具有双Herman环的有理函数的拓扑性质

Topological Properties of Rational Functions with Two Herman Rings

摘要: 本文研究了具有两个Herman环的有理函数的拓扑性质。之前的研究中，Wang和Zhang从有理函数的拓扑性质入手，提出了构造具有一个Herman环有理函数的方法，结合周弘毅在2023年的研究，可以得到判断有理函数的拓扑等价类中是否有一个Herman环的充要条件。基于他们的研究，本文进一步给出了具有次数大于或等于2的有理函数拓扑等价于具有两个Herman环的有理函数的必要条件。

Abstract: This paper studies the topological properties of rational functions with two Herman rings. In previous research, Wang and Zhang proposed a method for constructing rational functions with one Herman ring based on the topological properties of rational functions. Combined with Zhou Hongyi’s research in 2023, a necessary and sufficient condition for determining whether there is a Herman ring in the topological equivalence class of rational functions can be obtained. Based on their research, this paper further presents the necessary condition for a rational function with a degree greater than or equal to 2 to be topologically equivalent to a rational function with two Herman rings.

1. 引言

设f是定义在扩充复平面$\overline{ℂ}$ 上次数大于等于2的有理函数。记f的n次迭代为

$f^n=\underset{n次}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}},n=1,2,3,\cdots .$

对于$z_0\in \overline{ℂ}$ ，若存在$z_0$ 的邻域U，使得函数族$\left\{{f^n|}_U\right\}$ 在U上为正规族，则称$z_0$ 为f的正规点。所有正规点的全体是f的Fatou集，记为$F_f$ ，其补集为f的Julia集，记为$J_f$ 。显然，$F_f$ 为开集，$J_f$ 为闭集。

若存在正整数p使$f^p\left(z_0\right)=z_0$ ，则称$z_0$ 为f的周期点，满足该式的最小正整数p称为其周期。特别地，周期为1的周期点称为不动点。Fatou分支是指f的Fatou集$F_f$ 的一个连通分支。由于f是有理函数，f的Fatou分支在f作用下的像仍然是Fatou分支。若Fatou分支$U\subset F_f$ ，存在正整数$p>0$ 使

$f^p\left(U\right)=U,$

则称U为周期Fatou分支；若Fatou分支$V\subset F_f$ 非周期，但存在正整数q使$f^q\left(V\right)$ 是周期的，则称V为最终周期的。Sullivan证明了有理函数的所有Fatou分支都是最终周期性的，即著名的无游荡域定理。

分类定理表明，若U是一个不变Fatou分支，则必属于吸性域、超吸性域、抛物域、Siegel盘和Herman环五个类型之一[1]。其中，Herman环的定义为：存在一个共形映射$\psi :U\to A$ ，其中$A=\left\{r<\left|z\right|<1\right\}$ 是一个满足$0<r<1$ 的环域，且存在一个无理数$\alpha$ ，使得

$\psi \circ f\circ {\psi }^{-1}\left(z\right)={\text{e}}^{2\pi i\alpha }z.$

定义表明，Herman环是一个二连通区域，有理函限制在其Herman环上可以共形共轭于标准环域上的旋转映射，并且旋转的角度是一个无理数，这也说明有理函数限制在Herman环上是共形映射。Herman环与临界点有着紧密的联系，在研究周期点和不动点的性质时也具有重要意义。

在上述五种类型中，Herman环作为唯一一种不是直接由周期点导出的Fatou分支，其存在性是最后一个被证明的。第一个Herman环的显式例子是Herman于1984年给出的。他的研究方法基于Blaschke乘积和Arnold的线性化定理[2]。随后，Shishikura引入了一种新的方法——拟共形手术，用于构造具有更灵活性质的Herman环[3]。

尽管在Herman环的构造方面学者们已经提出了一些灵活有效的方法，但对于一个具体的有理函数，如何能简洁有效地判断该函数或其同类型的函数是否有Herman环，以及Herman环的数量情况，仍然是一个重要且具有研究价值的问题。

在Wang和Zhang的工作中[4]，作者从有理函数的拓扑性质切入，给出了从特殊性质的有理函数构造Herman环方法。更具体地说，作者证明了以下分离定理：

定理1. 设$0<\theta <1$ 是一个Diophantine数，F是一个有理函数。如果存在一个环域H满足以下条件：

(1) ${F|}_H$ 是一个同胚映射。

(2) H的两个余集分支分别至少包含一个临界点。

那么，存在一个有理函数G，它具有旋转数为$\theta$ 的Herman环，并且G拓扑等价于F。

上述定理中f和g拓扑等价是指，存在$\overline{ℂ}$ 到自身同胚映射$\varphi$ 和$\psi$ 使得$\phi \circ f=g\circ \psi$ 。拓扑等价是拓扑共轭的一个推广。拓扑共轭具有更强的动力学意义，因为拓扑共轭的有理函数有等价的动力系统。但一般拓扑共轭不易实现，而拓扑等价的刚性较弱，所以拓扑等价类中动力系统更加多样，实现起来也更加容易。

Wang和Zhang的研究成果也给出了一个判断有理函数拓扑等价类中是否存在Herman环的充分条件。2023年，周弘毅证明了上述分离定理中的条件的必要性[5]：

定理2. 设是扩充复平面$\overline{ℂ}$ 上的有理函数且次数至少为2。若$H\subset \overline{ℂ}$ 为f的一个Herman环，则H在$\overline{ℂ}$ 上的两个余集分支分别至少包含两个临界点。

上述两个定理一同给出了判断有理函数所在的拓扑等价类是否具有Herman环的充要条件。根据上述定理，可以通过判断是否存在上述分离临界点的特殊环域来快速判断其是否拓扑等价于具有Herman环的有理函数。然而研究清楚一个Herman环的判断方法后，一个自然的问题是考虑多个Herman环的情形。

本文深入研究了具有两个Herman环的有理函数，寻找其存在Herman环的必要条件，着重研究其在拓扑等价下不变的性质，引入了更加精细的变量对其进行刻画，最终总结为以下定理作为Herman环存在的必要条件，并推测其可能也具有充分性：

定理3. 设G为具有两个Herman环的有理函数，则对于任意与G拓扑等价的有理函数R，有以下四个性质成立：

(1) 存在两个环域$H_1,H_2\subset \overline{ℂ}$ ，使得它们的闭包及其闭包的像是互相不相交的。即${\overline{H}}_1\cap {\overline{H}}_2=\varnothing$ 且$R\left({\overline{H}}_1\right)\cap R\left({\overline{H}}_2\right)=\varnothing$ 。

(2) R在$H_i$ 上的限制${R|}_{H_i}:H_i\to R\left(H_i\right)$ ，$i=1,2$ ，是一个同胚映射。

(3) 对于$\overline{H_1\cup H_2}$ 的余集的三个连通分支，其中每一个分支都包含至少两个临界点。

(4) 设${\Omega }_1$ 是$\overline{H_1\cup H_2}$ 的双连通余集分支，${\Omega }_2$ 是$\overline{R\left(H_1\right)\cup R\left(H_2\right)}$ 的双连通余集分支。在${\Omega }_2$ 中存在不包含R的任何临界值且在${\Omega }_2$ 中非零伦的Jordan曲线$\gamma$ 使得

${\displaystyle \sum _{i=1}^k\frac{1}{d_i}}<1,$

其中k是$R^{-1}\left(\gamma \right)$ 在${\Omega }_1$ 中非零伦的连通分支的个数，$d_i$ 是R限制在上述第i个分支上的映射次数。

相对于前两个定理，定理3给出了Herman环增加到两个带来的更复杂的拓扑性质。特别地，性质(4)体现出了两个Herman之间的相互约束，下文中性质(4)的证明过程也表明当不满足该性质时，有理函数将不会存在两个Herman环，这表明该性质是非平凡的。此外，性质(4)的特殊形式也使我们猜测其可能可以作为充分条件的重要部分。

利用上述定理，可以通过分析有理函数的覆盖结构来研究其Herman环，即通过较为简单的覆盖性质来判断较为复杂的Herman环的存在性以及数量，方便了对Herman环的研究。

2. 相关定义与定理

为了证明定理3，主要的两个工具是共形模和Riemann-Hurwitz公式。

环域$A\left(z_0,r_1,r_2\right)$ 是由以$z_0$ 为中心，半径为$r_1$ 和$r_2$ 的两条同心圆所围成的区域，其中$z_0\in ℂ$ 且$0<r_1<r_2$ 。如果$z_0=0$ ，则环域$A\left(0,r_1,r_2\right)$ 可简记为$A\left(r_1,r_2\right)$ 。对于每一个环域H，存在唯一的正数$r>1$ ，使得H共形等价于标准环域$A\left(1,r\right)$ [6]，其边界为曲线$\left|z\right|=1$ 和$\left|z\right|=r$ 。环域H的共形模定义为

$\mathrm{mod}\left(H\right)=\frac{1}{2\pi }\log r$ .

环域的共形模是共形不变量。此外，对于共形模，有以下不等式：

定理4. 设H是一个环域，$H_1,\cdots ,H_n$ 是H的互不相交的子环域。如果每个$H_i$ ，$i=1,2,3,\cdots ,n$ 的一个余集分支包含H的一个余集分支，则有

${\displaystyle \sum \mathrm{mod}\left(H_i\right)}\le \mathrm{mod}\left(H\right).$

特别地，如果H是以原点为中心的标准环域，则当且仅当$H_n$ 也是以原点为中心的标准环域且它们的并集在H中稠密时，上式等号成立。

设G为扩充复平面$\overline{ℂ}$ 上的有理函数，若对于环域$H_1$ 和$H_2$ 有$G\left(H_1\right)=H_2$ ，则根据Riemann-Hurwitz公式有

$\chi \left(H_1\right)=d\chi \left(H_2\right)-r,$

其中$\chi \left(H_1\right)$ 和$\chi \left(H_2\right)$ 分别为$H_1$ 和$H_2$ 的Euler示性数，r为G在$H_1$ 内的临界点的个数。由于环域的欧拉示性数为0，所以$r=0$ ，即$H_1$ 上没有临界点，从而${G|}_{H_1}$ 是$H_1$ 到$H_2$ 的有限次覆盖映射。

3. 定理3的证明

设有理函数R与具有两个Herman环的有理函数G拓扑等价，则存在$\overline{ℂ}$ 上的两个自同胚映射，记为$\phi$ 和$\psi$ ，满足

$\phi \circ R=G\circ \psi .$

下面依次证明R满足性质(1)至性质(4)。

3.1. 性质(1)~(2)的证明

记$A_1$ 和$A_2$ 是G的两个Herman环。根据定义，存在共形映射$g_i:A_i\to A\left(r_i,1\right)$ ，$i=1,2$ ，使得

${G|}_{A_i}=g_i^{-1}\circ R_{{\theta }_i}\circ g_i,$

其中$R_{{\theta }_i}\left(z\right)={\text{e}}^{{\theta }_i}z$ ，$i=1,2$ 为旋转。适当选取${ϵ}_i>0$ 使得$A\left(r_i+{ϵ}_i,1-{ϵ}_i\right)$ 仍为圆环，记其关于$g_i$ 的逆象为$B_i$ ，$i=1,2$ 。可以看出$G\left(B_i\right)=B_i$ ，$i=1,2$ ，且${\overline{B}}_1\cap {\overline{B}}_2=\varnothing$ 。

令$H_i={\psi }^{-1}\left(B_i\right)$ ，容易得到$R\left(H_i\right)={\phi }^{-1}\left(B_i\right)$ ，$i=1,2$ 。从而有

${\overline{H}}_1\cap {\overline{H}}_2=\varnothing ,R\left({\overline{H}}_1\right)\cap R\left({\overline{H}}_2\right)=\varnothing .$

这样我们找到了两个环域$H_1,H_2\subset \overline{ℂ}$ ，使得满足性质(1)的要求。根据构造不难看出，${R|}_{H_i}:H_i\to R\left(H_i\right)$ ，$i=1,2$ ，是同胚映射，从而满足性质(2)。

3.2. 性质(3)的证明

设$\overline{B_1\cup B_2}$ 的余集分支分别为$S_1,S_2$ 和$\Omega$ ，其中$S_i$ 为单连通区域且与$B_i$ 有一个公共边界分支，$i=1,2$ ，$\Omega$ 为环域。由定义有

$\psi \left({\Omega }_1\right)=\phi \left({\Omega }_2\right)=\Omega .$

周弘毅已经证明了具有一个Herman环的有理函数分离临界点的情况。对于本文中具有两个Herman环的有理函数，我们从类似的证明出发。首先证明$S_1$ 中至少包含两个临界点，$S_2$ 类似可得同样的结论。

根据$S_1$ 的定义，$\partial S_1$ 在Herman环$A_1$ 中，并且有

${G|}_{\partial S_1}=g_1^{-1}\circ R_{{\theta }_1}\circ g_1,$

即$\partial S_1$ 是G的不变曲线。这样，记$G^{-1}\left(S_1\right)$ 边界分支包含$\partial S_1$ 的连通分支记为$U_1$ ，则${G|}_{U_1}$ 为$U_1$ 到$S_1$ 的分歧覆盖。由于G为有理函数，所以${G|}_{U_1}$ 为有限次分歧覆盖。记${G|}_{U_1}$ 的覆盖次数为$d_{U_1}$ 。

若$d_{U_1}=1$ ，则${G|}_{U_1}$ 为$U_1$ 到$S_1$ 的同胚映射。这说明$U_1$ 是单连通区域，进而有$U_1$ 的边界为$\partial S_1$ 。根据G在$\partial S_1$ 的局部性质可得$U_1=S_1$ ，从而$G\left(S_1\right)=S_1$ ，所以$S_1$ 包含在G的Fatou集$F_G$ 中。由于Herman环的边界包含于G的Julia集$J_G$ 中，而$S_1$ 中包含了Herman环$A_1$ 的一个边界分支，这与$S_1\subset F_G$ 矛盾，从而有$d_{U_1}\ge 2$ 。

根据Riemann-Hurwitz公式可得

$\chi \left(U_1\right)=d_{U_1}\chi \left(S_1\right)-r_{U_1},$

其中$\chi \left(U_1\right)$ 和$\chi \left(S_1\right)$ 分别为$U_1$ 和$S_1$ 的Euler示性数，$r_{U_1}$ 为G在$U_1$ 中的临界点个数。由于$U_1$ 是多连通区域，$\chi \left(U_1\right)\le 0$ ，此外$d_{U_1}\ge 2$ ，$\chi \left(S_1\right)=1$ ，从而有$r_{U_1}\ge 2$ ，即$U_1$ 中至少有两个临界点。由于$U_1$ 的一个边界分支$\partial S_1$ 是G的不变曲线以及其定向，可得$U_1\subset S_1$ 。因此$S_1$ 中至少有两个G的临界点。

类似的，可以用上述方法证明$S_2$ 中至少有两个G的临界点。下面我们证明$\Omega$ 中至少包含两个G的临界点。

记$\overline{\Omega }$ 的两个余集分支为$D_1$ 和$D_2$ ，考虑$G^{-1}\left(D_1\right)$ 和$G^{-1}\left(D_2\right)$ 在$\Omega$ 中的连通分支的存在情况。若$\Omega$ 中不存在上述连通分支，则$G\left(\Omega \right)=\Omega$ ，且${G|}_{\Omega }$ 是同胚映射，这与已知条件矛盾。

若$\Omega$ 中存在$G^{-1}\left(D_1\right)$ 或$G^{-1}\left(D_2\right)$ 的连通分支，且非单连通的，不妨设其为$G^{-1}\left(D_1\right)$ 的一个连通分支，记为V，则由Riemann-Hurwitz公式可得

$\chi \left(V\right)=d_V\chi \left(D_1\right)-r_V.$

由于V至少为双连通，所以$\chi \left(V\right)\le 0$ ，而$\chi \left(D_1\right)=1$ 且$d_V\ge 2$ ，计算可得$\Omega$ 中至少有两个临界点。

若$\Omega$ 中的上述连通分支都是单连通的，则由于$\partial D_1$ 和$\partial D_2$ 为$\partial \Omega$ 的逆像分支，在$\Omega$ 中成对出现，从而$G^{-1}\left(D_1\right)$ 和$G^{-1}\left(D_2\right)$ 分别至少有一个分支在$\Omega$ 中。记这些分支的闭包在$\Omega$ 中的余集为W，则${G|}_W$ 是W到$\Omega$ 的分歧覆盖，且W至少是四连通的，由Riemann-Hurwitz公式可得$\Omega$ 上至少有两个临界点。

由于临界点定义为有理函数导数为零的点，函数在临界点附近表现出多对一的局部特征。因为$\psi$ 是同胚映射保持部拓扑结构，所以它不改变分歧覆盖的临界点数量。而$\psi$ 分别把$S_1$ ，$S_2$ 和$\Omega$ 上的临界点映射到对应的$\overline{H_1\cup H_2}$ 的余集的三个连通分支上，所以$\overline{H_1\cup H_2}$ 的余集分支均有至少两个临界点，性质(3)得证。

3.3. 性质(4)的证明

假设$\Omega$ 中任何不经过G的临界值的非零伦的Jordan曲线$\gamma$ 有不等式

${\displaystyle \sum _{i=1}^k\frac{1}{d_i}}\ge 1$

成立，其中k是$G^{-1}\left(\gamma \right)$ 在${\Omega }_1$ 中非零伦的连通分支的个数，$d_i$ 是G限制在上述第i个分支上的映射次数。

对于环域$\Omega$ ，存在共形映射

$h:\Omega \to A\left(1,r\right).$

设$\Omega$ 上的临界值的像位于$A\left(1,r\right)$ 中以原点为中心的m个同心圆上，将其分割为$m+1$ 个同心圆环。记这些圆环关于h的逆像为${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_{m+1}$ 。于是有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m+1}\mathrm{mod}}\left({\omega }_i\right)=\mathrm{mod}\left(\Omega \right).$

对于每个${\omega }_i\in \left\{{\omega }_1,\cdots ,{\omega }_{m+1}\right\}$ ，$G^{-1}\left({\omega }_i\right)$ 的连通分支有两种情况。一种为其核曲线在$\Omega$ 中零伦，一种为其核曲线在$\Omega$ 中非零伦。设非零伦的分支为${\tilde{\omega }}_{i1},\cdots ,{\tilde{\omega }}_{ik}$ ，其中$k=k\left(i\right)$ 。则${G|}_{{\tilde{\omega }}_{ij}}$ 是从${\tilde{\omega }}_{ij}$ 到${\omega }_i$ 的覆盖映射。

因为${\tilde{\omega }}_{ij}$ 上没有G的临界点，根据Riemann-Hurwitz公式，${\tilde{\omega }}_{ij}$ 的欧拉示性数为0，这表明${\tilde{\omega }}_{ij}$ 也是一个环域。

对于${\omega }_i$ 中任意非零伦的Jordan曲线${\gamma }_i$ ，令${\tilde{\gamma }}_{ij}=G^{-1}\left({\gamma }_i\right)\cap {\tilde{\omega }}_{ij}$ 。如果${\tilde{\gamma }}_{ij}$ 不是连通的，考虑其在${\tilde{\omega }}_{ij}$ 中的余集分支，其中一定存在一个分支，其边界至少包含${\tilde{\gamma }}_{ij}$ 的两个分支，$G$ 限制在这个分支上是${\gamma }_i$ 在${\omega }_i$ 中的某个余集分支的覆盖。根据Riemann-Hurwitz公式，其必须有至少一个临界点，但这与${\tilde{\omega }}_{ij}$ 上没有临界点的假设相矛盾。因此，${\tilde{\gamma }}_{ij}$ 是连通的。

${G|}_{{\tilde{\gamma }}_{ij}}:{\tilde{\gamma }}_{ij}\to {\gamma }_i$ 是有限次覆盖映射，记次数为$d_{ij}$ 。由于有限次覆盖映射的中的每一点都有相同的逆像个数，所以${G|}_{{\tilde{\omega }}_{ij}}$ 的覆盖次数是$d_{ij}$ 。于是有

${\displaystyle \sum _{j=1}^k\mathrm{mod}}\left({\tilde{\omega }}_{ij}\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^k\frac{1}{d_{ij}}}\mathrm{mod}\left({\omega }_i\right)\ge \mathrm{mod}\left({\omega }_i\right)$ ,

因此

$\begin{array}{c}\mathrm{mod}\left(\Omega \right)\ge {\displaystyle \sum _{i=1}^{m+1}{\displaystyle \sum _{j=1}^k\mathrm{mod}}}\left({\tilde{\omega }}_{ij}\right)\\ \ge {\displaystyle \sum _{i=1}^{m+1}\mathrm{mod}}\left({\omega }_i\right)\\ =\mathrm{mod}\left(\Omega \right).\end{array}$

从而

$\mathrm{mod}\left(\Omega \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{m+1}{\displaystyle \sum _{j=1}^k\mathrm{mod}}}\left({\tilde{\omega }}_{ij}\right).$

根据共形模的性质得

${\displaystyle \underset{ij}{\cup }{\overline{\tilde{\omega }}}_{ij}}=\Omega .$

此外$\left\{{\tilde{\omega }}_{ij}\right\}$ 中的任意一对相邻的连通分支之间所夹的都是一条解析Jordan曲线。因此，在$\Omega$ 上不存在

临界点，而3.2节证明了$\Omega$ 上至少有一个临界点，矛盾!从而$\Omega$ 中存在满足不等式${\displaystyle \sum _{i=1}^k\frac{1}{d_i}}<1$ 的$\gamma$ 。

覆盖次数刻为分歧覆盖在局部将原空间映射到目标空间时的层数，而同胚映射不改变其层数，所以拓扑等价的有理函数具有相同的覆盖次数。由于$\phi$ 和$\psi$ 是同胚映射，取${\gamma }^{\prime }={\phi }^{-1}\left(\gamma \right)\subset {\Omega }_2$ ，则${\gamma }^{\prime }$ 不经过R

的临界值，且满足${\displaystyle \sum _{i=1}^k\frac{1}{d_i}}<1$ ，其中k是$R^{-1}\left(\gamma \right)$ 中在${\Omega }_1$ 中不是同伦于点的连通分支的数量，$d_i$ 是R限制在

第i个分支上的映射次数。性质(4)得证。

4. 总结与展望

本文研究了具有双Herman环的有理函数的拓扑性质，给出了这些有理函数满足拓扑等价关系的必要条件，明确了拓扑等价于具有两个Herman环的有理函数应具备的四个具体性质，加深了对具有两个Herman环的拓扑性质的理解以及Herman环的增加带来的更强约束的认识，为研究具有两个甚至更对Herman环的有理函数的拓扑结构提供了重要的理论依据。

在未来将深入探索更多的Herman环带来的更加复杂的拓扑性质，并具寻求有两个以及多个Herman环的有理函数拓扑性质的最佳描述，以找到其拓扑刻画的充要条件。