探究核子配对近似模型非集体对参数对¹²⁹Sn的影响

Probing the Effect of the Non-Collective Pair Parameter of the Nucleon Pair Approximation Shell Model on ¹²⁹Sn

摘要: 核子配对近似模型是研究原子核性质的重要方法之一，该方法已经在许多核领域内取得了重要成果。在对核¹²⁹Sn的研究过程中，添加非集体对参数，并将该参数进行调整，从而观察非集体配对方式对核子能态的影响。经过计算后，发现非集体对主要对负宇称能态有较大影响，而在正宇称能态中对角动量较高的能态有较大的影响。

Abstract: The nucleon pair approximation shell model is one of the most important methods for studying the properties of atomic nuclei, and the method has yielded important results in many nuclear fields. During the study of nuclear ¹²⁹Sn, the non-collective pairing parameter is added and the parameter is tuned so as to observe the effect of the non-collective pairing approach on the energy states of nuclei. After calculations, it is found that the non-collective pairing has a large effect mainly on the negative-universal energy states, while in the positive-universal energy states it has a large effect on the energy states with higher angular momentum.

1. 引言

原子核内部结构的研究一直以来都是物理学科领域里亟待解决的重大难题，但由于受限于现有的数学知识，无法通过解析的形式来解决原子核内部结构的性质、状态以及运作方式等等，即我们无法对原子核内部进行严格求解。然而，通过各种各样的核物理实验，我们能了解到原子核会受到某些量子数的影响并且原子核内部的一些简单结构已经被逐渐勾勒出来。原子核壳模型就是重要的成果之一。通过实验现象刻画原子核模型，再通过核模型计算原子核的能态以及其他数据，来观察原子核的性质，这样的方式已经成为研究原子核物理的主流之一。在核物理试验中发现的幻数是最早的启发之一[1] [2]。

核子配对近似模型(Nucleon pair approximation shell model) [3]-[5]是原子核壳模型的一种拓展。在最早期的计算中，核壳模型的空间维度过大，以至于无法计算核子质量数较高的核子。而原子核配对近似模型则是通过配对近似的方式减少了核子计算时的空间维度，在核子质量数约为130左右[6]-[8]的区域内取得了重大成功。在今天，更多的先进实验探究出原子核的更多新现象。类似于回弯现象[9] [10]、高能态的同分异构体[11]-[13]以及低能态的不稳定性等奇特现象使得核物理研究再次掀起热潮。非集体对也逐渐受到重视，被认为是构成原子核结构的重要组成部分。在本篇文章中，我们添加非集体对参数并对其调整，来探究非集体配对方式对核子配对近似模型计算核¹²⁹Sn的结果的影响。

本文主要分为以下几个部分：第一部分介绍研究原子核模型的重要意义和研究的拓展方向；第二部分介绍核子配对近似模型的理论框架；第三部分对得到的计算结果进行分析讨论；第四部分则为文章总结。

2. 核子配对近似模型的理论框架

2.1. 哈密顿量

核模型哈密顿量往往取决于模型本身，例如典型的液滴模型[14]是通过球体表面积、体积等参数构建的。而在核子配对近似模型中，我们的哈密顿量设置为：

$H=H_0+H_1+H_2$ (1)

$H_0$ 与单粒子态有关，它的公式为：

$H_0={\displaystyle \sum }_{xy}{ϵ}_{xy}{C}_{xy}^{†}{C}_{xy}$ (2)

公式(2)中，$x=\left(nljm\right)$ 表示一个核子所需的量子数的总体之和，$y可取\pi$ 、$\nu$ 则分别对应于质子、中子。$C_{xy}^{†}$ 为产生算符，$C_{xy}$ 为湮灭算符。$H_1$ 为同类价核子之间的剩余相互作用，在本节中被定义为：

$H_1=V_0+V_2+V_4+V_{10}$ (3)

$V_0$ 和单粒子态有关，公式为：

$V_0=N_{\pi }^{\left(0\right)}{B}_{\pi }^{\left(0\right)}{}^{†}\cdot {\tilde{B}}_{\pi }^{\left(0\right)}+N_{\nu }^{\left(0\right)}{B}_{\nu }^{\left(0\right)}{}^{†}\cdot {\tilde{B}}_{\nu }^{\left(0\right)}$ (4)

其中，${\text{B}}_y^{\left(0\right)}{}^{†}$ 被定义为：

${\text{B}}_{\text{y}}^{\left(0\right)}{}^{†}={\displaystyle \sum }_{a_{\text{y}}}\frac{\widehat{p_{\text{y}}}}{2}{\left(C_{p_{\text{y}}}^{†}\times C_{p_{\text{y}}}^{†}\right)}_0^{\left(0\right)}$ (5)

${}_{\tilde{\text{B}}}^y$为${\text{B}}_y^{\left(0\right)}{}^{†}$ 的时间反演算符，被定义为：

${}_{\tilde{\text{B}}}^y=-{\displaystyle \sum }_{p_y}\frac{\widehat{p_y}}{2}{\left({\tilde{C}}_{p_y}\times {\tilde{C}}_{p_y}\right)}_0^{\left(0\right)}$ (6)

其中，$\widehat{p}=\sqrt{2p_{\text{y}}+1}$。同理，我们可以得到其他多极对相互作用，$V_2$ 和$V_4$ 以及$V_{10}$ 可表示为：

$V_2=N_{\pi }^{\left(2\right)}{\text{B}}_{\pi }^{\left(2\right)†}\cdot {}_{\tilde{\text{B}}}^{\pi }+N_{\nu }^{\left(2\right)}{\text{B}}_{\nu }^{\left(2\right)†}\cdot {}_{\tilde{\text{B}}}^{\nu }$ (7)

$V_4=N_{\pi }^{\left(4\right)}{\text{B}}_{\pi }^{\left(4\right)}{}^{†}\cdot {}_{\tilde{\text{B}}}^{\pi }+N_{\nu }^{\left(4\right)}{\text{B}}_{\nu }^{\left(4\right)†}\cdot {}_{\tilde{\text{B}}}^{\nu }$ (8)

(9)

$V_{10}$ 与非集体对有关联。$H_2$ 被定义为：

$H_2=V_r+V_{s_{\text{πν}}}$ (10)

$V_r={\displaystyle \sum }_{\text{y}}{\text{κ}}_{\text{y}}^{\left(2\right)}{R}_{\text{y}}^{\left(2\right)}\cdot R_{\text{y}}^{\left(2\right)}$ (11)

$V_{s_{\text{πν}}}=\text{κ}{R}_{\text{π}}^{\left(2\right)}\cdot R_{\text{ν}}^{\left(2\right)}$ (12)

$R_{\text{y}M}^{\left(2\right)}={\displaystyle \sum }_{pq}w\left(pq2\right){\left(C_{p_y}^{†}\times {\tilde{C}}_{q_y}\right)}_M^{\left(2\right)}$ (13)

$w\left(pq\text{λ}\right)=-\frac{1}{}\frac{j_p{r}^{\lambda }{W}^{\lambda }{j}_q}{r_0^{\text{λ}}}$ (14)

其中$V_r$ 是相同价核子之间的四极–四极相互作用，$V_{s_{\pi \nu }}$ 是指中子与质子之间的相互作用。$N_{\pi }$ 、$N_{\nu }$ 、${\kappa }_{\pi }$ 以及${\kappa }_{\nu }$ 均为相互作用参数，¹²⁹Sn在质子数上是闭合状态，因此其质子相互作用参数均可视为0。在核子配对近似模型中，我们的粒子轨道上的单粒子态能量与实验数据[15]-[17]相关，如表1所示，相互作用参数的选取如表2所示。

Table 1. Energy of single-particle states in various nuclear orbitals

表1. 各个核轨道上的单粒子态能量(单位：MeV)

能量	${1/2}^{+}$	${3/2}^{+}$	${5/2}^{+}$	${7/2}^{+}$	${11/2}^{-}$
${ϵ}_{j\pi }$	2.990	2.690	0.963	0.000	2.760
${ϵ}_{j\nu }$	0.432	0.000	13655	2.434	0.02

2.2. 基矢

基矢是指在哈密顿量空间中的粒子态，在核子配对近似模型中，即为粒子成对存在的粒子对算符。我们设定自旋为s且投影为m的集体对算符被定义为：

$A_m^{s†}={\displaystyle \sum }_{pq}w\left(pqs\right){\left(C_p^{†}\times C_q^{†}\right)}_m^{\left(s\right)}$ (15)

而非集体对算符则被定义为：

$A_{\text{m}}^s{\left(pq\right)}^{†}={\left(C_p^{†}\times C_q^{†}\right)}_{\text{m}}^{\left(s\right)}$ (16)

¹²⁹Sn是奇偶核，因此我们需要用核子配对耦合为一个具有2n+1个核子的奇偶系统。该系统可用公式[4] [5]表达为：

$\left|\text{τ}{J}_n{M}_n\equiv A_{M_n}^{J_n†}\left(s_i,J_i\right)\right|0$

$={\left\{\cdot \cdot \cdot {\left[{\left(A^{s_0†}\times A^{s_1†}\right)}^{J_1}\times A^{s_2†}\right]}^{J_2}\times \cdot \cdot \cdot \times A^{s_n†}\right\}}_{M_n}^{J_n}|0\rangle$ (17)

该公式为核子配对近似模型中哈密顿量的组态基矢。此次我们以SD配对方式为主，即以耦合为自旋为0和2的集体对为主。此外，我们还选取了非集体对${\mathcal{D}}^{\left(n\right)}$ (n可取2、4、6、8、10)以及负宇称配对$F^{-}、G^{-}、H^{-}、I^{-}、{\mathcal{J}}^{-}$ 来构成我们的基矢。

2.3. 电磁跃迁

电磁跃迁是研究原子核结构及性质的重要数据，根据文献[18]我们可得电磁跃迁概率为：

$B\left(E2\right)=\frac{2I_f+1}{2I_i+1}{\left(T\left(E2\right)\right)}^2$ (18)

$T\left(E2\right)={\displaystyle \sum }_{\text{y}}{e}_{\text{y}}{r}_{\text{y}}^2{W}_{\text{y}}^2$ (19)

$I_f$ 为终态角动量，$I_i$ 为初态角动量。

3. 计算结果的分析讨论

在本章节中，我们以两种方式对¹²⁹Sn进行了计算，一种是采取包含非集体对相互作用参数时的计算结果；另一种是采用不包含非集体对相互作用参数时的计算结果。具体的对比如表2。

Table 2. Interaction parameters of the two calculations

表2. 两种计算方式的相互作用参数

参数	Calculation-1	Calculation-2
$N_{\nu }^{\left(0\right)}$	−0.155	−0.155
$N_{\nu }^{\left(2\right)}$	−0.019	−0.019
$N_{\nu }^{\left(4\right)}$	−0.0001	−0.0001
${\kappa }_{\nu }^{\left(2\right)}$	−0.030	−0.030
$n_{\nu }^{\left(6\right)}$	−0.005	0.0
$n_{\nu }^{\left(8\right)}$	−0.06	0.0
$n_{\nu }^{\left(10\right)}$	0.07	0.0

表中$n_{\nu }^{\left(6\right)}$ 、$n_{\nu }^{\left(8\right)}$ 以及$n_{\nu }^{\left(10\right)}$ 分别对应非集体对${\mathcal{D}}^{\left(6\right)}、{\mathcal{D}}^{\left(8\right)}以及{\mathcal{D}}^{\left(10\right)}$ 的相互作用参数。通过计算，我们将这两种方式计算得到的能谱图与实验数据相比较，如图1所示。

Figure 1. Comparison of the energy spectra of the two calculations with the experimental data, CAL-1 for calculations that include non-collective pair interaction parameters, CAL-2 for calculations that do not include non-collective pair interaction parameters

图1. 两种计算结果的能谱图与实验数据的对比，CAL-1为包含非集体对相互作用参数的计算方式，CAL-2为不包含非集体对相互作用参数的计算方式

通过对比我们发现，在加入了非集体对参数后，所得到的结果在某些能态上要比在未加入非集体对参数时的结果更贴近于实验结果。这说明核子中的某些能态的波函数构型是主要由非集体对构成的。在${15/2}_1^{+}$ 、${19/2}_1^{+}$ 以及${23/2}_1^{+}$ 能态的计算结果中，CAL-1的计算结果在三者能态能量高低的顺序上是与实验结果相一致的，而在CAL-2的计算结果中，三者的顺序与实验结果是不相符的。在负宇称能态${23/2}_1^{-}$ 和${27/2}_1^{-}$ 发现了同样的现象。

我们在计算结果中发现${15/2}_1^{+}$ 、${19/2}_1^{+}$ 以及${23/2}_1^{+}$ 能态的波函数主要由负宇称对与位于轨道$\text{ν}{h}_{11/2}^{-1}$ 的构型${\mathcal{J}}_{\nu }^{-}\rangle \otimes \text{ν}{h}_{11/2}^{-1}\rangle$ 组成，除此之外，${15/2}_1^{+}$ 能态含有部分${\mathcal{D}}^{\left(6\right)}\rangle \otimes \text{ν}{d}_{3/2}^{-1}$ ，${19/2}_1^{+}$ 能态含有部分${\mathcal{D}}^{\left(8\right)}\rangle \otimes \text{ν}{d}_{3/2}^{-1}\rangle$ ，${23/2}_1^{+}$ 能态含有部分${\mathcal{D}}^{\left(10\right)}\rangle \otimes \text{ν}{d}_{3/2}^{-1}\rangle$ 。因此他们都会被非集体对参数影响，其他较低的正宇称能态也包含非集体对部分，但由于含量极少所以不会呈现很大的变化。对于负宇称能态，其低能态所含非集体对成分要更高，而且${23/2}_1^{-}$ 能态是由${\mathcal{D}}^{\left(6\right)}\rangle \otimes \text{ν}{h}_{11/2}^{-1}\rangle$ 、${\mathcal{D}}^{\left(8\right)}\rangle \otimes \text{ν}{h}_{11/2}^{-1}\rangle$ 和${\mathcal{D}}^{\left(10\right)}\rangle \otimes \text{ν}{h}_{11/2}^{-1}\rangle$ 构成的；而${27/2}_1^{-}$ 能态是由${\mathcal{D}}^{\left(8\right)}\rangle \otimes \text{ν}{h}_{11/2}^{-1}\rangle$ 和${\mathcal{D}}^{\left(10\right)}\rangle \otimes \text{ν}{h}_{11/2}^{-1}\rangle$ 构成的。这些计算结果与文献[19] [20]是一致的。

4. 总结

本文主要通过利用核子配对近似模型来验证非集体对在原子核结构性质的研究中具有非常重要的影响。原子核结构由于无法通过数学方式进行严格求导，因此通过构建模型的方式来探究原子核。在此过程我们已经发现核壳模型是具有相当适配性的，然而其空间维度过大导致计算量过大、计算时间冗长的问题也随着对研究核子质量数的增加而暴露，因此核子配对近似模型则是一种解决办法，其配对方式大大减少了模型的计算量，但在计算的结果中由于回弯现象等奇异现象，计算结果会与实验结果发生偏差。而在本文中，我们发现通过加入非集体对配对并为其增加调整参数能够更好并且迅速地解决与实验结果不相符的现象。通过该现象，我们得到非集体对在某些高角动量能态波函数构型中占据着主导地位这一结论。在本文中，仅以¹²⁹Sn一个核子为例，希望在今后的研究历程中，能够在多个核子上验证此方法的有效性。