Nekrasov型矩阵与严格对角占优矩阵的子直和

Subdirect Sums of Nekrasov Type Matrices and Strictly Diagonally Dominant Matrices

摘要: 矩阵的子直和作为矩阵加法运算的推广形式，在区域分解法、复杂网络分析及图论等领域具有重要的理论价值和实际应用。本文基于Nekrasov型矩阵和严格对角占优矩阵的特性，结合不等式放缩技术，探讨了Nekrasov型矩阵与严格对角占优矩阵、以及严格对角占优矩阵与Nekrasov型矩阵的子直和问题。研究获得了子直和矩阵保持Nekrasov型矩阵结构特性的若干简易充分条件，并通过数值实验验证了所得理论结果的有效性和实用性。

Abstract: The subdirect sum of matrices, as a generalization of the sum of matrices, holds significant theoretical value and practical applications in fields such as domain decomposition methods, complex network analysis, and graph theory. Based on the properties of Nekrasov-type matrices and strictly diagonally dominant matrices, combined with inequality scaling techniques, this paper explores the subdirect sum problems between Nekrasov-type matrices and strictly diagonally dominant matrices. The study obtains several simple sufficient conditions for the subdirect sum matrices to preserve the structural properties of Nekrasov-type matrices, and the effectiveness and practicality of the theoretical results are verified through numerical experiments.

1. 引言

设$C^{n\times n}$ 为所有n阶复矩阵的集合。1999年，Fallat和Johnson [1]在研究正定矩阵性质时，基于矩阵加法运算，首次提出了矩阵的k-子直和概念。

定义1 [1] 设$A\in C^{n_1\times n_1},B\in C^{n_2\times n_2}$ ，且有如下分块形式：

$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)$ ，$B=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)$ ， (1)

其中$A_{22},B_{11}\in C^{k\times k}\left(1\le k\le \min \left(n_1,n_2\right)\right)$ ，称

$C=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& 0\\ A_{21}& A_{22}+B_{11}& B_{12}\\ 0& B_{21}& B_{22}\end{array}\right)$

为A和B的k-子直和，记作$C=A{\oplus }_{k}B$ 。

矩阵子直和(subdirect sum)作为一种重要的矩阵运算，在数值计算与优化领域中具有广泛的应用背景。这一概念在矩阵补全问题、区域分解方法中的重叠子域处理以及有限元分析中的整体刚度矩阵构建等关键问题中发挥着重要作用[1]-[4]。在结构矩阵的研究中，一个核心问题是探讨同类矩阵经过子直和运算后是否仍然保持原有的矩阵结构特性，即所谓的保结构问题。这一问题的答案因矩阵结构的不同而有所差异，国内外学者对此展开了深入研究，并取得了丰硕的成果[2] [5]-[10]。

在子直和问题的研究历程中，2005年文献[2]首次给出了两个非奇异M-矩阵的子直和仍为非奇异M-矩阵的若干充分条件，为这一领域的研究奠定了基础。随后，2006年文献[5]证明了S-严格对角占优矩阵的k-子直和保持S-严格对角占优性质的结论。在此基础上，文献[6]-[10]相继对$\sum$ -严格对角占优矩阵、双严格对角占优矩阵、${\alpha }_1$ -矩阵、${\alpha }_2$ -矩阵、H-矩阵、B-矩阵和双B-矩阵等特殊矩阵的子直和问题进行了系统研究，分别给出了相应的保结构充分条件。

近年来，子直和问题的研究持续深入。2016年，Li等人先后对Nekrasov矩阵[11]和弱链对角占优矩阵[12]的子直和问题进行了深入探讨；2020年，Gao等人将研究视角扩展到QN-矩阵的子直和问题[13]；2022年，戴平凡和潘攀[14]针对DZ型矩阵的子直和问题进行了研究：他们首先说明了两个DZ型矩阵的1-子直和并不一定是DZ型矩阵，随后给出了保证两个DZ型矩阵的1-子直和仍为DZ型矩阵的一些充分条件，并进一步推广到k-子直和情形，建立了相应的理论结果。这些研究成果不仅丰富了矩阵子直和理论，也为相关领域的实际应用提供了重要的理论支撑。

本文继续研究结构矩阵的子直和问题，重点探讨Nekrasov型矩阵和严格对角占优矩阵的子直和问题，通过理论分析和推导，给出了保证Nekrasov型矩阵和严格对角占优矩阵的1-子直和、k-子直和仍为Nekrasov型矩阵的一些简易充分条件。这一研究不仅深化了对结构矩阵子直和性质的理解，也为相关矩阵理论在数值计算和优化领域的应用提供了新的理论支撑。

本文其余部分的结构安排：第二部分为预备知识，给出本文用到的符号、定义和引理；第三部分为主要结果，研究Nekrasov型矩阵和严格对角占优矩阵的子直和问题，并给出一些数值算例进行说明；第四部分，对本文的工作进行总结。

2. 预备知识

本文中，$C$ 表示复数域，$C^{n\times n}$ 表示n阶复矩阵集合，$\left|a\right|$ 指复数a的模。设$A\in C^{n_1\times n_1}$ ，$B\in C^{n_2\times n_2}$ $C=A{\oplus }_{k}B=\left(c_{ij}\right)\in C^{\left(n_1+n_2-k\right)\times \left(n_1+n_2-k\right)}$ ，按照定义1，$C$ 的元素满足：

$c_{ij}=\{\begin{array}{l}{a}_{ij},i\in S_1,j\in S_1\cup S_2,\\ 0,i\in S_1,j\in S_3,\\ a_{ij},i\in S_2,j\in S_1,\\ a_{ij}+b_{i-t,j-t},i\in S_2,j\in S_2,\\ b_{i-t,j-t},i\in S_2,j\in S_3,\\ 0,i\in S_3,j\in S_1,\\ b_{i-t,j-t},i\in S_3,j\in S_2\cup S_3,\end{array}$

其中$t=n_1-k,S_1=\left\{1,\cdots ,n_1-k\right\},S_2=\left\{n_1-k+1,\cdots ,n_1\right\},S_3=\left\{n_1+1,\cdots ,n\right\}$ 。

定义2 [15] 设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，若对于$i\in N:=\left\{1,\cdots ,n\right\}$ ，$\left|a_{ii}\right|>r_i\left(A\right)$ ，则称A是严格对角(SDD)矩阵，其中$r_i\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\in N,j\ne i}\left|a_{ij}\right|}$ 。

设$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n}$ ，其中对于每一个$i\in N$ 有$a_{ii}\ne 0$ ，令

$g_n\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}\left|a_{nj}\right|},g_i\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\frac{\left|a_{ij}\right|}{\left|a_{jj}\right|}{g}_j}\left(A\right),i=n-1,n-2,\cdots ,1$ .

3. 主要结果

首先，回顾S-Nekrasov型矩阵的定义，并给出Nekrasov型矩阵的定义。

定义3 [16] 设矩阵$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n},n\ge 2$ ，若矩阵A满足下述条件之一：

(1) 对于$i\in N$ ，$\left|a_{ii}\right|>g_i\left(A\right)$ ；

(2) 对每个$N^{-}\left(A\right)=\left\{i\in N|\left|a_{ii}\right|\le g_i\left(A\right)\right\}$ ，存在一个包含i的非空真子集$S\subset N$ 满足

$\left|a_{ii}\right|>g_i^S\left(A\right)$ ，$\left(\left|a_{ii}\right|-g_i^S\left(A\right)\right)\left(\left|a_{jj}\right|-g_j^{\overline{S}}\left(A\right)\right)>g_i^{\overline{S}}\left(A\right)g_j^S\left(A\right)$ ，$j\in \overline{S}$ ，

则称A是S-Nekrasov型矩阵，其中

$g_n^S\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j\ne n,j\in S}^{}\left|a_{nj}\right|},g_i^S\left(A\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1,j\in S}^n\frac{\left|a_{ij}\right|}{\left|a_{jj}\right|}{g}_j^S}\left(A\right),i=n-1,n-2,\cdots ,1.$

注1：若$A=\left(a_{ij}\right)\in C^{n\times n},n\ge 2$ ，满足对于$i\in N$ ，$\left|a_{ii}\right|>g_i\left(A\right)$ ，则称A为Nekrasov型矩阵。显然SDD矩阵和Nekrasov型矩阵均为是S-Nekrasov型矩阵。

3.1. Nekrasov型矩阵和SDD矩阵的1-子直和

定理1 假定$A=\left(a_{ij}\right)$ 和$B=\left(b_{ij}\right)$ 分别形如(1)中的$n_1$ 和$n_2$ 阶的分块矩阵。设$S_1=\left\{1,\cdots ,n_1-1\right\}$ ，$S_2=\left\{n_1\right\}$ ，$S_3=\left\{n_1+1,\cdots ,n\right\}$ ，其中$n=n_1+n_2-1$ 。设A是SDD矩阵，B是Nekrasov型矩阵，如果$A_{22}$ 和$B_{11}$ 的对角元素均为正或均为负，那么A和B的1-子直和$C=A{\oplus }_{1}B$ 是Nekrasov型矩阵。

证明：令$t=n_1-1$ ，下面分三种情形进行证明：

情形一：当$i\in S_3$ 时，

$g_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}}=g_{i-t}\left(B\right)<\left|b_{i-t,i-t}\right|=\left|c_{ii}\right|.$

情形二：当$i\in S_2=\left\{n_1\right\}$ 时，

$\begin{array}{l}{g}_{n_1}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-1}\left|c_{n_1,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|c_{n_1,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-1}\left|a_{n_1,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{1,j-t}\right|}\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ <r_{n_1}\left(A\right)\text{+}{g}_1\left(B\right)<\left|a_{n_1,n_1}\right|+\left|b_{11}\right|=\left|c_{n_1{n}_1}\right|.\end{array}$

情形三：当$i\in S_1$ 时，

$\begin{array}{l}{g}_{n_1-1}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|c_{n_1-1,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1}^n\left|c_{n_1-1,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|a_{n_1-1,j}\right|}+\left|a_{n_1-1,n_1}\right|\frac{g_{n_1}\left(C\right)}{\left|c_{n_1{n}_1}\right|}\\ <{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|a_{n_1-1,j}\right|}+\left|a_{n_1-1,n_1}\right|<r_{n_1-1}\left(A\right)<\left|a_{n_1-1,n_1-1}\right|=\left|c_{n_1-1,n_1-1}\right|,\end{array}$

$\begin{array}{l}{g}_{n_1-2}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-3}\left|c_{n_1-2,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-1}^n\left|c_{n_1-2,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-3}\left|a_{n_1-2,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-1}^{n_1}\left|a_{n_1-2,j}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}\\ <{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-3}\left|a_{n_1-2,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-1}^{n_1}\left|a_{n_1-2,j}\right|}=r_{n_1-2}\left(A\right)<\left|a_{n_1-2,n_1-2}\right|=\left|c_{n_1-2,n_1-2}\right|.\end{array}$

类似地，利用递推方式，对于$i=n_1-3,\cdots ,1$ ，有

$g_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}<r_i\left(A\right)<\left|a_{ii}\right|=\left|c_{ii}\right|$

综上，A和B的1-子直和是Nekrasov型矩阵。

例1 考虑下列矩阵：

$A=\left(\begin{array}{ccc}7& 4& 2\\ 6& 8& 1\\ 3& 2& 6\end{array}\right)$ ，$B=\left(\begin{array}{ccc}6& 3& 2\\ 1& 3& 2\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$ .

容易验证，矩阵A是SDD矩阵，矩阵B是Nekrasov型矩阵。由定理1可知，$C=A{\oplus }_{1}B$ 是Nekrasov型矩阵。实际上，1-子直和$C=A{\oplus }_{1}B$ 是

$C=A{\oplus }_{1}B=\left(\begin{array}{cccc}\begin{array}{l}7\\ 6\end{array}& \begin{array}{l}4\\ 8\end{array}& \begin{array}{l}2\\ 1\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\end{array}\\ 3& 2& 12& \begin{array}{cc}3& 2\end{array}\\ 0& 0& 1& \begin{array}{cc}3& 2\end{array}\\ 0& 0& 1& \begin{array}{cc}2& 4\end{array}\end{array}\right).$

计算得

$g_5\left(C\right)=3$ ，$g_4\left(C\right)=2.5$ ，$g_3\left(C\right)=9$ ，$g_2\left(C\right)=6.75$ ，$g_1\left(C\right)=4.875$ .

由Nekrasov型矩阵定义可知，矩阵C是Nekrasov型矩阵。

定理2 假定$A=\left(a_{ij}\right)$ 和$B=\left(b_{ij}\right)$ 分别形如(1)中的$n_1$ 和$n_2$ 阶的分块矩阵。设$S_1=\left\{1,\cdots ,n_1-1\right\}$ ，$S_2=\left\{n_1\right\}$ ，$S_3=\left\{n_1+1,\cdots ,n\right\}$ ，其中$n=n_1+n_2-1$ 。设A是Nekrasov型矩阵，B是SDD矩阵，如果$A_{22}$ 和$B_{11}$ 的对角元素均为正或均为负，且

$r_1\left(B\right)\left|a_{n_1,n_1}\right|<g_{n_1}\left(A\right)\left|b_{11}\right|$ ，

那么A和B的1-子直和$C=A{\oplus }_{1}B$ 是Nekrasov型矩阵。

证明：下面分两种情形完成证明：

情形一：当$i\in S_3\cup S_2$ 时，类似于定理1中情形一和情形二的证明，有

$g_i\left(C\right)<\left|c_{ii}\right|.$

情形二：当$i\in S_1$ 时，对于$i=n_1-1$ 有

$\begin{array}{c}{g}_{n_1-1}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|c_{n_1-1,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1}^n\left|c_{n_1-1,j}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|a_{n_1-1,j}\right|}+\left|a_{n_1-1,n_1}\right|\frac{g_{n_1}\left(C\right)}{\left|c_{n_1,n_1}\right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|a_{n_1-1,j}\right|}+\left|a_{n_1-1,n_1}\right|\frac{g_{n_1}\left(A\right)+r_1\left(B\right)}{\left|a_{n_1,n_1}\right|+\left|b_{11}\right|}\\ <{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|a_{n_1-1,j}\right|}+\left|a_{n_1-1,n_1}\right|\frac{g_{n_1}\left(A\right)+g_{n_1}\left(A\right)\frac{\left|b_{11}\right|}{\left|a_{n_1,n_1}\right|}}{\left|a_{n_1,n_1}\right|+\left|b_{11}\right|}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-2}\left|a_{n_1-1,j}\right|}+\left|a_{n_1-1,n_1}\right|\frac{g_{n_1}\left(A\right)}{\left|a_{n_1,n_1}\right|}\\ =g_{n_1-1}\left(A\right)<\left|a_{n_1-1,n_1-1}\right|=\left|c_{n_1-1,n_1-1}\right|.\end{array}$

对于$i=n_1-2$ 有

$\begin{array}{c}{g}_{n_1-2}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-3}\left|c_{n_1-2,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-1}^n\left|c_{n_1-2,j}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-3}\left|a_{n_1-2,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-1}^{n_1}\left|a_{n_1-2,j}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-3}\left|a_{n_1-2,j}\right|}+\left|a_{n_1-2,n_1-1}\right|\frac{g_{n_1-1}\left(C\right)}{\left|c_{n_1-1,n_1-1}\right|}+\left|a_{n_1-2,n_1}\right|\frac{g_{n_1}\left(C\right)}{\left|c_{n_1,n_1}\right|}\\ <{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-3}\left|a_{n_1-2,j}\right|}+\left|a_{n_1-2,n_1-1}\right|\frac{g_{n_1-1}\left(A\right)}{\left|a_{n_1-1,n_1-1}\right|}+\left|a_{n_1-2,n_1}\right|\frac{g_{n_1}\left(A\right)}{\left|a_{n_1,n_1}\right|}\\ =g_{n_1-2}\left(A\right)<\left|a_{n_1-2,n_1-2}\right|=\left|c_{n_1-2,n_1-2}\right|.\end{array}$

类似地，对于$i\in \left\{n_1-3,\cdots ,1\right\}$ 有

$\begin{array}{c}{g}_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}\\ <{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|}\frac{g_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}=g_i\left(A\right)<\left|a_{ii}\right|=\left|c_{ii}\right|.\end{array}$

综上，A和B的1-子直和是Nekrasov型矩阵。

例2 考虑下列矩阵

$A=\left(\begin{array}{ccc}6& 3& 2\\ 2& 5& 3\\ 3& 1& 6\end{array}\right)$ ，$B=\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 1\\ 3& 5& 1\\ 2& 1& 4\end{array}\right)$ .

容易验证，A是Nekrasov型矩阵，B是SDD矩阵，且满足定理2的条件。根据定理2知，$C=A{\oplus }_{1}B$ 是Nekrasov型矩阵。实际上，A和B的1-子直和为

$C=A{\oplus }_{1}B=\left(\begin{array}{cccc}\begin{array}{l}6\\ 2\end{array}& \begin{array}{l}3\\ 5\end{array}& \begin{array}{l}2\\ 3\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}& \begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\end{array}\\ 3& 1& 12& \begin{array}{cc}4& 1\end{array}\\ 0& 0& 3& \begin{array}{cc}5& 1\end{array}\\ 0& 0& 2& \begin{array}{cc}1& 4\end{array}\end{array}\right).$

计算得$g_5\left(C\right)=3$ ，$g_4\left(C\right)=3.75$ ，$g_3\left(C\right)=7.75$ ，$g_2\left(C\right)=3.9375$ ，$g_1\left(C\right)=3.6542$ 。由Nekrasov型矩阵定义可知，矩阵A和矩阵B的1-子直和C是Nekrasov型矩阵。

3.2. Nekrasov型矩阵和SDD矩阵的k-子直和

定理3 假设$A=\left(a_{ij}\right)$ 和$B=\left(b_{ij}\right)$ 分别是形如(1)中的$n_1$ 和$n_2$ 阶的分块矩阵。设$S_1=\left\{1,\cdots ,n_1-k\right\}$ ， $S_2=\left\{n_1-k+1,\cdots ,n_1\right\}$ ，$S_3=\left\{n_1+1,\cdots ,n\right\}$ ，其中$n=n_1+n_2-k$ 。A是SDD矩阵，B是Nekrasov型矩阵，如果$A_{22}$ 和$B_{11}$ 的对角元素均为正或均为负，且

$r_j\left(A\right)\left|b_{j-t,j-t}\right|<g_{j-t}\left(B\right)\left|a_{jj}\right|,j\in \left\{n_1-k+2,\cdots ,n_1\right\}$

那么A和B的k-子直和$C=A{\oplus }_{k}B$ 是Nekrasov型矩阵。

证明：下面分三种情形完成证明：

情形一：当$i\in S_3$ 时，

$\begin{array}{c}{g}_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}={\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^{i-1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}}\\ =g_{i-t}\left(B\right)<\left|b_{i-t,i-t}\right|=\left|c_{ii}\right|.\end{array}$

情形二：当$i\in S_2$ 时

对于$i=n_1$ 有

$\begin{array}{c}{g}_{n_1}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-1}\left|c_{n_{1}j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|c_{n_{1}j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{n_{1}j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1-1}\left|c_{n_{1}j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{n_1-t,j-t}\right|}\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{n_{1}j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1-1}\left|a_{n_{1}j}+b_{k,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{n_1-t,j-t}\right|}\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{n_{1}j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1-1}\left|a_{n_{1}j}\right|+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1-1}\left|b_{k,j-t}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{n_1-t,j-t}\right|}\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ =r_{n_1}\left(A\right)+g_k\left(B\right)<\left|a_{n_1{n}_1}\right|+\left|b_{kk}\right|=\left|c_{n_1{n}_1}\right|.\end{array}$

对于$i=n_1-1$ 有

类似地，对于$i\in \left\{n_1-2,n_1-3,\cdots ,n_1-k+1\right\}$ 有

$=r_i\left(A\right)+g_{i-t}\left(B\right)<\left|a_{ii}\right|+\left|b_{i-t,i-t}\right|=\left|c_{ii}\right|.$

情形三：当$i\in S_1$ 时，对于$i=n_1-k$ 有

$\begin{array}{c}{g}_{n_1-k}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k-1}\left|c_{n_1-k,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^n\left|c_{n_1-k,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k-1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k-1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}\\ =r_{n_1-k}\left(A\right)<\left|a_{n_1-k,n_1-k}\right|=\left|c_{n_1-k,n_1-k}\right|.\end{array}$

类似地，对于$i\in \left\{n_1-k-1,\cdots ,1\right\}$ 有

$g_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|\frac{g_i\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}<r_i\left(A\right)<\left|a_{ii}\right|=\left|c_{ii}\right|.$

综上，矩阵A和矩阵B的k-子直和是Nekrasov型矩阵。

例3 考虑下列矩阵：

$A=\left(\begin{array}{cccc}6& 3& 1& 1\\ 4& 8& 2& 1\\ 1& 2& 6& 2\\ 1& 1& 1& 4\end{array}\right)$ ，$B=\left(\begin{array}{cccc}6& 4& 1& 1\\ 4& 8& 2& 2\\ 2& 3& 8& 2\\ 2& 1& 2& 6\end{array}\right)$ .

容易验证A是SDD矩阵，B是Nekrasov型矩阵，且满足定理3的条件。由定理3可知，$C=A{\oplus }_{3}B$ 是Nekrasov型矩阵。实际上，$C=A{\oplus }_{3}B$ 是

$C=A{\oplus }_{3}B=\left(\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}& \begin{array}{c}3\\ 14\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 6\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 2\end{array}& \begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\\ \begin{array}{cc}1& 6\end{array}& 14& 4& 2\\ \begin{array}{cc}1& 3\end{array}& 4& 12& 2\\ \begin{array}{cc}0& 2\end{array}& 1& 2& 6\end{array}\right)$ .

计算得$g_5\left(C\right)=5,g_4\left(C\right)=9.6667,g_3\left(C\right)=11.8889,g_2\left(C\right)=11.5397,g_1\left(C\right)=4.1276$ 。根据Nekrasov型矩阵的定义可知，矩阵C是Nekrasov型矩阵。

定理4 假设$A=\left(a_{ij}\right)$ 和$B=\left(b_{ij}\right)$ 分别是形如(1)中的$n_1$ 和$n_2$ 阶的分块矩阵。设$S_1=\left\{1,\cdots ,n_1-k\right\}$ ， $S_2=\left\{n_1-k+1,\cdots ,n_1\right\}$ ，$S_3=\left\{n_1+1,\cdots ,n\right\}$ ，其中$n=n_1+n_2-k$ 。设A是Nekrasov型矩阵，B是SDD矩阵，如果$A_{22}$ 和$B_{11}$ 的对角元素均为正或均为负，且下列条件成立：

$r_{j-t}\left(B\right)\left|a_{jj}\right|<g_j\left(A\right)\left|b_{j-t,j-t}\right|,j\in S_2,$

那么A和B的k-子直和$C=A{\oplus }_{k}B$ 是Nekrasov型矩阵。

证明：下面分三种情形完成证明：

情形一：当$i\in S_3$ 时，

$\begin{array}{c}{g}_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}={\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^{i-1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}}\\ \le r_{i-t}\left(B\right)<\left|b_{i-t,i-t}\right|=\left|c_{ii}\right|.\end{array}$

情形二：当$i\in S_2$ 时，

对于$i=n_1$ 有

$\begin{array}{c}{g}_{n_1}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-1}\left|c_{n_1,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|c_{n_1,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{n_1,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1-1}\left|a_{n_{1}j}+b_{k,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{n_1-t,j-t}\right|}\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{n_1,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1-1}\left|a_{n_{1}j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1-1}\left|b_{k,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{n_1-t,j-t}\right|}\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ \le g_{n_1}\left(A\right)+r_k\left(B\right)<\left|a_{n_1{n}_1}\right|+\left|b_{kk}\right|=\left|c_{n_1{n}_1}\right|.\end{array}$

对于$i=n_1-1$ ，由已知条件得

对于$i\in \left\{n_1-k+1,\cdots ,n_1-2\right\}$ ，由已知条件得

$\begin{array}{c}{g}_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|a_{ij}+b_{i-t,j-t}\right|+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}+b_{i-t,j-t}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|b_{i-t,j-t}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|\frac{g_{j-t}\left(B\right)}{\left|b_{j-t,j-t}\right|}}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(A\right)+r_{j-t}\left(B\right)}{\left|a_{jj}\right|+\left|b_{j-t,j-t}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(A\right)+g_j\left(A\right)\frac{\left|b_{j-t,j-t}\right|}{\left|a_{jj}\right|}}{\left|a_{jj}\right|+\left|b_{j-t,j-t}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|}\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{i-1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1}\left|b_{i-t,j-t}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1+1}^n\left|b_{i-t,j-t}\right|}\\ =g_i\left(A\right)+r_{i-t}\left(B\right)<\left|a_{ii}\right|+\left|b_{i-t,i-t}\right|=\left|c_{ii}\right|.\end{array}$

情形三：当$i\in S_1$ 时，对于$i=n_1-k$ 有

$\begin{array}{c}{g}_{n_1-k}\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k-1}\left|c_{n_1-k,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^n\left|c_{n_1-k,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k-1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}\frac{g_j\left(C\right)}{\left|a_{jj}\right|+\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k-1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}\frac{g_j\left(A\right)+r_{j-t}\left(B\right)}{\left|a_{jj}\right|+\left|b_{j-t,j-t}\right|}\\ <{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_1-k-1}\left|a_{n_1-k,j}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^n\left|a_{n_1-k,j}\right|}\frac{g_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}\\ =g_{n_1-k}\left(A\right)<\left|a_{n_1-k,n_1-k}\right|=\left|c_{n_1-k,n_1-k}\right|.\end{array}$

对于$i\in \left\{n_1-k-1,\cdots ,1\right\}$ 有

$\begin{array}{c}{g}_i\left(C\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|c_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^n\left|c_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(C\right)}{\left|c_{jj}\right|}}\\ \le {\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(A\right)+r_{j-t}\left(B\right)}{\left|a_{jj}\right|+\left|b_{j-t,j-t}\right|}}\\ <{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}\left|a_{ij}\right|}+{\displaystyle \sum _{j=i+1}^{n_1-k}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}+{\displaystyle \sum _{j=n_1-k+1}^{n_1}\left|a_{ij}\right|\frac{g_j\left(A\right)}{\left|a_{jj}\right|}}\\ =g_i\left(A\right)<\left|a_{ii}\right|=\left|c_{ii}\right|.\end{array}$

综上，矩阵A和矩阵B的k-子直和是Nekrasov型矩阵。

例4 考虑下列矩阵：

$A=\left(\begin{array}{cccc}4& 1& 1& 1\\ 2& 5& 2& 1\\ 3& 2& 6& 1\\ 1& 2& 4& 8\end{array}\right)$ ，$B=\left(\begin{array}{cccc}6& 2& 1& 1\\ 2& 10& 3& 3\\ 1& 1& 4& 1\\ 1& 2& 2& 6\end{array}\right)$ .

容易验证A是Nekrasov型矩阵，B是SDD矩阵，且满足定理4的条件。由定理4可知，$C=A{\oplus }_{3}B$ 是Nekrasov型矩阵。实际上，3-子直和$C=A{\oplus }_{3}B$ 是

$C=A{\oplus }_{3}B=\left(\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 4\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 2\end{array}& \begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\\ \begin{array}{cc}3& 4\end{array}& 16& 4& 3\\ \begin{array}{cc}1& 3\end{array}& 5& 12& 1\\ \begin{array}{cc}0& 1\end{array}& 2& 2& 6\end{array}\right)$ .

计算得$g_5\left(C\right)=5,g_4\left(C\right)=9.8333,g_3\left(C\right)=12.7778,g_2\left(C\right)=7.6667,g_1\left(C\right)=2.3150$ 。根据Nekrasov型矩阵的定义可知矩阵C是Nekrasov型矩阵。

4. 结论

本文给出了一些充分条件使得当A为Nekrasov型矩阵，B为SDD矩阵时，它们的1-子直和为Nekrasov型矩阵；当A为SDD矩阵，B为Nekrasov型矩阵时，它们的1-子直和为Nekrasov型矩阵；当A为Nekrasov型矩阵，B为SDD型矩阵时，它们的k-子直和为Nekrasov型矩阵；当A为SDD矩阵，B为Nekrasov型矩阵时，它们的k-子直和为Nekrasov型矩阵。本文仅研究了SDD矩阵和Nekrasov型矩阵以及Nekrasov型矩阵和SDD矩阵的子直和问题，未来可以研究Nekrasov型矩阵和Nekrasov型矩阵的子直和。此外，还可研究一般的S-Nekrasov型矩阵的子直和问题。