一个修正的超粘性Navier-Stokes方程的Sobolev稳定性

The Sobolev Stability of a Modified Hyperviscous Navier-Stokes Equation

摘要: 本文主要考虑$T\times R$ 上的二维修正的超粘性Navier-Stokes方程，通过对方程进行线性化处理，揭示了其无粘阻尼特性以及增强耗散现象。进一步地，借助构造合适的权重函数，并运用Bootstrap论证方法，研究发现，当Couette流受到足够小的扰动时，混合增强耗散效应将显著发挥作用，解在时间$t\gg {\nu }^{\frac{1}{5}}$ 时收敛(其中$\nu$ 表示运动粘度系数)。因此，可以得出结论：具有初值的二维修正的超粘性Navier-Stokes方程的稳定性阈值不比${\nu }^{\frac{1}{2}}$ 差。

Abstract: This paper primarily investigates the two-dimensional modified hyperviscous Navier-Stokes equations on $T\times R$ . By linearizing the equations, we reveal their inviscid damping properties and enhanced dissipation phenomena. Furthermore, through the construction of appropriate weight functions and the application of the Bootstrap argument, we find that when the Couette flow is subjected to sufficiently small perturbations, the enhanced dissipation effect due to mixing becomes significant, and the solution converges in time at a rate of $t\gg {\nu }^{\frac{1}{5}}$ (where $\nu$ denotes the kinematic viscosity coefficient). Therefore, we can conclude that the stability threshold for the two-dimensional modified hyperviscous Navier-Stokes equations with initial values is no worse than that of ${\nu }^{\frac{1}{2}}$ .

1. 引言

在本文中，我们考虑二维超粘性Navier-Stokes方程

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u+u\cdot \nabla u+\nu {\Delta }^{2}u+u^2\left(\begin{array}{l}{u}^1\\ u^2\end{array}\right)=-\nabla P，\\ \nabla \cdot u=0，u\left(t=0\right)=u_{in}.\end{array}$ (1)

在区域$\Omega =\left\{\left(x,y\right)=T\times R\right\}$ 上，其中$\nu$ 表示运动粘度系数，流体速度$u=\left(u^1,u^2\right)$ ，$P$ 为压力，$T$ 的周期是$2\pi$ 。

首先，针对方程(1)，我们找到其解$\tilde{u}$ ，并将其视为Couette流$\left(y,0\right)$ 的扰动(方程中的扰动$u_{in}$ 足够小)。并定义解为

$\tilde{u}\left(t,x,y\right)=\left(y,0\right)+u\left(t,x,y\right).$

取$\omega ={\nabla }^{\perp }\cdot u={\partial }_x{u}^2-{\partial }_y{u}^1$ ，由(1)可知，Couette流周围的扰动的Navier-Stokes方程的涡度形式为

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t\omega +y{\partial }_x\omega +u\cdot \nabla \omega +u^2\omega +u\cdot {\nabla }^{\perp }{u}^2=-\nu {\Delta }^2\omega ，\\ \Delta \psi =\omega ，\\ u={\nabla }^{\perp }\psi ，\\ \omega \left(t=0\right)={\omega }_{in}.\end{array}$ (2)

2. 主要结果的陈述

本文的目的是研究在高雷诺数$\nu \to 0$ 时扰动$\omega$ 求解方程(2)的长期动力学。研究的核心目标是评估couette的稳定性阈值，特别是明确其与运动粘度系数$\nu$ 的依赖关系。也就是说，对于给定$N>1$ ，尝试找到小的$\gamma >0$ ，使得当初始扰动${\omega }_{in}$ 满足${\Vert {\omega }_{in}\Vert }_N\lesssim {\nu }^{\gamma }$ 时，扰动${\omega }_{in}$ 在空间中保持很小，并确定这类稳定解的动态行为。

在高雷诺数下，三维实验和计算机模拟中经常观察到非线性不稳定性出现在比线性理论预测更低的雷诺数，这种现象通常被称为亚临界跃迁[1]。在某些情况下，流动在所有雷诺数下均为线性稳定，但非线性稳定性阈值可能随着运动粘度系数$\nu \to 0$ 而降低，导致在任何实验或模拟中，流动在有限的雷诺数下出现不稳定性。因此，给定一个范数${\Vert \cdot \Vert }_N$ ，目标是确定一个$\gamma =\gamma \left(X\right)$ ，使得当初始扰动${\omega }_{in}$ 满足${\Vert {\omega }_{in}\Vert }_N\lesssim {\nu }^{\gamma }$ 时，解保持稳定，而当${\Vert {\omega }_{in}\Vert }_N\gtrsim {\nu }^{\gamma }$ 时，解则变得不稳定。在应用数学和物理学领域[2] [3]，参数$\gamma$ 通常被称为“转换阈值”或“跃迁阈值”，它用于描述系统从一种状态转换到另一种状态的临界值。

参数$\gamma$ 的最小值预计会非依赖于标准$X$ 。例如，在Bedrossian J和Masmoudi N [4]的三维Couette流的数值实验中，估计“粗糙”初始扰动(例如弱$X$ )会导致较高的$\gamma$ 。具体而言，在Bedrossian J、P. Germain和N. Masmoudi [5] [6]的关于三维Couette流的文章中显示了当$X$ 为$Gevrey-m$ 类且$m<2$ 时，$\gamma <1$ ；而在另一篇文章[7]中证明了当$X=H^s$ 且$s>\frac{7}{2}$ 时，$\gamma \le \frac{3}{2}$ ，这一结果与[4]中给出的数值估计$\gamma =\frac{31}{20}$ 一致。

而对于二维Couette流，J. Bedrossian,、N. Masmoudi和V. Vicol [8]证明了当$X$ 为$Gevrey-m$ 且$m=2$ 时，$\gamma =0$ ，这意味着在高雷诺数条件下，当初始扰动足够光滑时，Couette 流能够保持均匀稳定，且不会发生亚临界跃迁。此外，J. Bedrossian和N. Masmoudi [9]指出，在二维欧拉方程(即当运动粘性系数$\nu =0$ 时)的条件下，对于此类足够光滑的Gevrey类初始扰动，Couette 流同样表现出非线性稳定性。

在本文中我们估计的稳定性阈值为$\gamma \le \frac{1}{2}$ ，我们的主要结果如下。

定理2.1 若${\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{H^s}=ϵ\ll {\nu }^{\frac{1}{2}}，$ ${\Vert u^1\Vert }_{H^s}=ϵ\ll {\nu }^{\frac{1}{2}},$ 其中$0<\nu \le 1$ ，$s>1$ ，则方程(1)在时间上的唯一整体解满足

${\Vert {\omega }_0\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}+{\nu }^{\frac{1}{2}}{\Vert \Delta {\omega }_0\Vert }_{L^2{H}^s}\lesssim ϵ，$ (3a)

${\Vert \omega \circ \left(x+ty,y\right)\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}\lesssim ϵ，$ (3b)

并且有增强的耗散估计

${\Vert {\omega }_{\ne }\Vert }_{L^2{H}^s}\lesssim ϵv^{-\frac{1}{10}}.$ (4)

其中${\omega }_0$ 表示$\omega$ 关于$x$ 的零傅里叶模上的投影，而${\omega }_{\ne }$ 表示关于$x$ 的非零傅里叶模上的投影；$u_0$ 表示$u$ 关于$x$ 的零傅里叶模上的投影；非零频率投影用$f_{\ne }=f-f_0$ 表示(本文的其他记号将在下一节给出)。

本文最具挑战性的问题在于坐标变换后非线性项的复杂性。此外，为了有效控制非线性项的低频部分，需要借助双拉普拉斯项，而这一项的量级通常小于低频的拉普拉斯项。故在本文中，进一步引入了分数阶拉普拉斯项来实现对非线性项低频部分的精确控制。由于在能量估计的过程中

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \int A\left({\partial }_{\text{z}}{\Delta }_L^{-1}{f}_{\ne }{\partial }_v{f}_0\right)}}A{f}_{\ne }dzdvdt$

不能由

${\Vert \sqrt{\dot{M}M}f\Vert }_{L^2{H}^s}{\Vert {\partial }_{vv}{f}_0\Vert }_{L^2{H}^s}{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }{H}^s}$

进行控制。所以必须分别来考虑低频部分和高频部分。

符号和预备知识

(1) 对于函数$f$ 、$g$ ，当存在常数$C>0$ 且$f\le Cg$ 时，用$f\lesssim g$ 表示(常数$C$ 与参数$v,t$ 无关)；

(2) 对于某个足够接近0的通用常数${ϵ}_0$ ，当$f\le {ϵ}_{0}g$ 时，用$f\ll g$ 表示(常数${ϵ}_0$ 与参数$v,t$ 无关)；

(3) 对于给定的标量或向量$u$ ，定义$\langle u\rangle ={\left(1+{\left|u\right|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ ；

(4) 函数的$x$ (或$z$ )平均值表示为$f_0=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{T}f\left(x,y\right)}dx$ ；

(5) 用${\Vert h\Vert }_{L^q{L}^p}={\Vert h\Vert }_{L_t^q{L}_{\left(x,y\right)}^p}$ 表示${\Vert h\Vert }_{L^q{L}^p}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|h\right|}^{p}dxdy}\right)}^{\frac{p}{q}}dt}\right)}^{\frac{1}{q}}$ (其中$p,q\in \left[1,\infty \right]$ 且$T>0$ )；

(6) 记${\Vert h\left(t,x,y\right)\Vert }_{L^q{H}^s}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\Vert h\Vert }_{H^s}^{q}dt}\right)}^{\frac{1}{q}}$ 为${\Vert h\Vert }_{{}^{{}_{L^q{H}^s}}}={\Vert h\Vert }_{L_t^q{H}_{\left(x,y\right)}^s}$ (其中$q\in \left[1,\infty \right]$ 且$s\ge 0$ )；

(7) 用$\widehat{h}$ 表示$h$ 的傅里叶变换

$\widehat{h}\left(k,\eta \right)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\iint }_{T\times R}{e}^{-i\left(xk+y\eta \right)}}h\left(x,y\right)dxdy.$

用$k$ ，$l$ 和$\eta$ ，$\xi$ 表示$T$ 方向变量$z$ (或$x$ )和$R$ 方向变量$v$ (或$y$ )的傅里叶变换。

(8) 定义较低频投影为，

$h_{<1}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_R{e}^{iy\eta }\chi \left(\eta \right)}\widehat{h}\left(\eta \right)d\eta ；$

及高频投影为

$h_{\ge 1}\left(y\right)=h-h_{<1}\left(y\right)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_R{e}^{iy\eta }\left(1-\chi \left(\eta \right)\right)}\widehat{h}\left(\eta \right)d\eta .$

(9) Plancherel定理：设$f$ 是一个在实数轴上平方可积的函数，即$f\in L^2\left(R\right)$ 。那么，$f$ 的傅里叶变换$\widehat{f}$ 也是平方可积的，并且有

${{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|f\left(x\right)\right|}}^{2}dx={{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|\widehat{f}\left(\xi \right)\right|}}^{2}d\xi .$

3. 线性化问题

在讨论非线性问题前，理解Navier-Stokes方程的线性化问题至关重要。围绕Couette流的线性化问题具有经典意义，其研究可追溯至20世纪初[10] [11]。近年来，线性稳定性分析取得了显著进展[12]-[16]。

方程(2)的线性化形式可以表示为

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t\omega +y{\partial }_x\omega =-\nu {\Delta }^2\omega ，\\ \Delta \psi =\omega .\end{array}$ (5)

考虑其坐标变换

$x\mapsto z=x-ty，$

$y\mapsto v=y.$

定义其在新坐标中的变换为

$f\left(t,z,y\right)=\omega \left(t,z+ty,y\right)=\omega \left(t,x,y\right)，$

$\varphi \left(t,z,y\right)=\psi \left(t,z+ty,y\right)=\psi \left(t,x,y\right).$

故式(5)可写为

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}f=-\nu {\Delta }_L^{2}f，\\ {\Delta }_L\varphi =f，\\ {\Delta }_L={\partial }_{zz}+{\left({\partial }_y-t{\partial }_z\right)}^2.\end{array}$ (6)

因此，方程(6)在傅里叶空间中的解为

$\widehat{f}\left(t,k,\eta \right)={\widehat{f}}_{in}\left(k,\eta \right)e^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\tau \right|}^2\right)}^{2}d\tau }}.$

由$\omega$ 和$f$ 的关系，得到

$\widehat{\omega }\left(t,x,y\right)={\widehat{\omega }}_{in}\left(k,\eta +kt\right)e^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^2}d\tau }.$

不难得到对某个通用的常数$c>0$ ，有

${\Vert {\omega }_{\ne }\left(t\right)\Vert }_{L^2}\lesssim {\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{L^2}{e}^{-c\nu t^5}.$ (7)

对任何非零的整数$k$ ，有

$\begin{array}{c}\widehat{\psi }\left(t,k,\eta \right)=\frac{{\widehat{\omega }}_{in}\left(k,\eta +kt\right)}{k^2+{\eta }^2}{e}^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^{2}d\tau }}\\ =\frac{1}{\left(k^2+{\eta }^2\right){\langle \eta +kt\rangle }^2}{\langle \eta +kt\rangle }^2{\widehat{\omega }}_{in}\left(k,\eta +kt\right)e^{-\nu {\displaystyle {\int }_0^t{\left(k^2+{\left|\eta -k\left(\tau -t\right)\right|}^2\right)}^{2}d\tau }}，\end{array}$ (8)

由于$k^2+{\eta }^2\ge 1$ ，易得

$\left(k^2+{\eta }^2\right){\langle \eta +kt\rangle }^2\gtrsim t^2，$ (9)

根据式(7) (8)和(9)有

${\Vert {\psi }_{\ne }\left(t\right)\Vert }_{L^2}\lesssim \frac{1}{t^2}{\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{H^2}{e}^{-c\nu t^5}.$ (10)

通过类似的方法我们可以得到

${\Vert {\partial }_x{\psi }_{\ne 0}\left(t\right)\Vert }_{L^2}+{\langle t\rangle }^{-1}{\Vert {\partial }_y{\psi }_{\ne 0}\left(t\right)\Vert }_{L^2}\lesssim \frac{1}{t^2}{\Vert {\omega }_{in}\Vert }_{H^2}{e}^{-c\nu t^5}，$ (11)

这意味着方程具有无粘阻尼特性以及增强耗散现象。

4. 定理2.1的证明

采用与线性化问题相同的坐标变换方法：

$f\left(t,z,y\right)=\omega \left(t,z+ty,y\right)=\omega \left(t,x,y\right)，$

$\varphi \left(t,z,y\right)=\psi \left(t,z+ty,y\right)=\psi \left(t,x,y\right)，$

方程(2)则可改写成

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}f+u\cdot {\nabla }_{L}f+u^{2}f+u\cdot {\nabla }^{\perp }{u}^2=-\nu {\Delta }_L^{2}f，\\ u=-{\nabla }_L^{\perp }{\left(-{\Delta }_L\right)}^{-1}f，\\ {\Delta }_L\varphi =f，\\ {\Delta }_L={\partial }_{zz}+{\left({\partial }_y-t{\partial }_z\right)}^2.\end{array}$ (12)

4.1. 权重的构造

在本文中我们需要构造一个具有以下性质的傅里叶乘子：

$M\left(0,k,\eta \right)=M\left(t,0,\eta \right)=1，$ (13a)

$c\le M\left(t,k,\eta \right)\le 1，$ (13b)

对于$k\ne 0，$

$-\frac{\dot{M}}{M}\ge \frac{\left|k\right|}{k^2+{\left|\eta -kt\right|}^2}，$ (13c)

对于$k\ne 0$ ，在$\eta$ 中一致有，

$\left|\frac{{\partial }_{\eta }M\left(k,\eta \right)}{M\left(k,\eta \right)}\right|\lesssim \frac{1}{\left|k\right|}，$ (13d)

对于$k\ne 0，$

(13e)

$\sqrt{-\dot{M}M\left(t,k,\eta \right)}\lesssim \langle \eta -\xi \rangle \sqrt{-\dot{M}M\left(t,k,\eta \right)}，$ (13f)

其中常数$c\in \left(0,1\right)$ 与$\nu$ 无关。下面通过引理来证明存在这样的乘子$M$ 。

引理4.1.1 对于某个常数$0<c<1$ ，存在满足条件(13a)-(13f)的乘子$M$ 。

证明：首先构造满足(13a)的乘子$u$ 和$M_2$ 。第一步先定义当$k\ne 0$ 时的乘子$M_1$ 和$M_2$ 。定义$k\ne 0$ 的$M_1$ 为：

$-\frac{{\dot{M}}_1}{M_1}=\frac{\left|k\right|}{k^2+{\left|\eta -kt\right|}^2}，$ $M_1\left(0,k,\eta \right)=1.$

易证明$M_1$ 对于(13b)、(13c)、(13d)和(13f)都成立[17]。再定义$k\ne 0$ 的$M_2$ ：

$-\frac{{\dot{M}}_2}{M_2}=\frac{{\nu }^{\frac{1}{5}}}{1+{\left({\nu }^{\frac{1}{5}}\left|\frac{\eta }{k}-t\right|\right)}^2}，$ $M_2\left(0,k,\eta \right)=1.$

与$M_1$ 类似，易证(13b)、(13d)和(13f)对于$M_2$ 也成立。

对于$k\ne 0$ 时，当$\left|t-\frac{\eta }{k}\right|\ge {\nu }^{-\frac{1}{5}}$ ，有成立；当$\left|t-\frac{\eta }{k}\right|\le {\nu }^{-\frac{1}{5}}$ 时，有成立。当$\left|t-\frac{\eta }{k}\right|\ge {\nu }^{-\frac{1}{5}}$ ，当，从而可以得到，乘子满足不等式(13e)。令，则也满足(13a)和(13b)。易证(13c)-(13f)对于也成立。故引理4.1.1成立。

定义，由Plancherel不等式和(13b)，有

和成立。

4.2. Bootstrap论证

本文中，式(12)的局部适定性是标准的，对足够小的、，有

并且上式左侧的所有量均随时间连续变化。设()为

(14a)

(14b)

成立的最大时间。由以上述的讨论可知，。式(14a) (14b)为引导假设。接下来，证明对于常数不等式(14a) (14b)也成立。

命题4.2.1 对于所有的且足够小(仅取决于)的，通过引导假设，有

根据连续性论证，。

证明：对于(14b)，首先将作用于方程，然后与作内积，再通过直接计算可以得到

对上述等式在区间上进行时间积分，得到

其中。按照零频和非零频进行划分，有

(15)

对于项和项，由于被积函数为0，故为0。对于项，有

根据plancherel定理，有，故项。对于项，有

可以通过代数性质和Hölder不等式以及(13e)和式(14a)，可以得到

(16)

对于项，有

(17)

对于项、项，由于被积函数为0，故为0。对于项，有

(18)

对于项，有

结合的性质(13b)和(13c)，易证

由于是的一项，而

因为只包含，故，从而有，故

(19)

通过(15)(16)(17)(18)和(19)可知(14b)对于常数也成立。

对于(14a)，与(14b)一样的方法可得到

对上述等式在区间上进行时间积分，有

其中。按照零频和非零频进行划分，有

(20)

对于项，有

对于项，通过代数性质和 Hölder不等式，有

由于

其中，故，从而。故

(21)

对于项，有

由于与无关，由plancherel定理，可得

(22)

对于项，有

(23)

由于

故是的其中一项，从而有

故

(24)

因为，所以，可以得到

(25)

估计零频部分，由于与无关，则可写为

(26)

由于plancherel定理，可得到

类似Euler交换子估计[16]，可得到

因此，有

(27)

根据plancherel定理，可得到

(28)

将差值分为两个交换子，一个和有关，另一个和有关，则有

对于，通过中值定理，可得到对于某些，使得

(29)

对于，由于满足(13d)，根据(13d)和中值定理，有

(30)

将(28)、(29)和(30)结合，有

对于项，则有

对于项，有

其中

综上，可得到

(31)

对于项，有

(32)

由于与无关，对于项，有

(33)

对于项，有

(34)

对于项，有

(35)

对于项，有

(36)

对于项，有

(37)

由于与无关，故

其中

因为只包含，从而有。故有

(38)

对于项，因为只包含，从而有，根据(14a)故有

0 (39)

由式(20)~(25)和(31)~(39)，可知(14b)成立。故引理4.2.1成立，因此，定理2.1成立。

NOTES

^*通讯作者。