2 × 2上三角型算子矩阵的拟Fredholm谱

The Quasi-Fredholm Spectrum of 2 × 2 Upper Triangular Operator Matrices

摘要: 主要运用内部项的拟Fredholm性质研究了2 × 2上三角型算子矩阵的拟Fredholm谱，并拓展到无界2 × 2上三角型算子矩阵的拟Fredholm谱。给出了具体例子加以说明结论的有效性。

Abstract: The Quasi-Fredholm Spectrum of 2 × 2 upper triangular operator matrices is studied by using the Quasi-Fredholm property of its internal entries, and extended to the Quasi-Fredholm spectrum of the triangular operator matrices on the unbounded 2 × 2. The example is given to illustrate the validity of the result.

1. 引言

分块算子矩阵是一种以Hilbert空间或Banach空间中的线性算子作为基本元素的独特矩阵。这种矩阵在系统理论、非线性分析和方程发展等多个领域都有广泛的应用。从理论研究的角度看，Hilbert空间中的线性算子在经过特定的空间分解后，可以被转化为分块算子矩阵。而从实际应用的角度看，分块算子矩阵在处理偏微分方程、弹性力学、磁流体动力学和量子力学等数学物理问题时都起到了关键的作用。例如，Ekman边界层稳定性理论可以被转化为如下系统：

$\mathcal{A}\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\lambda ℬ\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]\left(1\right)$ ，

这里$\mathcal{A}$ ，$ℬ$ 分别表示形如

$\mathcal{A}=\left[\begin{array}{cc}{\left(-D^2+{\alpha }^2\right)}^2+i\alpha RV\left(-D^2+{\alpha }^2\right)+i\alpha R{V}^{″}& 2D\\ 2D+i\alpha R{U}^{\prime }& -D^2+{\alpha }^2+i\alpha RV\end{array}\right]$

和

$ℬ=\left[\begin{array}{cc}-D^2+{\alpha }^2& 0\\ 0& I\end{array}\right]$

的分块算子矩阵，其中$D=\frac{d}{dt}$ ，$t\in \left[0,+\infty \right)$ ，函数$U$ ，$V$ 是速度剖面，$\alpha$ ，$R$ 是具有特殊含义的常数。

1958年，T. Kato在文献[1]证明了半Fredholm算子的一个重要分解：对于稠定闭线性算子$T$ ，如果$T$ 是半Fredholm算子，则存在闭子空间对$\left(M,N\right)$ ，使得以下结论成立：

(1) $X=M\oplus N$ ；

(2) $T\left(M\cap \mathcal{D}\left(T\right)\right)\subseteq M,ℛ\left(T|{}_M\right)$ 是闭集，对任意非负整数$n$ ，有$\mathcal{N}(T|{}_M^n)\subseteq ℛ(T|{}_M)$ 。

(3) $T\left(N\cap \mathcal{D}\left(T\right)\right)\subseteq N\subseteq \mathcal{D}\left(T\right)$ ，$T|{}_N$ 是幂零算子，其中$N$ 是有限维子空间。

$X$ 的这种分解被称为与算子$T$ 相关的Kato分解。T. Kato还指出，在同构意义下，这种分解是唯一的。1980年，J. P. Labrousse在文献[2]中对Hilbert空间上的所有允许这种分解的算子进行刻画，并将这些算子称为拟Fredholm算子。同时还证明了对于Hilbert空间上的有界线性算子$T$ ，$T$ 是拟Fredholm算子当且仅当$T$ 是Kato型算子。除此之外，利用广义逆理论还给出了拟Fredholm算子的另外一种等价刻画。1996年，M. Mbekhta和V. Müller在文献[3]中将这类算子推广到Banach空间。拟Fredholm算子包含了半Fredholm算子、半正则算子等Fredholm理论体系中的核心算子类型。自然地，对每个有界算子$T$ ，按照如下方式定义拟Fredholm谱：

${\sigma }_{qf}\left(T\right)=\{\lambda \in ℂ:T-\lambda$ 不是Fredholm算子$\}.$

运用拟Fredholm理论进行研究，不仅揭示了算子的内在结构，也为Fredholm理论分析提供了新的方法论工具。此外，拟Fredholm算子$T$ 涉及到核空间$\mathcal{N}\left(T\right)$ 的性质，因此对于类似方程(1)的求解提供理论依据。

因此，关于拟Fredholm算子的研究受到了很多学者的关注。见文献[4]-[6]。比如，P. Aiena等人对拟Fredholm算子进行了深入的探讨。2018年，Orlando García等人在文献[7]得到关于拟Fredholm算子在幂零算子扰动下的稳定性的结果，同时给出了半B-Weyl算子类的一个新的分解。2019年，Anuradha Gupta等人在文献[8]中利用拟Fredholm算子的相关性质描述了在紧扰动下保持SVEP的算子。更多关于拟Fredholm算子的内容见文献[9]-[14]。

目前关于2 × 2有界分块拟Fredholm算子矩阵的研究较少。因此本文主要运用内部项的拟Fredholm性质研究了2 × 2上三角型算子矩阵的拟Fredholm谱，并拓展到无界2 × 2上三角型算子矩阵的拟Fredholm谱。给出了具体例子加以说明结论的有效性。对于该理论的推广，未来还有更多可研究的方向，如研究更高阶矩阵的谱性质、将Hilbert空间的相关理论推广到Banach空间以及推广更多无界算子的情形等。

2. 预备知识

如无特殊说明，$X$ ，$Y$ 表示可分的Hilbert空间，$ℒ\left(X,Y\right)$ 表示$X$ 上到$Y$ 中的有界线性算子的全体构成的集合。特别地，当$X=Y$ 时记为$ℒ\left(X\right)$ 。全体近似点谱记为${\sigma }_{ap}\left(T\right)$ 。由文献[15]的引理2.1.3以及文献[16]的定理1.2.3得

$\lambda \in {\sigma }_{ap}\left(T\right)\iff T-\lambda I$ 不是下方有界$\iff T-\lambda I$ 不单或$ℛ\left(T-\lambda I\right)$ 不闭。

下面我们将考虑定义在$X\oplus Y$ 上的分块算子矩阵

$M_C=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right].$

特别地，当$C=0$ 时，记为$M_0.$ 更多关于分块算子矩阵的相关结论参考文献[15] [16]。

定义1 [14]设$T\in ℒ\left(X\right)$ 。如果存在$X$ 的闭子空间对$\left(M,N\right)$ 使得以下条件满足：

(1) $X=M\oplus N$ ；

(2) $T\left(M\right)\subset M$ 且$T|{}_M$ 是半正则算子；

(3) $T\left(N\right)\subset N$ 且$T|{}_N$ 是拟幂零算子。

则称$T$ 存在广义Kato分解，缩写为GKD。特别地，如果${\text{T}}_{|N}$ 是幂零算子。即存在$d\in N$ 使得${\left({\text{T}}_{|N}\right)}^d\text{=0}$ 。在此情况下，$T$ 被称为Kato型算子。

注1 如果$ℛ\left(T\right)$ 是闭的，且对任意的$n\in N$ (非负整数集)，有$\mathcal{N}\left(T\right)\subset ℛ\left(T^n\right)$ 成立，则称$T$ 是半正则算子。如果$\sigma \left(T\right)=\left\{0\right\}$ ，则称$T$ 为拟幂零算子。

定义2 [2] $T$ 是稠定闭算子，如果存在$d\in N$ (非负整数集)满足：

(1) $dis\left(T\right)=d$ ；

(2) $\mathcal{N}\left(T\right)\cap ℛ\left(T^d\right)$ 是$X$ 的闭子空间；

(3) $T\left(X\right)+\mathcal{N}\left(T^d\right)$ 是$X$ 的闭子空间。

则称$T$ 为拟Fredholm算子。其中$dis\left(T\right)$ 称为$T$ 的稳定迭代程度，其定义为

$dis\left(T\right):=\inf \Delta \left(T\right)$ ，

$\Delta \left(T\right):=\left\{n\in N:m\ge n,m\in N\Rightarrow T^n\left(X\right)\cap \mathcal{N}\left(T\right)\subseteq T^m\left(X\right)\cap \mathcal{N}\left(T\right)\right\}$ 。

特别地，如果$\Delta \left(T\right)=\varnothing$ ，则$dis\left(T\right)$ 定义为无穷大，即$dis\left(T\right)=\infty$ 。

注2 如果$T\in ℒ\left(X\right)$ ，则$T$ 是拟Fredholm算子当且仅当$T$ 是Kato型算子。

注3 算子的Kato型谱，拟Fredholm谱，半正则谱分别表示为

$\begin{array}{l}{\sigma }_k\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不是\text{Kato}型算子\right\}\text{;}\\ {\sigma }_{qf}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不是拟\text{Fredholm}算子\right\};\end{array}$

${\sigma }_{rs}\left(T\right)=\left\{\lambda \in ℂ:T-\lambda I不是半正则算子\right\}\text{.}$

其中${\rho }_k\left(T\right)=C/{\sigma }_k\left(T\right)$ ，${\rho }_{qf}\left(T\right)=C/{\sigma }_{qf}\left(T\right)$ ，${\rho }_{rs}\left(T\right)=C/{\sigma }_{rs}\left(T\right)$ 。

引理1 [12] 令$A\in ℒ\left(X\right)$ ，$B\in ℒ\left(Y\right)$ ，$C\in ℒ\left(Y,X\right)$ ，$n\in N^{*}$ ，则

(1) $x\in \mathcal{N}\left(A^n\right)\iff x\oplus 0\in \mathcal{N}\left(M_C^n\right)$ ；

(2) 如果$B$ 是单射，则对任意$x\in X$ ，有

$x\in ℛ\left(A^n\right)\iff x\oplus 0\in ℛ\left(M_C^n\right)$ 。

(3) 如果$B$ 是单射，则对任意$x\oplus y\in X\oplus Y$ ，我们有

$x\oplus y\in ℛ\left(M_C^n\right)\cap \mathcal{N}\left(M_C\right)\iff x\in ℛ\left(A^n\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)$ ，$y=0$ 。

引理2 [12] 若$B$ 是单射，且$M_C$ 是拟Fredholm算子，则$A$ 是拟Fredholm算子。

定义3 [13] $T$ 是向量空间$X$ 的线性算子，$d$ 是非负整数，若对任意$n\ge d$ ，有

$k_n\left(T\right)=\dim \frac{\mathcal{N}\left(T\right)\cap ℛ\left(T^n\right)}{\mathcal{N}\left(T\right)\cap ℛ\left(T^{n+1}\right)}=\dim \frac{ℛ\left(T\right)+\mathcal{N}\left(T^{n+1}\right)}{ℛ\left(T\right)+\mathcal{N}\left(T^n\right)}=0$ ，

则称$T$ 对任意$n\ge d$ 有一致降指数。

引理3 [13] $T$ 是向量空间$X$ 的线性算子，$d$ 是固定非负整数，则下列陈述等价：

(1) 任意$n\ge d$ ，$T$ 有一致降指数；

(2) 任意$n\ge d$ ，$\mathcal{N}\left(T\right)\cap ℛ\left(T^n\right)$ 为常值序列；

$\mathcal{N}\left(T\right)\cap ℛ\left(T^d\right)=\mathcal{N}\left(T\right)\cap ℛ\left(T^{\infty }\right)$ ；

(3) 任意$n\ge d$ ，$\mathcal{N}\left(T^n\right)+ℛ\left(T\right)$ 为常值序列；

$\mathcal{N}\left(T^d\right)+ℛ\left(T\right)=\mathcal{N}\left(T^{\infty }\right)+ℛ\left(T\right)$ 。

引理4 [13] $T\in ℒ\left(X\right)$ ，$d$ 是非负整数，对任意$n\ge d$ ，有$k_n\left(T\right)=0$ ，则下列陈述等价：

(1) $\mathcal{N}\left(T^d\right)+ℛ\left(T\right)$ 和$\mathcal{N}\left(T\right)\cap ℛ\left(T^d\right)$ 是闭的：

(2) $ℛ\left(T^{d+1}\right)$ 是闭的；

(3) 任意$n\ge d$ ，$ℛ\left(T^n\right)$ 是闭的；

(4) 任意$i$ ，$j$ ，$i+j\ge d$ ，$ℛ\left(T^i\right)+\mathcal{N}\left(T^j\right)$ 是闭的。

3. 主要结果及其证明

定理2.1 令$A\in ℒ\left(X\right)$ ，$B\in ℒ\left(Y\right)$ ，$C\in ℒ\left(X,Y\right)$ ，$d\in N$ 。若$B$ 是单射，$ℛ\left(B\right)$ 是闭的，则$A$ 是拟Fredholm算子当且仅当$M_C$ 是拟Fredholm算子。

证明 由引理2可得充分性显然成立。

必要性。设$x\oplus y\in ℛ\left(M_C^d\right)\cap \mathcal{N}\left(M_C\right)$ ，由于$B$ 是单射，故由引理1得

$x\oplus y\in ℛ\left(M_C^n\right)\cap \mathcal{N}\left(M_C\right)\iff x\in ℛ\left(A^n\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)$ ，$y=0$ 。

又因为$A$ 是拟Fredholm算子，于是

$x\oplus y\in ℛ\left(M_C^d\right)\cap \mathcal{N}\left(M_C\right).$

$\iff x\in ℛ\left(A^d\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)$ ，$y=0$

$\iff x\in ℛ\left(A^n\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)$ ，$y=0$ 。$\left(n\ge d\right)$

$\iff x\oplus y\in ℛ\left(M_C^n\right)\cap \mathcal{N}\left(M_C\right)$ ，$y=0$ 。$\left(n\ge d\right)$

即$dis\left(M_C\right)\le d$ 。考虑$dis\left(A\right)=d$ ，得知$ℛ\left(A^{d-1}\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)⊋ℛ\left(A^d\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)$ ，即存在$x_0$ 使得$x_0\in ℛ\left(A^{d-1}\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)$ ，但$x_0\notin ℛ\left(A^d\right)\cap \mathcal{N}\left(A\right)$ 。

故存在$x_0\oplus 0$ 使得

$x_0\oplus 0\in ℛ\left(M_C^{d-1}\right)\cap \mathcal{N}\left(M_C\right)$ ，但$x_0\oplus 0\notin ℛ\left(M_C^d\right)\cap \mathcal{N}\left(M_C\right)$ 。

所以$dis\left(M_C\right)\ge d$ ，即$dis\left(M_C\right)=d$ 。接下来证明$\mathcal{N}\left(M_C^d\right)+ℛ\left(M_C\right)$ 和$\mathcal{N}\left(M_C\right)\cap ℛ\left(M_C^d\right)$ 是闭的。由定义3和引理3、4可得只证$ℛ\left(M_C^{d+1}\right)$ 闭，即只证对任意的$\Vert x_n\oplus y_n\Vert =1\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，如果$M_C{}^{d+1}(x_n\oplus y_n)\to 0$ ，则$\left\{x_n\oplus y_n\right\}$ 含有收敛子列即可。考虑

$M_C^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{A}^{n-1-k}C{B}^k}\\ 0& B^n\end{array}\right]$ ，

有

$\{\begin{array}{c}{A}^{d+1}{x}_n+{\displaystyle \sum _{k=0}^d{A}^{d-k}C{B}^k}{y}_n\to 0\\ B^{d+1}{y}_n\to 0.\end{array}$ ，

可以断言$y_n\to 0$ 。事实上，由$B$ 单，$ℛ\left(B\right)$ 闭，得$B$ 为半正则算子，故$B^{d+1}$ 为半正则算子，即$ℛ\left(B^{d+1}\right)$ 闭。于是$B^{d+1}$ 下方有界，得$y_n\to 0$ 。进而得$\underset{n\to \infty }{\lim }\inf \Vert x_n\Vert \ne 0$ 且$A^{d+1}{x}_n\to 0$ 。故

$\Vert \frac{x_n}{\Vert x_n\Vert }\Vert =1$ 且$A^{d+1}\frac{x_n}{\Vert x_n\Vert }\to 0\left(n\to \infty \right)$ 。

然而，由$A$ 是拟算子可知$ℛ\left(A^{d+1}\right)$ 闭。于是$\left\{\frac{x_n}{\Vert x_n\Vert }\right\}$ 含有收敛子列。再考虑

$\Vert x_n\Vert \to 1$ ，

即$\left\{x_n\right\}$ 含有收敛子列。故$\left\{x_n\oplus y_n\right\}$ 含收敛子列。

推论2.1 令$A\in ℒ\left(X\right)$ ，$B\in ℒ\left(Y\right)$ ，$C\in ℒ\left(X,Y\right)$ ，则

${\sigma }_{qf}\left(M_C\right)\cup {\sigma }_{ap}\left(B\right)={\sigma }_{qf}\left(A\right)\cup {\sigma }_{ap}\left(B\right)$ 。

推论2.2 令$A\in ℒ\left(X\right)$ ，$B\in ℒ\left(Y\right)$ ，$C\in ℒ\left(X,Y\right)$ ，$d\in N$ 。若$A^{\ast }$ 是单射，$ℛ\left(A^{\ast }\right)$ 是闭的，则$B$ 是拟Fredholm算子当且仅当$M_C$ 是拟Fredholm算子。

证明 因为

${\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]}^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}{A}^{\ast }& 0\\ C^{\ast }& B^{\ast }\end{array}\right]$ ，

以及

$\left[\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}^{\ast }& 0\\ C^{\ast }& B^{\ast }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{B}^{\ast }& C^{\ast }\\ 0& A^{\ast }\end{array}\right]$ 。

再考虑到相似算子具有相同的谱结构和文献[9]中的结论，$B$ 是拟Fredholm算子当且仅当$B^{\ast }$ 是拟Fredholm算子，因此类似于定理1的证明过程可得。

推论2.3 令$A\in ℒ\left(X\right)$ ，$B\in ℒ\left(Y\right)$ ，$C\in ℒ\left(X,Y\right)$ ，则

${\sigma }_{qf}\left(M_C^{\ast }\right)\cup {\sigma }_{ap}\left(A^{\ast }\right)={\sigma }_{qf}\left(B\right)\cup {\sigma }_{ap}\left(A^{\ast }\right)$ 。

下面举例说明定理1的有效性。

例1 $A$ ，$B$ ，$C\in ℒ\left(l^2\right)$ ，定义如下：

$A\left(x_1,x_2,\cdots \right)=\left(x_2,x_3,x_4,\cdots \right)$ ，

$B\left(x_1,x_2,\cdots \right)=\left(0,x_1,x_2,\cdots \right)$ ，

$C\left(x_1,x_2,\cdots \right)=\left(x_1+x_4,0,0,x_5,x_6\cdots \right)$ 。

容易计算$\mathcal{N}\left(A\right)$ 的维数为1，是有限维，$ℛ\left(A\right)$ 是闭的，故$A$ 是半Fredholm算子，进而$A$ 是拟Fredholm算子。一方面，经计算可得$M_C$ 是半正则算子。事实上，易得

$\mathcal{N}(M_C)=x\oplus 0$ ，$x=\left(x_1,0,0,\cdots \right)$ 。

下面验证$\mathcal{N}\left(M_C\right)\subseteq ℛ\left(M_C^n\right)$ 。对任意的$n\in N$ ，令$v=0$ ，$u=\left(u_1,u_2,u_3,\cdots \right)$ ，其中$u_{n+1}=x_1$ ，当$i\ne n+1$ 时，$u_i=0$ 。则$M_C^n\left(u\oplus v\right)=x\oplus 0$ 。故$\mathcal{N}\left(M_C\right)\subseteq ℛ\left(M_C^n\right)$ 。容易证明$ℛ\left(M_C\right)$ 闭。事实上，任取$M_C\left(x_n\oplus y_n\right)=\left(A{x}_n+C{y}_n\right)\oplus B{y}_n\to f\oplus g$ ，则$B{y}_n\to g$ ，由于$ℛ\left(B\right)$ 闭，所以存在$y_0$ 使得$g=B{y}_0$ ，结合$B$ 下方有界，得$y_n\to y_0$ 。进而有$C{y}_n\to C{y}_0$ 。故$A{x}_n\to f-C{y}_0$ 。考虑$ℛ\left(A\right)$ 闭，得存在$x_0$ 使得$A{x}_0=f-C{y}_0$ ，即$f=A{x}_0+C{y}_0$ ，$g=B{y}_0$ 。故$ℛ\left(M_C\right)$ 闭。即$M_C$ 是拟Fredholm算子。另一方面，因为$B$ 单射，$ℛ\left(B\right)$ 闭，所以由定理1可得$M_C$ 是拟Fredholm算子。与直接计算的结果相吻合。因此定理1是有效的。

在理论和实际应用中的许多线性算子并不是有界的，特别是在物理学和力学中所涉及的大量的线性算子很多都是无界的。因此，接下来我们讨论无界线性算子的性质。

定理2.2 对于稠定闭无界算子$M_C$ ，若满足$\mathcal{D}\left(B\right)\subseteq \mathcal{D}\left(C\right)$ ，$ℛ\left(A\right)\subseteq \mathcal{D}\left(A\right)$ ，$B$ 是单射，则当$M_C$ 是拟Fredholm算子时，$A$ 是拟Fredholm算子。

证明 先证当$\mathcal{D}\left(B\right)\subseteq \mathcal{D}\left(C\right)$ ，$ℛ\left(A\right)\subseteq \mathcal{D}\left(A\right)$ 时有

$M_C{}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{A}^{n-1-k}C{B}^k}\\ 0& B^n\end{array}\right]$ 。

当$n=1$ 时，结论自然成立。设$n=m$ ，有

$M_C{}^m=\left[\begin{array}{cc}{A}^m& {\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}\\ 0& B^m\end{array}\right]$ 。

下证

$M_C{}^{m+1}=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}^m& {\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}\\ 0& B^m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}^{m+1}& {\displaystyle \sum _{k=0}^m{A}^{m-k}C{B}^k}\\ 0& B^{m+1}\end{array}\right]$ 。

先证对任意线性算子$T$ 都有$\mathcal{D}\left(T^{m+1}\right)=\mathcal{D}\left(T{T}^m\right)$ 。其中

$\begin{array}{l}\mathcal{D}\left(T^{m+1}\right)=\left\{x\in \mathcal{D}\left(T\right):Tx\in \mathcal{D}\left(T^m\right)\right\},\\ \mathcal{D}\left(T{T}^m\right)=\left\{x\in \mathcal{D}\left(T^m\right):T^{m}x\in \mathcal{D}\left(T\right)\right\},\end{array}$

当$m=1$ 时，结论自然成立。设$m=k$ 时，有

$\mathcal{D}\left(T^{k+1}\right)=\mathcal{D}\left(T{T}^k\right)$ 。

下证$m=k+1$ 时有

$\mathcal{D}\left(T^{k+2}\right)=\mathcal{D}\left(T{T}^{k+1}\right)$ 。

任取$x\in \mathcal{D}\left(T^{k+2}\right)$ ，则

$x\in \mathcal{D}\left(T\right)$ ，$Tx\in \mathcal{D}\left(T^{k+1}\right)$ 。

由假设，$Tx\in \mathcal{D}\left(T^k\right)$ ，$T^k\left(Tx\right)\in \mathcal{D}\left(T\right)$ ，即$x\in \mathcal{D}\left(T{T}^{k+1}\right)$ 。

反之，当$x\in \mathcal{D}\left(T{T}^{k+1}\right)$ ，则

$x\in \mathcal{D}\left(T\right)$ ，$Tx\in \mathcal{D}\left(T^k\right)$ ，$T^{k+1}x\in \mathcal{D}\left(T\right)$ 。

从而$Tx\in \mathcal{D}\left(T{T}^k\right)=\mathcal{D}\left(T^{k+1}\right)$ ，即$x\in \mathcal{D}\left(T^{k+2}\right)$ 。故

$M_C^{m+1}=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}^m& {\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}\\ 0& B^m\end{array}\right]$ 。

记

$T_1=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}^m& {\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}\\ 0& B^m\end{array}\right]$ ，$T_2=\left[\begin{array}{cc}{A}^{m+1}& {\displaystyle \sum _{k=0}^m{A}^{m-k}C{B}^k}\\ 0& B^{m+1}\end{array}\right]$ 。

只需证明$\mathcal{D}\left(T_1\right)=\mathcal{D}\left(T_2\right)$ 即可。其中

$\mathcal{D}\left(T_1\right)=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\in X\times X:\begin{array}{c}x\in \mathcal{D}\left(A^m\right)\\ y\in \mathcal{D}\left(B^m\right)\cap \mathcal{D}\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}\right)\\ A^{m}x+{\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}y\in \mathcal{D}\left(A\right)\\ B^{m}y\in \mathcal{D}\left(B\right)\end{array}\right\}$ ，

$\mathcal{D}\left(T_2\right)=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\in X\times X:x\in \mathcal{D}\left(A^{m+1}\right),y\in \mathcal{D}\left(B^{m+1}\right)\cap \mathcal{D}\left({\displaystyle \sum _{k=0}^m{A}^{m-k}C{B}^k}\right)\right\}$ 。

接下来证明

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{k=0}^m{A}^{m-k}C{B}^k}=A^{m}C+A^{m-1}CB+\cdots +AC{B}^{m-1}+C{B}^m\\ =A\left(A^{m-1}C+A^{m-2}CB+\cdots +C{B}^{m-1}\right)+C{B}^m.\end{array}$

记$P_i=A^{m-i}C{B}^{i-1}$ ，$1\le i\le m$ ，则只需证

$A{P}_1+A{P}_2+\cdots +A{P}_m=A\left(P_1+P_2+\cdots +P_m\right)$ 。

$A{P}_1+A{P}_2+\cdots +A{P}_m\subset A\left(P_1+P_2+\cdots +P_m\right)$ 是显然的。考虑

$ℛ\left(P_i\right)\subseteq ℛ\left(A\right)\subseteq \mathcal{D}\left(A\right)$ 之，$1\le i\le m$ ，

得

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{k=0}^m{A}^{m-k}C{B}^k}=A^{m}C+A^{m-1}CB+\cdots +AC{B}^{m-1}+C{B}^m\\ =A\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}\right)+C{B}^n.\end{array}$

进而

$\mathcal{D}\left(T_2\right)=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\in X\times X:\begin{array}{c}x\in \mathcal{D}\left(A^{m+1}\right)\\ {\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}y\in \mathcal{D}\left(A\right)\\ y\in \mathcal{D}\left(B^{m+1}\right)\cap \mathcal{D}\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{A}^{m-1-k}C{B}^k}\right)\cap D\left(C{B}^m\right)\end{array}\right\}$ 。

故

$\mathcal{D}\left(T_1\right)=\mathcal{D}\left(T_2\right)$ 。

接下来证明当$M_C$ 是拟Fredholm算子时，$A$ 是拟Fredholm算子。类似于定理2.1的证明可得

$dis\left(A\right)=dis\left(M_C\right)=d.$

下面证明$\mathcal{N}\left(A\right)\cap ℛ\left(A^d\right)$ 是$X$ 的闭子空间。只需证明$\mathcal{N}\left(A\right)$ 且$ℛ\left(A^d\right)$ 都闭即可。任取$x_n\in ℛ\left(A^d\right)$ 且$x_n\to x$ ，则

$x_n\oplus 0\in ℛ\left(M_C^d\right)$ 且$x_n\oplus 0\to x\oplus 0$ 。

由$ℛ\left(M_C^d\right)$ 闭，得$x\oplus 0\in ℛ\left(M_C^d\right)$ 。进而$x\in ℛ\left(A^d\right)$ ，即$ℛ\left(A^d\right)$ 闭。由文献[14]中注1.3.2可得$\mathcal{N}\left(A\right)$ 是闭的，故$\mathcal{N}\left(A\right)\cap ℛ\left(A^d\right)$ 是闭的。最后证明$ℛ\left(A\right)+\mathcal{N}\left(A^d\right)$ 是$X$ 的闭子空间。任取$x_n\in ℛ\left(A\right)+\mathcal{N}\left(A^d\right)$ ，使得$x_n\to x$ ，则对任意$n$ ，有$x_n=x_{n,1}+x_{n,2}$ 。其中$x_{n,1}\in ℛ\left(A\right)$ ，$x_{n,2}\in \mathcal{N}\left(A^d\right)$ 。因此，由引理1，得

$x_{n,1}\oplus 0\in ℛ\left(M_C\right)$ ，$x_{n,2}\oplus 0\in \mathcal{N}\left(M_C^d\right)$ 。

则

$x_{n,1}\oplus 0+x_{n,2}\oplus 0=x_n\oplus 0\in ℛ\left(M_C\right)+\mathcal{N}\left(M_C^d\right)$

又由于$ℛ\left(M_C\right)+\mathcal{N}\left(M_C^d\right)$ 闭，则$x\oplus 0\in ℛ\left(M_C\right)+\mathcal{N}\left(M_C^d\right)$ 。进而有$x\oplus 0=x_1\oplus 0+x_2\oplus 0$ ，使得$x_1\oplus 0\in ℛ\left(M_C\right)$ ，$x_2\oplus 0\in \mathcal{N}\left(M_C^d\right)$ 。结合$B$ 单射，得

$x_1\in ℛ\left(A\right)$ ，$x_2\in \mathcal{N}\left(A^d\right)$ 。

即$x=x_1+x_2\in ℛ\left(A\right)+\mathcal{N}\left(A^d\right)$ ，故$ℛ\left(A\right)+\mathcal{N}\left(A^d\right)$ 闭。结论证闭。

定理2.3 若满足$dim\mathcal{N}\left(B\right)=\infty$ ，$A^{\ast }$ 是单射，则存在$C$ 使得$M_C$ 是半正则算子当且仅当$B$ 是半正则算子。

证明 充分性。当$B$ 是半正则算子，可得$B^{\ast }$ 是半正则算子。考虑到

$\dim ℛ{\left(B^{\ast }\right)}^{\perp }=\dim \mathcal{N}\left(B\right)=\infty$ ，

则存在一个可逆等距算子$T$ :$X\to ℛ{\left(B^{\ast }\right)}^{\perp }$ 。令

$C^{\text{*}}=\left(\begin{array}{c}T\\ 0\end{array}\right):X\to \left(\begin{array}{c}ℛ{\left(B^{\ast }\right)}^{\perp }\\ ℛ\left(B^{\ast }\right)\end{array}\right)$ 。

先证$\mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)\subseteq ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ 。任取$x\oplus y\in \mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)$ ，则

$\{\begin{array}{c}{A}^{\ast }x=0\\ C^{\ast }x+B^{\ast }y=0.\end{array}$

由于$B^{\ast }y\in ℛ\left(B^{\ast }\right)$ ，$C^{\ast }x=T^{\ast }x\oplus 0\in ℛ{\left(B^{\ast }\right)}^{\perp }\oplus 0$ ，因此$C^{\ast }x=0$ 且$B^{\ast }y=0$ 。因为$T^{\ast }$ 单射，所以$x=0$ 。故

$\mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)\subseteq \left(\begin{array}{c}0\\ \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)\end{array}\right)$ 。

由$B$ 是半正则算子，有$\mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)\subseteq ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)$ 。进而

$\mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)\subseteq \left(\begin{array}{c}0\\ \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)\end{array}\right)\subseteq \left(\begin{array}{c}0\\ ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)\end{array}\right)\subseteq ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ 。

再证$ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 闭。任取$M_C^{\ast }\left(x_n\oplus y_n\right)\to \left(u\oplus v\right)$ ，则

$\{\begin{array}{c}{A}^{\ast }{x}_n\to u\\ C^{\ast }{x}_n+B^{\ast }{y}_n\to v.\end{array}$

又因为$C^{\ast }{x}_n=T{x}_n\oplus 0$ ，$B^{\ast }{y}_n=0\oplus B^{\ast }{y}_n$ ，所以$C^{\ast }{x}_n+B^{\ast }{y}_n=T{x}_n\oplus B^{\ast }{y}_n$ ，进而可得$\left\{x_n\right\}$ 为Cauchy列。令$x_n\to x_0$ ，由$ℛ\left(B^{\ast }\right)$ 闭，则存在$y_0\in X$ 使得

$B^{\ast }{y}_n\to B^{\ast }{y}_0$ ，

即存在$x_0\oplus y_0$ 使得

$A^{\ast }{x}_0=u$ ，$C^{\ast }{x}_0+B^{\ast }{y}_0=v$ 。

故$ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 闭。

必要性。当$A^{\ast }$ 单射时，我们有

$0\oplus y\in ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)\iff x=0$ ，$y\in ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)$ 。

事实上，$0\oplus y\in ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ ，则存在$u\oplus v$ 使得

${\left(A^{\ast }\right)}^{n}u=0$ ，${{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(A^{n-1-k}C{B}^k\right)}}^{\ast }u+{\left(B^{\ast }\right)}^{n}v=y$ 。

由$A^{*}$ 单射，得$u=0$ ，${\left(B^{\ast }\right)}^{n}v=y$ ，即$y\in ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)$ 。

现证$\mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)\subseteq ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)$ 。设$y\in \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)$ ，则$0\oplus y\in \mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)$ 。由$\mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)\subseteq ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ ，得

$y\in ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)$ 。

下面说明$ℛ\left(B^{\ast }\right)$ 闭。设$B^{\ast }{v}_n\to y$ ，则$M_C^{\ast }\left(0\oplus v_n\right)\to 0\oplus y$ 。考虑$ℛ\left(M_C\right)$ 闭，因此

$0\oplus y\in ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 。

由$A^{\ast }$ 单射可知$y\in ℛ\left(B^{\ast }\right)$ 。结论证闭。

推论2.4 若满足$dim\mathcal{N}\left(A^{\ast }\right)=\infty$ ，$B$ 是单射，则存在$C$ 使得$M_C$ 是半正则算子当且仅当$A$ 是半正则算子。

证明 与定理3的证明完全类似。

定理2.4 $A^{\ast }$ 是单射，$ℛ\left(A\right)$ 闭，则$B$ 是半正则算子当且仅当对于任意$C$ 都有$M_C$ 是半正则算子。

证明 必要性。先证$\mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)\subseteq ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ 。设$x\oplus y\in \mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)$ ，则

$\{\begin{array}{c}{A}^{\ast }x=0，\\ C^{\ast }x+B^{\ast }y=0.\end{array}$

由$A^{\ast }$ 单，可知$x=0$ ，$y\in \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)$ 。考虑$B$ 是半正则算子，即得$B^{\ast }$ 为半正则算子，即

$\mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)\subseteq 0\oplus \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)\subseteq 0\oplus ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)\subseteq ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ 。

下证$ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 闭。任取$M_C^{\ast }\left(u_n\oplus v_n\right)\to f\oplus g$ ，即

$\{\begin{array}{c}{A}^{\ast }{u}_n\to f，\\ C^{\ast }{u}_n+B^{\ast }{v}_n\to g.\end{array}$

由题设知$A^{\ast }$ 下方有界，因此不妨设$u_n\to u_0$ ，从而

$A^{\ast }{u}_n\to A^{\ast }{u}_0$ ，$C^{\ast }{u}_n\to C^{\ast }{u}_0$ 。

再考虑$ℛ\left(B\right)$ 闭，即得存在$v_0$ 使$B^{\ast }{v}_n\to B^{\ast }{v}_0$ ，即存在$u_0\oplus v_0$ 使得

$A^{\ast }{u}_0=f$ ，$C^{\ast }{u}_0+B^{\ast }{v}_0=g$ 。

故$ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 闭。

充分性。先证$\mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)\subseteq ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)$ 。设$y\in \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)$ ，则对于任意$C$ ，有

$0\oplus y\in \mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)$ 。

又因为$M_C$ 是半正则算子，所以$0\oplus y\in ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ 。由$A^{\ast }$ 单射，得$y\in ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)$ 。

下证$ℛ\left(B^{\ast }\right)$ 闭。任意$B^{\ast }{v}_n\to g$ ，则$M_C^{\ast }\left(0\oplus v_n\right)\to \left(0\oplus g\right)$ 。由于$ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 闭，从而

$\left(0\oplus g\right)\in ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ ，

即$y\in ℛ\left(B^{\ast }\right)$ 。结论证闭。

注4 下面这个例子说明了当$A$ ，$B$ 是半正则算子时，并不是对任意的$C$ 都有$M_C$ 是半正则算子。

例2 $A$ ，$B$ ，$C\in ℒ\left(l^2\right)$ ，定义如下：

$\begin{array}{c}A\left(x_1,x_2,\cdots \right)=\left(0,x_1,x_2,\cdots \right)\\ B\left(x_1,x_2,\cdots \right)=\left(x_2,x_3,x_4,\cdots \right)\\ C\left(x_1,x_2,\cdots \right)=\left(0,x_1,x_2,\cdots \right)\end{array}$

经计算易得$A$ 和$B$ 为半正则算子，可以断言$M_C$ 不是半正则算子。事实上，取

$x_0=\left(-1,0,0,\cdots \right)$ ，$y_0=\left(1,0,0,\cdots \right)$ ，

经计算，$x_0\oplus y_0\in \mathcal{N}\left(M_C\right)$ ，但$x_0\oplus y_0\notin ℛ\left(M_C\right)$ 。事实上，任意$u\oplus v$ 有$M_C\left(u\oplus v\right)$ 的第一分量为0，但$x_0$ 的第一分量不为0，因此$M_C$ 不是半正则算子。

定理2.5 $A^{*}$ 单射时，若$A$ ，$B$ 是半正则算子，则对于任意$C$ 都有$M_C$ 是半正则算子。

证明 设$x\oplus y\in \mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)$ ，则$A^{\ast }x=0$ ，$C^{\ast }x+B^{\ast }y=0$ 。又因为$A^{\ast }$ 单射，则$x=0$ ，$y\in \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)$ 。由于$B^{\ast }$ 为半正则算子，故

$\mathcal{N}\left(M_C^{\ast }\right)\subseteq 0\oplus \mathcal{N}\left(B^{\ast }\right)\subseteq 0\oplus ℛ\left({\left(B^{\ast }\right)}^n\right)\subseteq ℛ\left({\left(M_C^{\ast }\right)}^n\right)$ 。

下证$ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 闭。任取$M_C^{\ast }\left(u_n\oplus v_n\right)\to f\oplus g$ ，即

$\{\begin{array}{c}{A}^{\ast }{u}_n\to f,\\ C^{\ast }{u}_n+B^{\ast }{v}_n\to g.\end{array}$

由于$A^{*}$ 下方有界，所以$u_n\to {\left(A^{\ast }\right)}^{-1}f$ ，从而$C^{\ast }{u}_n\to C^{\ast }{\left(A^{\ast }\right)}^{-1}f$ 。故$\left\{B^{\ast }{v}_n\right\}$ 为收敛列。由于$ℛ\left(B^{\ast }\right)$ 闭，则存在$v_0$ 使得$B^{\ast }{v}_n\to B^{\ast }{v}_0$ ，即存在${\left(A^{\ast }\right)}^{-1}f\oplus v_0$ 使得

$A^{\ast }{\left(A^{\ast }\right)}^{-1}f=f$ ，$C^{\ast }{\left(A^{\ast }\right)}^{-1}f+B^{\ast }{v}_0=g$ 。

故$ℛ\left(M_C^{\ast }\right)$ 闭。结论得证。

基金项目

国家自然科学基金项目(11561048, 11761029)，内蒙古自然科学基金项目(2023MS01011, 2022ZD05)。

NOTES

^*通讯作者。