四价图的Kauffman-Vogel多项式

Kauffman-Vogel Polynomials of 4-Valent Graphs

摘要: 本文研究了纽结四价图的Kauffman-Vogel多项式，它是以$A,B,a$ 为变元的三元有理多项式。且在$a=A$ ，$B=A^{-1}$ 情况下运用归纳法和双曲定向法计算了几类四价图和纽结的Kauffman-Vogel多项式。

Abstract: In this paper, we study the Kauffman-Vogel polynomials of knot 4-valent graphs, which are rational polynomials with $A,B,a$ as variables. Then we calculate Kauffman-Vogel polynomials of some classes of 4-valent graphs and knots by induction and hyperbolic orientation in the case of $a=A$ , $B=A^{-1}$ .

1. 引言

自1984年Jones [1]偶然发现纽结的Jones多项式之后，诸多纽结的多项式不变量如HOMFLY多项式、Kauffman多项式被不同学者陆续发现。在三维空间中的空间图方面，Yamada [2]在1989年构造出了空间图的Yamada多项式不变量。而对于刚性顶点的无向四价图，Kauffman和Vogel [3]于1992年构造了Kauffman-Vogel多项式，它是三变元的有理多项式。一般情况下这一多项式的计算比较复杂，而在$a=A$ 和$B=A^{-1}$ 时，Carpentier发现了平面四价图的计算公式[4]和存在双曲定向的空间四价图的计算公式[5]，本文将运用这些方法计算几类空间四价图和链环的Kauffman-Vogel多项式。

2. Kauffman-Vogel多项式

对于嵌入在三维空间中的刚性顶点的四价图，设它在平面上一个投影图为$G$ ，按下面的拆接关系定义多项式$\left[G\right]$ ，它有三个变量$A$ 、$B$ 和$a$ ，Kauffman和Vogel [3]证明了$\left[G\right]$ 是刚性顶点四价图的正则合痕不变量。

[]$=A$ []$+B$ []$+$ []，

[]$=a$ []，[]$=a^{-1}$ []。

进一步地，它们还证明了下面的拆接关系：

[]$=\mu$ []，

[]$=O$ []，

[]$=\left(1-AB\right)$ []$+\gamma$ []$-\left(A+B\right)$ []，

[]$-$ []$=AB$ ([]$-$ []$+$ []$-$ []$+$ []$-$ [])$+\xi$ ([]$-$ [])。

其中$\mu =\frac{a-a^{-1}}{A-B}+1$ ，$O=\frac{A{a}^{-1}-Ba}{A-B}-\left(A+B\right)$ ，$\gamma =\frac{B^{2}a-A^2{a}^{-1}}{A-B}+AB$ ，$\xi =\frac{B^{3}a-A^3{a}^{-1}}{A-B}$ 。

例2.1 计算Hopf链环的四价图的Kauffman-Vogel多项式如下，Hopf链环如图1所示：

Figure 1. Hopf link

图1. Hopf链环

[

]$=A$ [

]$+B$ [

]$+$ [

]

$=Aa+B{a}^{-1}+A$ [

]$+B$ [

]$+$ [

]

$=Aa+B{a}^{-1}+AO+BO+\left(1-AB\right)$ [

]$+\gamma$ [

]$-\left(A+B\right)$ [

]

$=Aa+B{a}^{-1}+AO+BO+\left(1-AB\right)\mu +\gamma -\left(A+B\right)O$

$=Aa+B{a}^{-1}+\left(1-AB\right)\mu +\gamma$

由Kauffman-Vogel多项式的定义容易得到：

命题2.1 $G$ 的镜面像$G^{\ast }$ 的多项式不变量$\left[G^{\ast }\right]$ 可以通过互换$G$ 的多项式不变量$\left[G\right]$ 中的$A$ 与$B$ ，$a$ 与$a^{-1}$ 得到，且如果$\left[G\right]\ne \left[G^{*}\right]$ ，则$G$ 是手性的。

例2.2 记下图为$G$ ，它含有一个顶点，计算它的Kauffman-Vogel多项式$\left[G\right]$ 及它的镜面像$G^{\ast }$ 的多项式，并判断$G$ 是否为手性的。如图2所示。

Figure 2. The graph G

图2. 图G

$\left[G\right]=$ [

]$=A$ [

]$+B$ [

]$+$ [

]

$=A$ ($A$ [

]$+B$ [

]$+$ [

])$+B$ ($A$ [

]

$+B\mu$ [

]$+$ [])$+$ ($A$ [

]$+B$ []$+$ [

])

$=A\left(AO+BO+\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right)\right)+B\left(AO+B\mu O+O^2\right)$

$+(A\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right)+B{O}^2+(\left(1-AB\right)$ [

]$+\gamma$ [

]$-\left(A+B\right)$ [

$]))$

$\begin{array}{l}=A\left(AO+BO+\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right)\right)+B\left(AO+B\mu O+O^2\right)+(A(\mu \left(1-AB\right)\\ +\gamma -\left(A+B\right)O)+B{O}^2+\left(1-AB\right)O+\gamma O-\left(A+B\right)\left(\mu \left(1-AB\right)+\gamma -\left(A+B\right)O\right))\end{array}$

$\begin{array}{l}=A^{2}O+ABO+A\mu -A^{2}B\mu +A\gamma -A^{2}O-ABO+ABO+B^2\mu O+B{O}^2+A\mu -A^{2}B\mu \\ +A\gamma -A^{2}O-ABO+B{O}^2+O-ABO+O\gamma -A\mu +A^{2}B\mu -B\mu +A{B}^2\mu -A\gamma -B\gamma \\ +A^{2}O+B^{2}O+2ABO\end{array}$

$=A\mu +A\gamma +B^2\mu O+2B{O}^2-A^{2}B\mu +O+O\gamma -B\mu +A{B}^2\mu -B\gamma +B^{2}O+ABO$

$=\left(A-B-A^{2}B+A{B}^2\right)\mu +\left(1+\gamma +AB+B^2\right)O+\left(A-B\right)\gamma +B^2\mu O+2B{O}^2$

且${\mu }^{\ast }={\left(\frac{a-a^{-1}}{A-B}+1\right)}^{\ast }=\frac{a^{-1}-a}{B-A}+1=\frac{a-a^{-1}}{A-B}+1=\mu$ ；

$O^{\ast }={\left(\frac{A{a}^{-1}-Ba}{A-B}-A-B\right)}^{\ast }=\frac{Ba-A{a}^{-1}}{B-A}-B-A=\frac{A{a}^{-1}-Ba}{A-B}-A-B=O$ ；

${\gamma }^{\ast }={\left(\frac{B^{2}a-A^2{a}^{-1}}{A-B}+AB\right)}^{\ast }=\frac{A^2{a}^{-1}-B^{2}a}{B-A}-BA=\frac{B^{2}a-A^2{a}^{-1}}{A-B}+AB=\gamma$ ，

故$\left[G^{\ast }\right]=$ $\left(B-A-B^{2}A+B{A}^2\right)\mu +\left(1+\gamma +BA+A^2\right)O+\left(B-A\right)\gamma +A^2\mu O+2A{O}^2$ 。

因为$\left[G^{\ast }\right]\ne \left[G\right]$ ，所以$G$ 是手性的。

一般来说，三变元的Kauffman-Vogel多项式的计算较为复杂，如果令$a=A$ ，$B=A^{-1}$ ，则有：

$\mu =2$ ，

$O=-A-A^{-1}$ ，

$\gamma =0$ ，

$\xi =-A-A^{-1}$ 。

在这种情况下：

[]$=2$ []，

[]$=-\left(A+A^{-1}\right)$ []，

[]$=-\left(A+A^{-1}\right)$ []，

[]$-$ []$=$ []$-$ []$+$ []$-$ []$+$ []$-$ []$-\left(A+A^{-1}\right)$ ([]$-$ [])。

对于不含交叉点的四价图即平面四价图的Kauffman-Vogel多项式，Carpentier [5]证明了下面方便的计算公式。

定理2.2 [5]在$a=A$ 和$B=A^{-1}$ 的情况下，对于任何的四价图$G$ ，都有$\left[G\right]=2^{c-1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^v$ ，其中$c$ 为$G$ 的连通分支数，$v$ 为$G$ 的顶点数。

对于计算某些只含有一个交叉点的四价图的多项式，有下面这个十分有用的推论。

推论2.3 [5]如果四价图$G$ 只有一个交叉点，移除这个交叉点之后并不会改变连通分支的数量，则在$a=A$ 和$B=A^{-1}$ 的情况下，$G$ 的多项式等于零。

定理2.4 设$G_{m,n}$ 是下图3所示的空间四价图，其中m是刚性顶点数，n是交叉点数，且$m\ge 1$ ，$G_{m,n}$

在$a=A$ 和$B=A^{-1}$ 情况下的Kauffman-Vogel多项式$\left[G_{m,n}\right]=\{\begin{array}{l}0,n�奇�;\\ A^n{\left(-A-A^{-1}\right)}^m,n�偶�.\end{array}$

其中，m是顶点数，n是交叉点数，且$m\ge 1$ 。

Figure 3. 4-valent graph with m rigid vertex and n intersection $G_{m,n}$

图3. 含有m个刚性顶点和n个交叉点的四价图$G_{m,n}$

证明 已知$\left[G_{m,n}\right]$ 的递归关系为：

$\left[G_{m,n}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^{-1}\left[G_{m,n-1}\right]+\left[G_{m+1,n-1}\right]$ 。

下面用二元数学归纳法证明引理成立：

(1) 由推论2.3可知，对$\forall m$ ，$\left[G_{m,1}\right]=0$ 成立。

(2) 假设$\left[G_{m,n}\right]$ ，$\left[G_{m+1,n}\right]$ 成立，下证$\left[G_{m,n+1}\right]$ 成立。

因为$\left[G_{m,n+1}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^{-1}\left[G_{m,n}\right]+\left[G_{m+1,n}\right]$ 。

当$n$ 是奇数时，$n+1$ 为偶数，有

$\left[G_{m,n+1}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+0+0=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m$ 。

当$n$ 是偶数时，$n+1$ 为奇数，有

$\begin{array}{l}\left[G_{m,n+1}\right]=A^{n+1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^{-1}{A}^n{\left(-A-A^{-1}\right)}^m+A^n{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\\ =A^{n-1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\left(A^2+1+A\left(-A-A^{-1}\right)\right)\\ =A^{n-1}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\left(A^2+1-A^2-1\right)\\ =0\end{array}$

3. 用双曲定向法计算Kauffman-Vogel多项式

Carpentier利用双曲定向的概念给出了一大类空间四价图的计算公式。

定义3.1 [5] 如果四价图的每个顶点方向为，则四价图的边上的方向为双曲型。

注意，平面四价图和纽结(或链环)作为特殊的空间四价图，一定存在双曲定向。

定理3.2 [5] 一个图多项式$G$ 在$a=A$ 和$B=A^{-1}$ 的情况下，$\left[G\right]=\frac{1}{2}{\left(-A-A^{-1}\right)}^v{\displaystyle \sum _{h\in {\rm H}}{A}^{\omega \left(G^h\right)}}$ ，其中${\rm H}$ 为图

$G$ 的所有双曲定向的集合，$G^h$ 为图$G$ 的一条给定的双曲定向$h$ ，$v$ 是$G$ 的顶点数。

接下来我们用双曲定向的方法来证明定理2.4，注意$G_{m,n}$ 含有两个双曲定向$G_{m,n}^{h1}$ ，$G_{m,n}^{h2}$ ，如图4。

证明 如果有$n$ 个交叉点，$n$ 为偶数，此时刚性顶点数为$m$ ，有两个相反的双曲定向$h1$ 和$h2$ ，

$w\left(G_{m,n}^{h1}\right)=n$ ，$w\left(G_{m,n}^{h2}\right)=n$ ，${\displaystyle \sum _{h\in {\rm H}}{A}^{\omega \left(G^h\right)}}=A^n+A^n=2A^n$ ，$\left[G_{m,n}\right]=\frac{1}{2}{\left(-A-A^{-1}\right)}^m\left(A^n+A^n\right)={\left(-A-A^{-1}\right)}^m{A}^n$ ，证毕。

Figure 4. $G_{m,n}$ with two hyperbolic orientations $G_{m,n}^{h1}$ , $G_{m,n}^{h2}$

图4. $G_{m,n}$ 的两种双曲定向$G_{m,n}^{h1}$ ，$G_{m,n}^{h2}$

可以看出，$m$ 只和刚性顶点的数量有关，$n$ 为交叉点的数量，$G_{m,n}$ 存在两种相反的双曲定向，故

${\displaystyle \sum _{h\in {\rm H}}{A}^{\omega \left(G^h\right)}}=2\left\{G\right\}$ ，可以和多项式前面的$\frac{1}{2}$ 抵消，因此我们只需要找出刚性顶点的数量和交叉点数，就可

以直接得到多项式的结果为${\left(-A-A^{-1}\right)}^m{A}^n$ ，奇数个交叉点的情况没有双曲定向，无法利用公式来进行计算，但可以利用定理2.4证明当中的二元归纳法进行计算，最后得到奇数时为0的结果。

4. 其他应用

本章利用二元归纳法和双曲定向法计算两类纽结$G_n$ 和p-twist纽结$P_n$ 的多项式。

定义4.1 含有$n$ 个交叉点的纽结$G_n$ ，如图5所示。

Figure 5. The knot of $G_n$

图5. 纽结$G_n$

$\left[G_n\right]$ 是$G_n$ 的多项式，其中$n$ 是交叉点数。注：$n$ 为奇数时，$G_n$ 为纽结；$n$ 为偶数时，$G_n$ 是链环。

例4.1 $G_1$ ，$G_2$ 。

$G_1=$

，$G_2=$

。

$n$ 为奇数时，$G_n$ 的两种双曲定向$G_n^{h1}$ ，$G_n^{h2}$ ，如图6所示。

Figure 6. $G_n$ with two hyperbolic orientations $G_n^{h1}$ , $G_n^{h2}$

图6. $G_n$ 的两种双曲定向$G_n^{h1}$ ，$G_n^{h2}$

$n$ 为偶数时，$G_n$ 有四种双曲定向分别为$G_n^{H1}$ ，$G_n^{H2}$ ，$G_n^{H3}$ ，$G_n^{H4}$ 。如图7所示。

Figure 7. $G_n$ with four hyperbolic orientations $G_n^{H1}$ ,$G_n^{H2}$ , $G_n^{H3}$ , $G_n^{H4}$

图7. $G_n$ 的四种双曲定向$G_n^{H1}$ ，$G_n^{H2}$ ，$G_n^{H3}$ ，$G_n^{H4}$

定理4.2 $\left[G_n\right]=\{\begin{array}{l}{A}^{-n},n�奇�\\ A^n+A^{-n},n�偶�\end{array}$

证明 方法一，用二元归纳法证明：

由上述的分析可知$\left[G_n\right]$ 的递归关系式为：

$\left[G_n\right]=\{\begin{array}{l}{A}^{-1}n=1\\ A^n+A^{-1}\left[G_{n-1}\right]+\left[G_{1,n-1}\right]n\ge 2\end{array}$

下面用归纳法证明定理：

当$n=1$ 时，$\left[G_1\right]=A^{-1}$ ；

当$n=2$ 时，$\left[G_2\right]=A^2+A^{-1}\left[G_1\right]+\left[G_{1,1}\right]=A^2+A^{-2}+0=A^2+A^{-2}$ 成立。

假设$n=k-1$ 时成立，下证$n=k$ 时成立：

当$k$ 为奇数时，$k-1$ 为偶数，由定理2.4可知，$\left[G_{1,k-1}\right]=A^{k-1}\left(-A-A^{-1}\right)$ 。

$\begin{array}{c}\left[G_k\right]=A^k+A^{-1}\left[G_{k-1}\right]+\left[G_{1,k-1}\right]=A^k+A^{-1}\cdot \left(A^{k-1}+A^{-k+1}\right)-A^k-A^{k-2}\\ =A^k+A^{k-2}+A^{-k}-A^k-A^{k-2}=A^{-k}\end{array}$

当$k$ 为偶数时，$k-1$ 为奇数，由定理3.2可知，$\left[G_{1,k-1}\right]=0$ ，

$\left[G_k\right]=A^k+A^{-1}\left[G_{k-1}\right]+\left[G_{1,k-1}\right]=A^k+A^{-1}\cdot A^{-k+1}+0=A^k+A^{-k}$ ，证毕。

方法二，用双曲定向法证明：

$n$ 为奇数时，有两种双曲定向：

当双曲定向为$G_n^{h1}$ 时，$w\left(G_n^{h1}\right)=-n$ ，$A^{w\left(G_n^{h1}\right)}=A^{-n}$ ；

当双曲定向为$G_n^{h2}$ 时，$w\left(G_n^{h2}\right)=-n$ ，$A^{w\left(G_n^{h2}\right)}=A^{-n}$ ，由于没有刚性顶点，所以$v$ 等于零，公式中${\left(-A-A^{-1}\right)}^v$ 的部分等于1，$\left[G_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{-n}+A^{-n}\right)=A^{-n}$ 。

当$n$ 为偶数时，有四种双曲定向：

当双曲定向为$G_n^{H1}$ 时，$w\left(G_n^{H1}\right)=-n$ ，$A^{w\left(G_n^{H1}\right)}=A^{-n}$ ；

当双曲定向为$G_n^{H2}$ 时，$w\left(G_n^{H2}\right)=-n$ ，$A^{w\left(G_n^{H2}\right)}=A^{-n}$ ；

当双曲定向为$G_n^{H3}$ 时，$w\left(G_n^{H3}\right)=n$ ，$A^{w\left(G_n^{H3}\right)}=A^n$ ；

当双曲定向为$G_n^{H4}$ 时，$w\left(G_n^{H4}\right)=n$ ，$A^{w\left(G_n^{H4}\right)}=A^n$ ；

$\left[G_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{-n}+A^{-n}+A^n+A^n\right)=A^{-n}+A^n$ ，证毕。

定义4.3 p-twist纽结$P_n$ ，其中$n$ 是扭转部分的交叉点数。如图8所示。

Figure 8. p-twist knot

图8. p-twist纽结

$n$ 为奇数时，p-twist的两种双曲定向$P_n^{h1}$ ，$P_n^{h2}$ ，如图9所示。

Figure 9. $P_n$ with two hyperbolic orientations $P_n^{h1}$ , $P_n^{h2}$

图9. $P_n$ 的两种双曲定向$P_n^{h1}$ ，$P_n^{h2}$

$n$ 为偶数时，p-twist的两种双曲定向分别为$P_n^{H1}$ ，$P_n^{H2}$ ，如图10所示。

Figure 10. $P_n$ with two hyperbolic orientations $P_n^{H1}$ , $P_n^{H2}$

图10. $P_n$ 的两种双曲定向$P_n^{H1}$ ，$P_n^{H2}$

定理4.4 p-twist纽结的多项式$P_n$ 为

$\left[P_n\right]=\{\begin{array}{l}{A}^{n+2},n是奇�;\\ A^{n-2},n是偶�.\end{array}$

证明 $n$ 为奇数时，当双曲定向为$P_n^{h1}$ ，由于所有交叉点处的方向都相同，扭转数为交叉点的数量之

和，也就是$w\left(P_n^{h1}\right)=n+2$ ，$A^{w\left(P_n^{h1}\right)}=A^{n+2}$ ，当双曲定向为$P_n^{h2}$ 时，此时交叉点处的方向相同，扭转数仍为交叉点数之和，$w\left(P_n^{h2}\right)=n+2$ ，$A^{w\left(P_n^{h2}\right)}=A^{n+2}$ ，由于没有刚性顶点，所以$v$ 等于零，公式中${\left(-A-A^{-1}\right)}^v$ 的部分等于1，$\left[P_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{n+2}+A^{n+2}\right)=A^{n+2}$ 。

$n$ 为偶数时，当双曲定向为$P_n^{H1}$ ，此时交叉点处的方向不完全一致，扭转部分的交叉点方向一致，均为正数，而上面的两个交叉点为负数，所以全部交叉点的扭转数为$n-2$ ，因此$w\left(P_n^{H1}\right)=n-2$ ，

$A^{w\left(P_n^{H1}\right)}=A^{n-2}$ ，同理，当双曲定向为$P_n^{H2}$ ，$w\left(P_n^{H2}\right)=n-2$ ，$A^{w\left(P_n^{H2}\right)}=A^{n-2}$ ，由于$v$ 等于零，故 $\left[P_n\right]=\frac{1}{2}\left(A^{n-2}+A^{n-2}\right)=A^{n-2}$ 。

5. 结论

Kauffman-Vogel多项式的一般情况的计算较为复杂，而在$a=A$ ，$B=A^{-1}$ 的情况下其计算呈现诸多有趣规律，特别是可以利用双曲定向来计算纽结、链环以及许多四价图的Kauffman-Vogel多项式，无需利用拆接关系打开交叉点进行计算，是一种简便的方法。

基金项目

国家自然科学基金项目(12001255)。

NOTES

^*通讯作者。