基于OCTEM的导电材料电阻率测量计算方法

Measurement and Calculation Method for the Resistivity of Conductive Materials Based on OCTEM

摘要: 新开发的导电材料亟需掌握其电阻率特性，但是由于样品数量的稀缺以及拉丝工艺的困难，采用强迫电流法测量导电材料电阻率时极易造成电路短路。为此，本文提出了基于等值反磁通瞬变电磁法测量导电材料电阻率方法。首先，为了避免关断电磁振荡和环境噪声，提高信噪比，构建早期和晚期可信时刻线，采用二次场响应曲线和早晚最可信时刻线的扇形面积作为标本电阻率灵敏系数；然后，采用最小二乘拟合方法得到标本电阻率与灵敏系数的逼近函数，通过逼近函数计算得到样本的电阻率；最后，通过铜、铁、铝、钨以及合金导电材料的测试分析结果表明该方法计算得到的电阻率与真实电阻率的RMSE达到了10⁻⁹量级。

Abstract: Newly developed conductive materials urgently need to be characterized in terms of their resistivity, but due to the scarcity of samples and the difficulty of the drawing process, it is very easy to short-circuit circuits when measuring the resistivity of conductive materials using the forced-current method. For this reason, this paper proposes a method for measuring the resistivity of conductive materials based on the opposing coils transient electromagnetic method. First, in order to avoid turn-off electromagnetic oscillations and environmental noise and to improve the signal-noise ratio, early and late plausible moment lines were constructed, and the sector area of the secondary field response curve and the early and late most plausible moment lines were used as the specimen resistivity sensitivity coefficients; Then, the approximation function of the specimen resistivity to the sensitivity coefficient was obtained using the least squares fitting method, and the resistivity of the sample was calculated from the approximation function; Finally, the results of testing and analysis of copper, iron, aluminum, tungsten, and alloy conductive materials show that the resistivity calculated by this method has an RMSE of 10⁻⁹ orders of magnitude with respect to the true resistivity.

1. 引言

材料电阻率是表征材料对电流阻碍作用的重要参数，对于深入了解材料的导电性能至关重要。此外，对科研人员和工程师而言，准确的电阻率数据在材料选择、产品设计和科学研究中至关重要，同时也为新材料的开发与应用提供了理论基础。

材料电阻率的测量研究自始以来已经取得了显著进展，测量方法一般分为接触式和非接触式两类。早期主要采用接触式方法，其中伏安法(或称强迫电流法)是最早用于地球物理勘探的技术之一[1]-[3]。尽管该方法操作简单快捷，但精度较低。为了提高测量精度，研究者提出了电桥法。1843年，Sir Charles Wheatstone发明的惠更斯电桥和1862年William Thomson (Lord Kelvin)发明的开尔文电桥是具有里程碑意义的方法。后者相比前者具有更高的测量精度，但在测量过程中易受到精密检流计指针偏转、接触电阻和引线电阻等因素的影响[4] [5]，并且难以实现自动测量。

除了电桥法，1861年Thomson W提出的四探针法也是一种广泛应用的接触式电阻率测量技术[6]-[10]。根据测试结构的不同，该方法可细分为直线四探针法、方形四探针法、范德堡法以及改进四探针法[11]。直线四探针法因其原理简单、测量方便而受到青睐，但要求探针间距必须相等，且样品尺寸需大于探针间距[12]。双电测四探针法在排列方式上与常规四探针法相似，但需进行两次测量，其模式可分为1981年由D. S. Perllof提出的Perllof法和1979年北京工业大学宿昌厚提出的Rymaszewski法[13]。该方法探针间距可不等，有效克服了探针漂移的影响，并能自动修正边界效应[14]，但需遵循最低厚度要求并引入厚度修正因子[15]。方形四探针法同样具有厚度和尺寸要求，必须进行厚度修正[16]。1958年，L. J. Van der Pauw提出的范德堡法可以对任意形状的样品进行电阻率测量[17]，但要求探针与样品的接触面积小且布置在样品边缘，且样品需具有单连通性和均匀厚度[18]-[20]。改进四探针法包括1993年孙以材等提出的改进范德堡四探针法和2003年刘新福等提出的改进Rymaszewski四探针法，前者测量精度独立于探针漂移，具有良好的重复性，但需在显微镜下观察，限制了其应用[21] [22]。而改进Rymaszewski四探针法尽管简化了测量过程，但依然受到探针漂移和厚度的限制[23]。

关于非接触式电阻率测量方法的研究，逐渐受到重视。这类方法主要基于电容耦合、电感耦合或电磁场耦合的原理[24] [25]，包括19世纪中叶提出的涡流法[26]-[29]、2009年引入的等离子共振红外法[30]、以及2014年提出的微波扫描显微镜探头测试法[31]。然而，这些非接触测量方法通常成本较高，且设备及操作原理复杂，限制了其在实际应用中的普及和实用性[32] [33]。

本文提出了一种基于无接触式原理的新型导电材料电阻率测量方法，结合等值反磁通瞬变电磁测量系统，旨在实现对导电材料样品的高精度和高可靠性电阻率测量。

2. 方法原理

本文研究基于等值反磁通瞬变电磁法(简称OCTEM)，该方法的激发方式为感应式，采用了上、下两个大小相同、平行共轴的线圈如图1所示，分别向其通以大小相等、方向相反的电流作为发射源，在双线圈源合成的一次场零磁通的平面上接收标本的纯二次场响应[34]-[36]。

Figure 1. Schematic diagram of the device for the opposing coils transient electromagnetic method

图1. 等值反磁通瞬变电磁法装置示意图

根据OCTEM理论，垂直磁场变化率的表达式为：

$\frac{\partial h_z}{\partial t}=\frac{{\text{μ}}_0^{2}I{a}^{2}d{\sigma }^2}{9\sqrt{\text{π}}}{t}^{-3}$ (1)

其中I为发射电流(单位A)；$a$ 为发射线圈半径(单位m)；$\sigma$ 为标本电导率(单位$\Omega \cdot \text{m}$ )；${\mu }_0$ 为空气磁导率(单位H/m)；$t$ 为时间(单位s)；$d$ 为等值反磁通发送线圈垂直距离(单位m)，中心回线装置的垂直磁场变化率与标本电导率是平方关系。但是瞬变电磁的早期信号电磁振荡严重，为此构建早期可信时刻线：

$\begin{array}{ccc}早期可信时刻线：& & f_1\end{array}\left(t\right)=t^{\tan \left(\alpha +\beta \right)}\times \left[-6\times \log \left(10\right)-\log \left(50\right)\times \tan \left(\alpha +\beta \right)\right]$ (2)

另外，标本电阻率变化范围大，衰减幅度不同，为了保障测量信号的高信噪比，构建晚期可信时刻线：

$\begin{array}{ccc}晚期可信时刻线：& & f_2\end{array}\left(t\right)=t^{\tan \alpha }\times \left[-6\times \log \left(10\right)-\log \left(50\right)\times \tan \alpha \right]$ (3)

Figure 2. Schematic diagram of the filled region within the confidence interval of the transient electromagnetic response curve of a metallic conducting specimen

图2. 金属导电标本瞬变电磁响应曲线在可信区间内的填充区域示意图

在双对数坐标下，金属导电标本瞬变电磁响应曲线如图2所示，联立式(1)、式(2)、式(3)，图2中两条直线和金属导电标本瞬变电磁响应曲线的交点A和交点B满足如下方程：

$\text{A(}{t}_1\text{, }{ƒ}_1\text{(}{t}_1\text{)):}\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{c}{ƒ}_1\left(t_1\right)=t_1{}^{\tan \left(\alpha +\beta \right)}\times [-6\times \log \left(10\right)-\log \left(50\right)\times \tan \left(\alpha +\beta \right)]\\ {ƒ}_1\left(t_1\right)=\left(n\times S\right)\times \frac{{\text{μ}}_0^{2}I{a}^{2}d{\sigma }^2}{9\sqrt{\text{π}}}{t}_1{}^{-3}\begin{array}{ccc}& & \begin{array}{ccc}& & \begin{array}{ccc}& & \end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ (4)

$\text{B}\left(t_2\text{, }{ƒ}_2\left(t_2\right)\right)\text{:}\begin{array}{cc}& \{\begin{array}{c}{ƒ}_2\left(t_2\right)=t_2{}^{\tan \alpha }\times \left[-6\times \log \left(10\right)-\log \left(50\right)\times \tan \alpha \right]\\ {ƒ}_2\left(t_2\right)=\left(n\times S\right)\times \frac{{\text{μ}}_0^{2}I{a}^{2}d{\sigma }^2}{9\sqrt{\text{π}}}{t}_2{}^{-3}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& & \end{array}\end{array}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}$ (5)

计算填充区域的“面积”，定义为该金属导电标本的电阻率灵敏系数$K_{\rho }$ ，计算公式为：

(6)

注意，此时$t_1$ 和$t_2$ 表示双对数坐标系下A和B两点距离纵坐标轴的距离。

通过计算多种标本的电阻率灵敏系数，建立电阻率灵敏系数$K_{\rho }$ 和电阻率$\rho$ 的拟合模型，得到电阻率与其灵敏系数之间的数学关系式：

$\rho =f\left(K_{\rho }\right)$ (7)

3. 样本响应曲线采集

实验使用尺寸规格一致的六块样本，包括用作计算逼近函数的四块标本：铜、铁、铝、钨，以及用作误差评估的两块合金导电材料标本：Alloy #3、Alloy #5，规格大小均为30 mm × 30 mm × 15 mm。

标本瞬变电磁响应数据通过使用HPTEM-18型高精度瞬变电磁系统测量获取，将系统各组件连接良好，天线水平放置，选取一块标本置于天线下方，观测导电标本瞬变电磁响应曲线的具体布置如图3所示。

接着依次完成对环境噪声、铜、铁、铝、钨以及导电材料等标本的电磁响应的多次测量，最终得到七条瞬变电磁响应曲线如图4所示。

除去噪声后，各标本的真实电磁响应曲线如图5所示。

Figure 3. Schematic layout of the observation device

图3. 观测装置布置示意图

Figure 4. Transient electromagnetic response curves for noise and metal conductive specimens

图4. 噪声和金属导电标本的瞬变电磁响应曲线图

Figure 5. Transient electromagnetic response curves of metal conductive specimens after denoising

图5. 去噪后的金属导电标本瞬变电磁响应曲线图

根据传统方式估算六块标本的电阻率：

$\rho =\frac{1.27\times {10}^{-7}S}{\tau }$ (8)

式中$\tau$ 为时间常数，S为导体截面积，时间常数$\tau$ 估算公式：

$\tau =\left|\frac{\Delta t}{2.3\Delta \log \left(v\right)}\right|=\left|\frac{t_2-t_1}{2.3\left(\log \left(v_2\right)-\log \left(v_1\right)\right)}\right|$ (9)

式中t为晚期瞬变电磁响应衰减时间，$v_1$ 和$v_2$ 是在时间$t_1$ 和$t_2$ 时刻的瞬变场幅值。传统方法估算得到的电阻率以及真实电阻率如表1所示，可以看到，表中铜、铁、铝、钨标本的估算电阻率与真实电阻率较为接近，电阻率的大小顺序展示得十分明确，较为准确地估算出了3号和5号合金的电阻率大小。

Table 1. Table of real and estimated resistivity of specimens

表1. 标本真实电阻率和估算电阻率表

Specimen Identification	Real Resistivity $\rho /\left({10}^{-8}\Omega ·\text{m}\right)$	Estimated resistivity $\rho /\left({10}^{-8}\Omega ·\text{m}\right)$
Aluminum (Al)	2.65	3.57
Tungsten (W)	5.6	3.92
Iron (Fe)	10	4.74
Copper (Cu)	1.68	2.66
Alloy #3		9.58
Alloy #5		6.25

4. 计算应用

(a) Cu; (b) Fe; (c) Al; (d) W; (e) Alloy #3; (f) Alloy #5.

Figure 6. Schematic diagram of metal conductive specimen filling areas

图6. 6种金属导电标本填充区域图

对各标本的瞬变电磁响应曲线的初步分析，设定$\alpha ={30}^{\circ }$ ，$\beta ={45}^{\circ }$ ，划出各标本的有用信号窗口并填充如图6所示。

计算上述各导电标本填充区域的面积，也即各标本的电阻率灵敏系数，通过数学积分求和的方法计算得到各标本的电阻率灵敏系数，将铜、铁、铝、钨四块导电标本作为测试组，两块合金导电材料标本Alloy #3、Alloy #5作为验证组(如表2所示)。

Table 2. Specimen grouping and resistivity sensitivity factor table

表2. 标本分组和电阻率灵敏系数表

Specimen Identification	Resistivity Sensitivity Coefficient	Groups
Aluminum (Al)	$2.8885\times {10}^6$	Test Group
Tungsten (W)	$2.5334\times {10}^6$	Test Group
Iron (Fe)	$2.1472\times {10}^6$	Test Group
Copper (Cu)	$3.0405\times {10}^6$	Test Group
Alloy #3	$\text{2}\text{.2136}\times {10}^6$	Validation Group
Alloy #5	$\text{2}\text{.5035}\times {10}^6$	Validation Group

接着，为构建电阻率和电阻率灵敏系数之间的逼近函数数学表达式，采用最小二乘方法：

${\Vert \delta \Vert }_2^2={\displaystyle \sum _{i=0}^3{\delta }_i^2}=\min {\displaystyle \sum _{i=0}^3{\left[f\left(K_{\rho }\right)-{\rho }_i\right]}^2}$ (1)

上式的基函数：

$f\left(K_{\rho }\right)=a\times {\left(K_{\rho }\right)}^b$ (2)

得到逼近函数表达式：

$\rho =f\left(K_{\rho }\right)=4.793\times {10}^{20}\times {\left(K_{\rho }\right)}^{-4.37}$ (3)

为全面评估逼近函数的逼近效果，使用误差平方和(Sum of square error，简称SSE)、决定系数($R^2$ )、校正决定系数(Adjusted $R^2$ )、均方根误差(Root Mean Square Error，简称RMSE)四个参数作为评价指标(如表3所示)。可以看到，评价指标$R^2$ ：0.9976和Adjusted $R^2$ ：0.9952都趋近1，表明逼近函数的拟合效果较好。SSE和RMSE的数值均接近于0，表明模型选择与拟合的优异性，这一结果显示出模型在对数据的解释和预测方面具有较高的准确性与可靠性。

Table 3. Evaluation table of the approximation effect of the test group approximation function

表3. 测试组逼近函数的逼近效果评价表

Approximation Effect Evaluation Parameters	SSE	$R^2$	Adjusted $R^2$	RMSE
Value	$\text{7}\text{.827}\times {10}^{-17}$	0.9813	0.972	$\text{6}\text{.256}\times {10}^{-9}$

通过上述步骤得到的逼近曲线如图7所示，图中黑色曲线为逼近曲线，四个黑色雪花为测试组数据$\left\{\left[{\left(K_{\rho }\right)}_i,{\rho }_i\right],i=0,1,2,3\right\}$ ，黑色实心圆为验证组通过式(10)计算得到的数据点。

最后，根据式(10)计算验证组的电阻率，其中合金导电标本Alloy #3电阻率：

$\rho \left(Alloy\#3\right)=\text{4}\text{.793}\times {\text{10}}^{20}\times {\left(\text{2}\text{.2136}\times {\text{10}}^6\right)}^{\text{-4}\text{.37}}=\text{8}\text{.9645}\times {\text{10}}^{-8}\left(\Omega \cdot m\right)$

合金导电标本Alloy #5电阻率：

$\rho \left(Alloy\#5\right)=\text{4}\text{.793}\times {\text{10}}^{20}\times {\left(\text{2}\text{.5035}\times {\text{10}}^6\right)}^{\text{-4}\text{.37}}=\text{5}\text{.2355}\times {\text{10}}^{-8}\left(\Omega \cdot m\right)$

Figure 7. Test and validation group data and approximation curves

图7. 测试组和验证组数据以及逼近曲线图

将导电标本的真实电阻率和计算得到的预测电阻率进行对比和分析，通过均方根误差评估测量效果，验证组均方根误差计算公式：

$RMSE=\sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^1{\left\{{\rho }_{\text{empirical value},i}-f\left[{\left(K_{\rho }\right)}_i\right]\right\}}^2}}{2}}$ (4)

计算得到均方根误差：$\text{8}\text{.391}\times {10}^{-9}$ ，而铜、铁、铝、钨四块导电标本的估算电阻率和真实电阻率的均方根误差：$\text{2}\text{.8415}\times {10}^{-8}$ ，较验证组均方根误差大。

4. 结论

通过理论公式推导、计算比对以及合金样本电阻率测试分析得出以下结论：

1) 基于OCTEM方法二次场响应曲线和早晚最可信时刻线的扇形面积作为标本电阻率灵敏系数，有效提高了直接采用二次场响应计算电阻率的精度和可靠性。

2) 采用最小二乘拟合方法得到标本电阻率与灵敏系数的逼近函数，通过逼近函数计算得到的样本的电阻率与真实电阻率的RMSE到了10⁻⁹量级。

基于OCTEM的导电材料电阻率测量装置简易，操作方便，成本低，可满足室内和野外的需求，为新型导电材料的电性特性分析提供了一种新思路。

基金项目

国家重点研发计划资助项目(2022YFC2903404)，中国电建基础研究计划资助项目(DJ-HXGG-2023-16)。