一类具有时空时滞的“食物有限”种群模型的波前解的局部稳定性

Local Stability of Traveling Wavefronts for a “Food-Limited” Population Model with Spatio-Temporal Delay

摘要: 本文主要研究了一类具有时空时滞的“食物有限”种群模型的波前解的稳定性。利用线性化算子的谱分析，证明了波前解在有界一致连续函数空间中是不稳定的。但是，当波前解的初始扰动属于某个指数加权函数空间时，波前解是渐近稳定的。

Abstract: This paper is concerned with the stability of traveling wavefronts for a “food-limited” population model with spatio-temporal delay. By the spectral analysis of the linearized operators, we show that the traveling wavefronts are essentially unstable in the space of bounded and uniformly continuous functions. However, if the initial perturbations of the traveling wavefronts belong to certain exponential weighted spaces, then we prove that the traveling wavefronts are asymptotically stable in the exponential weighted spaces.

1. 引言

本文主要考虑如下的“食物有限”种群模型

$\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u\left(x,t\right)}{\partial x^2}+u\left(x,t\right)\left(\frac{1-\left(f\ast u\right)\left(x,t\right)}{1+\gamma \left(f\ast u\right)\left(x,t\right)}\right),x\in \Re ,t\ge 0,$ (1.1)

其中，$u\left(x,t\right)$ 表示在空间位置$x$ 和时刻$t$ 处的单个物种的生物种群密度，参数$\gamma >0$ 。卷积项$f\ast u$ 定义为

$\left(f\ast u\right)\left(x,t\right):={\displaystyle {\int }_{-\infty }^t{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x-y,t-s\right)u\left(y,s\right)dyds}},$ (1.2)

其中，核函数$f$ 满足

${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,t\right)}dxdt=1.$

经典的时滞“食物有限”种群模型考虑的都是生物种群个体过去一段时间对当前状态的影响，并没有考虑个体在过去所有时间的各个可能位置都会对当前状态产生影响，即时间–空间的非局部(又称时空时滞或非局部时滞)。基于空间加权平均思想[1]和特征线方法[2]，可以将这种非局部归结为卷积项${\displaystyle {\int }_{-\infty }^t{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x-y,t-s\right)u\left(y,s\right)dyds}}$ 。因此，具有时空时滞的模型(1.1)更具实际意义[3]。数学上，非局部项$f\ast u$ 的出现可以显著地改变无非局部项的偏微分方程(1.1)的解的性质。因此，本文将探讨具有时空时滞的“食物有限”种群模型(1.1)的波前解的局部稳定性。显然，模型(1.1)具有常数稳态解$u\equiv 0$ 和$u\equiv 1$ 。

在空间齐次情行下，如果时滞不存在，则模型(1.1)的原型为如下方程

$\frac{du\left(t\right)}{dt}=ru\left(t\right)\frac{K-u\left(t\right)}{K+\gamma u\left(t\right)},$ (1.3)

其中，$u\left(t\right)$ 表示$t$ 时刻单个物种的生物种群密度，$r$ 是内禀增长率，$K$ 是环境容纳量，$r,K,\gamma$ 均为正数。方程(1.3)是Smith在文献[4]中首次提出的水蚤种群的数学模型，其推导和讨论可参看文献[5]。之后，该方程也被用于研究环境毒物对种群的影响[6]。把时滞引入(1.3)，则可得如下的时滞“食物有限”种群模型

$\frac{du\left(t\right)}{dt}=ru\left(t\right)\frac{K-u\left(t-\tau \right)}{K+\gamma u\left(t-\tau \right)}，\tau >0.$ (1.4)

Gopalsamy等人在[7]中证明了如果$r\tau e^{r\tau }<1$ ，则(1.4)的正平衡解$u=K$ 是全局稳定的。在文献[8]中，他们进一步研究了系数$r$ 和$\gamma$ 为$t$ 的周期函数的情形。So和Yu在文献[9]中对更一般的时滞“食物有限”种群模型证明了解的全局稳定性。

目前，已经有很多工作致力于研究具有空间扩散的“食物有限”模型[3] [10]-[13]。1999年，Feng和Lu [11]研究了标量时滞反应扩散方程

$\frac{\partial u\left(x,t\right)}{dt}-Au\left(x,t\right)=r\left(x\right)u\left(x,t\right)\frac{K\left(x\right)-au\left(x,t\right)-bu\left(x,t-\tau \right)}{K\left(x\right)+a\gamma \left(x\right)u\left(x,t\right)+b\gamma \left(x\right)u\left(x,t-\tau \right)}，$ (1.5)

其中，$x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in \Omega \subset R^n，$ $\Omega$ 是有界的，算子

$A={\displaystyle \sum _{i,j=1}^n{\alpha }_{i,j}\left(x\right)}\frac{{\partial }^2}{\partial x_i{x}_j}+{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\beta }_j\left(x\right)}\frac{\partial }{\partial x_j}$

是一致强椭圆的，其系数函数在$\overline{\Omega }$ 中一致Hölder连续。显然，这包括通常在反应扩散方程中看到的算子$A={\nabla }^2$ (拉普拉斯算子)。后来，Feng和Lu [12]进一步研究了时滞和无时滞的“食物有限”模型(1.5)，在一般边界条件下(包括零–狄利克雷和零–诺伊曼边界条件)，建立了非零稳态(可能与$x$ 有关)的全局收敛结果。

众所周知，在反应扩散方程的研究中，行波解得到了学者们的广泛关注。这是因为它可以很好地呈现方程解的振荡现象以及扰动以有限速度传播的现象，参见[14]。数学上，行波解是方程的一类特殊的解，形如$u\left(x,t\right)=\phi \left(x-ct\right)$ ，其中$c$ 为传播速度，$\phi$ 表示波形或波廓。这类解是一类在空间中以常数波速沿一定方向传播且波形保持不变的解。如果选取核函数$f$ 为

$f\left(x,t\right)=\delta \left(x\right)\delta \left(t-\tau \right),$

其中$\delta (x)$ 为狄拉克delta函数，Gourley在文献[10]中证明了对于任意的$c>2$ ，存在一个${\tau }^{\ast }>0$ ，使得当$\tau <{\tau }^{\ast }$ 时，模型(1.1)存在连接平衡点$0$ 和平衡点$1$ 的单调波前解。他所采用的方法为Wu和Zou在[15]中提出的上下解方法。对于弱时滞核，

$f\left(x,t\right)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{4t}}\frac{1}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }},$ (1.6)

Gourley和Chaplain在[3]中证明了当$c\ge 2$ 和$\tau >0$ 足够小时，模型(1.1)存在单调波前解。Wang和Li在[13]中通过选择4个特殊核函数，分别建立了模型(1.1)的单调波前解存在的标准。对于强时滞核，

$f\left(x,t\right)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{4t}}\frac{t}{{\tau }^2}{e}^{-\frac{t}{\tau }},$ (1.7)

Wei等人[16]利用几何奇异摄动理论和Fredholm二择一定理(见[17])建立了模型(1.1)的波前解的存在性，并利用标准的渐近理论得到了波前解的渐近行为。其他关于时空时滞方程行波解的存在性的研究，读者可以参见文献[18]-[21]。

据我们所知，具有时滞核(1.6)或(1.7)的“食物有限”种群模型(1.1)的波前解的稳定性，目前还没有相关结果。在过去的几十年里，人们已经对反应扩散方程的行波解的稳定性进行了广泛的研究，参考文献[22]-[32]。本文将采用谱分析的方法来研究具有时滞核(1.6)的模型(1.1)的单稳波前解的稳定性。首先利用线性链技术将非局部时滞方程(1.1)转化为无时滞的二维系统，然后研究无时滞系统的波前解在无穷远处的渐近行为，最后，证明模型(1.1)的单稳波前解的稳定性。研究结果表明，模型(1.1)的单稳波前解在有界一致连续函数空间中是不稳定的，但是，在某些指数加权空间中是稳定的。

本文的其余部分组织如下。第2节给出一些预备知识，并陈述主要的结果。第3节讨论模型(1.1)的波前解的渐近行为。第4节致力于研究模型(1.1)的波前解的局部稳定性。

2. 预备知识和主要结果

本节给出一些预备知识，并陈述局部不稳定和稳定性结果。令$v\left(x,t\right):=\left(f\ast u\right)\left(x,t\right).$ 易得$v\left(x,t\right)$ 满足

$\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{1}{\tau }\left(u-v\right).$

则积分微分方程(1.1)可以改写为

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+u\left(\frac{1-v}{1+\gamma v}\right),\\ \frac{\partial v}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{1}{\tau }\left(u-v\right).\end{array}$ (2.1)

显然，系统(2.1)不是一个时滞系统。很容易看出，如果$u$ 是(1.1)的解，则$(u,v)$ 是(2.1)的解。反之，如果$(u,v)$ 是(2.1)的解，则$u$ 是(1.1)的解。

相应地，(1.1)的平衡点$0$ 和$1$ 变为(2.1)的$\left(0,0\right)$ 和$\left(1,1\right)$ 。系统(2.1)的行波解是形如$\left(u,v\right)\left(x,t\right)=\left(U,V\right)\left(z\right)$ 的解，其中$z=x-ct$ 。通常，称$c$ 为波速，$\left(U,V\right)$ 为波廓。如果$U$ 和$V$ 都是单调的，则$\left(U,V\right)\left(z\right)$ 被称为波前解。将$\left(u,v\right)\left(x,t\right)=\left(U,V\right)\left(z\right)$ 代入系统(2.1)中，得到如下具有渐近边界条件的波廓系统

$\{\begin{array}{c}0=U^{″}\left(z\right)+c{U}^{\prime }\left(z\right)+U\left(\frac{1-V}{1+\gamma V}\right),\\ 0=V^{″}\left(z\right)+c{V}^{\prime }\left(z\right)+\frac{1}{\tau }\left(U-V\right),\\ \left(U,V\right)\left(-\infty \right)=\left(1,1\right),\left(U,V\right)\left(+\infty \right)=\left(0,0\right).\end{array}$ (2.2)

系统(2.2)的单调解的存在性已由Gourley和Chaplain在文献[3] [定理2.2]中被证明，也可以参考[13] [注3.20]。

引理2.1 对任意固定的$c\ge 2$ ，当时滞$\tau >0$ 充分小时，系统(2.2)存在一个单调递减的波前解$\left(U,V\right)\left(x-ct\right)$ 。

我们将$\left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)$ 的系统(2.1)重新改写为具有移动坐标$z=x-ct$ 的$\left(\tilde{u}\left(x,t\right),\tilde{v}\left(x,t\right)\right)=\left(u\left(z+ct,t\right),v\left(z+ct,t\right)\right)\equiv \left(u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)\right)$ 的系统，并为了方便起见，去掉波浪线，

$\{\begin{array}{l}{u}_t=u_{zz}+c{u}_z+u\left(\frac{1-v}{1+\gamma v}\right),\\ v_t=v_{zz}+c{v}_z+\frac{1}{\tau }\left(u-v\right).\end{array}$ (2.3)

显然，(2.2)的解$\left(U,V\right)$ 是(2.3)的稳态解。下面将定义一些下文需考虑的函数空间。

定义2.2定义$B\cup C\left(R\right):=\left\{p：R\to R^2|{\rm P}是有界且一致连续的\right\}$ ，其具有上确界范数$\text{||}\cdot {\text{||}}_{\infty }$ 和

$B\cup C_{\sigma }\left(R\right):=\left\{p：R\to R^2|p\left(z\right),\left(1+e^{\sigma z}\right)p\left(z\right)\in B\cup C\left(R\right)\right\},$

其中$\sigma >\text{0}$ 常数。$\text{B}\cup {\text{C}}_{\sigma }\left(R\right)$ 上定义加权范数如下

${\Vert p\Vert }_{\sigma }:=\underset{z\in R}{\sup }\left|\left(1+e^{\sigma z}\right)p\left(z\right)\right|.$

显然，当$\sigma =0$ 时，$\text{B}\cup {\text{C}}_{\sigma }\left(R\right)=$ $\text{B}\cup \text{C}\left(R\right)$ 。当$\sigma >0$ 时，加权函数空间$\text{B}\cup {\text{C}}_{\sigma }\left(R\right)$ 比函数空间$\text{B}\cup \text{C}\left(R\right)$ 要小。

定理2.3 假设$\tau$ 充分小，初始函数$\left(u\left(x,0\right),v\left(x,0\right)\right)=\left(u_0\left(x\right),v_0\left(x\right)\right)$ 满足$\left(0,0\right)\le \left(u_0\left(x\right),v_0\left(x\right)\right)\le \left(1,1\right)$ 。则下面的断言成立。

(1) 波速为$c>2$ 的波前解$\left(U,V\right)$ 在空间$B\cup C\left(R\right)$ 中关于范数${\Vert \cdot \Vert }_{\infty }$ 是不稳定的。

(2) 波速为$c>2$ 的波前解$\left(U,V\right)$ 在空间$B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ 中关于范数${\Vert \cdot \Vert }_{\sigma }$ 是指数稳定的，其中$\sigma$ 是正常数满足

$\frac{c-\sqrt{c^2-4}}{2}<\sigma <\frac{c+\sqrt{c^2-4}}{2}.$ (2.4)

即如果存在充分小的$\delta >0$ ，使得对于任意$\left(u_0,v_0\right)(\cdot )\in B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ 满足$\left(u_0(\cdot ),v_0(\cdot )\right)-\left(U(\cdot ),V(\cdot )\right)\in \left(B\cup C_{\sigma }\left(R\right)\right)$ 和${\Vert \left(u_0(\cdot ),v_0(\cdot )\right)-\left(U(\cdot ),V(\cdot )\right)\Vert }_{\sigma }<\delta$ ，则系统(2.3)的初值为$\left(u_0\left(x\right),v_0\left(x\right)\right)$ 的唯一解$\left(u\left(z,t\right),v\left(z,t\right)\right)$ 满足$\left(u\left(\cdot ,t\right),v\left(\cdot ,t\right)\right)-\left(U(\cdot ),V(\cdot )\right)\in B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ 且

${\Vert \left(u\left(\cdot ,t\right),v\left(\cdot ,t\right)\right)-\left(U(\cdot ),V(\cdot )\right)\Vert }_{\sigma }\le k{e}^{-lt},\forall t\ge 0.$

这里，$k$ 和$l$ 是与初值$\left(u_0\left(x\right),v_0\left(x\right)\right)$ 无关的正常数。

3. 波前解的渐近行为

众所周知，系统(2.1)的波前解$\left(U,V\right)$ 在$\pm \infty$ 的渐近行为将决定其在加权函数空间$B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ 中的稳定性。因此，本节通过标准渐近理论(参见，例如Smith和Zhao [30]和Lv和Wang [33])建立波前解$\left(U,V\right)$ 的渐近行为。

在系统(2.2)中，对$z$ 求导可得

$\{\begin{array}{l}{U^{″}}_1+c{U^{\prime }}_1+U_1\left(\frac{1-V}{1+\gamma V}\right)-\frac{\left(1+\gamma \right)V_{1}U}{{\left(1+\gamma V\right)}^2}=0,\\ {V^{″}}_1+c{V^{\prime }}_1+\frac{1}{\tau }\left(U_1-V_1\right)=0.\end{array}$ (3.1)

因为$U\left(+\infty \right)=V\left(+\infty \right)=0$ ，所以系统(3.1)在$z\to +\infty$ 时的极限系统为

$\{\begin{array}{l}{U^{″}}_{1+}+c{U^{\prime }}_{1+}+U_{1+}=0,\\ {V^{″}}_{1+}+c{V^{\prime }}_{1+}+\frac{1}{\tau }\left(U_{1+}-V_{1+}\right)=0.\end{array}$ (3.2)

设

${U^{\prime }}_{1+}=U_{2+},{V^{\prime }}_{1+}=V_{2+}.$

则系统(3.2)可以被改写为如下系统

$\{\begin{array}{l}{U^{\prime }}_{1+}=U_{2+},\\ {U^{\prime }}_{2+}=-U_{1+}-c{U}_{2+},\\ {V^{\prime }}_{1+}=V_{2+},\\ {V^{\prime }}_{2+}=-c{V}_{2+}-\frac{1}{\tau }\left(U_{1+}-V_{1+}\right).\end{array}$ (3.3)

令$Z_{+}={\left(U_{1+},U_{2+},V_{1+},V_{2+}\right)}^T$ 。则系统(3.3)可以改写为如下的向量微分方程

${Z^{\prime }}_{+}=A{Z}_{+},$ (3.4)

其中，

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& -c& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -\frac{1}{\tau }& 0& \frac{1}{\tau }& -c\end{array}\right).$

求解系统(3.4)，可得

$Z_{+}={\left(U_{1+},U_{2+},V_{1+},V_{2+}\right)}^T={\displaystyle \sum _{i=1}^4{c}_i}{\varphi }_i{e}^{{\Lambda }_{iz}},$ (3.5)

其中，

$\begin{array}{l}{\Lambda }_1=\frac{-c+\sqrt{c^2-4}}{2}<0，{\Lambda }_2=\frac{-c-\sqrt{c^2-4}}{2}<0,\\ {\Lambda }_3=\frac{-c+\sqrt{c^2+\frac{4}{\tau }}}{2}>0，{\Lambda }_4=\frac{-c-\sqrt{c^2+\frac{4}{\tau }}}{2}<0,\\ \end{array}$

${\varphi }_i=\left(i=1,2,3,4\right)$ 是矩阵$A$ 的对应特征值为${\Lambda }_i$ 的特征向量，且$c_i$ 是任意的常数。因为当$z\to +\infty$ 时，

${\left(U_{1+},U_{2+},V_{1+},V_{2+}\right)}^T\to {\left(0,0,0,0\right)}^T,$

所以由(3.5)可得$c_3=0$ ，且

${\left(U_{1+},U_{2+},V_{1+},V_{2+}\right)}^T=c_1{\varphi }_1{e}^{{\Lambda }_{1}z}+c_2{\varphi }_2{e}^{{\Lambda }_{2}z}+c_4{\varphi }_4{e}^{{\Lambda }_{4}z}.$

因此，可以得到如下的当$z\to +\infty$ 时的渐近行为：

$\left(\begin{array}{c}{U}_1\left(z\right)\\ V_1\left(z\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle {\sum }_{i=1,2,4}{\alpha }_i\left(m_i+o\left(1\right)\right)e^{{\Lambda }_{iz}}}\\ {\displaystyle {\sum }_{i=1,2,4}{\alpha }_i\left(n_i+o\left(1\right)\right)e^{{\Lambda }_{iz}}}\end{array}\right),$ (3.6)

其中$m_i,n_i\left(i=1,2,4\right)$ 为常数，且${\alpha }_i\left(i=1,2,4\right)$ 不能同时为零。这里声明(3.6)中的$m_i\ne 0$ 且$n_i\ne 0\left(i=1,2,4\right)$ 。如果特征向量${\varphi }_i$ 的第一个分量为零，则意味着矩阵$A$ 的其他分量为零。因此，得$m_i\ne 0$ 和$n_i\ne 0$ 。

类似地，由于$U\left(-\infty \right)=V\left(-\infty \right)=1$ ，则(3.1)在$z\to -\infty$ 时的极限系统为

$\{\begin{array}{l}{U^{″}}_{1-}+c{U^{\prime }}_{1-}-\frac{1}{1+\gamma }{V}_{1-}=0,\\ {V^{″}}_{1-}+c{V^{\prime }}_{1-}+\frac{1}{\tau }\left(U_{1-}-V_{1-}\right)=0.\end{array}$ (3.7)

设

${U^{\prime }}_{1-}=U_{2-},{V^{\prime }}_{1-}=V_{2-}$ .

然后将系统(3.7)改写为如下系统

$\{\begin{array}{l}{U^{\prime }}_{1-}=U_{2-},\\ {U^{\prime }}_{2-}=\frac{1}{1+\gamma }{V}_{1-}-c{U}_{2-},\\ {V^{\prime }}_{1-}=V_{2-},\\ {V^{\prime }}_{2-}=-c{V}_{2-}-\frac{1}{\tau }\left(U_{1-}-V_{1-}\right).\end{array}$ (3.8)

令$Z_{-}={\left(U_{1-},U_{2-},V_{1-},V_{2-}\right)}^T$ 。则系统(3.8)可以重新写为

$Z^{\prime }{}_{-}=B{Z}_{-},$ (3.9)

其中，

$B=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& -c& \frac{1}{1+\gamma }& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -\frac{1}{\tau }& 0& \frac{1}{\tau }& -c\end{array}\right).$

求解系统(3.9)，可得

$Z_{-}={\left(U_{1-},U_{2-},V_{1-},V_{2-}\right)}^T={\displaystyle \sum _{i=1}^4{d}_i}{\psi }_i{e}^{{\tilde{\Lambda }}_{iz}},$ (3.10)

其中，${\psi }_i=\left(i=1,2,3,4\right)$ 为矩阵$B$ 的对应特征值为${\tilde{\Lambda }}_i$ 的特征向量，且$d_i$ 是任意的常数。通过基本计算，

得到矩阵$B$ 的特征方程为

${\tilde{\Lambda }}^4+2c{\tilde{\Lambda }}^3+\left(c^2-\frac{1}{\tau }\right){\tilde{\Lambda }}^2-\frac{c}{\tau }{\tilde{\Lambda }}^{}+\frac{1}{\tau \left(1+\gamma \right)}=0.$ (3.11)

对于充分小的$\tau$ 和$c>2$ ，方程(3.11)有两个负实根，记为${\tilde{\Lambda }}_1，{\tilde{\Lambda }}_2，$ 和两个正实根，记为${\tilde{\Lambda }}_3<{\tilde{\Lambda }}_4$ 。由于当$z\to -\infty$ 时，${\left(U_{1-},U_{2-},V_{1-},V_{2-}\right)}^T\to {\left(1,0,1,0\right)}^T$ ，故我们得到负特征值的相关系数$d_i=0\left(i=1,2\right)$ 。于是，当$z\to -\infty$ 时，我们推导出以下渐近行为，

$\left(\begin{array}{c}{U}_1\left(z\right)\\ V_1\left(z\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle {\sum }_{i=3}^4{\tilde{\alpha }}_i\left({\tilde{m}}_i+o\left(1\right)\right)e^{{\tilde{\Lambda }}_{iz}}}\\ {\displaystyle {\sum }_{i=3}^4{\tilde{\alpha }}_i\left({\tilde{n}}_i+o\left(1\right)\right)e^{{\tilde{\Lambda }}_{iz}}}\end{array}\right),$ (3.12)

其中${\tilde{m}}_i,{\tilde{n}}_i\left(i=3,4\right)$ 为常数，且${\tilde{\alpha }}_i\left(i=3,4\right)$ 不能为零。基于上面的讨论，可以得到以下引理。

定理3.1 如果$c>2$ 且$\tau$ 充分小，则存在正常数$A_i$ 和$B_i\left(i=1,2\right)$ 使得系统(1.1)的满足(1.6)的波前解$\Phi \left(z\right)=\left(U\left(z\right),V\left(z\right)\right)$ 具有以下渐近性质

$\Phi \left(z\right)=\left(\begin{array}{c}\left(A_1+o\left(1\right)e^{\Lambda z}\right)\\ \left(A_2+o\left(1\right)e^{\Lambda z}\right)\end{array}\right),z\to +\infty$ (3.13)

和

$\Phi \left(z\right)=\left(\begin{array}{c}1-\left(B_1+o\left(1\right)e^{\tilde{\Lambda }z}\right)\\ 1-\left(B_2+o\left(1\right)e^{\tilde{\Lambda }z}\right)\end{array}\right),z\to -\infty ，$ (3.14)

其中$\Lambda \in \left\{{\Lambda }_1,{\Lambda }_2,{\Lambda }_4\right\}$ ，$\tilde{\Lambda }\in \left\{{\tilde{\Lambda }}_3,{\tilde{\Lambda }}_4\right\}$ 。

注3.2已知${\Lambda }_4<{\Lambda }_2<{\Lambda }_1<0$ ，于是，当$z\to +\infty$ 时，$e^{{\Lambda }_{1}z}$ 可以控制$e^{{\Lambda }_{i}z}{\left|z\right|}^n$ ，$i=2,4$ 和$0\le n\in Z$ 。因此，存在$A_1,A_2\in R^2$ (与${\Lambda }_1$ 相关)使得

$\Phi \left(z\right)=\left(\begin{array}{c}\left(A_1+o\left(1\right)\right)e^{{\Lambda }_{1}z}\\ \left(A_2+o\left(1\right)\right)e^{{\Lambda }_{1}z}\end{array}\right),z\to +\infty .$ (3.15)

已知$0<{\tilde{\Lambda }}_3<{\tilde{\Lambda }}_4$ ，则当$z\to -\infty$ 时，$e^{{\tilde{\Lambda }}_{3}z}$ 可以控制$e^{{\tilde{\Lambda }}_{4}z}{\left|z\right|}^n$ ，$0\le n\in Z$ 。因此，存在$B_1,B_2\in R^2$ (与${\tilde{\Lambda }}_3$ 相关)使得

$\Phi \left(z\right)=\left(\begin{array}{c}1-\left(B_1+o\left(1\right)e^{{\tilde{\Lambda }}_{3}z}\right)\\ 1-\left(B_2+o\left(1\right)e^{{\tilde{\Lambda }}_{3}z}\right)\end{array}\right),z\to -\infty ，$ (3.16)

可以证明$\Lambda ={\Lambda }_1$ 和$\tilde{\Lambda }={\tilde{\Lambda }}_3$ ，参考文献[13] [24]。

4. 波前解的稳定性

本节将分别证明系统(2.1)的波前解$\left(U,V\right)$ 在不同函数空间中的不稳定性和稳定性。定义

$\begin{array}{l}\Phi \left(z\right)={\left(U,V\right)}^T\left(z\right),\\ D=diag\left(1,1\right),0={\left(0,0\right)}^T,1={\left(1,1\right)}^T.\end{array}$

那么由(2.2)得，$\Phi$ 满足

$\{\begin{array}{c}D{\Phi }^{″}+c{\Phi }^{\prime }+F\left(\Phi \right)=0,\\ \Phi \left(-\infty \right)=1,\Phi \left(+\infty \right)=0,\end{array}$

其中$F={\left(F_1,F_2\right)}^T\in R^2$ 表示式(2.2)中的非线性项：

$F_1\left(\Phi \right)=U\left(\frac{1-V}{1+\gamma V}\right),F_2\left(\Phi \right)=\frac{1}{\tau }\left(U-V\right).$

系统(2.3)的围绕波前解$\Phi \left(z\right)$ 的线性化系统为

$\{\begin{array}{c}{\widehat{u}}_t={\widehat{u}}_{zz}+c{\widehat{u}}_z+\left(\frac{1-V}{1+\gamma V}\right)\widehat{u}-\left(\frac{U\left(1+\gamma \right)}{{\left(1+\gamma V\right)}^2}\right)\widehat{v},\\ {\widehat{v}}_t={\widehat{v}}_{zz}+c{\widehat{v}}_z+\frac{1}{\tau }\widehat{u}-\frac{1}{\tau }\widehat{v}.\end{array}$ (4.1)

设$p={\left(\widehat{u},\widehat{v}\right)}^T$ 。显然，系统(4.1)可以被改写$p_t=L\left[p\right]$ ，其中线性算子$L$ 定义为

$L\left[p\right]\left(z\right)=D{p}^{″}\left(z\right)+G_L\left(z\right)p^{\prime }\left(z\right)+H_L\left(z\right)p\left(z\right),$ (4.2)

其中，

$G_L\left(z\right)=c{I}_2=c\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),H_L\left(z\right)=F^{\prime }\left(\Phi \left(z\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1-V}{1+\gamma V}& \frac{U\left(-1-\gamma \right)}{{\left(1+\gamma V\right)}^2}\\ \frac{1}{\tau }& -\frac{1}{\tau }\end{array}\right).$

如果线性化算子$L$ 的谱包含在左半复平面上，且$0$ 为简单特征值，则行波解$\Phi \left(z\right)$ 为线性稳定，而如果$L$ 的谱中某些元素的实部为正，则行波解$\Phi \left(z\right)$ 是不稳定的。我们设$\sigma \left(L\right)$ 为$L$ 的谱，${\sigma }_n\left(L\right)$ 为$L$ 的正规谱，它包含有限重数的孤立特征值，${\sigma }_e\left(L\right):=\sigma \left(L\right)/{\sigma }_n\left(L\right)$ 为$L$ 的本质谱。${\sigma }_e\left(L\right)$ 的边界可以通过以下引理估计，参见文献[24] [34]。

引理4.1设$G_L^{\pm }:=G_L\left(\pm \infty \right),H_L^{\pm }:=H_L\left(\pm \infty \right)$ 和$S_L^{\pm }$ 为复平面上的曲线定义为

$S_L^{\pm }:=\left\{\lambda \in C|对某个\eta \in \Re ，\det \left(-{\eta }^{2}D+i\eta G_L^{\pm }+H_L^{\pm }-\lambda I_2\right)=0\right\}$

设$\Omega$ 为复平面上包含$\left\{\lambda \in C|Re\lambda >{\lambda }_0\right\}$ 的连通开集，其中${\lambda }_0$ 充分大，$S_L^{+}\cup S_L^{-}$ 为其边界。则有

$S_L^{+}\cup S_L^{-}\subset {\sigma }_e\left(L\right)\subset S_L^{+}\cup S_L^{-}\cup \left(C/\Omega \right).$

利用引理4.1，可以证明$\left(U,V\right)$ 在$B\cup C\left(R\right)$ 中是不稳定的。这意味着定理2.3 (i)成立。

引理4.2 $\left(U,V\right)$ 在$B\cup C\left(R\right)$ 中是不稳定的。

证明 易得

$\begin{array}{l}{G}_L^{\pm }:=G_L\left(\pm \infty \right)=c{I}_2,\\ H_L^{\pm }:=H_L\left(\pm \infty \right)=F^{\prime }\left(\Phi \left(\pm \infty \right)\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1-V^{\pm }}{1+\gamma V^{\pm }}& \frac{U^{\pm }\left(-1-\gamma \right)}{{\left(1+\gamma V^{\pm }\right)}^2}\\ \frac{1}{\tau }& -\frac{1}{\tau }\end{array}\right).\end{array}$

更准确地，

$H_L^{-}=\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{1+\gamma }\\ \frac{1}{\tau }& -\frac{1}{\tau }\end{array}\right),H_L^{+}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{\tau }& -\frac{1}{\tau }\end{array}\right).$

则可得

$-{\eta }^{2}D+i\eta G_L^{+}+H_L^{+}-\lambda I_2=\left(\begin{array}{cc}-{\eta }^2+i\eta c+1-\lambda & 0\\ \frac{1}{\tau }& -{\eta }^2+i\eta c-\frac{1}{\tau }-\lambda \end{array}\right)$

且

$-{\eta }^{2}D+i\eta G_L^{-}+H_L^{-}-\lambda I_2=\left(\begin{array}{cc}-{\eta }^2+i\eta c-\lambda & -\frac{1}{1+\gamma }\\ \frac{1}{\tau }& -{\eta }^2+i\eta c-\frac{1}{\tau }-\lambda \end{array}\right).$

由引理4.1，分别计算

$\det \left(-{\eta }^{2}D+i\eta G_L^{\pm }+H_L^{\pm }-\lambda I_2\right)=0$

可得$S_L^{\pm }$ 如下

$S_L^{+}=\left\{\lambda |\begin{array}{c}Re\lambda =-{\left(\frac{Im\lambda }{c}\right)}^2+1\\ Re\lambda =-{\left(\frac{Im\lambda }{c}\right)}^2-\frac{1}{\tau }\end{array}\right\}$

和

$S_L^{-}=\left\{\lambda |\begin{array}{c}Re\lambda =-{\left(\frac{Im\lambda }{c}\right)}^2-\frac{1}{2\tau }+\frac{\sqrt{\frac{1}{{\tau }^2}-\frac{4}{\tau }\frac{1}{1+\gamma }}}{2}\\ Re\lambda =-{\left(\frac{Im\lambda }{c}\right)}^2-\frac{1}{2\tau }-\frac{\sqrt{\frac{1}{{\tau }^2}-\frac{4}{\tau }\frac{1}{1+\gamma }}}{2}\end{array}\right\}.$

事实上，若$\det \left(-{\eta }^{2}D+i\eta G_L^{+}+H_L^{+}-\lambda I_2\right)=0$ ，则

$-{\eta }^2+i\eta c+1-\lambda =0$ 或$-{\eta }^2+i\eta c-\frac{1}{\tau }-\lambda =0.$

即，$-{\eta }^2+i\eta c+1-\mathrm{Re}\lambda -i\mathrm{Im}\lambda =0$ 或$-{\eta }^2+i\eta c-\frac{1}{\tau }-\mathrm{Re}\lambda -i\mathrm{Im}\lambda =0.$ 由第一个等式可得，$\mathrm{Re}\lambda =-{\eta }^2+1$ 和$\mathrm{Im}\lambda =\eta c$ 。从$\mathrm{Im}\lambda =\eta c$ 解得$\eta =\frac{\mathrm{Im}\lambda }{c}$ ，并把它带入$\mathrm{Re}\lambda =-{\eta }^2+1$ 得$\mathrm{Re}\lambda =-{\left(\frac{\mathrm{Im}\lambda }{c}\right)}^2+1$ 。同理，由第二等式可得$\mathrm{Re}\lambda =-{\left(\frac{\mathrm{Im}\lambda }{c}\right)}^2-\frac{1}{\tau }$ 。由引理4.1，本质谱${\sigma }_e\left(L\right)$ 包含在四条

抛物线$S_L^{\pm }$ 及其围出的内部区域。易得

$\underset{\lambda \in {\sigma }_e\left(L\right)}{\sup }Re\lambda =\max \left\{1,-\frac{1}{\tau },-\frac{1}{2\tau }+\frac{\sqrt{\frac{1}{{\tau }^2}-\frac{4}{\tau }\frac{1}{1+\gamma }}}{2}，-\frac{1}{2\tau }-\frac{\sqrt{\frac{1}{{\tau }^2}-\frac{4}{\tau }\frac{1}{1+\gamma }}}{2}\right\}>0.$

因此，由文献[35]中第5章的定理3.1可得$\left(U,V\right)$ 在Lyapunov意义下在空间$B\cup C\left(R\right)$ 中是不稳定的。证毕。

接下来，将证明系统(2.1)的波前解$\left(U,V\right)$ 在加权函数空间$B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ (其中$\sigma >0$ )中是稳定的。定义算子$T:B\cup C_{\sigma }\left(R\right)\to B\cup C\left(R\right)$ 如下：

$Tp\left(z\right)=\left(1+e^{\sigma z}\right)p\left(z\right).$

进一步，我们定义

$\tilde{L}：=TL{T}^{-1}.$ (4.3)

如果$L:B\cup C_{\sigma }\left(R\right)\to B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ ，则$\tilde{L}：B\cup C\left(R\right)\to B\cup C\left(R\right)$ 。易见，$\sigma \left(L\right)=\sigma \left(\tilde{L}\right)$ 。因此，在研究$B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ 中的谱问题时，总是考虑$\tilde{L}p=\lambda p$ ，$p\in B\cup C\left(R\right)$ 。正如[35]中所示，$\tilde{L}$ 可以表示为

$\tilde{L}p=D{p}^{″}+G_{\tilde{L}}\left(z\right)p^{\prime }+H_{\tilde{L}}\left(z\right)p,$

其中$p={\left(\widehat{u},\widehat{v}\right)}^T$ ，

$G_{\tilde{L}}\left(z\right)=c{I}_2-2g_1\left(z\right)D,H_{\tilde{L}}\left(z\right)=h_1\left(z\right)D-c{g}_1\left(z\right)I_2+H_L\left(z\right)$

和

$g_1\left(z\right)=\frac{\sigma e^{\sigma z}}{1+e^{\sigma z}},h_1\left(z\right)=\frac{{\sigma }^2{e}^{\sigma z}\left(e^{\sigma z}-1\right)}{{\left(1+e^{\sigma z}\right)}^2}.$

引理4.3如果$\sigma$ 满足(2.4)，则${\sup }_{\lambda \in {\sigma }_e\left(\tilde{L}\right)}Re\lambda <0$ 。

证明 定义

$S_{\tilde{L}}^{\pm }:=\left\{\lambda \in C|\det \left(-{\eta }^{2}D+i\eta G_{\tilde{L}}^{\pm }+H_{\tilde{L}}^{\pm }-\lambda I_2\right)=0\right\},$

其中$G_{\tilde{L}}^{\pm }:=G_{\tilde{L}}\left(\pm \infty \right),H_{\tilde{L}}^{\pm }:=H_{\tilde{L}}\left(\pm \infty \right)$。则由(4.4)式可以得到

$\begin{array}{l}{g}_1\left(z\right)\to \sigma ,h_1\left(z\right)\to {\sigma }^2当z\to +\infty ,\\ g_1\left(z\right)\to 0,h_1\left(z\right)\to 0当z\to -\infty .\end{array}$

这意味着当$z\to -\infty$ 时，权重不起作用。因此，我们有

$G_{\tilde{L}}^{-}=c{I}_2,H_{\tilde{L}}^{-}=\left(\begin{array}{cc}0& -\frac{1}{1+\gamma }\\ \frac{1}{\tau }& -\frac{1}{\tau }\end{array}\right)$

和

$G_{\tilde{L}}^{+}=\left(c-2\sigma \right)I_2,H_{\tilde{L}}^{+}=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^2-c\sigma +1& 0\\ \frac{1}{\tau }& {\sigma }^2-c\sigma -\frac{1}{\tau }\end{array}\right).$

于是，可以得到

$\begin{array}{l}-{\eta }^{2}D+i\eta G_{\tilde{L}}^{+}+H_{\tilde{L}}^{+}-\lambda I_2\\ =\left(\begin{array}{cc}-{\eta }^2+i\eta \left(c-2\sigma \right)+{\sigma }^2-c\sigma +1-\lambda & 0\\ \frac{1}{\tau }& -{\eta }^2+i\eta (c-2\sigma )+{\sigma }^2-c\sigma -\frac{1}{\tau }-\lambda \end{array}\right)\end{array}$

和

$-{\eta }^{2}D+i\eta G_{\tilde{L}}^{-}+H_{\tilde{L}}^{-}-\lambda I_2=\left(\begin{array}{cc}-{\eta }^2+i\eta c-\lambda & -\frac{1}{1+\gamma }\\ \frac{1}{\tau }& -{\eta }^2+i\eta c-\frac{1}{\tau }-\lambda \end{array}\right).$

因此，

$S_{\tilde{L}}^{+}=\left\{\lambda |\begin{array}{c}Re\lambda =-{\left(\frac{Im\lambda }{c-2\sigma }\right)}^2+{\sigma }^2-c\sigma +1\\ Re\lambda =-{\left(\frac{Im\lambda }{c-2\sigma }\right)}^2+{\sigma }^2-c\sigma -\frac{1}{\tau }\end{array}\right\}$

且$S_{\tilde{L}}^{-}=S_L^{-}$ 。因此，本质谱${\sigma }_e\left(\tilde{L}\right)$ 包含在四个抛物线$S_{\tilde{L}}^{\pm }$ 所包围的区域中。对足够小$\tau$ ，为了得到${\sup }_{\lambda \in {\sigma }_e\left(\tilde{L}\right)}Re\lambda <0$ ，需要选择$\sigma$ 使$S_{\tilde{L}}^{+}$ 的抛物线的顶点小于$0$ 。由于(2.4)成立且$c>2$ ，故得${\sigma }^2-c\sigma +1<0$ 。因此，

$\max \left\{{\sigma }^2-c\sigma +1,{\sigma }^2-c\sigma -\frac{1}{\tau }\right\}<0.$

证毕。

根据引理4.3，${\sigma }_e\left(\tilde{L}\right)$ 的所有本质谱都有负实部。现在需要证明${\sigma }_n\left(\tilde{L}\right)$ 的所有正规谱都有负实部。

引理4.4如果$\sigma$ 满足(2.4)，则下列结论成立。

(i) 当$Re\lambda >0$ 时，不存在$\lambda \in {\sigma }_n\left(\tilde{L}\right)$ 。

(ii) $0\notin {\sigma }_n\left(\tilde{L}\right)$ 。

证明(i) 根据引理2.1，我们知道${\Phi }^{\prime }<0$ ，这意味着$w\left(z\right):=-\left(1+e^{\sigma z}\right){\Phi }^{\prime }\left(z\right)$ 是满足$\tilde{L}w=0$ 的正函数。由[35]的第4章的定理5.1得，当$Re\lambda >0$ 时，不存在$\lambda \in {\sigma }_n\left(\tilde{L}\right)$ 。

(ii) 由定理3.1和注3.2可得

$\Phi \left(z\right)=\left(\begin{array}{c}\left(A_1+o\left(1\right)\right)e^{{\Lambda }_{1}z}\\ \left(A_2+o\left(1\right)\right)e^{{\Lambda }_{1}z}\end{array}\right),z\to +\infty .$

由于$\sigma +{\Lambda }_1>0$ ，故有

$\underset{z\to +\infty }{\lim }\left(1+e^{\sigma z}\right){\Phi }^{\prime }\left(z\right)\ne 0.$

然后，应用[35]的第4章的定理5.1，我们得到$0\notin {\sigma }_n\left(\tilde{L}\right)$ 。证毕。

定理2.3 (ii) 的证明 如文献[35]的第5章中的引理2.1，利用${\left(\lambda I-\tilde{L}\right)}^{-1}$ 的预解估计，可以获得$\tilde{L}$ 生成一个解析半群$e^{t\tilde{L}}$ 。进一步，利用[35]的定理1.2或第5章的定理2.1所给出的标准理论：线性稳定性隐含着渐近稳定性，可得$\left(U,V\right)$ 在$B\cup C_{\sigma }\left(R\right)$ 中是无平移意义下指数稳定的。证毕。

注4.5定理2.3只得到了波速$c>2$ 的波前解的指数稳定性，但是波速$c=2$ 的波前解的稳定性依然是未知的，这是由于波速$c=2$ 的波前解具有不同的渐近行为。为了获得波速$c=2$ 的波前解的稳定性，需要考虑波的其他类型的扰动，选择更加合适的函数空间。该问题我们留待后文探讨。

基金项目

国家自然科学基金(12261081)。