耦合磁场的两相流模型的低马赫数极限

Low Mach Number Limit of a Two-Phase Model with Magnetic Field

摘要: 本文研究了耦合磁场的两相流模型的低马赫数极限问题。在适当的初值条件下，证明了当马赫数趋近于零时，可压缩两相流模型的解收敛于不可压缩磁流体方程的强解。

Abstract: In this paper, we study the low Mach number limit of a two-phase model with magnetic field. In the case of well-prepared initial data, we prove that the solution of the compressible two-fluid system converges to the strong solution of the incompressible magnetohydrodynamic equations as the Mach number $ϵ\to 0$ .

1. 引言

研究耦合磁场的两相流模型的低马赫数极限问题具有重要物理意义，该研究不仅丰富了等离子体等应用学科的理论知识，而且有助于从数学角度解释流体相关物理现象，从而对实际应用起到指导作用。例如在一些涉及磁流体和两相流的工程应用场景中，如核电领域中对相关流动现象的研究。

本文研究下述耦合磁场的两相流模型

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}n+\mathrm{div}\left(nu\right)=0,\hfill \\ {\partial }_t\rho +\mathrm{div}\left(\rho u\right)=0,\hfill \\ {\partial }_t\left[\left(n+\rho \right)u\right]+\mathrm{div}\left[\left(\rho +n\right)u\otimes u\right]+\nabla P\left(n,\rho \right)\hfill \\ =\mu \Delta u+\left(\mu +\lambda \right)\nabla \mathrm{div}u+\left(\nabla \times B\right)\times B,\hfill \\ {\partial }_{t}B-\nabla \times \left(u\times B\right)=-\nabla \times \left(\nu \nabla \times B\right),\hfill \\ \mathrm{div}B=0,\hfill \end{array}$ (1.1)

的低马赫数极限。其中，$n\left(x,t\right)>0$ 和$\rho \left(x,t\right)>0$ 分别表示两种流体的密度函数，$u\left(x,t\right)$ 表示两种流体的速度函数以及$B\left(x,t\right)$ 表示磁场。压力函数$P(n,\rho )=A{n}^{\gamma }+\rho$ ，$\gamma >1$ ，常数$A>0$ ，$\gamma$ 表示绝热指数，粘度系数$\mu$ ，$\lambda$ 满足$\mu >0$ ，$\lambda +\frac{2}{3}\mu \ge 0$ ，$\nu >0$ 表示磁扩散系数。

当$\rho \equiv 0$ 且不考虑磁场时，模型(1.1)简化为可压缩等熵Navier-Stokes方程，Pierre L Lions [1]等证明了当马赫数趋于零时，该方程的整体弱解到不可压缩Navier-Stokes方程解的收敛性。

在不考虑磁场影响的情况下，模型(1.1)简化为流体–粒子相互作用模型，王红利[2]等通过相对熵方法和精细的能量估计，证明了在适当初值条件下，当马赫数趋于零时，可压缩流体–粒子相互作用模型的弱解收敛到不可压缩Navier-Stokes方程的强解。

当$\rho \equiv 0$ 时，模型(1.1)简化为可压缩等熵MHD方程。黎野平[3]通过相对熵方法和精细的能量估计，证明了当马赫数趋于零时，三维粘性可压缩磁流体方程的光滑解收敛到理想不可压缩磁流体方程的光滑解。胡贤鹏[4]等和江松[5]等通过相对熵方法和精细的能量估计，分别在不同空间中，证明了当马赫数趋于零时，可压缩等熵粘性磁流体方程的弱解收敛到不可压缩粘性磁流体方程的弱解。

最近，温焕尧[6]等通过引入一个新的线性化模型，证明了耦合磁场的粘性可压缩两相流模型的强解的整体存在性和唯一性。本文将基于相对熵方法和精细的能量估计，在适当的初值条件下，证明当马赫数趋于零时，耦合磁场的可压缩两相流模型的解收敛到不可压磁流体方程的强解。

2. 形式推导

为了证明系统(1.1)在三维全空间上的低马赫数极限，进行如下尺度变换

$\begin{array}{l}n\left(x,t\right)=n^{ϵ}\left(x,ϵt\right),\rho \left(x,t\right)={\rho }^{ϵ}\left(x,ϵt\right),\\ u\left(x,t\right)=ϵu^{ϵ}\left(x,ϵt\right),B\left(x,t\right)=ϵB^{ϵ}\left(x,ϵt\right)\end{array}$

并假设粘度系数$\mu$ ，$\lambda$ 和磁扩散系数$\nu$ 的尺度变换如下

$\mu \mapsto ϵ\mu \text{,}\lambda \mapsto ϵ\lambda \text{,}\nu \mapsto ϵ\nu \text{,}$

其中$ϵ\in (0,1)$ 为尺度化后的马赫数，在上述尺度变换下可得

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t{n}^{ϵ}+\mathrm{div}\left(n^{ϵ}{u}^{ϵ}\right)=0,\hfill \\ {\partial }_t{\rho }^{ϵ}+\mathrm{div}\left({\rho }^{ϵ}{u}^{ϵ}\right)=0,\hfill \\ {\partial }_t\left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)u^{ϵ}\right]+\mathrm{div}\left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)u^{ϵ}\otimes u^{ϵ}\right]+\frac{1}{{ϵ}^2}\nabla P\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ}\right)\hfill \\ =\mu \Delta u^{ϵ}+\left(\mu +\lambda \right)\nabla \mathrm{div}{u}^{ϵ}+\left(\nabla \times B^{ϵ}\right)\times B^{ϵ},\hfill \\ {\partial }_t{B}^{ϵ}-\nabla \times \left(u^{ϵ}\times B^{ϵ}\right)=-\nabla \times \left(\nu \nabla \times B^{ϵ}\right),\hfill \\ \mathrm{div}{B}^{ϵ}=0.\hfill \end{array}$ (2.1)

其中系统(2.1)的初值满足

$\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ},u^{ϵ},B^{ϵ}\right)\left(x,0\right)=\left(n_0^{ϵ},{\rho }_0^{ϵ},u_0^{ϵ},B_0^{ϵ}\right)\left(x\right),x\in {ℝ}^3.$ (2.2)

记$\nabla P\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ}\right)=\nabla \left[P\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ}\right)-P\left(n^{*},{\rho }^{*}\right)\right]$ 。动量方程表明$n^{ϵ}$ ，${\rho }^{ϵ}$ 应分别表示为$n=n^{*}+O\left({ϵ}^2\right)$ ，$\rho ={\rho }^{*}+O\left({ϵ}^2\right)$ ，其中，$n^{*}$ 和${\rho }^{*}$ 是正的常数。当$ϵ\to 0^{+}$ 时，因为$n^{ϵ}$ 和${\rho }^{ϵ}$ 分别趋向于$n^{*}$ 和${\rho }^{*}$ ，期望从(2.1)₁或(2.1)₂推导出极限$\text{div}{u}^0=0$ 。假设极限$u^{ϵ}\to u^0$ ，$B^{ϵ}\to B^0$ 存在，于是形式上可得下列不可压缩磁流体方程：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{div}{u}^0=0{,}_{}^{}\mathrm{div}{B}^0=0,\hfill \\ {\partial }_t{u}^0+\left(u^0\cdot \nabla \right)u^0+\nabla {\pi }^0=\frac{\mu }{{\rho }^{*}+n^{*}}\Delta u^0+\frac{1}{{\rho }^{*}+n^{*}}\left(\nabla \times B^0\right)\times B^0,\hfill \\ {\partial }_t{B}^0-\nabla \times \left(u^0\times B^0\right)=-\nabla \times \left(\nu \nabla \times B^0\right),\hfill \end{array}$ (2.3)

其中，${\pi }^0$ 是$\frac{P\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ}\right)-P\left(n^{*},{\rho }^{*}\right)}{{ϵ}^2}$ 的极限。

本文将严格证明上述极限过程，即证明在适当的初值条件下，当$ϵ$ 趋于0时，可压缩两相流模型(2.1)的解收敛于不可压缩磁流体方程(2.3)的解。

在本文中，C是与$ϵ$ 无关的正常数，$\chi$ 为特征函数。为简单起见，用${\displaystyle \int f\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\text{d}x}$ 表示。对于$1\le m,k\le \infty$ ，即：

$L^m=L^m\left({ℝ}^3\right){,}_{}^{}{W}^{k,m}=W^{k,m}\left({ℝ}^3\right){,}_{}^{}{H}^k=W^{k,2}{,}_{}^{}{L}^2=H^0.$

3. 主要结果

命题3.1 [7] [8] 设$s>\frac{3}{2}+2$ 。假设不可压MHD系统(2.3)的初值${\left(u^0,B^0\right)|}_{t=0}=\left(u_0^0,B_0^0\right)$ 满足

$u_0^0\in H^s,B_0^0\in H^s$ 和$\text{div}{u}_0^0=\text{div}{B}_0^0=0.$

则存在${\widehat{T}}^{*}\in \left(0,\infty \right]$ ，使得不可压缩磁流体方程(2.3)的唯一解$\left(u^0,B^0\right)$ 满足$\left(u^0,B^0\right)\in L^{\infty }\left(\left[0,{\widehat{T}}^{*}\right);H^s\right)$ ，且对于任意$0<T<{\widehat{T}}^{*}$ ，有

$\underset{0\le t\le T}{\sup }\left\{{\Vert \left(u^0,B^0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^s}+{\Vert \left({\partial }_t{u}^0,{\partial }_t{B}^0\right)\left(t\right)\Vert }_{H^{s-2}}+{\Vert \nabla {\pi }^0\left(t\right)\Vert }_{H^{s-2}}\right\}\le C.$ (3.1)

命题3.2 [6] 假设

$\left(n_0^{ϵ}-n^{*},{\left(n_0^{ϵ}\right)}^{\gamma }-{\left(n^{*}\right)}^{\gamma }\right)\in H^2\left({ℝ}^3\right),\left(P\left(n_0^{ϵ},{\rho }_0^{ϵ}\right)-P\left(n^{*},{\rho }^{*}\right),u_0^{ϵ},B_0^{ϵ}\right)\in H^2\left({ℝ}^3\right)\cap L^1\left({ℝ}^3\right)$

且$\text{div}{B}_0^{ϵ}=0$ 。则存在一个与$ϵ$ 无关的常数$M>0$ ，使得

${\Vert \left(n_0^{ϵ}-n^{*},{\left(n_0^{ϵ}\right)}^{\gamma }-{\left(n^{*}\right)}^{\gamma },u_0^{ϵ},B_0^{ϵ}\right)\Vert }_{H^2}\le M,$

则系统(2.1)~(2.2)存在唯一的整体强解$\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ},u^{ϵ},B^{ϵ}\right)$ 且满足

$\left(\begin{array}{c}{n}^{ϵ}-n^{\ast },{\rho }^{ϵ}-{\rho }^{\ast }\end{array}\right)\in C\left(\begin{array}{c}\left[0,\infty \right);H^2\end{array}\right)$ (3.2)

和

$\left(u^{ϵ},B^{ϵ}\right)\in C\left(\left[0,\infty \right);H^2\right)\cap L^2\left(\left[0,\infty \right);H^3\right).$ (3.3)

为简化描述，用以下等式表示

$\begin{array}{l}F\left(n^{ϵ}\right)=\frac{A}{\gamma -1}\left[{\left(n^{ϵ}\right)}^{\gamma }-\gamma {\left(n^{*}\right)}^{\gamma -1}\left(n^{ϵ}-n^{*}\right)-{\left(n^{*}\right)}^{\gamma }\right],\\ G\left({\rho }^{ϵ}\right)={\rho }^{ϵ}\ln {\rho }^{ϵ}-{\rho }^{*}\ln {\rho }^{*}-\left(\ln {\rho }^{*}+1\right)\left({\rho }^{ϵ}-{\rho }^{*}\right).\end{array}$

易知，这两个函数都是凸函数，满足以下等式

$\begin{array}{l}{F}^{″}\left(n^{ϵ}\right)=A\gamma {\left(n^{ϵ}\right)}^{\gamma -2},G^{″}\left({\rho }^{ϵ}\right)=\frac{1}{{\rho }^{ϵ}},\\ F^{\prime }\left(n^{*}\right)=G^{\prime }\left({\rho }^{*}\right)=0,F\left(n^{*}\right)=G\left({\rho }^{*}\right)=0.\end{array}$

本文主要结果如下：

定理3.1 设$\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ},u^{ϵ},B^{ϵ}\right)$ 是命题3.2中系统(2.1)的解。假设初值$\left(n_0^{ϵ},{\rho }_0^{ϵ},u_0^{ϵ},B_0^{ϵ}\right)$ 满足(3.2)和以下假设成立

$\frac{1}{{ϵ}^2}{\displaystyle \int \left[F\left(n_0^{ϵ}\right)+G\left({\rho }_0^{ϵ}\right)\right]\text{d}x}\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$ (3.4)

${\displaystyle \int {\left|\sqrt{n_0^{ϵ}+{\rho }_0^{ϵ}}{u}_0^{ϵ}-\sqrt{n^{*}+{\rho }^{*}}{u}_0^0\right|}^2\text{d}x}\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$ (3.5)

${\displaystyle \int {\left|B_0^{ϵ}-B_0^0\right|}^2\text{d}x}\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$ (3.6)

设$\left(u^0,B^0\right)$ 是不可压缩磁流体方程(2.3)以$\left(u_0^0,B_0^0\right)$ 为初值的光滑解且初值满足(3.1)。则对于任意$t\in \left[0,T\right]$ ，有

${\displaystyle \int \left[F\left(n^{ϵ}\right)+G\left({\rho }^{ϵ}\right)\right]\text{d}x}\le C{ϵ}^{\min \left\{3\text{,}2+\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$ (3.7)

${\Vert \sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}{u}^{ϵ}-\sqrt{n^{*}+{\rho }^{*}}{u}^0\Vert }_{L^2}^2\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$ (3.8)

${\Vert B^{ϵ}-B^0\Vert }_{L^2}^2\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$ (3.9)

${\Vert u^{ϵ}-u^0\Vert }_{L^2}^2\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$ (3.10)

${\Vert \left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right){\left|u^{ϵ}\right|}^2-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right){\left|u^0\right|}^2\Vert }_{L^1}\le C{ϵ}^{\min \left\{\frac{1}{2}\text{,}\frac{1}{\gamma }\right\}}.$ (3.11)

注：当密度的误差小时，它是属于$L^2$ 范数。当密度的误差较大时，它是属于$L^{\gamma }$ 。导致对初值也有这样的要求。

引理3.1 设$\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ},u^{ϵ},B^{ϵ}\right)$ 是系统(2.1)~(2.2)在$\left(0,T^{*}\right)$ 上的光滑解。则有如下的能量恒等式

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle \int [\frac{1}{2}\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right){\left|u^{ϵ}\right|}^2}+\frac{1}{{ϵ}^2}F\left(n^{ϵ}\right)+\frac{1}{{ϵ}^2}G\left({\rho }^{ϵ}\right)+\frac{1}{2}{\left|B^{ϵ}\right|}^2]\text{d}x\\ +{\displaystyle \int [\mu {\left|\nabla u^{ϵ}\right|}^2+\left(\mu +\lambda \right){\left|\text{div}{u}^{ϵ}\right|}^2}+\nu {\left|\nabla \times B^{ϵ}\right|}^2]\text{d}x=0,t\in \left(0\text{,}{T}^{*}\right),\end{array}$ (3.12)

证明 将方程(2.1)₁，(2.1)₂，(2.1)₃，(2.1)₄两边分别与$\frac{1}{{ϵ}^2}{F}^{\prime }\left(n^{ϵ}\right)-\frac{1}{2}{\left|u^{ϵ}\right|}^2$ ，$\frac{1}{{ϵ}^2}{G}^{\prime }\left({\rho }^{ϵ}\right)-\frac{1}{2}{\left|u^{ϵ}\right|}^2$ ，$u^{ϵ}$ ，$B^{ϵ}$ 在${ℝ}^3$ 中作$L^2$ 内积，之后求和即得(3.12)。

对于极限系统，由命题3.1易得系统(2.3)的能量和能量耗散有如下的能量恒等式：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle \int \left[\frac{1}{2}\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right){\left|u^0\right|}^2+\frac{1}{2}{\left|B^0\right|}^2\right]\text{d}x}+{\displaystyle \int \left(\mu {\left|\nabla u^0\right|}^2+\nu {\left|\nabla \times B^0\right|}^2\right)\text{d}x}=0.$ (3.13)

根据引理3.1易知对于几乎所有$t\in [0,T^{*}]$ ，有如下不等式成立

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int \left[\frac{1}{2}\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right){\left|u^{ϵ}\right|}^2+\frac{1}{{ϵ}^2}F\left(n^{ϵ}\right)+\frac{1}{{ϵ}^2}G\left({\rho }^{ϵ}\right)+\frac{1}{2}{\left|B^{ϵ}\right|}^2\right]\text{d}x}\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \int \left[\mu {\left|\nabla u^{ϵ}\right|}^2+\left(\mu +\lambda \right){\left|\text{div}{u}^{ϵ}\right|}^2+\nu {\left|\nabla \times B^{ϵ}\right|}^2\right]\text{d}x\text{d}s}}\\ \le {\displaystyle \int [\frac{1}{2}\left(n_0^{ϵ}+{\rho }_0^{ϵ}\right){\left|u_0^{ϵ}\right|}^2+\frac{1}{{ϵ}^2}F\left(n_0^{ϵ}\right)+\frac{1}{{ϵ}^2}G\left({\rho }_0^{ϵ}\right)+}\frac{1}{2}{\left|B_0^{ϵ}\right|}^2]\text{d}x\le C.\end{array}$ (3.14)

那么从(3.14)可得

$\frac{1}{{ϵ}^2}F\left(n^{ϵ}\right)$ 在$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^1\right)$ 上有界， (3.15)

$\frac{1}{{ϵ}^2}G\left({\rho }^{ϵ}\right)$ 在$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^1\right)$ 上有界。 (3.16)

引理3.2 设$\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ},u^{ϵ},B^{ϵ}\right)$ 是系统(2.1)~(2.2)的光滑解，则存在常数$C>0$ ，使得

${\displaystyle \int {\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}^2{\chi }_{\left(\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|\le \frac{n^{*}}{2}\right)}\text{d}x}+{{\displaystyle \int \left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}}^{\gamma }{\chi }_{\left(\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|>\frac{n^{*}}{2}\right)}\text{d}x\le C{ϵ}^2,$ (3.17)

证明：

1) 如果$1<\gamma <2$ ，若$\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|\le \frac{n^{*}}{2}$ ，易知

$\frac{A{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\gamma -2}}{2}{\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}^2\le F\left(n^{ϵ}\right),$

若$\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|>\frac{n^{*}}{2}$ ，易知不等式$c_0{\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}^{\gamma }\le F\left(n^{ϵ}\right)$ 成立，其中

$c_0=\frac{A\left(3^{\gamma }-\left(\gamma +2\right)2^{\gamma -1}\right)}{\gamma -1},$

即不等式(3.17)成立。

2) 如果$\gamma =2$ ，$F\left(n^{ϵ}\right)=\frac{A}{2}{\left(n^{ϵ}-n^{*}\right)}^2$ ，结果(3.17)由(3.15)直接得出。

3) 如果$\gamma >2$ ，当$\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|\le \frac{n^{*}}{2}$ 时，易证

${ℱ}_1\left(n^{ϵ}\right)=F\left(n^{ϵ}\right)-\frac{A}{\left(\gamma -1\right)2^{\gamma -2}}{\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}^2$

在$\left(\frac{n^{*}}{2},\frac{3n^{*}}{2}\right)$ 上是凸的且满足

${ℱ}_1\left(n^{*}\right)={{ℱ}^{\prime }}_1\left(n^{*}\right)=0,$

即${ℱ}_1\left(n^{ϵ}\right)\ge 0$ 恒成立。当$\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|>\frac{n^{*}}{2}$ 时，由函数

${ℱ}_2\left(n^{ϵ}\right)=F\left(n^{ϵ}\right)-\frac{A}{\gamma -1}{\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}^{\gamma }$

得

${{ℱ}^{\prime }}_2\left(n^{ϵ}\right)=\frac{A\gamma }{\gamma -1}\left[{\left(n^{ϵ}\right)}^{\gamma -1}-{\left(n^{*}\right)}^{\gamma -1}-{\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}^{\gamma -1}\cdot \text{ sgn}\left(n^{ϵ}-n^{*}\right)\right]$ (3.18)

和

${{ℱ}^{″}}_2\left(n^{ϵ}\right)=A\gamma \left[{\left(n^{ϵ}\right)}^{\gamma -2}-{\left|n^{ϵ}-n^{*}\right|}^{\gamma -2}\right].$ (3.19)

根据(3.18)~(3.19)，可得${ℱ}_2\left(n^{ϵ}\right)$ 在$\left(0,\frac{n^{*}}{2}\right)$ 上是凹的，在$\left(\frac{3n^{*}}{2},+\infty \right)$ 上是凸的，且满足${ℱ}_2\left(0\right)>0$ ，${ℱ}_2\left(\frac{n^{*}}{2}\right)>0$ ，${ℱ}_2\left(\frac{3n^{*}}{2}\right)>0$ 和${{ℱ}^{\prime }}_2\left(\frac{3n^{*}}{2}\right)>0$ ，即${ℱ}_2\left(n^{ϵ}\right)\ge 0$ 成立。则由(3.15)可知不等式(3.17)在$\gamma >2$ 的情况下成立。

4. 定理3.1的证明

引入相对能量函数：

${\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)={\displaystyle \int [\frac{1}{2}\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right){\left|u^{ϵ}-u^0\right|}^2+\frac{1}{{ϵ}^2}F\left(n^{ϵ}\right)+}\frac{1}{{ϵ}^2}G\left({\rho }^{ϵ}\right)+\frac{1}{2}{\left|B^{ϵ}-B^0\right|}^2]\text{d}x,$

其中$\left(u^0,B^0\right)$ 是不可压缩MHD系统(2.3)的光滑解。

引理4.1. 设$\left(n^{ϵ},{\rho }^{ϵ},u^{ϵ},B^{ϵ}\right)$ 是系统(2.1)和(2.2)的一个光滑解，其中$t\in \left(0,T^{*}\right)$ 。那么存在常数$C>0$ ，有如下不等式成立

${\Vert u^{ϵ}-u^0\Vert }_{L^2}^2\le C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+C{ϵ}^2.$

证明 注意到(3.3)中的$u^{ϵ}\in C\left(\left[0,\infty \right);H^2\right)\cap L^2\left(\left[0,\infty \right);H^3\right)$ ，由引理3.2，Cauchy不等式和Sobolev不等式，得

$\begin{array}{c}{\Vert u^{ϵ}-u^0\Vert }_{L^2}^2=\frac{1}{n^{*}+{\rho }^{*}}{\displaystyle \int {\left|\sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}\left(u^{ϵ}-u^0\right)-\left(\sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}-\sqrt{n^{*}+{\rho }^{*}}\right)\left(u^{ϵ}-u^0\right)\right|}^2\text{d}x}\\ \le C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+C{\Vert \sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}-\sqrt{n^{*}+{\rho }^{*}}\Vert }_{L^2}^2\cdot \left({\Vert u^{ϵ}\Vert }_{H^2}^2+{\Vert u^0\Vert }_{H^2}^2\right)\le C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+C{ϵ}^2.\end{array}$

引理4.2. 设$\gamma >1$ 。则

${\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)\le Cϵ$

在$\left[0,T\right]$ 上一致成立。

证明 利用系统(2.1)和系统(2.3)的能量和能量耗散的定义，可以将${\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)$ 改写为如下形式：

$\begin{array}{l}{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \int [\mu {\left|\nabla u^{ϵ}-\nabla u^0\right|}^2+\left(\mu +\lambda \right){\left|\text{div}{u}^{ϵ}\right|}^2+}}\nu {\left|\nabla \times \left(B^{ϵ}-B^0\right)\right|}^2]\text{d}x\text{d}s\\ ={ℐ}_1+{ℐ}_2+{ℐ}_3+{ℐ}_4+{ℐ}_5+{ℐ}_6\text{,}\end{array}$ (4.1)

其中

${ℐ}_1=\left(E^{ϵ}+E^0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left(D^{ϵ}+D^0\right)\left(s\right)\text{d}s}\text{,}$

${ℐ}_2=\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)-\left(n^{\ast }+{\rho }^{\ast }\right)\right]{\left|u^0\right|}^2\text{d}x},$

${ℐ}_3=-{\displaystyle \int \left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)u^{ϵ}\cdot u^0\text{d}x},$

${ℐ}_4=-{\displaystyle \int B^{ϵ}\cdot B^0\text{d}x},$

${ℐ}_5=-2\mu {\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle \int \nabla u^{ϵ}:\nabla u^0\text{d}x\text{d}s}},$

现在来估计$\frac{\text{d}{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)}{\text{d}t}$ 。为此，需要逐项处理积分${ℐ}_k\left(k=1,2,3,4,5,6\right)$ 的导数。

对于$\frac{\text{d}{ℐ}_1}{\text{d}t}$ ，由(3.12)~(3.13)，可得

$\frac{\text{d}{ℐ}_1}{\text{d}t}=0.$ (4.2)

对于$\frac{\text{d}{ℐ}_3}{\text{d}t}$ ，利用(2.1)₁，(2.1)₃，(2.3)₂并运用分部积分法，得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{ℐ}_3}{\text{d}t}={\mathcal{J}}_1+{\mathcal{J}}_2+{\mathcal{J}}_3+{\mathcal{J}}_4+{\mathcal{J}}_5+{\mathcal{J}}_6-{\displaystyle \int u^{ϵ}}\cdot \left[\left(\nabla \times B^0\right)\times B^0\right]\text{d}x\\ -{\displaystyle \int u^0}\cdot \left[\left(\nabla \times B^{ϵ}\right)\times B^{ϵ}\right]\text{d}x+2\mu {\displaystyle \int \nabla }{u}^{ϵ}:\nabla u^0\text{d}x.\end{array}$

其中

${\mathcal{J}}_1=-{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)\left(u^{ϵ}-u^0\right)\otimes \left(u^{ϵ}-u^0\right)\right]}:\nabla u^0\text{d}x\le C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)\text{,}$

${\mathcal{J}}_2=-\frac{\text{d}{ℐ}_2}{\text{d}t}+\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left(n^{ϵ}-n^{*}\right){\partial }_t{\left|u^0\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{2}{\displaystyle \int \left({\rho }^{ϵ}-{\rho }^{*}\right){\partial }_t{\left|u^0\right|}^2\text{d}x}\le -\frac{\text{d}{ℐ}_2}{\text{d}t}+C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}},$

${\mathcal{J}}_3={\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)u^0\otimes u^0\right]}:\nabla u^0\text{d}x\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$

${\mathcal{J}}_4={\displaystyle \int \left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)u^{ϵ}}\cdot \nabla {\pi }^0\text{d}x\le \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right)\right]{\pi }^0}\text{d}x+C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$

${\mathcal{J}}_5=\frac{\mu }{n^{*}+{\rho }^{*}}{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right)\right]u^{ϵ}}\cdot \Delta u^0\text{d}x\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$

${\mathcal{J}}_6=-\frac{1}{n^{*}+{\rho }^{*}}{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right)\right]u^{ϵ}}\cdot \left[\left(\nabla \times B^0\right)\times B^0\right]\text{d}x\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$

故有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}\left({ℐ}_2+{ℐ}_3\right)}{\text{d}t}\le \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right)\right]{\pi }^0}\text{d}x+C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\\ -{\displaystyle \int u^{ϵ}\cdot \left[\left(\nabla \times B^0\right)\times B^0\right]\text{d}x}-{\displaystyle \int u^0\cdot \left[\left(\nabla \times B^{ϵ}\right)\times B^{ϵ}\right]\text{d}x}+2\mu {\displaystyle \int \nabla }{u}^{ϵ}:\nabla u^0\text{d}x.\end{array}$ (4.3)

由式子(2.1)₄和(2.3)₃得

$\frac{\text{d}{ℐ}_4}{\text{d}t}={\displaystyle \int u^{ϵ}\cdot \left[\left(\nabla \times B^0\right)\times B^{ϵ}\right]\text{d}x}+{\displaystyle \int u^0\cdot \left[\left(\nabla \times B^{ϵ}\right)\times B^0\right]\text{d}x}+2\nu {\displaystyle \int \left(\nabla \times B^{ϵ}\right)\cdot \left(\nabla \times B^0\right)\text{d}x}.$ (4.4)

进一步可得

$\frac{\text{d}{ℐ}_5}{\text{d}t}=-2\mu {\displaystyle \int \nabla }{u}^{ϵ}:\nabla u^0\text{d}x\text{,}$ (4.5)

$\frac{\text{d}{ℐ}_6}{\text{d}t}=-2\nu {\displaystyle \int \left(\nabla \times B^{ϵ}\right)\cdot \left(\nabla \times B^0\right)\text{d}x}.$ (4.6)

将(4.2)~(4.6)代入(4.1)得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}\mathscr{H}\left(t\right)}{\text{d}t}+{\displaystyle \int \left[\mu {\left|\nabla u^{ϵ}-\nabla u^0\right|}^2+\left(\mu +\lambda \right){\left|\text{div}{u}^{ϵ}\right|}^2+\nu {\left|\nabla \times B^{ϵ}-\nabla \times B^0\right|}^2\right]\text{d}x}\\ \le \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right)\right]{\pi }^0}\text{d}x+C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\\ +{\displaystyle \int \left(u^{ϵ}-u^0\right)}\cdot \left[\left(\nabla \times B^0\right)\times \left(B^{ϵ}-B^0\right)\right]\text{d}x\\ -{\displaystyle \int u^0\cdot \left[\left(\nabla \times B^{ϵ}-\nabla \times B^0\right)\times \left(B^{ϵ}-B^0\right)\right]\text{d}x}.\end{array}$

由引理4.1和Cauchy不等式得

${\displaystyle \int \left(u^{ϵ}-u^0\right)\cdot \left[\left(\nabla \times B^0\right)\times \left(B^{ϵ}-B^0\right)\right]\text{d}x}\le C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+C{ϵ}^2\text{,}$

和

$-{\displaystyle \int u^0}\cdot \left[\left(\nabla \times B^{ϵ}-\nabla \times B^0\right)\times \left(B^{ϵ}-B^0\right)\right]\text{d}x\le \frac{\nu }{2}{\displaystyle \int {\left|\nabla \times B^{ϵ}-\nabla \times B^0\right|}^2\text{d}x}+C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right).$

为得到最终估计，还需要为调整能量引入修正项：

${\mathscr{H}}_{corr}^{ϵ}\left(t\right)=-{\displaystyle \int \left[\left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right)-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right)\right]{\pi }^0\text{d}x}.$ (4.7)

于是，有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+{\mathscr{H}}_{corr}^{ϵ}\left(t\right)\right)+{\displaystyle \int \left[\mu {\left|\nabla u^{ϵ}-\nabla u^0\right|}^2+\left(\mu +\lambda \right){\left|\text{div}{u}^{ϵ}\right|}^2+\frac{\nu }{2}{\left|\nabla \times \left(B^{ϵ}-B^0\right)\right|}^2\right]\text{d}x}\\ \le C{\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)+C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}.\end{array}$ (4.8)

对(4.8)应用Gronwall不等式，得

${\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)\le {\mathscr{H}}^{ϵ}\left(0\right)-{\mathscr{H}}_{corr}^{ϵ}\left(t\right)+{\mathscr{H}}_{corr}^{ϵ}\left(0\right)+C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}.$

利用初始条件(3.4)~(3.5)，运用引理3.2中的证明方法，可得${\mathscr{H}}^{ϵ}\left(0\right)\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}$ 。利用Hölder不等式，可证修正项

${\mathscr{H}}_{corr}^{ϵ}\left(t\right)\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{, }{\mathscr{H}}_{corr}^{ϵ}\left(0\right)\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}.$

因此对于$t\in \left[0,T^{*}\right)$ ，得到

${\mathscr{H}}^{ϵ}\left(t\right)\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$

即引理4.2成立。由引理3.2，易证式子(3.7)和式子(3.9)成立。由引理3.2和引理4.2可得

${\Vert \sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}{u}^{ϵ}-\sqrt{n^{*}+{\rho }^{*}}{u}^0\Vert }_{L^2}^2\le C{ϵ}^{\min \left\{1\text{,}\frac{2}{\gamma }\right\}}\text{,}$

即(3.8)成立。进一步，由引理4.1和4.2可知，结论(3.10)成立。

最后，利用引理3.2和引理4.2，Cauchy不等式，Minkowski不等式，可得

$\begin{array}{l}{\Vert \left(n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}\right){\left|u^{ϵ}\right|}^2-\left(n^{*}+{\rho }^{*}\right){\left|u^0\right|}^2\Vert }_{L^1}\\ \le C\left({\Vert \sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}\left(u^{ϵ}-u^0\right)\Vert }_{L^2}+{\Vert \left(\sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}-\sqrt{n^{*}+{\rho }^{*}}\right)u^0\Vert }_{L^2}\right)\\ \cdot {\Vert u^0\Vert }_{L^{\infty }}\left({\Vert \sqrt{n^{ϵ}+{\rho }^{ϵ}}-\sqrt{n^{*}+{\rho }^{*}}\Vert }_{L^2}+C\right)\\ \le C{ϵ}^{\min \left\{\frac{1}{2}\text{,}\frac{1}{\gamma }\right\}}\text{,}\end{array}$

这表明(3.11)成立。至此完成了定理3.1的所有证明。

基金项目

河南省自然科学基金重点项目(批准号：232300421143)。

NOTES

^*通讯作者。