Hurwitz连分数中误差和函数的若干性质

Some Properties of the Error-Sum Function of Hurwitz Continued Fractions

摘要: 对各类展式的误差和函数的研究从21世纪初就开始了，研究人员不断深入探讨其各种性质，如连续性、周期性、有界性、介值性等，同时给出函数图像的Hausdorff维数。在本文中，我们将探讨Hurwitz连分数的误差和函数，提出一些相关的性质，并研究其图像。

Abstract: The study of error-sum functions of expansions has been ongoing since the beginning of the 21st century, and researchers have been delving into various properties such as continuity, periodicity, boundedness, median, etc., along with giving the Hausdorff dimension of the graphs of the functions. In this paper, we will explore the error-sum function of Hurwitz continued fractions, present some related properties, and study their graphs.

1. 引言

对各类展式的误差和函数的研究从21世纪初就开始了，研究人员不断深入探讨其各种性质，如连续性、周期性、有界性，介值性等，同时给出函数图像的Hausdorff维数。

在2000年，J.N. Ridley和G. Petruska首次提出连分数误差和函数的概念[1]，证明它的周期等一些基本性质。同时证明了其在无理点连续，在有理点半连续。在图像维数方面，证明了其有上界，最后也提出来的介值性定理及积分值等一系列有趣的性质。

在此之后，2005年，沈陆明和王保伟展开了对Lüroth展式的误差和函数的研究[2]，给出了连续与半连续的条件、介值性定理和积分值。在2007年，Shen Lu-Ming和Jun Wu对其性质进行了补充[3]，证明了Lüroth展式的误差和函数是有界的，同时给出了图像的维数。2006年，Shen Lu-Ming、Chao Ma和Jihong Zhang研究了交错Lüroth展式的误差和函数，并研究了相关的性质。

2008年，沈陆明、张继宏和周建军对Engel展式的误差和函数的若干性质展开了研究[4]，给出了其连续性情况、介值性定理，最后判断函数图像是分形的。在2010年，李伟等人对Engel展式的误差和函数进行了进一步研究[5]，给出其积分值，和图像的维数。

后续有研究人员对p展式[6]、β展式[7]、交替Sylvester展式[8]、α-Lüroth展式[9]等的误差和函数性质进行研究，也得出类似的结论。

直到2023年，仍有人对各类展式的误差和函数进行研究，如Min Woong Ahn展开对Pierce展式[10]误差和函数的相关研究

在本文中，我们将给出赫尔维茨(Hurwitz)复连分数的误差和函数，并讨论其性质。在深入探讨该内容之前，我们先简要介绍一下赫尔维茨复连分数。

对于任意实数$m$ ，令$\lfloor m\rfloor$ 为小于或等于$m$ 的最大整数。对于每一个复数$z\in ℂ$ ，我们通过如下方式定义它的最近高斯整数$\left[z\right]$ ：

$\left[z\right]=\lfloor \Re +\frac{1}{2}\rfloor +i\lfloor \Im +\frac{1}{2}\rfloor$

对于任意一个复数$z\in \mathfrak{F}:=\left\{x+iy:x,y\in \left[-1/2,1/2\right)\right\}$ ，我们定义Hurwitz映射：$T:\mathfrak{F}\to \mathfrak{F}$

$T(z)=\{\begin{array}{l}{z}^{-1}-\left[z^{-1}\right]\text{ z}\ne \text{0}\\ 0\text{ z = 0}\end{array}$ (1)

其中，$T^0$ 表示$\mathfrak{F}$ 上的恒等映射，并且对于所有的自然数$n$ ，都有$T^n:=T^{n-1}\circ T$ 。对于任意复数$z\in \mathbb{F}\backslash \left\{0\right\}$ ，我们定义$a_1\left(z\right):=\left[z^{-1}\right]$ ，并且如果$T^{n-1}\left(z\right)\ne 0$ ，那么$a_n\left(z\right):=a\left(T^{n-1}\left(z\right)\right)$ 。表达式

$\left[0;a_1\left(z\right),a_2\left(z\right),\cdots \right]:=\frac{1}{a_1\left(z\right)+\frac{1}{a_2\left(z\right)+\frac{1}{\ddots }}}$

就是$z$ 的Hurwitz连分数(HCF)。$z$ 也可以表示为

$\left[0;a_1\left(z\right),a_2\left(z\right),\cdots \right]:=\left[0;a_1\left(z\right),a_2\left(z\right),\cdots ,a_n+z_n\right]$ (2)

当$z_n=0$ 时，我们有$z=\frac{p_{{}_n}}{q_n}$ ，并且对于所有的非负整数$n\left(n\in {\mathbb{N}}_0\right)$ ，存在如下的递推关系：

$\left(\begin{array}{cc}{p}_{-1}& p_{-2}\\ q_{-1}& q_{-2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{p}_{n-1}& p_{n-2}\\ q_{n-1}& q_{n-2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ 1\end{array}\right)$ (3)

与正则连分数等展式类似，当$z$ 的实部和虚部不同时为有理数，即$z\in \mathfrak{F}\backslash \mathbb{Q}\left(i\right)$ 时，Hurwitz连分数的项数是无限的，如需了解赫尔维茨连分数的更多基本性质，请参考文献[11]。

我们定义Hurwitz连分数的误差函数：

$S\left(z\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\left(q_{i}z-p_i\right)\text{z}\in }\mathfrak{F}$ (4)

$q_{i}z-p_i$ 是$z$ 与渐近分数$\frac{p_i}{q_i}$ 的误差。对于$z\in \mathfrak{F}\backslash \mathbb{Q}\left(i\right)$ ，该复级数有无限项；对于$z\in \mathfrak{F}\cap \mathbb{Q}\left(i\right)$ ，存在$n$ ，使得$q_{n}z-p_n=0$ ，其下一项是没有被定义的，但我们取其为0，并写成正常的无限项级数，同时记

$S^{*}\left(x\right)=\left|S\left(x\right)\right|$

在本文中，我们将结合正则连分数的一些性质讨论$S\left(z\right)$ 的一些基本性质及其图像。

2. 一些基本性质

性质1. 对于$z\in \mathfrak{F}$ ，我们有

$S\left(z\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\left(-i\right)}^i{z}_0{z}_2\cdots z_i=z_0-z_0{z}_1+z_0{z}_1{z}_2-z_0{z}_1}{z}_2{z}_3+\cdots$ (5)

证明. 从定义可知，我们有

$z=\left[0;a_1\left(z\right),a_2\left(z\right),\cdots ,a_n+z_n\right]=\left[0;a_1\left(z\right),a_2\left(z\right),\cdots ,a_n,z_n^{-1}\right]$

并且从(3)我们得到

$z=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{p_n{z}_n^{-1}+p_{n-1}}{q_n{z}_n^{-1}+q_{n-1}}$

即

$-z_n=\frac{q_{n}z-p_n}{q_{n-1}-p_{n-1}}$

所以

$\begin{array}{c}{q}_{n}z-p_n=\frac{q_{n}z-p_n}{q_{n-1}z-p_{n-1}}\cdot \frac{q_{n-1}z-p_{n-1}}{q_{n-2}z-p_{n-2}}\cdots \frac{q_{0}z-p_0}{q_{-1}z-p_{-1}}\cdot \left(q_{-1}z-p_{-1}\right)\\ =\left(-z_n\right)\cdots \left(-z_1\right)\left(-z_0\right)\left(-1\right)={\left(-1\right)}^{n+2}{z}_0{z}_1\cdots z_n={\left(-1\right)}^n{z}_0{z}_1\cdots z_n\end{array}$

因此，$S\left(z\right)={\displaystyle {\sum }_{i=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^i{z}_0{z}_2\cdots z_i}$ 。

性质2. 如果$z\in \mathfrak{F}\backslash \partial \mathfrak{F}$ ，$T\left(\overline{z}\right)=\overline{T\left(z\right)}$ 。

证明. 令$z=x+yi$ ，则$\overline{z}=x-yi$ 。当$z=0$ 时，性质2是显然的，当$z\ne 0$ 时，我们有

$T(z)=\frac{1}{x+yi}-\lfloor \frac{1}{x+yi}\rfloor =\frac{x-yi}{x^2+y^2}-\lfloor \frac{x-yi}{x^2+y^2}\rfloor$

$\begin{array}{c}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i-\left(\lfloor \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor +\lfloor \frac{-y}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor i\right)\\ =\frac{x}{x^2+y^2}-\lfloor \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor +\left(\frac{-y}{x^2+y^2}-\lfloor \frac{-y}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor \right)i\end{array}$

$\begin{array}{c}T(\overline{z})=\frac{1}{x-yi}-\lfloor \frac{1}{x-yi}\rfloor =\frac{x+yi}{x^2+y^2}-\lfloor \frac{x+yi}{x^2+y^2}\rfloor \\ =\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{x^2+y^2}i-\left(\lfloor \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor +\lfloor \frac{y}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor i\right)\\ =\frac{x}{x^2+y^2}-\lfloor \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor +\left(\frac{y}{x^2+y^2}-\lfloor \frac{y}{x^2+y^2}+\frac{1}{2}\rfloor \right)i\end{array}$

对于函数$f(x)=x-\lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor$ ，显然是关于原点对称的，图像见图1

Figure 1. The graph of $f\left(x\right)$

图1. 函数$f\left(x\right)$ 图像

因此，$T\left(\overline{z}\right)=\overline{T\left(z\right)}$ 成立。

推论3. 如果$z\in \mathfrak{F}\backslash \partial \mathfrak{F}$ ，则有$T\left(-z\right)=-T\left(z\right)$ 、$T\left(-\overline{z}\right)=-\overline{T\left(z\right)}$ 。

性质4. 如果$z\in \mathfrak{F}$ ，有如下性质：

1. $S\left(z\right)=z\left(1-S\left(T\left(z\right)\right)\right)$ 。

2. 对于$z\in \mathfrak{F}\backslash \partial \mathfrak{F}$ ，则有

$S\left(-z\right)+S\left(z\right)=-2\left(z_0{z}_1+z_0{z}_1{z}_2{z}_3+\cdots \right)$

$S\left(z\right)-S\left(-z\right)=2\left(z_0+z_0{z}_1{z}_2+\cdots \right)$

3. 对于$z\in \mathfrak{F}\backslash \partial \mathfrak{F}$ ，则有$T\left(\overline{z}\right)=\overline{T\left(z\right)}$ 。

4. $S^{*}\left(x\right)$ 有界，并且$0\le S^{*}\left(x\right)\le \sqrt{2}+1$ 。

证明. 1、由(5)和定义可知$z_0=z$ ，我们有

$\begin{array}{c}S\left(z\right)=z_0-z_0{z}_1+z_0{z}_1{z}_2-z_0{z}_1{z}_2{z}_3+\cdots \\ =z_0\left(1-\left(z_1-z_1{z}_2+z_1{z}_2{z}_3-\cdots \right)\right)=z\left(1-S\left(T\left(z\right)\right)\right)\end{array}$

2、由推论3，我们不难得出

$S\left(z\right)=-\left(z_0+z_0{z}_1+z_0{z}_1{z}_2+z_0{z}_1{z}_2{z}_3+\cdots \right)$

结合性质1即可证明。

3、根据性质2，我们有$z_{i+1}=T\left(z_i\right)$ ，并且不难得出${\overline{z}}_{i+1}=T\left({\overline{z}}_i\right)$ ，故

$\begin{array}{c}S\left(\overline{z}\right)=\overline{z_0}-\overline{z_0{z}_1}+\overline{z_0{z}_1{z}_2}-\overline{z_0{z}_1{z}_2{z}_3}+\cdots \\ =\overline{z_0-z_0{z}_1+z_0{z}_1{z}_2-z_0{z}_1{z}_2{z}_3+\cdots }=\overline{S\left(z\right)}\end{array}$

从图2中也不难看出其对称性：

Figure 2. The scatterplot of error-sum function $S\left(x\right)$

图2. 误差和函数$S\left(x\right)$ 的散点图

4、从其定义出发，对于$\forall n\in \mathbb{N}$ ，有$\left|z_n\right|\le 2^{-\frac{1}{2}}$ 。因此

$S^{*}\left(z\right)=\left|S\left(z\right)\right|\le {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\left|q_{i}z-p_i\right|}=\left|z_0\right|+\left|z_0{z}_1\right|+\left|z_0{z}_1{z}_3\right|+\cdots \le \sqrt{2}+1$

所以，$S^{*}\left(z\right)$ 是有界的。

3. 误差和函数的图像

关于各类展式的误差函数图像维数，Lüroth展式、β-展式等的误差和函数图像维数均为1，而在文章[1]中定义的正则连分数的误差和函数的图像还没有具体的维数，只知道其维数小于$\frac{3}{2}$ 。如果我们按照其他展式的方法定义其误差函数，则其维数也为1，下面简单给出证明。

3.1. 正则连分数的误差和函数图像维数

对于任意的$x\in \left[0,1\right)$ ，$\left[a_1,a_2,\cdots \right]$ 是它的连分数表达式。对于所有的$n\ge 1$ ，我们定义$p_n/q_n:=\left[a_1,a_2,\cdots ,a_n\right]$ 为$x$ 的第$n$ 阶渐近分数，并且$p_{-1}\left(x\right)=1$ ，$q_{-1}=0$ ，$p_0=0$ ，$q_0=1$ ，我们有

$p_{n+1}\left(x\right)=a_{n+1}{p}_n\left(x\right)+p_{n-1}\left(x\right)$

$q_{n+1}\left(x\right)=a_{n+1}{q}_n\left(x\right)+q_{n-1}\left(x\right)$

对于所有的$n\ge 1$ ，$\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\right\}\in {\mathbb{N}}^n$ ，记柱集

$I_n\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=cl\left\{x\in \left[0,1\right):a_1\left(x\right)=a_1,\cdots ,a_n\left(x\right)=a_n\right\}$

我们有

$I_n\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=\{\begin{array}{l}\left[\frac{p_n}{q_n},\frac{p_n+p_{n-1}}{q_n+q_{n-1}}\right]如果n是奇数\\ \left[\frac{p_n+p_{n-1}}{q_n+q_{n-1}},\frac{p_n}{q_n}\right]如果n是偶数\end{array}$ (6)

$\left|I_n\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\right|=\frac{1}{q_n\left(q_n+q_{n-1}\right)}$ (7)

如果在没有争议的情况下，我们可以用$\left|I_n\right|$ 代替$\left|I_n\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\right|$ 。

$\frac{1}{q_n\left(q_n+q_{n+1}\right)}<\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{q_n{q}_{n+1}}$ (8)

我们定义正则连分数的误差和函数为$S\left(x\right)$ ，从我们得

$S_{CF}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\left(x-\frac{p_n}{q_n}\right)}$

对于$x,y\in \left[0,1\right)$ ：

$\begin{array}{c}\underset{x,y\in \left[0,1\right)}{{\displaystyle \sup }}\left(S_{CF}\left(x\right)-S_{CF}\left(y\right)\right)=\underset{x,y\in \left[0,1\right)}{{\displaystyle \sup }}\left({\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\left(x-\frac{p_n}{q_n}\right)}-{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\left(y-\frac{p_n}{q_n}\right)}\right)\\ <{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\left(\frac{1}{q_n{q}_{n+1}}-\frac{1}{q_n\left(q_n+q_{n+1}\right)}\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\frac{1}{q_{n+1}\left(q_n+q_{n+1}\right)}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left|I{}_i\right|}\end{array}$

同时，我们定义$S_{CF}\left(x\right)$ 的图像：

$Gr\left(S_{CF}\left(x\right)\right)=\left\{\left(x,S_{CF}\left(x\right)\right),x\in \left(0,1\right]\right\}$

定理5. ${\dim }_{H}Gr\left(S_{CF}\right)=1$ 。

证明：对于任意$n\ge 1$ ，$\left\{I_n\times S_{CF}\left(I_n\right)\right\}$ 是$Gr\left(S_{CF}\right)$ 的一个覆盖。$I_n\times S_{CF}\left(I_n\right)$ 可以被$\left|\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{\infty }\left|I_i\right|}}{\left|I_n\right|}\right|$ 个边长为$\left|I_n\right|$ 的正方形覆盖。对于$ϵ>0$ ，

$\begin{array}{c}{H}^{1+ϵ}\left(Gr\left(S_{CF}\right)\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\lceil \frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{\infty }\left|I_i\right|}}{\left|I_n\right|}\rceil }{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left|I_n\right|}^{1+ϵ}\\ \le \underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{\infty }\left|I_i\right|}}{\left|I_n\right|}}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left|I_n\right|}^{1+ϵ}+\underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left|I_n\right|}^{1+ϵ}}\\ \le \underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{\infty }\left|I_i\right|+{\displaystyle {\sum }_{i=n+1}^{\infty }\left|I_i\right|}}}{\left|I_n\right|}}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left|I_n\right|}^{1+ϵ}\\ +\underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{2}^{-nϵ}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\left|I_n\right|}\end{array}$

$\begin{array}{c}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{\infty }\left|I_i\right|+\left|I_n\right|{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^i}}}{\left|I_n\right|}}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left|I_n\right|}^{1+ϵ}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n\left|I_i\right|}+\left|I_n\right|\right){\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left|I_n\right|}^{ϵ}}\\ \le \underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{nϵ}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n\left|I_i\right|}+\left|I_n\right|\right)}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{nϵ}{\displaystyle \sum _{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)\in D_n}\left(\left|I_1\right|+\left|I_2\right|+\cdots +\left|I_{n-1}\right|+2\left|I_n\right|\right)}\end{array}$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\text{ inf}{\left(\sqrt{2}\right)}^{1+ϵ}\left(n+1\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{nϵ}=0$

因此

${\dim }_{H}Gr\left(S_{CF}\right)\le 1$

显然${\dim }_{H}Gr\left(S_{CF}\right)\ge 1$ ，所以${\dim }_{H}Gr\left(S_{CF}\right)=1$ 。

3.2. Hurwitz连分数的误差和函数

在[12]中，我们易知由于Hurwitz连分数柱集的复杂性，其误差和函数的图像维数的研究较为困难。我们通过Matlab实现Hurwitz连分数的误差和函数的可视化。

从图3中，我们不难看出该函数具有较强的对称性和分形的特性。如果我们像3.1节正则连分数一样重新定义Hurwitz连分数的误差函数$S_{HCF}\left(z\right)$ ：

$S_{HCF}\left(z\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\left(z-\frac{p_n}{q_n}\right)}$

然后定义$S_{CF}^{*}\left(z\right)$ 的图像

$Gr\left(S_{HCF}^{*}\left(x,y\right)\right)=\left\{\left(x,y,S_{HCF}^{*}\left(x,y\right)\right),x+yi\in \mathfrak{F}\right\}$

Figure 3. The graph of error-sum function $S^{*}\left(x\right)$

图3. 误差和函数$S^{*}\left(x\right)$ 的图像

基金项目

这项工作得到了国家级大学生创新性实验计划项目(编号s202410537124)的支持。

NOTES

^*通讯作者。