短区间上的Erdös-Kac定理

Weighted Erdös-Kac Theorem in Short Intervals

摘要: 设$\phi \left(n\right)$ 是Euler函数，本文给出了短区间上算术序列的Erds-Kac型定理，其中该算术序列与$\phi \left(n\right)$ 分布有关。

Abstract: Assuming $\phi \left(n\right)$ is an Euler function, this article provides the Erds-Kac type theorem for arithmetic sequences on short intervals, where the arithmetic sequence is related to the Euler function’s distribution.

1. 引言

Erdös-Kac定理在概率数论中有非常重要的地位。它为数论和概率论之间架起了桥梁，展示了整数的素因子数量具有统计性质，且趋近于泊松分布。这个定理不仅为数学理论提供了新的视角，还对现代计算数学和密码学等领域产生了深远的影响。该定理证明了对于任给的非负整数n，它的不同素因子的个数在$\left\{n\in \mathbb{N}:n\le x\right\}$ 上的分布近似于期望为${\log }_{2}x:=\log \log x$ ，方差为${\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}$ 的高斯分布，即对于任给的$\lambda \in ℝ$ ，

$\frac{1}{x}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ \omega \left(n\right)-{\log }_{2}x\le \lambda {\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}\end{array}}1\to \Phi \left(\lambda \right)}$ ，$x\to \infty \left(\Phi \left(\lambda \right):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\lambda }{\text{e}}^{-{\tau }^2/2}}\text{d}\tau \right)$ ，

其中$\omega \left(n\right)$ 是n的不同素因子的个数，$\Phi \left(\lambda \right)$ 是正态分布函数。

随之，数学家们研究了加权Erdös-Kac定理。Elliott在文章[1]中给出了一个以$d{\left(n\right)}^{\alpha }$ 为权的Erdös-Kac型定理，其中$d\left(n\right)$ 是除数函数。刘奎和吴杰[2]将Elliott的结果推广到短区间的情况，即

$\frac{1}{D_{\alpha }\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}x<n\le x+y\\ \omega \left(n\right)-{\log }_{2}x\le \lambda {\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}\end{array}}d{\left(n\right)}^{\alpha }\to \Phi \left(\lambda \right)}$ ，$D_{\alpha }\left(x,y\right):={\displaystyle \sum _{x<n\le x+y}d{\left(n\right)}^{\alpha }}$

对于$x\to \infty$ 和$x^{7/12+\epsilon }\le y\le x$ 是一致的，其中隐藏的常数仅取决于$\alpha$ 和.$\epsilon$ 。刘晓莉和杨志善[3]建立了一个在短区间上以$a_{{\rm K}}^l\left(n^2\right)\left(l\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$ 加权的Erdös-Kac型，其中K是高斯域，$a_{{\rm K}}\left(n\right)$ 是$\mathbb{Z}\left[i\right]$ 中范数为n的非零整理想的个数。王丹[4]又给出了短区间某些算术序列上以$d{\left(n\right)}^{\alpha }$ 加权的Erdös-Kac型定理。

Selberg-Delange方法是研究Erdös-Kac定理的重要工具之一。在1954年到1971年之间，Selberg [5]和Delange [6]利用与算术函数相关的Dirichlet级数的解析性质发展了一种相当普遍的方法，这种方法现在被称为Selberg-Delange方法。

设$f\left(n\right)$ 是一个算术函数，用下式表示对应的Dirichlet级数：

$F\left(s\right):={\displaystyle \sum _{n\ge 1}f\left(n\right)n^{-s}}$ ，$\Re s>1$ 。

对于$\Re s>1$ ，假设$F\left(s\right)$ 有如下分解形式

$F\left(s\right)=G\left(s;z\right)\zeta {\left(s\right)}^z$ ，

其中$\zeta \left(s\right)$ 是Riemann$\zeta \left(s\right)$ -函数，$G\left(s;z\right)$ 是亚纯函数，$z\in ℂ$ 。在上述假设下，Selberg和Delange利用解析方法给出了算术函数$f\left(n\right)$ 均值估计

$S_f\left(x\right):={\displaystyle \sum _{n\le x}f\left(n\right)}$ 3

的一个渐近公式。Tenenbaum在文章[7]中对这一理论有较为详细的阐述。

近年来，Selberg-Delange方法被多位数学家进行了适当的改进，在不同的方向和背景下有许多应用。本文主要利用Labihi和Raoujand [8]的推广Selberg-Delange方法，建立了短区间上新的Erds-Kac型定理。

欧拉函数$\phi \left(n\right)$ 是数论中的一个基本函数，它表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，即那些与n的最大公约数为1的整数个数，即对于正整数n，我们有

$\phi \left(n\right)=\left|\left\{1\le k\le n:\gcd \left(k,n\right)=1\right\}\right|$

其中$\gcd \left(k,n\right)$ 表示k和n的最大公约数。当n很大时，欧拉函数$\phi \left(n\right)$ 可以通过以下近似来得到：

$\phi \left(n\right)\approx n{\displaystyle \prod _{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)}$

其中$p|n$ 表示所有n的素因子。根据这个公式可以看出，欧拉函数的值大致与n的素因子分布有关，特别是素因子越多，欧拉函数的值相对越小。

定义

$U\left(x,y\right):={\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}1}$ ，

其中$\phi \left(n\right)$ 是Euler函数。本文的主要结果如下：

定理1.1. 设$\epsilon >0$ ，则对任意实数$\lambda$ ，有

$\frac{1}{U\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}x<\phi \left(n\right)\le x+y\\ \omega \left(n\right)-{\log }_{2}x\le \lambda {\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}\end{array}}1}=\Phi \left(\lambda \right)+O\left(\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right)$

对$x\to \infty$ ，$x^{19/24+\epsilon }\le y\le x$ 一致成立。特别地，误差项是最优的。

为了证明误差项的最优性，我们需要建立一个在短区间上的Landau素数定理。对于$k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ，定义

$U_k\left(x,y\right):={\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}x<\phi \left(n\right)\le x+y\\ \omega \left(n\right)=k\end{array}}1}$ ，

对上述和式我们有以下的结果：

定理1.2. 设$\epsilon >0$ ，有

$U_k\left(x,y\right)=\frac{y}{\log x}\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\times Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),\frac{k-1}{{\log }_{2}x}\right)+O\left(\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^2}{k\log x}+\frac{k-1}{{\left({\log }_{2}x\right)}^2}\right)$

对$x\ge 3$ ，$x^{19/24+\epsilon }\le y\le x$ ，$1\le k\le {\log }_{2}x$ 一致成立，其中

$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)=\frac{1}{\tau \left(z+1\right)}\prod _p{\left(1-\frac{1}{p}\right)}^z\left(1+\frac{z}{p{\left(1-p^{-1}\right)}^2}\right)$ ，

且隐藏常数与$\epsilon >0$ 有关。

2. 一些引理

设函数$f:{\mathbb{N}}^{*}\to ℂ$ 是一个算术函数，$g:{\mathbb{N}}^{*}\to (0,\infty )$ 满足

$\underset{n\to \infty }{\lim }g\left(n\right)=\infty$ ，$\lim \sup \frac{\log n}{\log g\left(n\right)}=\kappa \in ℝ$ 。

以下均设$s=\sigma +it$ 。Dirichlet级数

$F\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_1^{\infty }f\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$

在$\sigma \ge {\sigma }_c$ 处收敛，在$\sigma \ge {\sigma }_a$ 处绝对收敛，其中${\sigma }_a\le {\sigma }_c+\kappa$ 。下面给出两个定义：

定义1 ([8]) 如果以下条件成立，我们说横坐标有限的收敛Dirichlet级数

$F\left(s\right)={\displaystyle {\sum }_1^{\infty }f\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$

具有性质${\rm P}\left(A,M,M_1,M_2,\delta ,l_1,l_2\right)$ ：

(1) $g\left(n\right)$ 是实值乘法函数，使得$g:\mathbb{N}\to \left[1,\infty \right)$ ，$g\left(n\right)$ 随着$n\to \infty$ 趋于无穷大，且存在$\kappa \ge 0$ 的常数，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sup \frac{\log n}{\log g\left(n\right)}=\kappa$ ；

(2) 在$\sigma >1$ 时，可以将$F\left(s\right)$ 分解为

$F\left(s\right)=G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)\zeta {\left(s\right)}^{l_1\left(s\right)}\zeta {\left(2s\right)}^{l_2\left(s\right)}$ ；

(3) 函数$G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)$ 在$\sigma >1/2$ 的区域内有解析延拓，满足

$\left|G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)\right|\le M{\left(3+\left|t\right|\right)}^{\max \left\{\delta \left(1-\sigma \right),0\right\}}{\log }^A\left(3+\left|t\right|\right)$ ；

(4) 函数$l_1\left(s\right)$ ，$l_2\left(s\right)$ 在$\sigma >1/2$ 的区域内是解析的，并且在$\sigma \in \left[1/2,2+\epsilon \right]$ 满足

$\left|l_1\left(s\right)\right|\le M_1$ ，$\left|l_2\left(s\right)\right|\le M_2$ 。

定义2 ([8]) 设Dirichlet级数

$F\left(s\right)={\displaystyle \sum _1^{\infty }f\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$

具有性质${\rm P}\left(A,M,M_1,M_2,\delta ,l_1,l_2\right)$ 。如果存在正实数序列${\left(\widetilde{f^{+}}\left(n\right)\right)}_{n\ge 1}$ ，使得对所有$n\ge 1$ ，有$\left|f\left(n\right)\right|\le \widetilde{f^{+}}\left(n\right)$ 其中Dirichlet级数

$\widetilde{F^{+}}\left(s\right):={\displaystyle {\sum }_1^{\infty }\widetilde{f^{+}}\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$

是${\rm P}\left(A,M,M_1,M_2,\delta ,{\tilde{l}}_1,{\tilde{l}}_2\right)$ 型，那么我们称$F\left(s\right)$ 是${\rm T}\left(A,M,M_1,M_2,\delta ,l_1,l_2,{\tilde{l}}_1,{\tilde{l}}_2\right)$ 型。

首先，我们给出Labihi和Raoujand关于短区间Selberg-Delange方法的一般结果，该结果在定理1.1的证明中起着关键作用。

引理1 ([4]) 设Dirichlet级数

$F\left(s\right)={\displaystyle \sum _1^{\infty }f\left(n\right)g{\left(n\right)}^{-s}}$

为${\rm T}\left(A,M,M_1,M_2,\delta ,l_1,l_2,{\tilde{l}}_1,{\tilde{l}}_2\right)$ 型。对于任意的$\epsilon >0$ ，我们有

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ x<g\left(n\right)\le x+y\end{array}}f\left(n\right)}=y{\left(\log x\right)}^{l_1\left(1\right)-1}\left\{\lambda \left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right)\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$ 。

该结论对于$x\ge 2$ ，$x^{\theta +\epsilon }\le y\le x$ ，$\theta :=1-\frac{1}{\left(24/5\right)+2\delta }$ ，$\left|l_1\left(s\right)\right|\le M_1$ ，$\left|l_2\left(s\right)\right|\le M_2$ 成立，其中，

$\lambda \left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right)\right):=\frac{G\left(1,l_1\left(1\right),l_2\left(1\right)\right)\zeta {\left(2\right)}^{l_2\left(1\right)}}{\Gamma \left(l_1\left(1\right)\right)}$ ；$G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right):=F\left(s\right)\zeta {\left(s\right)}^{-l_1\left(s\right)}\zeta {\left(2s\right)}^{-l_2\left(s\right)}$ 。

O项中的隐含常数仅取决于$A$ ,$M_1$ ,$M_2$ ,$\delta$ ,$\epsilon$ 。

对于定理1.1的证明，我们使用加性函数理论中的高斯误差律和Berry-Esseen不等式。

引理2 ([9]) 设$f\left(n\right)$ 是一个加法函数，满足$f\left(m_1{m}_2\right)=f\left(m_1\right)+f\left(m_2\right)$ ，其中$\left(m_1,m_2\right)=1$ ，假设

$F\left(n\right)={\displaystyle \sum _{p<n}\frac{f{\left(p\right)}^2}{p}}$

收敛，那么

$f\left(m\right)<{\displaystyle \sum _{p<m}\frac{f\left(p\right)}{p}+\omega \sqrt{2F\left(m\right)}}$

的密率对于任给的实数$\omega$ ，都等于

$\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\omega }\exp \left(-y^2\right)\text{d}y}$

假设$F\left(x\right)$ 是一个满足$F\left(-\infty \right)=0$ 和$F\left(\infty \right)=1$ 的分布函数，我们将$F\left(x\right)$ 的特征函数定义为

$f\left(\tau \right):={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{i\tau x}\text{d}F\left(x\right)}$ 。

引理3 ([7]) 设F，G是分布函数，分别具有特征函数f和g。设G是可微的，$G^{\prime }$ 在$ℝ$ 上有界。那么对于所有的$T>0$ ，

${\Vert F-G\Vert }_{\infty }\le 16\frac{{\Vert G^{\prime }\Vert }_{\infty }}{T}+6{\displaystyle {\int }_{-T}^T\left|\frac{f\left(\tau \right)-g\left(\tau \right)}{\tau }\right|\text{d}\tau }$ ，

其中对于任何实值函数$H\left(x\right)$ ，定义${\Vert H\Vert }_{\infty }:={\sup }_{\lambda \in ℝ}\left|H\left(\lambda \right)\right|$ 。

$\phi \left(n\right)$ 显然满足$\underset{n\to \infty }{\lim }\phi \left(n\right)=\infty$ ，$\lim \sup \frac{\log n}{\log \phi \left(n\right)}=1$ ，为了证明定理1.2，我们取$g\left(n\right)=\phi \left(n\right)$ ，故可以给出关于$z^{\omega \left(n\right)}$ 的如下渐近公式。

引理4 设$B>0$ ，$\left|z\right|\le B$ ，$\epsilon >0$ ，那么

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ x<\phi \left(n\right)\le x+y\end{array}}{z}^{\omega \left(n\right)}}=y{\left(\log x\right)}^{z-1}\left\{zY\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$

对$x\ge 2$ ，$x^{19/24+\epsilon }\le y\le x$ 一致成立，其中，

特别地，

$U\left(x,y\right)=y\left\{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$

对$x\ge 2$ ，$x^{19/24+\epsilon }\le y\le x$ 一致成立，其中

$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)=\underset{p}{\Pi }\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1+\frac{1}{p{\left(1-p^{-1}\right)}^2}\right)$

证明 因为函数$n\mapsto z^{\omega \left(n\right)}$ 是可乘的，对于$\Re s>1$ ，我们可以得到如下式子：

$F_z\left(s\right):={\displaystyle \sum _{n\ge 1}\frac{z^{\omega \left(n\right)}}{\phi {\left(n\right)}^s}}=\zeta {\left(s\right)}^{l_1\left(s\right)}\zeta {\left(2s\right)}^{l_2\left(s\right)}G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)$ ，

其中，$l_1\left(s\right)=z$ ，$l_2\left(s\right)=\left(z-z^2\right)/2$ ，$\left|z\right|\le B$ ，

$G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right):=\underset{p}{\Pi }{\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}^z{\left(1-\frac{1}{p^{2s}}\right)}^{\left(z-z^2\right)/2}\left(1+\frac{z}{p^s\left(1-p^{-s}\right){\left(1-p^{-1}\right)}^s}\right)$

函数$G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right)$ 在$\left\{s:\Re s>1/3\right\}$ 上是解析的，并且对于所有$\epsilon >0$ ，$G\left(s,l_1\left(s\right),l_2\left(s\right)\right){\ll }_{\epsilon }1$ 在

$\left\{s:\Re s>1/3+\epsilon \right\}\supset \left\{s:\Re s>1/2\right\}$

上是解析的，所以对于$1/2\le \sigma \le 2+\epsilon$ ，$F_z\left(s\right)$ 是一类Dirichlet级数，满足

${\rm T}\left(0,M\left(B\right),B,1/8,0,z,\left(z-z^2\right)/2,{\tilde{l}}_1,{\tilde{l}}_2\right)$ 。

利用引理1，我们得到了$z^{\omega \left(n\right)}$ 的均值渐近公式。

3. 定理1.2的证明

定义

$U_k\left(x,y\right):={\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}\omega \left(n\right)=k\\ x<\phi \left(n\right)\le x+y\end{array}}1}$ 。

我们可以得到

${\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}{z}^{\omega \left(n\right)}={\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}{\displaystyle \sum _{\omega \left(n\right)=k}{z}^k={\displaystyle \sum _k{\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}{z}^k={\displaystyle \sum _k{U}_k\left(x,y\right)z^k}}}}}}$ 。

通过柯西积分公式，

$U_k\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\left({\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}{z}^{\omega \left(n\right)}}\right)\frac{\text{d}z}{z^{k+1}}}$ ，(1)

其中，$r=\frac{k}{{\log }_{2}x}$ 。通过引理4，

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ x<\phi \left(n\right)\le x+y\end{array}}{z}^{\omega \left(n\right)}}=y{\left(\log x\right)}^{z-1}\left\{zY\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$ ，

代入(1)，我们可以得到

$\begin{array}{c}{U}_k\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\left({\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}{z}^{\omega \left(n\right)}}\right)\frac{\text{d}z}{z^{k+1}}}\\ =\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}zy{\left(\log x\right)}^{z-1}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)\cdot \frac{1}{z^{k+1}}\text{d}z}+\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}y{\left(\log x\right)}^{z-1}O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\cdot \frac{1}{z^{k+1}}\text{d}z}\\ =\frac{y}{\log x}\cdot \frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{z}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)}{z^k}\text{d}z}+O\left(\frac{y{\log }_{2}x}{{\left(\log x\right)}^2}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{\Re z}}{{\left|z\right|}^{k+1}}\left|\text{d}z\right|}\right)\\ =\frac{y}{\log x}{I}_k\left(x,r\right)+O\left(\frac{y{\log }_{2}x}{{\left(\log x\right)}^2}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{\Re z}}{{\left|z\right|}^{k+1}}\left|\text{d}z\right|}\right),\end{array}$

其中，$I_k\left(x,r\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{z}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)}{z^k}\text{d}z}$ 。

对于$U_k\left(x,y\right)$ 的误差项，利用变量替换$t=k\left(1-\cos \theta \right)$ ，我们有以下估计：

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{\Re z}}{{\left|z\right|}^{k+1}}\left|\text{d}z\right|}={\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{r\cos \theta }}{r^{k+1}}\cdot r\text{d}\theta }={\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\left(\log x\right)}^{r\cos \theta }}{r^k}\text{d}\theta }\\ ={\left(\frac{{\log }_{2}x}{k}\right)}^k{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left(\log x\right)}_{}^{\frac{k\cos \theta }{{\log }_{2}x}}\text{d}\theta }={\left(\frac{{\log }_{2}x}{k}\right)}^k{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\text{e}}^{k\cos \theta }\text{d}\theta }\\ \ll {\left(\frac{{\log }_{2}x}{k}\right)}^k\left({\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\text{e}}^{k\cos \theta }\text{d}\theta }+1\right)\\ \ll {\left(\frac{{\log }_{2}x}{k}\right)}^k\left(\frac{{\text{e}}^k}{\sqrt{k}}{\displaystyle {\int }_0^k{\text{e}}^{-t}{t}^{-\frac{1}{2}}\text{d}t+1}\right)\\ \ll \frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^k}{k!}.\end{array}$

接下来将分别计算$I_k\left(x,r\right)$ 在$k=1$ 和$k\ge 2$ 的值。

当$k=1$ 时，

$I_1\left(x,r\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r}\frac{{\text{e}}^{z{\log }_{2}x}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)}{z}\text{d}z}=Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),0\right)=1$ 。

所以，$U_1\left(x,y\right)=\frac{y}{\log x}\left\{1+O\left(\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^2}{\log x}\right)\right\}$ 。

对于$k\ge 2$ ，通过柯西积分公式我们可以得到$I_k\left(x,r\right)=I_k\left(x,r_0\right)$ ，$r_0=\frac{k-1}{{\log }_{2}x}$ 。

将$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)$ 在$z=r_0$ 处泰勒展开可以得到

$\begin{array}{c}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)=Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)+Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)\left(z-r_0\right)+{\displaystyle {\int }_{r_0}^z{Y}^{″}\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),u\right)\left(z-u\right)\text{d}u}\\ =Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)+Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)\left(z-r_0\right)\\ +{\left(z-r_0\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t\right)Y^{″}\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0+t\left(z-r_0\right)\right)\text{d}t}.\end{array}$

那么，

$\begin{array}{c}{I}_k\left(x,r\right)=\frac{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\text{e}}^{z{\log }_{2}x}}{z^k}\text{d}z}+\frac{Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\text{e}}^{z{\log }_{2}x}\left(z-r_0\right)}{z^k}\text{d}z}\\ +\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\left(\log x\right)}^2{\left(z-r_0\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^1\left(1-t\right)Y^{″}\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0+t\left(z-r_0\right)\right)\text{d}t}}{z^k}\text{d}z}.\end{array}$

接下来我们依次估计这三部分。通过柯西积分公式，第一部分为

$\frac{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\text{e}}^{z{\log }_{2}x}}{z^k}\text{d}z}=\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)$ 。

同样地，第二部分为

$\frac{Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\text{e}}^{z{\log }_{2}x}\left(z-r_0\right)}{z^k}\text{d}z}=Y^{\prime }\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),r_0\right)\left(\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-2}}{\left(k-2\right)!}-r_0\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\right)=0$ 。

对于$0<t\le 1$ ，$\left|z\right|=r_0$ ，我们有

$\left|r_0+t(z-r_0)\right|=\left|r_0(1-t)+tz\right|\le r_0(1-t)+t\left|z\right|=r_0$ 。

因为在$\left|z\right|\le B$ 上$Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)$ 是解析的，所以存在一个正常数$C_{\alpha }$ ，使得

$\left|Y^{″}\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)\right|\le C_{\alpha }$ 。

因此，那么第三部分利用变量替换$t=\left(k-1\right)\left(1-\cos \theta \right)$ ，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\oint }_{\left|z\right|=r_0}\frac{{\left(\log x\right)}^{\Re z}{\left|z-r_0\right|}^2}{{\left|z\right|}^k}\left|\text{d}z\right|}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{{\text{e}}^{\Re z{\log }_{2}x}{r}_0^2{\left|{\text{e}}^{i\theta }-1\right|}^2}{r_0^k}\cdot r_0\text{d}\theta }\\ =r_0^{-\left(k-3\right)}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\text{e}}^{{\log }_{2}x\cdot \frac{k-1}{{\log }_{2}x}\cos \theta }{\left|{\text{e}}^{i\theta }-1\right|}^2\text{d}\theta }\\ =r_0^{-\left(k-3\right)}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\text{e}}^{\left(k-1\right)\cos \theta }}{\left|{\text{e}}^{i\theta }-1\right|}^2\text{d}\theta \\ \ll r_0^{-\left(k-3\right)}\left({\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\text{e}}^{\left(k-1\right)\cos \theta }}\left(1-\cos \theta \right)\text{d}\theta +\pi \right)\\ \ll r_0^{-\left(k-3\right)}{\text{e}}^{k-1}{\left(k-1\right)}^{-\frac{3}{2}}\left({\displaystyle {\int }_0^{k-1}{\text{e}}^{-t}{t}^{\frac{1}{2}}\text{d}t+\pi }\right)\\ \ll \frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-3}}{\left(k-2\right)!}.\end{array}$

那么我们得到

$U_k\left(x,y\right)=\frac{y{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!\log x}\left(Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),\frac{k-1}{{\log }_{2}x}\right)\right)+O\left(\frac{y{\left({\log }_{2}x\right)}^{k+1}}{k!{\left(\log x\right)}^2}+\frac{y{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-3}}{\left(k-2\right)!\log x}\right)$

4. 定理1.1的证明

定义

$F_{x,y}\left(\lambda \right)=\frac{1}{U\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}x<\phi \left(n\right)\le x+y\\ \omega \left(n\right)-{\log }_{2}x\le \lambda {\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}\end{array}}1}$ ，

令${\phi }_{x,y}\left(\tau \right)$ 为$F_{x,y}\left(\lambda \right)$ 的特征函数，

$\begin{array}{c}{\phi }_{x,y}\left(\tau \right):={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{i\tau \lambda }\text{d}{F}_{x,y}\left(\lambda \right)}=\frac{1}{U\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}\exp \left\{i\tau \frac{\omega \left(n\right)-{\log }_{2}x}{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right\}}\\ =\frac{{\text{e}}^{-i\tau T}}{U\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}{\text{e}}^{i\left(\tau /T\right)\omega \left(n\right)}},\end{array}$

其中，$T=\sqrt{{\log }_{2}x}$ 。通过Berry-Esseen不等式，

${\Vert F_{x,y}-\varphi \Vert }_{\infty }\le \frac{16}{\sqrt{2\pi }T}+6{\displaystyle {\int }_{-T}^T\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}}{\tau }\right|\text{d}\tau }$ ,

接下来我们需要去证明${\displaystyle {\int }_{-T}^T\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll \frac{1}{T}$ 。将$z={\text{e}}^{it}$ 引入引理4可得，

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ x<\phi \left(n\right)\le x+y\end{array}}{\text{e}}^{it\omega \left(n\right)}}=y{\left(\log x\right)}^{{\text{e}}^{it}-1}\left\{{\text{e}}^{it}Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),{\text{e}}^{it}\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$ 。

将$z=1$ 代入引理4可得，

$U\left(x,y\right)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ x<\phi \left(n\right)\le x+y\end{array}}1}=y\left\{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$ 。

所以，

$\frac{1}{U\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{x<\phi \left(n\right)\le x+y}{\text{e}}^{it\omega \left(n\right)}}={\left(\log x\right)}^{{\text{e}}^{it}-1}\left\{A\left({\text{e}}^{it}\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$ ，

其中，$A\left(z\right)=\frac{zY\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),z\right)}{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)}$ 并且$A\left(1\right)=1$ 。令$t=\tau /T$ ，

${\phi }_{x,y}\left(\tau \right)={\left(\log x\right)}^{{\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}-1}{\text{e}}^{-i\tau T}\left\{A\left({\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}\right)+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$ 。

当$\left|t\right|\le 1$ 时，$\cos t-1\le -2{\left(\frac{t}{\pi }\right)}^2$ ，我们有

$\left|{\left(\log x\right)}^{{\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}-1}\cdot {\text{e}}^{-i\tau T}\right|=\left|{\text{e}}^{T^2\left({\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}-1\right)}\cdot {\text{e}}^{-i\frac{\tau }{T}\cdot T^2}\right|={\text{e}}^{T^2\left(\cos \frac{\tau }{T}-1\right)}\le {\text{e}}^{-2{\left(\frac{\tau }{\pi }\right)}^2}$ 。

因此，

${\displaystyle {\int }_{\pm T^{\frac{1}{3}}}^{\pm T}\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll {\displaystyle {\int }_{\pm T^{\frac{1}{3}}}^{\pm T}{\text{e}}^{-2{\left(\frac{\tau }{\pi }\right)}^2}\text{d}\tau }\ll \frac{1}{T}$ 。

当${\left(\log x\right)}^{-1}<\left|\tau \right|\le T^{\frac{1}{3}}$ 时，由泰勒展开式，

$A\left({\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}\right)=1+O\left(\frac{\tau }{T}\right)$ ，${\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}-1=i\frac{\tau }{T}-\frac{1}{2}{\left(\frac{\tau }{T}\right)}^2+O\left({\left(\frac{\tau }{T}\right)}^3\right)$ ，

那么，

${\left(\log x\right)}^{{\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}-1}A\left({\text{e}}^{i\frac{\tau }{T}}\right){\text{e}}^{-i\left(\tau T\right)}={\text{e}}^{\left({\text{e}}^{\frac{i\tau }{T}}-1\right)T^2-i\tau T}A\left({\text{e}}^{\frac{i\tau }{T}}\right)={\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}+O\left(\frac{{\tau }^3}{T}\right)}\left\{1+O\left(\frac{\left|\tau \right|}{T}\right)\right\}={\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}\left\{1+O\left(\frac{\left|\tau \right|+{\left|\tau \right|}^3}{T}\right)\right\}$ 。

所以，${\phi }_{x,y}\left(\tau \right)={\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}\left\{1+O\left(\frac{\left|\tau \right|+{\left|\tau \right|}^3}{T}\right)\right\}\left\{1+O\left(\frac{{\log }_{2}x}{\log x}\right)\right\}$ 。那么，

${\displaystyle {\int }_{\pm \frac{1}{\log x}}^{\pm T^{\frac{1}{3}}}\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\log x}}^{T^{\frac{1}{3}}}\left({\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}\frac{1+{\tau }^2}{T}+\frac{{\log }_{2}x}{\tau \log x}\right)\text{d}\tau }\ll \frac{1}{T}+\frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^2}{\log x}\ll \frac{1}{T}$

所以对于$\left|\tau \right|\le \frac{1}{\log x}$ ，有

$\left|\tau \frac{\omega \left(n\right)-{\log }_{2}x}{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right|\ll \frac{\left|\tau \right|\log x}{T}$ ，$\exp \left\{i\tau \frac{\omega \left(n\right)-{\log }_{2}x}{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right\}=1+O\left(\frac{\left|\tau \right|\log x}{T}\right)$ ,

故有，${\phi }_{x,y}\left(\tau \right)=1+O\left(\frac{\left|\tau \right|\log x}{T}\right)$ 。又因为${\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}=1+O\left({\tau }^2\right)$ ，所以，

${\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{\log x}}^{\frac{1}{\log x}}\left|\frac{{\phi }_{x,y}\left(\tau \right)-{\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}}{\tau }\right|\text{d}\tau }\ll {\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{\log x}}^{\frac{1}{\log x}}\left(\frac{\log x}{T}+\left|\tau \right|\right)\text{d}\tau }\ll \frac{1}{T}$ 。

5. 误差

下面我们将证明误差是合理的。令

$R_{\lambda }\left(x,y\right):=\frac{1}{U\left(x,y\right)}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}x<\phi \left(m\right)\le x+y\\ \omega \left(n\right)-{\log }_{2}x\le \lambda {\left({\log }_{2}x\right)}^{1/2}\end{array}}1-\varphi \left(\lambda \right)}$ ，$R\left(x,y\right):=\underset{\lambda \in ℝ}{\sup }{R}_{\lambda }\left(x,y\right)$ ，

其中$k=\left[{\log }_{2}x\right]$ ，$\theta =k-{\log }_{2}x$ 。

$\begin{array}{c}\frac{U_k\left(x,y\right)}{U\left(x,y\right)}=F_{x,y}\left(\frac{\theta }{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right)-F_{x,y}\left(\frac{\theta -\frac{1}{2}}{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right)\le \varphi \left(\frac{\theta }{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right)-\varphi \left(\frac{\theta -\frac{1}{2}}{\sqrt{{\log }_{2}x}}\right)+2R\left(x,y\right)\\ ={\displaystyle {\int }_{\frac{\theta -\frac{1}{2}}{\sqrt{{\log }_{2}x}}}^{\frac{\theta }{\sqrt{{\log }_{2}x}}}{\text{e}}^{-\frac{{\tau }^2}{2}}\text{d}\tau +}2R\left(x,y\right)\ll \frac{1}{2\sqrt{\pi {\log }_{2}x}}+2R\left(x,y\right).\end{array}$

另一方面，

$\frac{U_k\left(x,y\right)}{U\left(x,y\right)}~\frac{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),\frac{k-1}{{\log }_{2}x}\right)}{Y\left(l_1\left(1\right),l_2\left(1\right),1\right)}\cdot \frac{{\left({\log }_{2}x\right)}^{k-1}}{\log x\cdot \left(k-1\right)!}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi {\log }_{2}x}}$ ，

所以有，

$R\left(x,y\right)\gg \frac{1+o\left(1\right)}{2\sqrt{\pi {\log }_{2}x}}-\frac{1}{4\sqrt{\pi {\log }_{2}x}}=\frac{1+o\left(1\right)}{4\sqrt{\pi {\log }_{2}x}}$ 。