一类受信息影响且具有意识分类的SS_mEIA艾滋病模型

An SS_mEIA AIDS Model Influenced by Information and Classified Consciously

摘要: 针对艾滋病的特点，考虑现实生活中信息对于疾病传播的影响，建立了一类受信息影响且具有意识分类的SS_mEIA模型。首先利用再生矩阵的方法给出了模型的基本再生数，接着给出模型的无病平衡点和地方病平衡点并利用Routh-Hurwitz判据和LaSalle不变集原理证明出了两类平衡点的稳定性。其次，选取河南省艾滋病累计病例数据，利用最小二乘法进行数值估计并给出拟合图。最后对模型部分参数进行敏感性分析，分析得出提高大众对于艾滋病信息的认识、扩大艾滋病宣传范围能够有效减少艾滋病的感染率，进一步遏制艾滋病扩散。

Abstract: In view of the characteristics of AIDS and considering the impact of information on disease transmission in real life, an SS_mEIA model with awareness classification affected by information is established. Firstly, the basic reproduction number of the model is given using the method of regeneration matrix. Then, the disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point of the model are given, and the stability of the two types of equilibrium points is proved using Routh Hurwitz criterion and LaSalle invariant set principle. Secondly, the cumulative case data of AIDS in Henan Province is selected, and the least square method is used to estimate the numerical value and give the fitting diagram. Finally, the sensitivity analysis of some parameters of the model shows that improving public awareness of AIDS information and expanding the scope of AIDS publicity can effectively reduce the infection rate of AIDS and further curb the spread of AIDS.

1. 引言

艾滋病，医学上被称为获得性免疫缺陷综合征(Acquired Immune Deficiency Syndrome)，是由人体免疫缺陷病毒(HIV)引发的。该病毒主要通过攻击人体的免疫系统，削弱人们的防御功能，使得患者容易遭受各种机会性感染的攻击，严重时甚至危及患者生命。艾滋病主要的传播途径包括：血液传播、性接触传播以及母婴传播，而高风险人群则包括男男性行为人群、静脉注射毒品的使用者等[1]。近年来，我国政府高度重视人民群众的生命健康，虽然在艾滋病的防治工作取得了显著成效。但是目前我国在艾滋病防控工作中仍面临诸多挑战[2]。

对于艾滋病模型，国内外许多学者都做了较为深入的研究。兰美娜等[3]建立了具有接种免疫和联合治疗的艾滋病模型，通过构造Lyapunov函数证明了平衡点的稳定性，利用数值模拟研究了两类抑制剂的治疗效果，研究表明接种免疫和联合治疗可以优化艾滋病治疗效果。Cai等[4]研究了带有两个感染阶段的治疗艾滋病模型，通过数学分析证明了该模型的全局动力学完全由基本再生数决定，随后在模型中引入离散时滞来描述从症状开始治疗到治疗显现的时间，证明了时滞对地方病平衡点的影响。Chorfi N等[5]建立了一个HIV/AIDS反应扩散模型，研究了在存在扩散项的情况下的艾滋病模型中平衡点的局部和全局稳定性，最后利用标准的最优控制理论证明了所提最优控制策略的存在性。

目前，尽管在艾滋病的治疗领域已经拥有抗逆转录病毒疗法(ART)、免疫疗法以及细胞疗法等治疗手段，但遗憾的是，这些治疗方法仍无法完全治愈艾滋病。鉴于此，加强早期艾滋病相关信息的宣传教育工作显得尤为重要。但在以往的研究中，很少有学者研究具有信息影响的艾滋病模型，因此，本文基于艾滋病的传播机理，考虑信息对于艾滋病传播的影响，建立了一类具有信息影响和意识分类的HIV/AIDS模型。

2. 模型建立

根据艾滋病的传播规律，将某一区域$t$ 时刻的总人口记为$N\left(t\right)$ 并将其划分为无意识的易感者$S\left(t\right)$ 、有意识的易感者$S_m\left(t\right)$ 、潜伏者$E\left(t\right)$ 、HIV感染者$I\left(t\right)$ 和艾滋病患者$A\left(t\right)$ 。

首先提出如下假设：

(1) 假设信息对于抑制艾滋病的传播能够起到积极作用。

(2) 假设人们在有意识的预防艾滋病时，会对自己的行为进行规范和控制，那么将不会感染艾滋病。故在本文中，忽略有意识的易感者与艾滋病感染者进行接触。

基于以上假设，建立具有信息影响和意识分类的HIV/AIDS模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=\Lambda -{\beta }_{1}SE-{\beta }_{2}SI-\mu S-mS+\rho S_m,\\ \frac{\text{d}{S}_m}{\text{d}t}=mS-\rho S_m-\mu S_m,\\ \frac{\text{d}E}{\text{d}t}={\beta }_{1}SE+{\beta }_{2}SI-\left(\mu +{\gamma }_1\right)E,\\ \frac{\text{d}I}{\text{d}t}={\gamma }_{1}E-\left(\mu +{\gamma }_2\right)I,\\ \frac{\text{d}A}{\text{d}t}={\gamma }_{2}I-\left(\mu +d\right)A.\end{array}$ (1)

其中$\Lambda$ 表示人群输入率；${\beta }_1$ 表示无意识的易感者与潜伏者的感染率；${\beta }_2$ 表示无意识的易感者与感染者之间的感染率；$m$ 表示受信息影响使无意识的易感者转化为有意识的易感者的概率；$\rho$ 表示有意识的易感者因长时间忽略艾滋病信息的影响而使自己失去防范意识，从而转化为无意识的易感者的概率；${\gamma }_1$ 表示潜伏者转化为HIV感染者的概率；${\gamma }_2$ 表示HIV感染者转化为艾滋病患者的概率；$\mu$ 表示自然死亡率；$d$ 表示因艾滋病导致死亡的概率。

显然可知：模型(1)的解具有非负性，将模型(1)中全部方程进行相加得

$\frac{\text{d}N}{\text{d}t}=\Lambda -\mu N-dA\le \Lambda -\mu N$ ，

从而模型(1)的最大正向不变集为

$\Omega =\left\{\left(S,S_m,E,I,A\right)\in {ℝ}_{+}^5:S+S_m+E+I+A\le \frac{\Lambda }{\mu }\right\}$ 。

下文中我们将在最大正向不变集$\Omega$ 中来讨论艾滋病模型(1)中平衡点的动力学行为。

在传染病模型中主要包括两类平衡点：无病平衡点和地方病平衡点，是传染病研究中一个非常关键的概念。无病平衡点意味着当感染者数量为零时，传染病将不再在人群中传播，随着时间的流逝将逐渐灭绝；而地方病平衡点则表示疾病将会在人群中持续存在，最终形成一种地方病，且不会自行消亡。通过研究平衡点的存在与稳定性，可以帮助我们深入的理解传染病的动态行为，从而更准确的预测疾病的发展趋势，评估不同防控策略对于疾病传播的影响，进而为人们防控疾病提供可靠的理论依据。

因此，在下节我们将首先讨论无病平衡点的存在性和稳定性。

3. 无病平衡点的存在性和稳定性

容易看出，模型(1)始终存在无病平衡点$P_0=\left(S^0,S_m^0,E^0,I^0,A^0\right)=\left(S^0,S_m^0,0,0,0\right)$ ，其中 $S^0=\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}$ ，$S_m^0=\frac{\Lambda m}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}$ 。根据文献[6]中再生矩阵的方法，可以得到模型(1)的基本再生数为

${ℛ}_0=\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)\left[{\gamma }_1{\beta }_2+{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)\right]}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)}$ 。

定理1 当${ℛ}_0<1$ 时，模型(1)中无病平衡点$P_0$ 局部渐近稳定；当${ℛ}_0>1$ 时，无病平衡点$P_0$ 不稳定。

证明 模型(1)在无病平衡点$P_0=\left(S^0,S_m^0,0,0,0\right)$ 处的雅可比矩阵为

$J\left(P_0\right)=\left(\begin{array}{ccccc}-\mu -m& \rho & -{\beta }_1\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}& -{\beta }_2\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}& 0\\ m& -\rho -\mu & 0& 0& 0\\ 0& 0& {\beta }_1\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}-\mu -{\gamma }_1& {\beta }_2\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}& 0\\ 0& 0& {\gamma }_1& -\mu -{\gamma }_2& 0\\ 0& 0& 0& {\gamma }_2& -\mu -d\end{array}\right)$ ，

记雅可比矩阵$J\left(P_0\right)$ 的特征方程为$G\left(\lambda \right)=\left(\lambda +\mu +d\right)f\left(\lambda \right)g\left(\lambda \right)$ ，令

$f\left(\lambda \right)=\left(\lambda +\mu +m\right)\left(\lambda +\rho +\mu \right)-\rho m$ ，$g\left(\lambda \right)={\lambda }^2+a_1\lambda +a_2$ ，

其中

$\begin{array}{l}{a}_1=2\mu +{\gamma }_1+{\gamma }_2-{\beta }_1\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)},\\ a_2=\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)-{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}-{\gamma }_1{\beta }_2\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)}.\end{array}$

将$f\left(\lambda \right)$ 展开得到$f\left(\lambda \right)={\lambda }^2+\left(\rho +m+2\mu \right)\lambda +\mu \left(\mu +m+\rho \right)$ 。显然，$G\left(\lambda \right)$ 有五个特征值，其中，${\lambda }_1=-\mu -d$ ，${\lambda }_2$ 和${\lambda }_3$ 为方程$f\left(\lambda \right)=0$ 的根，而特征值${\lambda }_4$ 和${\lambda }_5$ 为方程$g\left(\lambda \right)=0$ 的根。由韦达定理可知， ${\lambda }_2+{\lambda }_3=-\left(\rho +m+2\mu \right)<0$ ，${\lambda }_2{\lambda }_3=\mu \left(\mu +m+\rho \right)>0$ ，因此可知${\lambda }_2<0,{\lambda }_3<0$ 。同理可知，当${ℛ}_0<1$ 时，有${\lambda }_4+{\lambda }_5=-a_1<0$ ，${\lambda }_4{\lambda }_5=a_2>0$ ，即${\lambda }_4<0,{\lambda }_5<0$ 。

因此$J\left(P_0\right)$ 具有五个负实根，从而根据R-H判据[7]证得：当${ℛ}_0<1$ 时，模型(1)中无病平衡点$P_0$ 是局部渐近稳定的；当${ℛ}_0>1$ 时，${\lambda }_4{\lambda }_5=a_2<0$ ，故${\lambda }_4$ 和${\lambda }_5$ 中存在一个正实部的特征根，因此无病平衡点$P_0$ 不稳定。

下面将进一步讨论无病平衡点的全局动力学行为。

定理2 当${ℛ}_0<1$ 时，无病平衡点$P_0$ 在区域$\Omega$ 上是全局渐近稳定的；当${ℛ}_0=1$ 时，$P_0$ 在区域$\Omega$ 上全局吸引。

证明 构造Lyapunov函数$V_1=\left(S-S^0-S^0\ln \frac{S}{S^0}\right)\left(S_m-S_m^0-S_m^0\ln \frac{S_m}{S_m^0}\right)+E+\eta I$ ，其中$\eta =\frac{{\beta }_2{S}^0}{\mu +{\gamma }_2}$ 。沿模型(1)对函数$V_1$ 求全导数可得

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{V}_1}{\text{d}t}=\left(\Lambda -{\beta }_{1}SE-{\beta }_{2}SI-\mu S-mS+\rho S_m\right)\left(1-\frac{S^0}{S}\right)+\left(mS-\rho S_m-\mu S_m\right)\left(1-\frac{S_m^0}{S_m}\right)\\ +{\beta }_{1}SE+{\beta }_{2}SI-\left(\mu +{\gamma }_1\right)E+\eta \left({\gamma }_{1}E-\left(\mu +{\gamma }_2\right)E\right)\\ =\mu S^0\left(2-\frac{S}{S^0}-\frac{S^0}{S}\right)+\mu S_m^0\left(3-\frac{S_m}{S_m^0}-\frac{S^0}{S}-\frac{S{S}_m^0}{S^0{S}_m}\right)+\rho S_m^0\left(2-\frac{S_m{S}^0}{S_m^{0}S}-\frac{S{S}_m^0}{S^0{S}_m}\right)\\ -\left(\mu +{\gamma }_1\right)E+{\beta }_1{S}^{0}E+{\beta }_2{S}^{0}I+\eta {\gamma }_{1}E-\eta \left(\mu +{\gamma }_2\right)I\\ =\mu S^0\left(2-\frac{S}{S^0}-\frac{S^0}{S}\right)+\mu S_m^0\left(3-\frac{S_m}{S_m^0}-\frac{S^0}{S}-\frac{S{S}_m^0}{S^0{S}_m}\right)+\rho S_m^0\left(2-\frac{S_m{S}^0}{S_m^{0}S}-\frac{S{S}_m^0}{S^0{S}_m}\right)\\ +\left(\mu +{\gamma }_1\right)E\left({ℛ}_0-1\right),\end{array}$

令$x=\frac{S}{S^0}$ ，$y=\frac{S_m}{S_m^0}$ ，则

$\frac{\text{d}{V}_1}{\text{d}t}=\mu S^0\left(2-x-\frac{1}{x}\right)+\mu S_m^0\left(3-y-\frac{1}{x}-\frac{x}{y}\right)+\rho S_m^0\left(2-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)+\left(\mu +{\gamma }_1\right)E\left({ℛ}_0-1\right)$ 。

根据算数平均数和几何平均数的不等式可知，当$x>0$ 时，不等式$2-x-\frac{1}{x}\le 0$ ，当且仅当$x=1$ 时，$2-x-\frac{1}{x}=0$ ；当$x>0,y>0$ 时，不等式$3-y-\frac{1}{x}-\frac{x}{y}\le 0$ ，当且仅当$x=y=1$ 时，不等式$3-y-\frac{1}{x}-\frac{x}{y}=0$ ；当$x>0,y>0$ 时，不等式$2-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\le 0$ ，当且仅当$x=y=1$ 时，$2-\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=0$ 。

因此，当${ℛ}_0<1$ 时，$\frac{\text{d}{V}_1}{\text{d}t}\le 0$ ，令

${\Omega }_1=\left\{\left(S,S_m,E,I,A\right)\in \Omega |\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=0\right\}=\left\{\left(S,S_m,E,I,A\right)\in \Omega |E=0\right\}$ ，

在${\Omega }_1$ 内，当$t\to \infty$ 时，$S\to S^0$ ，$S_m\to S_m^0$ ，$I\to 0$ ，$A\to 0$ 。因此无病平衡点$P_0$ 是${\Omega }_1$ 中模型(1)的最大$\omega$ 不变集。利用LaSalle不变集原理可知，$\Omega$ 内任何轨线都趋于$P_0$ ，结合定理1，可以得到当${ℛ}_0<1$ 时，无病平衡点$P_0$ 是全局渐近稳定的。

当${ℛ}_0=1$ 时，令${\Omega }_2=\left\{\left(S,S_m,E,I,A\right)\in \Omega |\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=0\right\}$ ，可以得到当$t\to \infty$ 时，$S\to S^0$ ，$S_m\to S_m^0$ ，$E\to 0$ ，

$I\to 0$ ，$A\to 0$ 。因此$\left\{P_0\right\}$ 是${\Omega }_2$ 中最大$\omega$ 不变集，由LaSalle不变集原理可知，当${ℛ}_0=1$ 时，无病平衡点$P_0$ 全局吸引。

4. 地方病平衡点的存在性和稳定性

在本节，我们首先给出地方病平衡点的存在唯一性，接着将进一步研究地方病平衡点的稳定性。

定理3 当${ℛ}_0>1$ 时，模型(1)存在唯一的地方病平衡点$P^{*}=\left(S^{*},S_m^{*},E^{*},I^{*},A^{*}\right)$ 。

证明 假设模型(1)存在地方病平衡点$P^{*}=\left(S^{*},S_m^{*},E^{*},I^{*},A^{*}\right)$ ，那么它满足下列代数方程组

$\{\begin{array}{l}\Lambda -{\beta }_1{S}^{*}{E}^{*}-{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}-\mu S^{*}-m{S}^{*}+\rho S_m^{*}=0,\\ m{S}^{*}-\rho S_m^{*}-\mu S_m^{*}=0,\\ {\beta }_1{S}^{*}{E}^{*}+{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}-\left(\mu +{\gamma }_1\right)E^{*}=0,\\ {\gamma }_1{E}^{*}-\left(\mu +{\gamma }_2\right)I^{*}=0,\\ {\gamma }_2{I}^{*}-\left(\mu +d\right)A^{*}=0.\end{array}$ (2)

由方程组(2)中第四和第五个等式分别可以推出

$E^{*}=\frac{\mu +{\gamma }_2}{{\gamma }_1}{I}^{*}$ ，$A^{*}=\frac{{\gamma }_2}{\mu +d}{I}^{*}$ ，

将$E^{*}$ 代到方程组(2)中第三个式子得

$S^{*}=\frac{\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)}{{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1}$ ，

将$S^{*}$ 代入方程组(2)中第二个式子得

$S_m^{*}=\frac{m\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)}{\left(\rho +\mu \right)\left[{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1\right]}$ ，

将$S^{*}$ 、$S_m^{*}$ 和$E^{*}$ 代入方程组(2)第一个式子得

$I^{*}=\frac{{\gamma }_{1}M}{\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)\left(\rho +\mu \right)\left[{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1\right]}$ ，

其中

$M=\Lambda \left(\rho +\mu \right)\left[{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1\right]-\mu \left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)\left(\rho +\mu +m\right)$ 。

由于${ℛ}_0>1$ ，故$M>0$ ，因此存在唯一的$I^{*}>0$ 。即地方病平衡点$P^{*}=\left(S^{*},S_m^{*},E^{*},I^{*},A^{*}\right)$ 存在且唯一。其中

$\begin{array}{l}{S}^{*}=\frac{\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)}{{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1},\\ S_m^{*}=\frac{m\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)}{\left(\rho +\mu \right)\left[{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1\right]},\\ E^{*}=\frac{\mu +{\gamma }_2}{{\gamma }_1}{I}^{*},A^{*}=\frac{{\gamma }_2}{\mu +d}{I}^{*},\\ I^{*}=\frac{{\gamma }_{1}M}{\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)\left(\rho +\mu \right)\left[{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1\right]}.\end{array}$

下面将给出当${ℛ}_0>1$ 时，地方病平衡点的稳定性。

定理4 当${ℛ}_0>1$ 时，地方病平衡点$P^{*}$ 是全局吸引的。

证明 首先，令$x=\frac{S}{S^{*}}$ ，$y=\frac{S_m}{S_m^{*}}$ ，$z=\frac{E}{E^{*}}$ ，$u=\frac{I}{I^{*}}$ ，$v=\frac{A}{A^{*}}$ ，根据地方病平衡点$P^{*}$ 满足方程组(2)，我们可以将模型(1)改写为

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=x\left[\frac{\Lambda }{S^{*}}\left(\frac{1}{x}-1\right)-{\beta }_1{E}^{*}\left(z-1\right)-{\beta }_2{I}^{*}\left(u-1\right)+\rho \frac{S_m^{*}}{S^{*}}\left(\frac{y}{x}-1\right)\right],\\ \frac{\text{dy}}{\text{d}t}=y\left[m\frac{S^{*}}{S_m^{*}}\left(\frac{x}{y}-1\right)\right],\\ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=z\left[{\beta }_1{S}^{*}\left(x-1\right)+{\beta }_2\frac{S^{*}{I}^{*}}{E^{*}}\left(\frac{xu}{z}-1\right)\right],\\ \frac{\text{d}u}{\text{d}t}=u\left[{\gamma }_1\frac{E^{*}}{I^{*}}\left(\frac{z}{u}-1\right)\right],\\ \frac{\text{d}v}{\text{d}t}=v\left[{\gamma }_2\frac{I^{*}}{A^{*}}\left(\frac{u}{v}-1\right)\right]。\end{array}$ (3)

构造Lyapunov函数

$V_2=S^{*}\left(x-1-\ln x\right)+S_m^{*}\left(y-1-\ln y\right)+E^{*}\left(z-1-\ln z\right)+F_1{I}^{*}\left(u-1-\ln u\right)+F_2{A}^{*}\left(v-1-\ln v\right)$ ，

则$V_2$ 沿模型(3)的全导数为

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{V}_2}{\text{d}t}=S^{*}\frac{x-1}{x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+S_m^{*}\frac{y-1}{y}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+E^{*}\frac{z-1}{z}\frac{\text{d}z}{\text{d}t}+F_1{I}^{*}\frac{u-1}{u}\frac{\text{d}u}{\text{d}t}+F_2{A}^{*}\frac{v-1}{v}\frac{\text{d}v}{\text{d}t}\\ =\left(x-1\right)\left[\Lambda \left(\frac{1}{x}-1\right)-{\beta }_1{S}^{*}{E}^{*}\left(z-1\right)-{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}\left(u-1\right)+\rho S_m^{*}\left(\frac{y}{x}-1\right)\right]\\ +\left(y-1\right)\left[m{S}^{*}\left(\frac{x}{y}-1\right)\right]+\left(z-1\right)\left[{\beta }_1{S}^{*}{E}^{*}\left(x-1\right)+{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}\left(\frac{xu}{z}-1\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}+F_1\left(u-1\right)\left[{\gamma }_1{E}^{*}\left(\frac{z}{u}-1\right)\right]+F_2\left(v-1\right)\left[{\gamma }_2{I}^{*}\left(\frac{u}{v}-1\right)\right]\\ =2\Lambda +\rho S_m^{*}+m{S}^{*}+F_1{\gamma }_1{E}^{*}+F_2{\gamma }_2{I}^{*}-x\left(\Lambda -{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}+\rho S_m^{*}-m{S}^{*}\right)\\ -y\left(-\rho S_m^{*}+m{S}^{*}\right)-z\left({\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}-F_1{\gamma }_1{E}^{*}\right)-u\left(-{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}+F_1{\gamma }_1{E}^{*}-F_2{\gamma }_2{I}^{*}\right)\\ -F_2{\gamma }_2{I}^{*}v-\Lambda \frac{1}{x}-\rho S_m^{*}\frac{y}{x}-m{S}^{*}\frac{x}{y}-{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}\frac{xu}{z}-F_1{\gamma }_1{E}^{*}\frac{z}{u}-F_2{\gamma }_2{I}^{*}\frac{u}{v},\end{array}$

在上式中，结合方程组(2)可以看出，$\Lambda -{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}+\rho S_m^{*}-m{S}^{*}={\beta }_1{S}^{*}{E}^{*}+\mu S^{*}>0$ ，$m{S}^{*}-\rho S_m^{*}=\mu S_m^{*}>0$ 。因此$z$ ，$u$ ，$v$ 前面的系数可能大于0，从而可能导致$\frac{\text{d}{V}_2}{\text{d}t}$ 为正，所以令$z$ ，$u$ ，$v$ 前面的系数为0，则有

$\{\begin{array}{l}{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}-F_1{\gamma }_1{E}^{*}=0,\\ -{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}+F_1{\gamma }_1{E}^{*}-F_2{\gamma }_2{I}^{*}=0,\\ F_2{\gamma }_2{I}^{*}=0。\end{array}$

通过上述方程则可以计算出

$F_1=\frac{{\beta }_2\left(\mu +{\gamma }_1\right)}{{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)+{\beta }_2{\gamma }_1}$ ，$F_2=0$ 。

将$F_1$ ，$F_2$ 代入$\frac{\text{d}{V}_2}{\text{d}t}$ 可以整理为如下形式

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{V}_2}{\text{d}t}=\left(\Lambda -{\beta }_2{S}^{*}{I}^{*}+\rho S_m^{*}-m{S}^{*}\right)\left(2-x-\frac{1}{x}\right)+\left(m{S}^{*}-\rho S_m^{*}\right)\left(3-\frac{1}{x}-y-\frac{x}{y}\right)\\ +\rho S_m^{*}\left(2-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)+F_1{\gamma }_1{E}^{*}\left(3-\frac{1}{x}-\frac{xu}{z}-\frac{z}{u}\right).\end{array}$

根据算术平均数和几何平均数的不等式同理可以得出，当${ℛ}_0>1$ 且$x$ ，$y$ ，$z$ ，$u$ 均大于0时，$\frac{\text{d}{V}_2}{\text{d}t}\le 0$ ，当且仅当$x=y=z=u=1$ 时，$\frac{\text{d}{V}_2}{\text{d}t}=0$ 。利用LaSalle不变集原理知，当${ℛ}_0>1$ 时，地方病平衡点$P^{*}$ 全局吸引。

5. 数值模拟

目前，艾滋病作为重大的全球公共卫生问题，仍在全球所有国家蔓延。河南省，作为我国人口的大省之一，其庞大的人口基数在一定程度上增加了艾滋病的防控难度。例如人口的频繁流动，尤其是城乡之间的流动，使得艾滋病的传播风险急剧上升，同时河南部分地区经济发展相对滞后、医疗科技资源分布不均匀等问题都在一定程度上干扰了艾滋病的防治工作。因此，本节选取河南省近16年的艾滋病感染病例人数作为研究对象，并结合艾滋病模型(1)的特点，进行数据模拟。

Table 1. Number of new AIDS cases reported in Henan Province from 2005 to 2020

表1. 河南省2005~2020年报告新发艾滋病病例数

年份	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
感染者	2306	2142	2293	1784	1851	1498	1752	3193
年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
感染者	2852	2868	3077	3007	2997	2898	3298	2885

5.1. 数据选取

根据公共卫生科学数据中心[8]的监测数据，我们查找到了河南省2005年~2020年的艾滋病患病病例数(如表1)，根据病例数据绘制了河南省2005年~2020年艾滋病患病病例数柱状图(如图1)。

Figure 1. Number of new AIDS cases in Henan Province from 2005 to 2020

图1. 河南省2005年~2020年新发艾滋病病例数

5.2. 参数拟合

为了进一步验证该模型的准确性，本节将河南省2005年~2020年的艾滋病累计患病病例数与该模型进行数值拟合。

Table 2. Parameter estimation of AIDS model (1)

表2. 艾滋病模型(1)的参数估计值

参数	含义	参数值	来源
$\Lambda$	人群输入率	1133973.9	[9]
$\mu$	自然死亡率	0.00647	[9]
$d$	因病死亡率	0.006227	[8]
${\beta }_1$	无意识的易感者与潜伏者的感染率	7.5 × 10^−10	估计
${\beta }_2$	无意识的易感者与感染者之间的感染率	6.22 × 10^−7	估计
$m$	信息使无意识易感者转为有意识易感者的概率	0.7	估计
${\gamma }_1$	潜伏者转化为HIV感染者的概率	0.523	估计
${\gamma }_2$	HIV感染者转为艾滋病患者的概率	0.87	估计
$\rho$	无意识的易感者转为有意识易感者的概率	0.252	估计

根据中国统计局中[9]，中国统计年鉴表搜集到2005年年初河南省总人口为9717万人，故假设$S\left(0\right)=97170000$ ；河南省出生率0.01167，故人群输入率$\Lambda =97170000\times 0.01167=1133973.9$ ；人口自然死亡率为0.00647，即$\mu =0.00647$ ；公共卫生科学数据中心发布的艾滋病因病死亡率为0.006227，故$d=0.006227$ 。对河南省2005年至2020年累计艾滋病患者人数采用非线性最小二乘法(LSM)进行拟合，拟合结果如图2所示，从而得出其它参数值，具体参数估计值见表2。

Figure 2. Cumulative number of AIDS cases in Henan Province from 2005 to 2020 and model (1) comparison of fitting data

图2. 河南省2005年~2020年艾滋病累计患病数与模型(1)拟合数据对比

5.3. 参数敏感性分析

基本再生数${ℛ}_0$ 是传染病学研究中一个非常重要的阈值，它是决定一个疾病是否能够长久流行的关键，反映了一个疾病在易感者之间的传播能力。上文中已经计算出模型(1)的基本再生数为

${ℛ}_0=\frac{\Lambda \left(\rho +\mu \right)\left[{\gamma }_1{\beta }_2+{\beta }_1\left(\mu +{\gamma }_2\right)\right]}{\mu \left(\rho +\mu +m\right)\left(\mu +{\gamma }_1\right)\left(\mu +{\gamma }_2\right)}$ 。

下面我们将进一步采用偏秩相关系数(PRCC)的方法来验证和分析模型(1)中参数对于${ℛ}_0$ 的影响程度，以识别出疾病控制最为重要的参数，从而制定出更为有效的防控策略。

PRCC结果的大小可以揭示哪些参数对疾病传播的影响最为显著。当PRCC值为正数时表明参数与${ℛ}_0$ 成正相关；当PRCC值为负数时意味着参数与${ℛ}_0$ 成负相关，而较大的PRCC值意味着该参数与疾病传播指标之间的相关性较强。本文选取${\beta }_1$ 、${\beta }_2$ 、${\gamma }_1$ 、${\gamma }_2$ 、$m$ 和$\rho$ 这六个参数进行敏感性分析，其结果如图3所示。

根据图3的结果可以看出：${\beta }_1$ 、${\beta }_2$ 和$\rho$ 与${ℛ}_0$ 成正相关；${\gamma }_1$ 、${\gamma }_2$ 和$m$ 成负相关，并且${\beta }_1$ 、${\beta }_2$ 和$m$ 对于艾滋病传播的影响最为明显。从而可以通过减少易感者与HIV感染者的接触率、增加艾滋病宣传、提高无意识易感者转为有意识易感者的转换率来减小基本再生数。根据上述结果也可以为我们控制艾滋病流行提供指导性策略。例如：可以通过广泛宣传艾滋病信息、提高公众对艾滋病的认识和了解，促使人们采取预防措施，从而减少人们与艾滋病感染者接触的感染风险，进而达到抑制艾滋病传播的效果。

Figure 3. Partial correlation coefficient PRCC results

图3. 部分相关系数的PRCC结果

6. 结论

本文研究了一类受信息影响且具有意识分类的HIV/AIDS模型，考虑了信息在艾滋病流行过程中可以起到积极影响，从而将人群分为有意识和无意识两类。首先证明出了模型两类平衡点的存在性，从而进一步研究平衡点的稳定性，得到当${ℛ}_0<1$ 时，无病平衡点全局渐近稳定，即艾滋病灭绝；当${ℛ}_0>1$ 时，地方病平衡点全局吸引，即说明艾滋病将会流行并形成地方病。随后，选取了河南省2005年至2020年新发艾滋病病例数据进行数值模拟，结果表明，所建模型与实际病例数据基本符合。最后根据PRCC的结果说明：无意识易感者与潜伏者和HIV感染者的感染率${\beta }_1$ 和${\beta }_2$ 以及信息因素$m$ 对于${ℛ}_0$ 有显著影响，因此我们可以通过对大众普及艾滋病知识、校内开展艾滋病宣传讲座、为人们介绍最新的治疗信息和方案等措施来提高大众的防范意识，减少艾滋病的传播。

在本模型中我们只考虑了一般的接触感染率，但在现实生活中，由于信息以及艾滋病传播的非线性特点，若考虑使用更加一般的光滑函数来刻画易感者与HIV感染者的有效接触率，则可以提高拟合精度和平滑性，避免在传统模型中感染率突变处的不连续，更好地反映实际情况。此外，本文在探索过程中仅聚焦于信息因素的影响，而未考虑治疗、高危行为的异质性、地区差异等其他诸多关键要素，这些因素均在艾滋病的传播机制中扮演着举足轻重的角色。其次，在使用最小二乘法进行参数估计时，忽略了参数估计的置信区间和误差，这在一定程度上削弱了评估参数估计结果可靠性的能力。最后，在参数敏感性分析中，本文只进行了局部敏感性分析(PRCC)，未能评估参数间的相互作用和对模型输出的整体影响，导致缺乏全局敏感性分析，因此可以使用eFAST等全局敏感性分析方法，从而更能全面地评估参数的影响。对于这些问题，我们会在未来的工作中进行考虑。