一道含反三角函数定积分的多视角探究与教学启示

A Multi-Perspective Exploration of a Definite Integral Involving Inverse Trigonometric Functions and Its Pedagogical Implications

摘要: 本文以解决一个含反三角函数的复杂定积分问题为切入点，从换元法、奇偶性分析以及反三角函数关系式的应用等多个视角展开深入研究。通过对每种视角解题方法的详细阐述，不仅有效解决了该定积分问题，同时也凸显出高等数学中积分技巧的多样性和灵活性。进一步地，本文探讨了这些视角解题方法在高等数学教学中的应用价值，并针对每种方法提出了具体教学启示，旨在为定积分知识的教学提供新的视角和策略，帮助教师更高效地引导学生理解和掌握复杂的积分技巧。

Abstract: This paper takes the solution of a complex definite integral involving inverse trigonometric functions as the entry point and conducts an in-depth study from multiple perspectives, including the application of substitution methods, analysis of odd-even properties, and utilization of inverse trigonometric function relationships. By elaborating on the detailed steps and logical reasoning of each perspective’s problem-solving approach, the paper not only effectively addresses the definite integral problem but also highlights the diversity and flexibility of integral techniques in advanced mathematics. Furthermore, the paper explores the pedagogical value of these problem-solving methods in the teaching of advanced mathematics and offers specific teaching insights for each method. It aims to provide new perspectives and strategies for the instruction of definite integrals, thereby assisting educators in more efficiently guiding students to understand and master complex integration techniques.

1. 引言

积分作为高等数学的核心内容之一，在理论研究与实际应用中都扮演着重要角色。特别是涉及反三角函数的积分问题，由于其复杂性和技巧性，常常成为教学和科研中的重点和难点[1] [2]。在已有的研究成果中，分部积分法被证明是解决这类复杂积分问题的重要工具[3] [4]，文献[5]在分部积分法的基础上总结出了若干反三角函数相关积分的通项公式。然而，在实际教学与研究过程中发现，当被积函数除反三角函数外的部分缺乏明显原函数特征时，单纯依赖分部积分法往往难以奏效，这就需要结合换元法、奇偶性分析等多样化方法来寻求突破。

本文以一道具体的含反三角函数的定积分为例，从多视角展开深入探究。通过换元法、奇偶性分析、恒等式应用以及反三角函数关系式等多种方法，详细阐述每种解题思路的具体操作步骤和内在逻辑关系。通过结合多种方法，本文不仅提供了解决这类复杂积分问题的有效工具，还展现了高等数学积分技巧的独特魅力。

在教学实践中，如何通过复杂积分问题的教学来培养学生的数学思维能力，是一个值得深入探讨的重要方向。本文结合具体案例，通过对多个视角的分析与总结，帮助学生深入理解积分技巧的本质，促进学生逻辑推理能力和问题解决能力的发展。

2. 含反三角函数定积分的多视角求解探究

本节从六个视角探究如下含反三角函数定积分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}$ .

视角一 从被积函数中的反三角函数$\arccos x$ 开始思考，在面对含有反三角函数的积分时，我们往往希望简化被积表达式，消除复杂的反三角函数形式。因此可以通过换元法来实现这一目标。由于主支反三角函数$t=\arccos x$ 在$[-1,1]$ 上连续且单调递减，可以直接令$\arccos x=t$ 。

尽管原积分存在瑕点，即$\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\to +\infty \left(x\to -1\right)$ ，但通过变量替换后，分母为零的项恰好被约去，因此换元简化被积函数目的达到。

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\pi }^0\frac{t{\cos }^{4}t}{\sin t}\text{d}\cos t}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\pi }t{\cos }^{4}t\text{d}t}.\end{array}$

应用定积分重点公式[6] ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }xh\left(\cos x\right)\text{d}x}=\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }h\left(\cos x\right)\text{d}x}$ ，可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }t{\cos }^{4}t\text{d}t}=\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{4}t\text{d}t}=\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\left(\frac{\cos 2t+1}{2}\right)}^2\text{d}t}\\ =\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{{\cos }^{2}2t+2\cos 2t+1}{4}\text{d}t}\\ =\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left(\frac{\cos 4t}{8}+\frac{\cos 2t}{2}+\frac{3}{8}\right)\text{d}t}=\frac{3{\pi }^2}{16}.\end{array}$

视角一在处理含有复杂项的定积分时，换元法不仅是一种有效的工具，更是培养学生数学思维的重要途径。教师应该引导同学们进行方法总结：识别复杂项，如反三角函数、对数函数以及其复合函数等，并对其进行换元，通过公式推导以达到简化被积函数的目的。

视角二 从被积函数中的$\sqrt{1-x^2}$ 开始思考，希望消去被积函数中的根号，因此可以应用第二换元积分法，$x=\cos t$ ，简化分母，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\pi }^0\frac{t{\cos }^{4}t}{\sin t}\text{d}\cos t}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\pi }t{\cos }^{4}t\text{d}t}=\frac{3{\pi }^2}{16}.\end{array}$

事实上，视角一和视角二的换元式子是等价的，但它们从不同的角度入手，得到相同的化简结果。

视角二采用了第二换元积分法，在积分过程中除了被积函数中的反三角函数导致积分复杂，根式往往也会增大积分的难度，在教学实践中，教师应引导学生总结：根据根号表达式的特点，选择“根代换”或“三角代换”等合适的换元方法消去被积函数中的根号，从而达到简化积分问题的目的。

视角三 观察到积分处在对称区间上，拆分区间，通过将负区间“折叠”到正区间上的经典变换化简积分。由

${\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}.$

将右端第一项“折叠”到第二项相同区间，令$x=-t$ ，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_1^0\frac{t^4\arccos \left(-t\right)}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}\left(-t\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^4\arccos \left(-t\right)}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t}\end{array}$

由$\arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x$ ，右端第一项可化为

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^4\left(\pi -\arccos t\right)}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t}\\ =\pi {\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^4}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^4\arccos t}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t}\end{array}$

与第二项相消后可得

${\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=\pi {\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^4}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t}.$

令$t=\cos u$ ，换元可得

$\begin{array}{c}\pi {\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^4}{\sqrt{1-t^2}}\text{d}t}=\pi {\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{{\cos }^{4}u}{\sin u}\text{d}\cos u}=\pi {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{4}u\text{d}u}\\ =\pi {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{2}2t+2\cos 2t+1}{4}\text{d}u}\\ =\pi {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{\cos 4u}{8}+\frac{\cos 2u}{2}+\frac{3}{8}\right)\text{d}u}=\frac{3{\pi }^2}{16}.\end{array}$

视角三巧妙结合对称区间拆分和经典变量替换“化异为同”，实现了对称性抵消，将复杂积分简化为易解形式。教师在教学时应引导学生总结：若积分区间为对称区间，可以主动拆分区间，然后再利用$x=-t$ ，对积分进行“折叠”到相同区间，利用定积分的可加性消去复杂项。

视角四 观察图1，发现在区间$-1\le x\le 1$ 上$f\left(x\right)=\arccos x$ 是非奇非偶函数，但由其图形，猜想$g\left(x\right)=\arccos x-\frac{\pi }{2}$ 是奇函数。

Figure 1. The graph of the function $y=\arccos x$

图1. $y=\arccos x$ 图像

证明：如图1

$g\left(-x\right)=\arccos \left(-x\right)-\frac{\pi }{2},$

有反三角函数的性质$\arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x$ ，代入上式有

$\begin{array}{c}g\left(-x\right)=\arccos \left(-x\right)-\frac{\pi }{2}=\pi -\arccos x-\frac{\pi }{2}\\ =\frac{\pi }{2}-\arccos x=-g\left(x\right).\end{array}$

所以$g\left(x\right)$ 是奇函数。

因此可以利用$g\left(x\right)$ 的特性，积分变为

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\left(g\left(x\right)+\frac{\pi }{2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^{4}g\left(x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}+\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}\\ =\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}.\end{array}$

令$x=\cos t$ ，换元可得

$\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_{\pi }^0\frac{{\cos }^{4}t}{\sin t}\text{d}\cos t}\\ =\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{4}t\text{d}t}.\end{array}$

视角四在处理对称区间上的定积分时，巧妙利用被积函数的奇偶性可以将复杂问题转化为易于处理的形式。教师应当引导学生进行方法总结：首先识别积分区间和函数结构的对称性(如多项式函数与反三角函数、根式等组合的奇偶性)，再结合定积分的性质(奇函数在对称区间积分为零、偶函数积分可折半计算)，将原积分拆解或简化。

视角五 利用$\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi }{2}$ ，又$h\left(x\right)=\arcsin x$ 在$-1\le x\le 1$ 上是奇函数。所以${\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=0$ ，因此

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\left(\arccos x+\arcsin x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}\\ =\frac{\pi }{2}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=\frac{3{\pi }^2}{16}.\end{array}$

视角五在处理含反三角函数的定积分时，深刻挖掘其互补恒等式$\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi }{2}$ 与奇偶性之间的协同作用，能够将看似复杂的积分转化为简洁形式。教师可引导学生进行方法归纳：首先识别被积函数中反三角函数与其他部分的组合关系，利用互补恒等式，结合对称区间上奇函数积分性质消除冗余项。教学中，教师需强调此类恒等式与积分性质的联合应用场景，并鼓励学生拓展至其他反三角函数对(如$\arctan x+\mathrm{arc}\cot x=\frac{\pi }{2}$ )，通过类比强化对函数对称性与积分简化的关联认知。

视角六 利用$\arccos x=\{\begin{array}{l}\arcsin \sqrt{1-x^2},0\le x\le 1\\ \pi -\arcsin \sqrt{1-x^2},-1\le x<0\end{array}$ ，因此

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{x^4\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{x^4\left(\pi -\arcsin \sqrt{1-x^2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^4\arcsin \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}\\ =\pi {\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{x^4\arcsin \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^4\arcsin \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}\\ =\pi {\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{x^4}{\sqrt{1-x^2}}\text{d}x}=\frac{3{\pi }^2}{16}.\end{array}$

视角六通过巧妙地利用反三角函数之间的转换公式，将复杂的积分问题转化为更简单的形式。这启示教师在教学过程中教师应注意对反三角函数的恒等关系式的讲解，引导学生探索其在简化积分中的应用。例如

$\begin{array}{l}\arcsin x=\{\begin{array}{l}\arccos \sqrt{1-x^2},0\le x\le 1\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},-1\le x<0\end{array},\\ \arctan x=\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}-\mathrm{arc}\cot x,x>0\\ -\frac{\pi }{2}-\mathrm{arc}\cot x,x<0\end{array},\\ \mathrm{arc}\cot x=\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}-\arctan x,x>0\\ -\frac{\pi }{2}-\arctan x,x<0\end{array}.\end{array}$

3. 结束语

本文通过一个具体的含反三角函数的定积分问题，从多个视角进行了深入探究，展示了多种解题方法。这些方法包括换元法、奇偶性分析、恒等式应用和反三角函数之间的关系式等。通过详细阐述每种解题思路的步骤和逻辑，不仅帮助学生理解如何解决复杂的积分问题，还揭示了高等数学中积分技巧的多样性和灵活性。本文探讨了这些解题方法在高等数学教学中的应用，提出了如何通过引导学生观察被积函数的结构，启发他们选择合适的解题方法。例如，通过利用三角恒等式和换元法，学生可以更直观地理解如何将复杂的被积函数转化为更简单的形式。通过利用奇偶性，学生可以更直观地理解如何利用对称性简化积分。通过利用反三角函数关系式，学生可以更直观地理解如何将复杂的被积函数转化为更简单的形式。这些方法不仅适用于涉及反三角函数的积分问题，还能推广到其他类型的复杂积分问题，帮助学生建立系统的解题思路和方法。

基金项目

湖南科技学院教学改革项目(项目编号：XKYJ2024017)；湖南省普通高等学校教学改革研究项目(项目编号：HNJG-20231110)；湖南科技学院教学改革研究项目(项目编号：XKYJ2022009)；湖南省普通高等学校教学改革研究项目(项目编号：HNJG-20231108)；2023年度湖南省普通高等学校教学改革研究项目(项目编号：HNJG-20231109)；湖南科技学院“四新”项目(项目编号：XGK2024001)。

NOTES

^*通讯作者。