带有正则单模的Nakayama代数的计数

Counting Nakayama Algebras with Regular Simple Modules

摘要: 有限生成投射模范畴的正合结构的分类与2正则单模有关。基于Nakayama代数上的正则单模的代数性质与Dyck路的组合结构的对应，计算了带有k个1正则单模(或k个2正则单模)的(n + 1)-LNakayama代数和拟遗传n-CNakayama代数的个数。

Abstract: The classification of exact structures in the category of finitely generated projective modules for finite dimensional algebras were reduced to the classification of 2-regular simple modules. By the result of relations between regular simple modules over Nakayama algebras and certain combinatorial structures of Dyck paths, the number of (n + 1)-LNakayama algebras and quasi-hereditary n-CNakayama algebras that have exactly k 1-regular simple modules (respectively k 2-regular simple modules) was calculated.

1. 研究背景

正合结构的概念源于Quillen在1973年对高维代数K理论的奠基性工作，他将正合范畴定义为一种广义的Abel范畴，允许在同调代数中处理更灵活的结构。此后，Bühler系统化地发展了正合范畴的公理体系，明确了正合结构需满足的闭包性质，这一框架为研究非Abel范畴的同调性质提供了统一视角。正合结构能够刻画模范畴的导出范畴性质，同时与Serre子范畴、Ext函子的性质密切相关。Enomoto在文[1]证明了有限生成投射模范畴的正合结构的分类与2正则单模有关，即若代数A恰有m个2正则单模，则A上的有限生成投射模范畴的正合结构有$2^m$ 个，因此研究一个代数上的2正则单模有很重要的意义。文[2]将Nakayama代数中的正则单模的代数性质对应到Dyck路的组合结构，并计算了没有1正则单模(或2正则单模)的($n+1$ )-LNakayama代数和拟遗传n-CNakayama代数的个数。本文利用[2]给出的对应，通过对生成函数的推导，对文[2]的结果进行了推广，计算了带有k个1正则单模(或k个2正则单模)的($n+1$ )-LNakayama代数和拟遗传n-CNakayama代数的个数，后者即满足其上有限生成投射模范畴的正合结构有$2^k$ 个的($n+1$ )-LNakayama代数和拟遗传n-CNakayama代数的个数。

代数A上，如果一个A模的所有子模的集在包含关系下是线性有序的，则称它是单列模。如果每一个不可分解投射右(左) A模是单列模，则称代数A是右(左)序列的。如果有限维代数A既是左序列的又是右序列的，则称代数A为Nakayama代数(也叫做广义单列代数)，在表示论中是最基本的有限维代数。带有n个单模$S_i$ ，$0\le i<n$ 的Nakayama代数记为n-Nakayama代数，它的箭图表示只有顶点数为n的有向路和顶点数为n的有向圈两种情况[3]，箭图的第i个点对应单模$S_i$ ，两种箭图对应的代数分别称为n-LNakayama代数和n-CNakayama代数。

设$e_i$ 是对应n-Nakayama代数A的箭图第i个点的本原幂等元，则A的Kupisch序列定义为$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right]$ ，其中$c_i\ge 1$ 是不可分解投射模$e_{i}A$ 作向量空间时的维数，它有如下性质[4]。

(1) 若A是n-LNakayama代数，则$c_{i+1}+1\ge c_i$ ，$0\le i<n$ 且$c_i\ge 2$ ，$0\le i<n-1$ ，$c_{n-1}=1$ 。Kupisch序列在同构意义下唯一决定了n-LNakayama代数。

(2) 若A是n-CNakayama代数，则$c_{i+1}+1\ge c_i$ ，$0\le i<n$ ，$c_n=c_0$ 且$c_i\ge 2$ ，$0\le i<n$ 。两个n-CNakayama代数同构当且仅当它们的Kupisch序列在轮换意义下相同。为了方便，记$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right]$ 在轮换意义下的等价类为${\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right]}_{\circlearrowright }$ 。

每个($n+1)$ -LNakayama代数以如下方式和一个n-Dyck路一一对应，设其Kupisch序列为$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_n\right]$ ，在平面网格上沿着网格做一条在直线$y=x$ 上方的从$\left(0,0\right)$ 到$\left(n,n\right)$ 折线，使得折线与$y=x$ 包围的点集$\Omega$ 中，纵坐标为i的点恰有$c_i$ 个，这样的折线就是一条n-Dyck路。同样每个n-CNakayama代数和一个周期为n的Dyck路一一对应，此时若它的Kupisch序列$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_n\right]$ 最小数为$c+2$ ，则它与$y=x+c$ 有交点。

命题1.1 每个($n+1$ )-LNakayama代数和一个n-Dyck路一一对应。每个Kupisch序列最小数为$c+2$ 的n-CNakayama代数和一个在$y=x+c$ 上的周期为n的Dyck路一一对应。

定义1.2 设A是一个有限维代数，S是单的A模。对$k\in \mathbb{N}$ ，S是k正则的当且仅当

(1) $\text{pd}\left(S\right)=k$ ；

(2) ${\text{Ext}}_A^i\left(S,A\right)=0$ ，$0\le i<k$ ；

(3) $\dim {\text{Ext}}_A^k\left(S,A\right)=1$ 。

定义1.3 [2] 在Dyck路中，

(1) 点$\left(i,j\right)$ 是1-rise当且仅当$j=i+c_i-1$ 且$c_i=c_{i-1}$ ，$i>0$ 或者$c_0=2$ 。如图1红色所示。

(2) 第s位置的k-hill定义为经过$\left(s,s\right)$ ，$\left(s,s+k\right)$ ，$\left(s+k,s+k\right)$ 的折线。一个s位置的2-hill如图1蓝色所示。

(3) 只与$y=x$ 有两个交点的Dyck路称为是本原的。

Figure 1. A rise at (i, j) and a 2-hill at positon s

图1. 在(i, j)位置的1-rise和在s位置的2-hill

例子1.4 图2是一个带有Kupisch序列[3, 2, 2, 2, 1]的5-LNakayama代数，对应一个从$\left(0,0\right)$ 经过$\left(0,2\right)$ ，$\left(2,2\right)$ ，$\left(2,3\right)$ ，$\left(3,3\right)$ ，$\left(3,4\right)$ ，$\left(4,4\right)$ 的4-Dyck路。其中$\left(2,3\right)$ 和$\left(3,4\right)$ 是1-rise，第0位置有2-hill，第2和3位置有1-hill，它不是本原的。

Figure 2. A 5-LNakayama algebra with Kupisch series [3, 2, 2, 2, 1]

图2. Kupisch序列为[3, 2, 2, 2, 1]的5-LNakayama代数

2. LNakayama代数情形的计数

定理2.1 [2]每个带有$n+1$ 个单模$S_i$ ，$0\le i<n+1$ 的($n+1$ )-Nakayama代数A，若其Kupisch序列为$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_n\right]$ ，令$d_i=\text{min}\left\{k|k\ge c_{i-k}\right\}$ ，则

(1) $\text{pd}\left(S_i\right)=1$ 当且仅当$c_{i+1}+1=c_i$ ，

(2) $\text{pd}\left(S_i\right)=2$ 当且仅当$c_{i+1}+1=c_{i+c_i}+c_i$ ，

(3) $S_i$ 是1正则当且仅当$c_i-c_{i+1}=d_i-d_{i+1}=1$ ，

(4) $S_i$ 是2正则当且仅当$c_i=d_{i+2}=2$ 且$c_{i+1}-c_{i+2}=d_{i+1}-d_i=1$ 。

文[2]用代数方法证明了定理2.1，因为每个Kupisch序列对应一个Dyck路，这样就可以通过Dyck路的结构刻画单模$S_i$ 。为了让这些结构更易于计算，[2]接着采用了LaLanne-Kreweras对合等将Dyck路映射到Dyck路的技术，简化了定理2.1的组合性质，得到定理2.2和定理3.2。

定理2.2 [2] 存在一个($n+1$ )-LNakayama代数到n-Dyck路的一一映射$\omega$ ，使得对每个带有$n+1$ 个单模$S_i$ ，$0\le i<n+1$ 的($n+1$ )-LNakayama代数A，

(1) $S_i$ 是1正则当且仅当$\omega \left(A\right)$ 在$x=i$ 位置有1-rise；

(2) $S_i$ 是2正则当且仅当$\omega \left(A\right)$ 在$i$ 位置有2-hill。

定理2.3 ($n+1$ )-LNakayama代数的个数是$\frac{\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)}{n+1}$ 。

证明 设($n+1$ )-LNakayama代数的个数为$d_n$ ，由命题1.1 ($n+1$ )-LNakayama代数和n-Dyck路一一对应，故$D\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{n\ge 0}{d}_n{x}^n}$ 是n-Dyck路的生成函数。每个Dyck路由一个本原Dyck路和一个更短的Dyck路组成，所以$D\left(x\right)=1+xD{\left(x\right)}^2$ ，展开得到

$D\left(x\right)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\frac{2}{1+\sqrt{1-4x}}={\displaystyle \sum }_{n\ge 0}\frac{\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)}{n+1}{x}^n$ 。

定理2.4 设带有k个1正则单模和l个2正则单模的($n+1$ )-LNakayama代数的个数为$d_{n,k,l}$ ，则它的生成函数

$\begin{array}{c}D\left(x,q,t\right)={\displaystyle \sum }_{n,k,l}{d}_{n,k,l}{x}^n{q}^k{t}^t\\ =1+qx+\left(q^2+t\right)x^2+\left(q^3+2qt+q+1\right)x^3+\cdots \end{array}$

满足

$\begin{array}{l}\left(x^4{\left(t-1\right)}^2+x^3\left(t-1\right)\left(q-1\right)-x^2\left(t-1+q-1\right)+x\right)D{\left(x,q,t\right)}^2\\ +\left(2x^2\left(t-1\right)+x\left(q-1\right)-1\right)D\left(x,q,t\right)+1=0.\end{array}$

证明 根据定理2.2，$D\left(x,q,t\right)$ 是带有k个1-rise和l个2-hill的n-Dyck路的生成函数，$D\left(x,q,0\right)$ 则是是带有k个1-rise和没有2-hill的n-Dyck路的生成函数，$D\left(x,q,1\right)$ 是带有k个1-rise的n-Dyck路的生成函数。每个Dyck路或者是没有2-hill的，或者由一个没有2-hill的Dyck路，一个2-hill和一个更短的Dyck路组成，故

$D\left(x,q,t\right)=D\left(x,q,0\right)+D\left(x,q,0\right)x^{2}tD\left(x,q,t\right)$ 。

每个没有2-hill的Dyck路或者是空集，或者开始于一个1-hill (它贡献一个1-rise)，或者开始于一个经过$\left(0,0\right)$ ，$\left(0,2\right)$ 的本原Dyck路，这样的带k个1-rise的本原Dyck路的生成函数记为$D\left(x,q\right)$ ，则

$D\left(x,q,0\right)=1+xqD\left(x,q,0\right)+D\left(x,q\right)D\left(x,q,t\right)$ 。

每个带k个1-rise经过$\left(0,0\right)$ ，$\left(0,2\right)$ 的本原($n+1$ )-Dyck路，可以看作是$y=x+1$ 上方从$\left(0,1\right)$ 到$\left(n-1,n\right)$ 的带k个1-rise的n-Dyck路，但位于$y=x+1$ 上从$\left(0,1\right)$ 到$\left(0,2\right)$ ，$\left(1,2\right)$ ，$\left(n-1,n\right)$ 的带k个1-rise的n-Dyck路，对原来的本原($n+1$ )-Dyck路只贡献了$k-1$ 个1-rise，因此

$D\left(x,q\right)=x\left(D\left(x,q,1\right)-1-qx\right)+\left(x^2-q{x}^2\right)\left(D\left(x,q,1\right)-1\right)$ 。

由以上关系得到

$\begin{array}{l}\left(x^4{\left(t-1\right)}^2+x^3\left(t-1\right)\left(q-1\right)-x^2\left(t-1+q-1\right)+x\right)D{\left(x,q,t\right)}^2\\ +\left(2x^2\left(t-1\right)+x\left(q-1\right)-1\right)D\left(x,q,t\right)+1=0.\end{array}$

定理2.5 带有k个1正则单模的($n+1$ )-LNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{m=0}^{n-k}\frac{{\left(-1\right)}^{k+n-m}}{m+1}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-m\\ k\end{array}\right)。$

证明 由定理2.2，带有k个1-rise的n-Dyck路的生成函数$D\left(x,q,1\right)$ 也是带有k个1正则单模的($n+1$ )-LNakayama代数的生成函数。记$\left[x^n\right]D\left(x,q,1\right)$ 为$D\left(x,q,1\right)$ 展开式中$x^n$ 的系数，在定理2.4中，令$t=1$ 得

$\begin{array}{c}\left[x^n{q}^k\right]D\left(x,q,1\right)=\left[x^n{q}^k\right]\frac{1-\sqrt{1-\frac{4x}{1-x\left(q-1\right)}}}{2x}\\ =\left[x^n{q}^k\right]D\left(\frac{x}{1-x\left(q-1\right)}\right)\frac{1}{1-x\left(q-1\right)}\\ =\left[x^n{q}^k\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 0}\frac{\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)}{m+1}{x}^m{\left(\frac{1}{1-x\left(q-1\right)}\right)}^{m+1}\\ =\left[x^n{q}^k\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 0}\frac{\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)}{m+1}{x}^m{\displaystyle \sum }_{j\ge 0}\left(\begin{array}{c}m+j\\ j\end{array}\right)x^j{\left(q-1\right)}^j\\ =\left[x^n{q}^k\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 0}\frac{\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)}{m+1}{x}^m{\displaystyle \sum }_{j\ge 0}\left(\begin{array}{c}m+j\\ j\end{array}\right)x^j{\displaystyle \sum }_{s=0}^j\left(\begin{array}{c}j\\ s\end{array}\right){\left(-1\right)}^{j+s}{q}^s\\ ={\displaystyle \sum }_{m=0}^{n-k}\frac{{\left(-1\right)}^{k+n-m}}{m+1}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-m\\ k\end{array}\right),\end{array}$

其中$D\left(x\right)$ 是定理2.3中的生成函数。

推论2.6 没有1正则单模的($n+1$ )-LNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{m=0}^n\frac{{\left(-1\right)}^{n-m}}{m+1}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)$ 。

定理2.7 [5] 设$H$ 和$F$ 是两个形式幂级数，且存在逆函数$F^{-1}$ ，则

$\left[x^n\right]H\left(F\left(x\right)\right)=\frac{1}{n}\left[x^{n-1}\right]H^{\prime }\left(x\right){\left(\frac{x}{F^{-1}\left(x\right)}\right)}^n$ 。

定理2.8 带有k个2正则单模的($n+1$ )-LNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{\left(-1\right)}^{m+k}\frac{m+1}{n-m+1}\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2n-3m\\ n-m\end{array}\right)$ 。

证明 类似定理2.5的证明，只需计算$\left[x^n{t}^k\right]D\left(x,1,t\right)$ 。因$D\left(x\right)=1+xD{\left(x\right)}^2$ ，$D\left(x\right)-1$ 的逆为$\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}$ ，利用定理2.7得到$\left[x^j\right]D{\left(x\right)}^m=\frac{m}{j}\left[x^{j-1}\right]{\left(1+x\right)}^{m-1}{\left(1+x\right)}^{2j}=\frac{m}{2j+m}\left(\begin{array}{c}2j+m\\ j\end{array}\right)$ ，即$D{\left(x\right)}^m={\displaystyle {\sum }_{j\ge 0}\frac{m}{2j+m}\left(\begin{array}{c}2j+m\\ j\end{array}\right)x^j}$ 。由定理2.4得

$\begin{array}{c}\left[x^n{t}^k\right]D\left(x,1,t\right)=\left[x^n{t}^k\right]\frac{2}{1+\sqrt{1-4x}-2x^2\left(t-1\right)}\\ =\left[x^n{t}^k\right]\frac{D\left(x\right)}{1-x^2\left(t-1\right)D\left(x\right)}\\ =\left[x^n{t}^k\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 0}{x}^{2m}{\left(t-1\right)}^{m}D{\left(x\right)}^{m+1}\\ =\left[x^n{t}^k\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 0}{x}^{2m}{\displaystyle \sum }_{j\ge 0}\frac{m+1}{2j+m+1}\left(\begin{array}{c}2j+m+1\\ j\end{array}\right)x^j{\displaystyle \sum }_{s=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ s\end{array}\right){\left(-1\right)}^{m+s}{t}^s\\ ={\displaystyle \sum }_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{\left(-1\right)}^{m+k}\frac{m+1}{n-m+1}\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2n-3m\\ n-m\end{array}\right)\end{array}$

推论2.9 没有2正则单模的$\left(n+1\right)$ -LNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{\left(-1\right)}^m\frac{m+1}{n-m+1}\left(\begin{array}{c}2n-3m\\ n-m\end{array}\right)$ 。

文[2]在Corollary 3.23中计算$D\left(x,q,t\right)$ 时出现了错误。注意到${\displaystyle {\sum }_{m=0}^n\frac{{\left(-1\right)}^{n-m}}{m+1}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)}$ 是一个Riordan

数[6]，因此我们的推论2.6和推论2.9和文[2]的Corollary 3.21和Corollary 3.22是一致的。

3. 拟遗传CNakayama代数情形的计数

n-CNakayama代数的Kupisch序列${\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right]}_{\circlearrowright }$ 满足$c_{i+1}+1\ge c_i$ ，$0\le i<n$ ，$c_n=c_0$ 且$c_i\ge 2$ ，$0\le i<n$ 。CNakayama代数是拟遗传代数当且仅当它有投射维数是2的单模[7]。

定理3.1 [2] (1)对任意非负整数c，存在一个一一映射，使得每个拟遗传n-CNakayama代数映射到一个带有非常值且最小数为$c+2$ 的Kupisch序列的n-CNakayama代数。

(2) 拟遗传n-CNakayama代数个数为$\frac{1}{2n}{\displaystyle {\sum }_{k|n}\varphi }\left(n/k\right)\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)-1$ ，这里及下文的$\varphi$ 是欧拉函数。

引理3.2 [8] (Burnside引理)群G在集合$\Omega$ 上作用得到的轨道个数为$\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle {\sum }_{g\in G}N\left(g\right)}$ ，这里$N\left(g\right)$ 表示在g作用下$\Omega$ 中不变的元素的个数。

定理3.1 (2)的证明 设由n阶循环置换$\pi =\left(012\cdots n-1\right)$ 生成的群为G，在不考虑轮换下设最小数$c+2$ 的Kupisch序列$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right]$ 构成集合${\text{Ω}}_n$ ，其中$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right]$ 在${\pi }^m$ 作用下映射到 $\left[c_{{\pi }^{m}0},c_{{\pi }^{m}1},\cdots ,c_{{\pi }^m\left(n-1\right)}\right]$ 。由引理3.2，最小值$c+2$ 的${\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right]}_{\circlearrowright }$ 的个数为G在集合${\Omega }_n$ 上作用得到的轨道个数，常值只有${\left[c+2,c+2,\cdots ,c+2\right]}_{\circlearrowright }$ 。

注意到${\pi }^m$ 是k个不同循环的乘积，0到$k-1$ 在不同的循环里，每个循环的长度为$n/k$ ，其中$k=\text{gcd}\left(n,m\right)$ 。所以$N\left({\pi }^m\right)$ 的个数为满足$c_{i+1}+1\ge c_i$ ，$0\le i<k$ ，$c_n=c_0$ 且$c_i\ge c+2$ ，$0\le i<k-1$ 的最小数$c+2$ 的数组$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{k-1}\right]$ 的个数，即为$\left|{\Omega }_k\right|$ 。仿照命题1.1将$\left[c_0,c_1,\cdots ,c_{k-1}\right]$ 与Dyck路对应的方法，平面网格上每个$\left(0,0\right)$ 到$\left(1,0\right)$ 再到$\left(k-1,k-1\right)$ 的路径，都恰有一个数s，使得路径向上平移s格后，与$y=x$ 之间的点中，横坐标为i的点的个数恰为$c_i$ ，且$c_i$ 中最小值为$c+2$ ，这就建立了${\Omega }_k$ 与$\left(0,0\right)$ 到$\left(1,0\right)$ 再到$\left(k-1,k-1\right)$ 的路径的一一对应，这样的路径有$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)$ 个，而满足$k=\text{gcd}\left(n,m\right)$ 的m有$\varphi \left(n/k\right)$ 个，于是由引理3.2，所求代数的个数为群G在集合${\Omega }_n$ 上作用得到的轨道个数

$\frac{1}{\left|G\right|}{\displaystyle \sum }_{0\le m<n}N\left({\pi }^m\right)=\frac{1}{2n}{\displaystyle \sum }_{k|n}\varphi \left(n/k\right)\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)$ 。

定理3.3 [2] 存在一个拟遗传n-CNakayama代数到非常值的周期为n的Dyck路的一一映射$\omega$ ，使得对每个带有n个单模$S_i$ ，$0\le i<n$ 的n-CNakayama代数A，

(1) $\omega \left(A\right)$ 与$y=x$ 有交点；

(2) $S_i$ 是1正则当且仅当$\omega \left(A\right)$ 在$x=i$ 位置有1-rise；

(3) 是2正则当且仅当$\omega \left(A\right)$ 在i位置有2-hill。

定理3.4 [9] 一族互不相交的非空有限集${\left(R_{n,l}\right)}_{n,l\in \mathbb{N}}$ ，令$R\left(x,q\right)={\displaystyle {\sum }_{n,l}\left|R_{n,l}\right|x^n{q}^l}$ 为它的生成函数。对$n,l\in \mathbb{N}$ ，定义集合$C_{n,l}=\left\{{\left[r_0,r_1,\cdots ,r_k\right]}_{\circlearrowright }|r_i\in A_{n_i,l_i},{\displaystyle {\sum }_i{n}_i}=n,{\displaystyle {\sum }_i{l}_i}=l\right\}$ 。则

$\left|C_{n,l}\right|={\displaystyle \sum }_{k|\gcd \left(l,n\right)}\frac{\varphi \left(k\right)}{k}\left[x^{n/k}{q}^{l/k}\right]\ln \frac{1}{1-R\left(x,q\right)}$ 。

定理3.5 带有l个1正则单模的拟遗传n-CNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{k|\gcd \left(l,n\right)}\frac{\varphi \left(k\right)}{2n}\left[{\displaystyle \sum }_{m=0}^{n/k-l/k}{\left(-1\right)}^{n/k-l/k-m}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n/k\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n/k-m\\ l/k\end{array}\right)+{\left(-1\right)}^{n/k-l/k}\left(\begin{array}{c}n/k\\ l/k\end{array}\right)\right]$ 。

证明 为了方便，以后记$n/k$ 和$l/k$ 为$\tilde{n}$ 和$\tilde{l}$ 。由定理3.3，我们只需计算与$y=x$ 有交点且有l个1-rise的周期为n的Dyck路的个数，每个这样的Dyck路由若干本原Dyck路组成。设$R_{n,l}$ 为带有l个1-rise的本原n-Dyck路的集合，其生成函数为$R\left(x,q\right)={\displaystyle {\sum }_{n,l}\left|R_{n,l}\right|x^n{q}^l}$ ，根据定理3.4，${\displaystyle {\sum }_{k|\gcd \left(l,n\right)}\frac{\varphi \left(k\right)}{k}\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln \frac{1}{1-R\left(x,q\right)}}$ 即为所求结果。利用定理2.4的$D\left(x,q,t\right)$ ，每个Dyck路由一个本原Dyck路和更短的Dyck路组成，故

$D\left(x,q,1\right)=1+R\left(x,q\right)D\left(x,q,1\right)$

且

$D\left(x,q,1\right)=D\left(\frac{x}{1-x\left(q-1\right)}\right)\frac{1}{1-x\left(q-1\right)}$ ，

这里$D\left(x\right)=1+xD{\left(x\right)}^2$ 。$D\left(x\right)-1$ 的逆为$\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}$ ，根据定理2.7，

$\left[x^n\right]\ln D\left(x\right)=\left[x^n\right]\ln \left(D\left(x\right)-1+1\right)=\frac{1}{n}\left[x^{n-1}\right]{\left(1+x\right)}^{2n-1}=\frac{1}{2n}\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)$ 。

此时

$\begin{array}{c}\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln \frac{1}{1-R\left(x,q\right)}=\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln D\left(x,q,1\right)=\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln \left[D\left(\frac{x}{1-x\left(q-1\right)}\right)\frac{1}{1-x\left(q-1\right)}\right]\\ =\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 1}\frac{1}{2m}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right){\left(\frac{x}{1-x\left(q-1\right)}\right)}^m+\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]{\displaystyle \sum }_m\frac{1}{m}{x}^m{\left(q-1\right)}^m\\ =\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 1}\frac{1}{2m}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)x^m{\displaystyle \sum }_{j\ge 0}\left(\begin{array}{c}m+j-1\\ m-1\end{array}\right)x^j{\left(q-1\right)}^j+\frac{{\left(-1\right)}^{\tilde{n}-\tilde{l}}}{\tilde{n}}\left(\begin{array}{c}\tilde{n}\\ \tilde{l}\end{array}\right)\\ ={\displaystyle \sum }_{m=0}^{\tilde{n}-\tilde{l}}\frac{{\left(-1\right)}^{\tilde{n}-\tilde{l}-m}}{2\tilde{n}}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{n}\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{n}-m\\ \tilde{l}\end{array}\right)+\frac{{\left(-1\right)}^{\tilde{n}-\tilde{l}}}{2\tilde{n}}\left(\begin{array}{c}\tilde{n}\\ \tilde{l}\end{array}\right)\end{array}$

推论3.6 没有1正则单模的拟遗传n-CNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{k|n}\frac{\varphi \left(k\right)}{2n}\left[{\displaystyle \sum }_{m=0}^{n/k}{\left(-1\right)}^{n/k-m}\left(\begin{array}{c}2m\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n/k\\ m\end{array}\right)+{\left(-1\right)}^{n/k}\right]$ 。

定理3.7 带有l个2正则单模的拟遗传n-CNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{k|\gcd \left(l,n\right)}\frac{\varphi \left(k\right)}{k}{\displaystyle \sum }_{m=l/k}^{\lfloor \frac{n}{2k}\rfloor }\frac{{\left(-1\right)}^{m-l/k}}{2n/k-3m}\left(\begin{array}{c}m\\ l/k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2n/k-3m\\ n/k-m\end{array}\right)$ 。

证明 由定理3.3，我们只需计算与$y=x$ 有交点且有l个2-hill的周期为n的Dyck路的个数。设$R_{n,l}$ 为带有l个2-hill的本原n-Dyck路的集合，其生成函数为$R\left(x,q\right)=xD\left(x\right)-x^2+x^{2}q$ ，这里$D\left(x\right)=1+xD{\left(x\right)}^2$ 。根据定理3.4，我们只要计算${\displaystyle {\sum }_{k|\gcd \left(l,n\right)}\frac{\varphi \left(k\right)}{k}\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln \frac{1}{1-R\left(x,q\right)}}$ 。注意到$xD\left(x\right)$ 的逆为$x-x^2$ ，利用定理2.7，得到$\left[x^n\right]\frac{1}{m}{\left(xD\left(x\right)\right)}^m=\frac{1}{n}\left(\begin{array}{c}2n-m-1\\ n-m\end{array}\right)$ 。

此时

$\begin{array}{c}\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln \frac{1}{1-R\left(x,q\right)}=\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln \frac{1}{1-xD\left(x\right)-x^2\left(q-1\right)}\\ =\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]\ln \frac{D\left(x\right)}{1-x^2\left(q-1\right)D\left(x\right)}\\ =\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 1}\frac{x^m}{m}{\left(xD\left(x\right)\right)}^m{\left(q-1\right)}^m\\ =\left[x^{\tilde{n}}{q}^{\tilde{l}}\right]{\displaystyle \sum }_{m\ge 1}{\displaystyle \sum }_{s\ge 1}\frac{1}{s}\left(\begin{array}{c}2s-m-1\\ s-m\end{array}\right)x^{m+s}{\displaystyle \sum }_{j=0}^m{\left(-1\right)}^{m-j}\left(\begin{array}{c}m\\ j\end{array}\right)q^j\\ ={\displaystyle \sum }_{m=\tilde{l}}^{\lfloor \frac{\tilde{n}}{2}\rfloor }\frac{{\left(-1\right)}^{m-\tilde{l}}}{2\tilde{n}-3m}\left(\begin{array}{c}m\\ \tilde{l}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\tilde{n}-3m\\ \tilde{n}-m\end{array}\right)\end{array}$

推论3.8 没有2正则单模的拟遗传n-CNakayama代数的个数为

${\displaystyle \sum }_{k|n}\frac{\varphi \left(k\right)}{k}{\displaystyle \sum }_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2k}\rfloor }\frac{{\left(-1\right)}^m}{2n/k-3m}\left(\begin{array}{c}2n/k-3m\\ n/k-m\end{array}\right)-1$ 。

周期为n的常值Dyck路${\left[2,2,\cdots ,2\right]}_{\circlearrowright }$ 与$y=x$ 有交点，它有n个1-rise但没有2-hill，因此在推论3.8的计算中要排除。推论3.8和[2]中Corollary 3.39是一致的，该文在Corollary 3.38的结果出现了笔误，正确结果为${\displaystyle {\sum }_{k|n}\frac{\varphi \left(k\right)}{n}{\displaystyle \sum }_{m=1}^{n/k-1}\left(\begin{array}{c}m-1\\ n/k-m-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n/k\\ m\end{array}\right)}$ ，这与推论3.6也是一致的，因为定理3.6中的生成函数$R\left(x,0\right)$

是Corollary 3.38中要求的生成函数$R\left(x\right)$ 。

4. 结论

本文利用Dyck路计算了带有k个1正则单模(或k个2正则单模)的($n+1$ )-LNakayama代数和拟遗传n-CNakayama代数的个数。但在处理3正则单模的时候遇到了困难，因为投射维数为3的单模的组合性质无法像定理2.1和定理2.2一样很好用Dyck路的刻画，也许会用到Dyck路的变式，比如Bessel 路的离散形式。

除了计算Nakayama代数的正则单模，利用Kupisch序列和Dyck路也可以计算满足某些条件的Nakayama代数，比如[2]在最后还计算了整体维数2的限制Gorenstein条件下n-LNakayama代数和n-CNakayama代数，还可以考虑finitistic维数限制下Nakayama代数的个数。此外，ADe型代数的基本倾斜模和拟遗传代数的标准模的层结构等代数结构也与Dyck路有关，可以参考本文思路研究他们的计数问题。