(2 + 1)维BLMP方程Lump波与孤波的相互作用解

Interactional Solutions of One Lump and Solitons for the (2 + 1)-Dimensional BLMP Equation

摘要: 本文应用Hirota双线性方法探讨了(2 + 1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP)方程的解及其相互作用。该方法的一个特点是使用对数变换将方程转化为双线性形式，且我们在对数变换中引入了非零常数。本文分析了1-lump波分别与1-kink孤波和2-kink孤波之间的相互作用，揭示了它们的弹性和共振碰撞行为。为了进一步说明这些解的特征，我们利用Mathematica软件提供了详细的三维图示结果。

Abstract: In this study, we investigate the (2 + 1)-dimensional Boiti-Leon-Manna-Pempinelli equations using the Hirota bilinear method. A feature of our approach is the use of a logarithmic transformation to convert the equation into bilinear form with the introduction of a nonzero constant in the transformation. We analyze the interaction dynamics of lump solutions with one and two kink solitons, revealing their elastic and resonant collision behaviors. To further illustrate the characteristics of these solutions, we provide detailed 3D plots using the Mathematica software.

1. 引言

非线性演化方程(NLEEs)在建模和分析各类复杂现象方面发挥着基础性作用，广泛应用于物理学、空气动力学、流体动力学、大气与海洋物理学、爆炸动力学、化学、生理学、生物学和生态学等多个科学领域[1]-[5]。这些方程为理解非线性波动动力学、模式形成以及孤立子相互作用提供了重要的理论框架，适用于许多物理和生物系统。

随着数学物理和现代理论方法的发展，非线性科学取得了显著进展。在这些发展中，孤立子理论作为一个关键领域，提供了对非线性波动结构行为的深刻洞察。这一进展催生了许多高维非线性方程的出现，扩展了经典模型，使其能够适应更加复杂和现实的情境。著名的例子包括扩展的(3 + 1)维BKP-Boussinesq方程[6]、(2 + 1)维Sawada-Kotera方程[7]、KdV-Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff (KdV-CBS)方程[8]以及扩展的(3 + 1)维Jimbo-Miwa方程[9]等。尽管非线性方程的发展已取得广泛进展，但其中最基础且具有挑战性的问题之一仍然是精确解的确定。寻找精确解对于理解这些方程的内在性质至关重要，它能够揭示孤立子相互作用、稳定性条件及其他关键的动力学特性。因此，许多分析方法应运而生，进一步丰富了非线性波动理论领域，包括Bäcklund变换[10] [11]、Darboux变换[12] [13]、逆散射变换[14]、扩展的tanh函数法[15]、Hirota双线性法[16] [17]和试验函数法[18]。这些方法作为有效的分析工具，帮助研究非线性系统复杂解的结构。(2 + 1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程最初是通过弱Lax对关系研究KdV方程时推导出来[19]。该方程一开始用于描述不可压缩流体中的非线性波动和冲击波传播。除了流体力学外，BLMP方程还广泛应用于光纤通信、等离子体物理和固体力学中的波动分析。

本文主要研究以下的$(2+1)$ 维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP)方程：

$u_{xxxy}+u_{yt}-3u_{xx}{u}_y-3u_x{u}_{xy}=0$ , (1.1)

其中$u=u(x,y,t)$ 表示一个具有空间坐标$(x,y)$ 和时间坐标$t$ 的解析函数，下标表示偏导数。

在双线性方法中，选取合适的对数变换是解非线性偏微分方程的一种有效方法，特别是在构造解的过程中。选取合适的对数变换通常是假设解的形式为指数函数来进行。这种变换有助于将非线性的乘法关系转化为加法形式，从而简化方程的结构并实现双线性化。为了便于精确解的构造，我们引入了以下变换

$u=-2{\left[\ln F\right]}_x+u_{0}y.$

此时方程(1.1)有相应的双线性形式：

$\left(D_y{D}_t+D_y{D}_x^3-3u_0{D}_x^2\right)F\cdot F=0.$

其中Hirota双线性微分算子定义如下：

$D_x^{m_1}{D}_y^{m_2}{D}_t^{m_3}F\cdot G={\left({\partial }_x-{\partial }_{x^{\prime }}\right)}^{m_1}{\left({\partial }_y-{\partial }_{y^{\prime }}\right)}^{m_2}{\left({\partial }_t-{\partial }_{t^{\prime }}\right)}^{m_3}F\left(x,y,t\right)G\left(x^{\prime },y^{\prime },t^{\prime }\right)|{}_{x^{\prime }=x,y^{\prime }=y,t^{\prime }=t}.$

在本节中，我们应用双线性方法和两类不同的测试函数推导出方程(1.1)的3-孤波解和4-孤波解：

$u=-2{\left[\ln F_N\right]}_x+u_{0}y,N=3,4,$

$F_3=1+{\text{e}}^{{\eta }_1}+{\text{e}}^{{\eta }_2}+{\text{e}}^{{\eta }_3}+A_{12}{\text{e}}^{{\eta }_1+{\eta }_2}+A_{13}{\text{e}}^{{\eta }_1+{\eta }_3}+A_{23}{\text{e}}^{{\eta }_2+{\eta }_3}+A_{12}{A}_{13}{A}_{23}{\text{e}}^{{\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_3},$

$\begin{array}{l}{F}_4=1+{\text{e}}^{{\eta }_1}+{\text{e}}^{{\eta }_2}+{\text{e}}^{{\eta }_3}+{\text{e}}^{\eta 4}+{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le 4}{A}_{ij}{\text{e}}^{{\eta }_i+{\eta }_j}}+A_{12}{A}_{13}{A}_{23}{\text{e}}^{{\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_3}++A_{12}{A}_{14}{A}_{24}{\text{e}}^{{\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_4}\\ +A_{13}{A}_{14}{A}_{34}{\text{e}}^{{\eta }_1+{\eta }_3+{\eta }_4}+A_{23}{A}_{24}{A}_{34}{\text{e}}^{{\eta }_2+{\eta }_3+{\eta }_4}+A_{12}{A}_{13}{A}_{14}{A}_{23}{A}_{24}{A}_{34}{\text{e}}^{{\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_3+{\eta }_4},\end{array}$

其中

${\eta }_j=K_{j}x+L_{j}y-{\Omega }_{j}t,$ ${\Omega }_j=K_j^3-\frac{3u_0{K}_j^2}{L_j},j=1,2,3,4,$ (1.2)

$A_{mn}=\frac{u_0{\left(K_m{L}_n-K_n{L}_m\right)}^2+K_m{K}_n{L}_m{L}_n\left(K_m-K_n\right)\left(L_m-L_n\right)}{u_0{\left(K_m{L}_n-K_n{L}_m\right)}^2+K_m{K}_n{L}_m{L}_n\left(K_m+K_n\right)\left(L_m+L_n\right)},1\le m<n\le 4.$ (1.3)

本文主要讨论了lump波与kink-孤波的相互作用解。Lump波是一类局部化波动解，其特征是具有有理函数结构，并沿特定方向传播，在所有空间方向上都表现出完全局部化以及在无穷远处呈代数衰减。J. Satsuma和M. J. Ablowitz [20] [21]最早通过Hirota双线性方法求解了KPI方程的孤波解，并通过取长波极限的方式得到了该类解的形式。观察上述A_mn的具体表达式，当非零常数u₀不存在时，分析可知此时无法利用长波极限法求解方程(1.1)的lump波解，因此引入非零常数u₀对于本文的研究内容十分必要。另一方面，lump波可以与其他类型的波动如孤波或呼吸波等发生相互作用，包括弹性或共振作用现象。本文接下来研究了1-lump波与1-kink孤波、1-lump波与2-kink孤波之间的相互作用，并利用Mathematica软件作出对应图示。

2. 1-Lump波与1-Kink孤波的相互作用

在本节中，为了得到没有奇性的相互作用解，从$F_3$ 出发我们令$K_1=K_2^{*},$ $L_1=L_2^{*}$ 即${\eta }_1={\eta }_2^{*},$ 应用长波极限法我们可以得到1-lump波和1-kink孤波的相互作用解：

$u=u_{1l1s}=-2{\left[\ln F\right]}_x+u_{0}y,$ $F=\left({\left|B_{13}+{\theta }_1\right|}^2+B_{12}\right){\text{e}}^{{\eta }_3}+{\left|{\theta }_1\right|}^2+B_{12},$ (2.1)

其中

$B_{13}=-\frac{2K_1{K}_3{L}_1{L}_3\left(K_3{L}_1+K_1{L}_3\right)}{K_1{K}_3{L}_1{L}_3\left(K_3{L}_3-2u_0\right)+u_0{K}_3^2{L}_1^2+u_0{K}_1^2{L}_3^2},$

$B_{12}=-\frac{2K_1{K}_2{L}_1{L}_2\left(K_2{L}_1+K_1{L}_2\right)}{u_0{\left(K_2{L}_1-K_1{L}_2\right)}^2},$ (2.2)

${\eta }_3=K_{3}x+L_{3}y-\left(K_3^3-\frac{3u_0{K}_3^2}{L_3}\right)t,$ (2.3)

${\theta }_1=K_{1}x+L_{1}y-\frac{3u_0{K}_1^2}{L_1}t.$ (2.4)

对$B_{12}$ 的表达式分析可知，当$u_0=0$ 时$B_{12}$ 将消失。这强调了在对数变换中引入非零参数$u_0$ 的重要性。因为在长波极限法下，只有当$u_0$ 取某个非零常数时，方程(1.1)才能存在lump解。此外，在本节中以及下一节中，不妨我们取$u_0=1$ 以便于计算。取参数

$K_1=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\text{i},K_2=-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\text{i},K_3=2,L_1=\frac{1}{3},L_2=\frac{1}{3},L_3=1.$

如图1所示，我们给出了1-lump波与1-kink孤波之间的弹性相互作用。具体表现为局部化波(lump波)与具有稳定形态的行波(1-kink孤波)之间的弹性碰撞。碰撞发生后，1-lump波和1-kink孤波均保持其原始形态和传播方向，仅在相互作用过程中产生相应的相位偏移和位置调整，而不发生能量交换或形状畸变，这种特性充分体现了它们之间相互作用的弹性本质。

(a) y = −12 (b) y = 0 (c) y = 4

Figure 1. Elastic interaction between 1-lump and 1-kink soliton

图1. 1-lump波与1-kink孤波的弹性相互作用

共振碰撞的条件可以在弹性碰撞的理论框架下推导得到。为了深入理解这一机制，我们对方程的解(2.1)进行渐近分析，以揭示在不同参数条件下解的演化特性，并探讨导致共振碰撞发生的关键条件。这一分析不仅有助于理解孤立子之间的长时间相互作用，还为研究更复杂的非线性波动行为提供理论支持。

当碰撞发生前$({\eta }_3\to -\infty ),$ lump波的形式可以表达为

$u_{3l}^{-}=-2{\left[\ln \left({\left|{\theta }_1\right|}^2+B_{12}\right)\right]}_x+y,$

当碰撞发生后$({\eta }_3\to +\infty ),$ lump波具有形式

$u_{3l}^{+}=-2{\left[\ln \left({\left|{\theta }_1+B_{13}\right|}^2+B_{12}\right)\right]}_x+y.$

由对lump波的渐近分析可知，碰撞前后lump中心位置相位移动为$B_{13}$ 。当相移$B_{13}\to \infty$ 时，即$B_{13}$ 的分母趋于零，此时共振碰撞发生。此条件表明，当满足特定参数时，系统中的波解会发生共振相互作用，导致非线性相互作用的显著变化。该条件为理解共振碰撞现象提供了关键的数学描述，并揭示了在特定相互作用条件下波动模式的耦合和能量交换机制。为了构造共振碰撞，我们考虑$B_{13}$ 的分母为零：

$K_1{K}_3{L}_1{L}_3\left(K_3{L}_3-2u_0\right)+u_0{K}_3^2{L}_1^2+u_0{K}_1^2{L}_3^2=0,$

即

$K_1=\frac{2K_3{L}_1{L}_3-K_3^2{L}_1{L}_3^2-K_3^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}{L}_1{L}_3^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\sqrt{-4+K_3{L}_3}}{2L_3^2}.$

(a) y = −12 (b) y = 0 (c) y = 4

Figure 2. Resonant interaction between 1-lump and 1-kink soliton

图2. 1-lump波与1-kink孤波的共振相互作用

满足上述条件后，我们可得到1-lump波与1-kink孤波的共振相互作用解如下：

$u=u_{R-1l1s}=-2{\left[\ln F\right]}_x+y,$ $F={\text{e}}^{{\eta }_3}+{\left|{\theta }_1\right|}^2+B_{12},$

其中${\theta }_1,B_{12},{\eta }_3$ 的表达式参考(2.2)，(2.3)和(2.4)。取参数

$K_1=-\frac{2}{3}\text{i},K_2=\frac{2}{3}\text{i},K_3=2,L_1=-\frac{1}{3},L_2=-\frac{1}{3},L_3=1.$

我们在图2中展示了1-lump波与1-kink孤波之间的共振碰撞。图2显示，当lump波逐渐接近孤波时，波形会发生明显的变化，lump波的形态和传播速度出现调整，lump波逐渐被孤波吸收，这一过程展示了能量在波动间的转移，并改变了波的形态。与此不同的是，在弹性碰撞中，lump波会完全穿过孤立子波，二者仅发生相位和位置上的偏差。这是共振碰撞与弹性碰撞间的显著区别，体现了两种不同类型相互作用的行为特征。

3. 1-Lump波与2-Kink孤波的相互作用

同上一节类似，为了保证lump解不存在奇性，我们从$F_4$ 出发令$K_1=K_2^{\ast },$ $L_1=L_2^{\ast }$ 即${\eta }_1={\eta }_2^{\ast },$ 可以得到1-lump波和2-kink孤波的相互作用解形式如下：

$u=u_{1l1s}=-2{\left[\ln F\right]}_x+u_{0}y,$ (3.1)

$F=A_{34}{\text{e}}^{{\eta }_3+{\eta }_4}\left({\left|B_{13}+B_{14}+{\theta }_1\right|}^2+B_{12}\right)+{\text{e}}^{{\eta }_3}\left({\left|B_{13}+{\theta }_1\right|}^2+B_{12}\right)+{\text{e}}^{{\eta }_4}\left({\left|B_{14}+{\theta }_1\right|}^2+B_{12}\right)+{\left|{\theta }_1\right|}^2+B_{12},$

其中${\eta }_3,{\eta }_4,A_{34},B_{12},{\theta }_1$ 由(1.2)，(1.3)，(2.2)和(2.4)所定义，且

$B_{1j}=-\frac{2K_1{K}_j{L}_1{L}_j\left(K_j{L}_1+K_1{L}_j\right)}{K_1{K}_j{L}_1{L}_j\left(K_j{L}_j-2\right)+K_j^2{L}_1^2+K_1^2{L}_j^2},j=3,4.$

取参数

$K_1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\text{i},K_2=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\text{i},K_3=2,K_4=1,L_1=-\frac{1}{3},L_2=-\frac{1}{3},L_3=1,L_4=\frac{3}{2}.$

我们给出了1-lump波与2-kink孤波的弹性交叉碰撞，如图3所示。图示结果表明，lump波在碰撞过程中穿过两条相交的kink孤波。而碰撞发生前后，这三个波的振幅均保持不变，未发生能量交换或形态畸变。这一现象进一步验证了它们之间相互作用的弹性特性，并揭示了多孤波系统中稳定传播的规律。

(a) y = −8 (b) y = 0 (c) y = 8

Figure 3. Elastic intersectional interaction between 1-lump and 2-kink soliton

图3. 1-lump波与2-kink孤波的相交型弹性相互作用

特别地，如果取参数

$K_1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\text{i},K_2=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\text{i},K_3=2,K_4=1,L_1=-\frac{1}{3},L_2=-\frac{1}{3},L_3=\frac{4}{3},L_4=2.$

我们可以得到图4中1-lump波和2-kink孤波之间平行类型的弹性相互作用，此时满足条件$\frac{K_3}{{\Omega }_3}=\frac{K_4}{{\Omega }_4}.$ 观察图像可知，两个kink孤波在相互作用前后几乎保持平行，轨迹没有明显偏移。此外，lump波在相互作用过程中稳定地穿过两个kink孤波，不被kink波所吸收。在lump波与2-kink孤波的相交型和平行型弹性相互作用中，波形的能量传递均表现为波形的不变性，即在碰撞前后波的形态保持不变，能量不发生永久性交换，波形在碰撞前后呈现一致性。

(a) y = −8 (b) y = 0 (c) y = 8

Figure 4. Elastic parallel interaction between 1-lump and 2-kink soliton

图4. 1-lump波与2-kink孤波的平行型弹性相互作用

类似地，我们对解(3.1)进行渐近分析，并以此获得共振碰撞的条件。

当碰撞发生前$\left({\eta }_3\to -\infty ,{\eta }_4\to -\infty \right),$ lump波的形式可以表达为

$u_{4l}^{-}=-2{\left[\ln \left({\left|{\theta }_1\right|}^2+B_{12}\right)\right]}_x+y,$

当碰撞发生后$({\eta }_3\to +\infty ,{\eta }_4\to +\infty ),$ lump波具有形式

$u_{4l}^{+}=-2{\left[\ln \left({\left|{\theta }_1+B_{13}+B_{14}\right|}^2+B_{12}\right)\right]}_x+y.$

对lump波碰撞前后的中心位置进行分析后发现，其相位偏移等于$B_{13}+B_{14}.$ 因此，共振碰撞的条件为$B_{13}+B_{14}\to +\infty$ 。为了满足此约束条件，我们考虑同时令$B_{13}$ 和$B_{14}$ 的分母同时为零，此时可以得到约束关系$K_4=-K_3$ 和$L_4=-L_3$ 。

满足上述条件后，1-lump波与2-kink孤波的共振作用解可以记为：

$u=u_{R-1l2s}=-2{\left[\ln F\right]}_x+y,$ $F=B_{34}{\text{e}}^{{\eta }_3+{\eta }_4}+{\text{e}}^{{\eta }_3}+{\text{e}}^{{\eta }_4}+{\left|{\theta }_1\right|}^2+B_{12},$

其中${\eta }_3,{\eta }_4,A_{34},B_{12},{\theta }_1$ 由(1.2)，(1.3)，(2.1)和(2.3)定义，且

$B_{34}=-\frac{4L_3^2}{L_1{L}_2\left(-4+K_3{L}_3\right)}.$

取参数

$K_1=-2\text{i},K_2=2\text{i},K_3=-1,K_4=1,L_1=-4,L_2=-4,L_3=2,L_4=-2.$

如图5所示，一个lump波从一个kink孤波分离出来，并逐渐向另一个kink孤波移动。在这个过程中，lump波的形态和速度可能会发生一定的变化。随着lump与另一个kink孤波的距离越来越近，共振效应开始显现，使得lump波的形态和能量受到一定的影响。随着两者的距离越来越小，lump波逐渐被另一个kink孤波所吞没，最终完全并入其中，展现出一种非弹性的相互作用特征。这种相互作用模式明显区别与图4所展示弹性相互作用的情况。图4强调孤波间的相互作用不会导致能量的永久交换或波形的合并，而是保持波形的独立性。这表明，在特定的参数条件下，lump波和kink孤波的相互作用可以呈现出不同的动力学行为。

(a) y = −2 (b) y = −1 (c) y = 0

(d) y = 1 (e) y = 2 (f) y = 0

Figure 5. Resonant interaction between 1-lump and 2-kink soliton

图5. 1-lump波与2-kink孤波的共振相互作用

4. 结语

在本文中，我们利用Hirota双线性法研究了BLMP方程的若干解与及其性质，主要探讨了lump波与kink孤波之间的弹性与共振碰撞。共振碰撞的条件通常通过分析波动的渐近行为来构造。比如在1-lump波与1-kink孤波的弹性碰撞中，碰撞前后lump波的中心位置发生相位偏移，当我们控制相移趋向于无穷时，出现波动的共振相互作用。对方程进行对数变换，转化为双线性形式时，我们引入了一个小的扰动项$u_0$ ，表示为$u=-2{\left[\ln F\right]}_x+u_{0}y$ 。这一引入不仅扩展了BLMP方程解的多样性，更为重要的是，它促使了我们可以应用长波极限法求得$\left(2+1\right)$ 维BLMP方程的lump解。通过结合双线性导数方程与长波极限法，并选择合适的参数，我们给出了相互作用解的图像，并对其性质进行了简要分析。本研究中采用的渐近分析方法同样可以应用于其他孤立子方程。