质，如果群G的正规子N群含于$\ker \chi$ 时，$\chi$ 也可以当作$G/N$ 的不可约特征标，在上面的Chillag等学者在[3] [4]中定义的不可约特征标的商与N的选择有关，不太方便使用归纳法，所以钱国华老师就定义了特征标的余次数，并展开相当的工作，发表在[5]-[7]中，本文主要的内容是基于邱维声老师的著作[8]第四章中的一些群直积表示和张量积基本知识对特征标余次数的基本定义和简单结论进行基础推广，$G_1$ 和$G_2$ 是两个有限群，在复表示的前提下，现在有${\chi }_{\xi },{\chi }_{\zeta }$ 分别是$G_1$ 和$G_2$ 的不可约特征标，且具有任意性，在说明两个的不可约特征标的复合得到的${\chi }_{\xi }{{}_{\#}}_{\zeta }$ 是$G_1\times G_2$ 的不可约特征标，因而合乎特征标余次数定义的必要先决条件，此时把有限群特征标余次数的这一经典概念推广到$G_1$ 和$G_2$ 的直积$G_1\times G_2$ 上，探究$G_1\times G_2$ 的特征标余次数$cod\left({\chi }_{\xi }{{}_{\#}}_{\zeta }\right)$ 与群$G_1$ 的特征标余次数$cod\left({\chi }_{\xi }\right)$ 和群$G_2$ 的特征标余次$cod\left({\chi }_{\zeta }\right)$ 数三者之间存在的数量联系，并根据此数量关系对原有的特征标余次数的相关性质进行基础的推广与拓展。

2. 预备知识

引理2.1 [9]：设$\chi \in Irr\left(G\right)$ (G的不可约特征标)，我们定义$\chi$ 的余次数为：

$cod\left(\chi \right):=\frac{\left|G:\ker \chi \right|}{\chi \left(1\right)}$ (1)

并记G的不可约特征标的余次数的集合为$cod\left(G\right)$ 。

引理2.2 [10]：假设${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_s$ 是有限群G的所有不可约且相互不等价的复表示，它们提供的特征标分别是${\chi }_1,{\chi }_2,\cdots ,{\chi }_s$ 则对于群G的任意复表示$\beta$ ，由表示$\left(G,\beta \right)$ 提供的特征标记为$\chi$ ，此不可约复表示在群G所有的不可约且不等价的复表示${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_s$ 的直和分解中任意${\sigma }_i$ 的系数等于$\left(\chi ,{\chi }_i\right)$ 。

引理2.3 [8]：有限群$G_1$ ，$G_2$ 其时$\Phi$ 是$G_1$ 的不可约矩阵表示，$\Psi$ 是$G_2$ 的不可约矩阵表示，规定$G=G_1\times G_2$ 的乘法运算：$\left(x_1,x_2\right)\left(y_1,y_2\right)=\left(x_1{y}_1,x_2{y}_2\right)$ ，$\forall x_1,y_1\in G_1$ ，$\forall x_2,y_2\in G_2$ 。

V为表示$\left(G_1,\Phi \right)$ 表示的空间，W为表示$\left(G_2,\Psi \right)$ 表示的空间，V和W是有限维的，满足下列关系：

$\left(\Phi \#\Psi \right)\left(g_1,g_2\right)=\Phi \left(g_1\right)\otimes \Psi \left(g_2\right)$ $\forall g_1\in G_1,g_2\in G_2$

相对应的特征标满足：${\chi }_{\Phi \#\Psi }\left(g_1,g_2\right)={\chi }_{\Phi }\left(g_1\right){\chi }_{\Psi }\left(g_2\right)$ $\forall g_1\in G_1,g_2\in G_2$

引理2.4 [8]：有限群$G_1$ ，$G_2$ ，其中$\kappa$ 是$G_1$ 的不可约表示，$\lambda$ 是$G_2$ 的不可约表示，则$\kappa \#\lambda$ 是群$G=G_1\times G_2$ 的不可约复表示。

引理2.5 [8]：在复表示的前提下，若$G_1$ ，$G_2$ 是有限群，其中${\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_r$ 是$G_1$ 的所有不等价的不可约的表示，而${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_s$ 是$G_2$ 的所有不等价的不可约的表示，则：

$\left\{{\omega }_i\#{\theta }_j|i=1,2,\cdots ,r;j=1,2,\cdots ,s\right\}$ 是$G=G_1\times G_2$ 的所有不等价的不可约复表示。

引理2.6 [1]：素数p是G的某个不可约特征标余次数的因子的充分必要条件是$p\in \pi \left(G\right)$ ，即p是群阶$\left|G\right|$ 的素因子。

引理2.7 [11] [12]：群的直积定义(外直积)：设有限群$G_1$ ，$G_2$ ，我们构造的笛卡尔积：

$G=G_1\times G_2=\left\{\left(g_1,g_2\right)|g_1\in G_1,g_2\in G_2\right\}$

群的直并定义G的乘法运算：$\left(a_1,a_2\right)\left(b_1,b_2\right)=\left(a_1{b}_1,a_2{b}_2\right)$ $\left(a_1,a_2\right),\left(b_1,b_2\right)\in G$ ；

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群$G_1$ 与$G_2$ 的外直积，记为$G=G_1\times G_2$ 。

引理2.8 [13]：特征标的基本定义及其性质：假设$\left({\rm X},V\right)$ 是群G的在域F上的一个线性不可约表示，定义一个函数如下：${\chi }_{{\rm X}}\left(g\right):=tr\left({\rm X}\left(g\right)\right)$ ，$\forall g\in G$ ，称${\chi }_{{\rm X}}$ 是G的表示${\rm X}$ 提供的不可约特征标。

3. 推理证明

推理3.1：结合引理2.4 [8]，引理2.5 [8]若${\chi }_{\omega 1},{\chi }_{\omega 2},\cdots ,{\chi }_{\omega r}$ 是$G_1$ 的所有不等价的不可约的表示 ${\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_r$ 提供的不可约特征标；${\chi }_{\theta 1},{\chi }_{\theta 2},\cdots ,{\chi }_{\theta s}$ 是$G_2$ 的所有不等价的不可约的表示的${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_s$ 提供的特征标，若$G=G_1\times G_2$ ，G的所有不可约特征标可表示为：

$\left\{{\chi }_{{\omega }_i\#{\theta }_j}|i=1,2,\cdots ,r;j=1,2,\cdots ,s\right\}$

且个数有$rs$ 个。

证明：

由于引理2.5 [8]中提到${\omega }_i\#{\theta }_j$ 是$G=G_1\times G_2$ 的所有不等价的不可约复表示(其中$i,j$ 具有任意性)，因此${\chi }_{{\omega }_i\#{\theta }_j}$ 是$G=G_1\times G_2$ 的所有不等价的不可约复特征标(补充一点好理解的就是${\chi }_{{\omega }_i\#{\theta }_j}$ 覆盖了$G=G_1\times G_2$ 的不可约不等价的复表示全集)，不仅如此，明显对于$G_1\times G_2$ 的任意两个不可约特征标${\chi }_{{\omega }_i\#{\theta }_j}$ 和${\chi }_{{\omega }_s\#{\theta }_t}$ ，当不同时满足$i=s$ 且$j=t$ 时不可约特征标${\chi }_{{\omega }_i\#{\theta }_j}$ 和${\chi }_{{\omega }_s\#{\theta }_t}$ 不会是两个等价的特征标，因而推出了$G=G_1\times G_2$ ，的不可约特征标(不可约表示)个数为$rs$ 个。

推理3.2：若$G=G_1\times G_2$ ，其中$\alpha ,\psi$ 分别是$G_1,G_2$ 的任意不可约复表示，则：

$cod\left({\chi }_{\alpha \#\psi }\right)=cod\left({\chi }_{\alpha }\right)cod\left({\chi }_{\psi }\right)$ 。

证明：

由引理2.1 [9]，引理2.2 [8]，引理2.3 [8]，引理2.4 [8]，引理2.5 [8]，推论3.1知去定义群的直积的特征标余次数也是非常的合理的定义

$cod\left({\chi }_{\alpha \#\psi }\right):=\frac{\left|G_1\times G_2:\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|}{{\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1\right)}$ (2)

这样就得到了两个群直积的不可约特征标余次数的定义，并且记群$G_1\times G_2$ 的不可约特征标余次数的集合为$cod\left(G_1\times G_2\right)$ ，对于我们定义的(2)式里面的符号我们还是要加以理解的，其中：

$G_1\times G_2=\left\{\left(g_1,g_2\right)|g_1\in G_1,g_2\in G_2\right\}$

其实有的时候在一些书籍或者文献上简记$G_1\times G_2=G$ 然后取一个$\forall g\in G$ ，其实这时要知道g的本质形式是为$\left(g_i,g_j\right)$ ，其中任意的$g_i\in G_1,g_j\in G_2$ ，(2)式中：

$\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }=\left\{\left(g_1,g_2\right)\in G_1\times G_2|{\chi }_{\alpha \#\psi }\left(g_1,g_2\right)={\chi }_{\alpha }\left(g_1\right){\chi }_{\psi }\left(g_2\right)={\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1,1\right)={\chi }_{\alpha }\left(1\right){\chi }_{\psi }\left(1\right)\right\}$

对于群直积的特征标${\chi }_{\alpha \#\psi }$ 其实在许多的文献中也是简记为${\chi }_{\alpha }{\chi }_{\psi }$ 或者${\chi }_{\alpha }\times {\chi }_{\psi }$ 当然还会有其他的表示，所以有的时候不必拘泥于符号的形式，只需要理解符号及引理2.7 [10] [11]所表达的含义即可，但是这里是参考了[8]中邱维声老师方法加以标记的；(2)式中${\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1\right)={\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1,1\right)={\chi }_{\alpha }\left(1\right){\chi }_{\psi }\left(1\right)$ 。

现阶段在特征标余次数在得到推广得到了(2)式后，可以再对其进行更深一步的对(2)式子进行改良，首先回到原始的(1)式，反问特征标的余次数的本质是个什么，其实特征标余次数是一个数，看(2)式中的分子项是$\left|G:\ker \chi \right|$ ，参考文献[7]，知$\ker \chi ⊲G$ ，本质上来说：

$\left|G:\ker \chi \right|=\left|G/\ker \chi \right|=\frac{\left|G\right|}{\left|\ker \chi \right|}$ (3)

由此在回到(2)式中：

$\begin{array}{l}\left|G_1\times G_2:\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|\\ =\left|G_1\times G_2/\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|\\ =\frac{\left|G_1\times G_2\right|}{\left|\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|}\end{array}$ (4)

因为：

$G_1\times G_2=\left\{\left(g_1,g_2\right)|g_1\in G_1,g_2\in G_2\right\}$ (5)

所以：

$\left|G_1\times G_2\right|=\left|G_1\right|\left|G_2\right|$ (6)

因为：

$\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }=\left\{\left(g_1,g_2\right)\in G_1\times G_2|{\chi }_{\alpha \#\psi }\left(g_1,g_2\right)={\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1,1\right)={\chi }_{\alpha }\left(1\right){\chi }_{\psi }\left(1\right)\right\}$ (7)

所以：

$\left|\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|=\left|\ker {\chi }_{\alpha }\right|\left|\ker {\chi }_{\psi }\right|$ (8)

又有：

${\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1\right)={\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1,1\right)={\chi }_{\alpha }\left(1\right){\chi }_{\psi }\left(1\right)$ (9)

现在结合(2)~(4)，(6)~(9)，可以推出：

$\begin{array}{l}cod\left({\chi }_{\alpha \#\psi }\right):=\frac{\left|G_1\times G_2:\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|}{{\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1\right)}\\ =\frac{\left|G_1\times G_2\right|}{{\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1\right)\left|\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|}\\ =\frac{\left|G_1\right|\left|G_2\right|}{{\chi }_{\alpha }\left(1\right){\chi }_{\psi }\left(1\right)\left|\ker {\chi }_{\alpha }\right|\left|\ker {\chi }_{\psi }\right|}\end{array}$ (10)

然而前面已经提到过了${\chi }_{\alpha },{\chi }_{\psi }$ 分别是$G_1$ 和$G_2$ 的不可约特征标，则据(1)，(3)式可得到：

$cod\left({\chi }_{\alpha }\right):=\frac{\left|G:\ker {\chi }_{\alpha }\right|}{{\chi }_{\alpha }\left(1\right)}=\frac{\left|G\right|}{{\chi }_{\alpha }\left(1\right)\left|\ker {\chi }_{\alpha }\right|}$ (11)

$cod\left({\chi }_{\psi }\right):=\frac{\left|G:\ker {\chi }_{\psi }\right|}{{\chi }_{\psi }\left(1\right)}=\frac{\left|G\right|}{{\chi }_{\psi }\left(1\right)\left|\ker {\chi }_{\psi }\right|}$ (12)

结合(10)~(12)得到：

$\begin{array}{l}cod\left({\chi }_{\alpha \#\psi }\right):=\frac{\left|G_1\times G_2:\ker {\chi }_{\alpha \#\psi }\right|}{{\chi }_{\alpha \#\psi }\left(1\right)}\\ =\frac{\left|G_1\right|\left|G_2\right|}{{\chi }_{\alpha }\left(1\right){\chi }_{\psi }\left(1\right)\left|\ker {\chi }_{\alpha }\right|\left|\ker {\chi }_{\psi }\right|}\\ =\frac{\left|G_1\right|}{{\chi }_{\alpha }\left(1\right)\left|\ker {\chi }_{\alpha }\right|}\frac{\left|G_2\right|}{{\chi }_{\psi }\left(1\right)\left|\ker {\chi }_{\psi }\right|}\\ =cod\left({\chi }_{\alpha }\right)cod\left({\chi }_{\psi }\right)\end{array}$

则：

$cod\left({\chi }_{\alpha \#\psi }\right)=cod\left({\chi }_{\alpha }\right)cod\left({\chi }_{\psi }\right)$ (13)

这个结论确定了两个群的不可约特征标余次数与它们直积的不可约特征标之间的一个重要关系，通过上面这个关系我们知道，在求一个群G的不可约特征标的余次数的时候，假如对于群G的未知项比较多，或者我们很难去求G的所有的不可约特征标，此时可考虑极其重要的一个问题，可不可以，能不能够把G进行分解表示，用它的子群进行表示，假设$K,H$ 均是G的子群，然而恰好G可以表示为两个子群，即$G=H\times K$ ，对G进行这样的分解表示以后，恰好已知或者容易求出群$K,H$ 的所有不可约特征标，然后通过参考文献[8]，我们求出了求$H\times K$ 出所对应的不可约特征标，进而求出了其不可约特征标对应的余次数，这样假设${\alpha }_i,{\psi }_j$ 分别为两个子群$K,H$ 的不可约表示，且因为$i,j$ ，具有任意性，则通过(13)这个重要推论可以得出了$cod\left({\chi }_{{\alpha }_i\#{\psi }_j}\right)=cod\left({\chi }_{{\alpha }_i}\right)cod\left({\chi }_{{\psi }_j}\right)$ ，由于$i,j$ 的任意性，就求出了$H\times K$ 所有的不可约特征标的余次数，这样就求出了G所有的不可约特征标的余次数，现在再考虑另外一个问题，就是已知群$G_1$ 和$G_2$ 的所有不可约特征标的余次数，构建一个新的群$G_1\times G_2$ ，过(13)这个重要推论就可以完全的求出群$G_1\times G_2$ 的所有的不可约特征标对应特征标余次数，了解到某个群特征标余次数后其实和掌握该群一组不可约特征标对探索该群结构有一定的意义(知道某群的一组不可约特征标可确定该群结构[14])。

推理3.3：假设$G_1$ 和$G_2$ 是两个有限群，$p,q$ 是两个素数，如果$p\in \pi \left(G_1\right)$ ，$q\in \pi \left(G_2\right)$ ，则可推出$pq$ 是群$G=G_1\times G_2$ 某一个不可约特征标余次数的因子。

证明：应用引理2.6 [1]的充分性，因为$p,q$ 是两个素数，如果$p\in \pi \left(G_1\right)$ ，则我们可推出素数p是$G_1$ 的某个不可约特征标余次数的因子，反正存在性是必然的，不妨把这个存在的$G_1$ 不可约特征标余次数先确定下来，这样做法是合理的，假设素数p是$cod\left({\chi }_{\mu }\right)$ 的因子，其中${\chi }_{\mu }\in Irr\left(G_1\right)$ ，则：

(14)

同理素数q是$G_2$ 的某个不可约特征标余次数的因子，假设素数q是$cod\left({\chi }_{\zeta }\right)$ 的因子，${\chi }_{\zeta }\in Irr\left(G_2\right)$ ，则：

(15)

结合(14)式，(15)式以及推理3.1，推论3.3的(13)式我们可得到：

因而我们证明了$pq$ 是群$G=G_1\times G_2$ 某一个不可约特征标余次数的因子；证明完毕。