非厄米系统虚时演化的量子模拟基础

Quantum Simulation Foundations of Imaginary-Time Evolution of Non-Hermitian Systems

摘要: 非厄米量子系统哈密顿量因具有不同的对称性，在量子态快速演化、量子态区分、量子精密测量等方面展现出超越标准量子力学系统的优势和新奇特性，近二十多年来受到持续关注，成为前沿领域。量子模拟非厄米系统是主要方向之一，又是研究非厄米系统的重要手段。典型的非厄米系统包括宇称–时间(Party-Time，简称PT)对称系统和赝厄米对称系统等。已有研究集中于对非厄米系统的时间演化开展量子模拟。文章围绕非厄米系统的虚时演化算符进行研究，通过计算非厄米系统的虚时演化算符，为开展典型非厄米系统的虚时演化量子模拟理论研究打下基础。我们的研究从理论上拓展了量子计算机可模拟新奇系统的范畴，并将虚时演化拓展至非厄米系统。基于我们对非厄米系统的虚时演化理论研究，对利用不同的量子系统和量子真机开展实验研究具有指导作用。

Abstract: The Hamiltonian of non-Hermitian quantum systems, due to its different symmetries, has shown advantages and novel properties beyond standard quantum mechanical systems in terms of rapid quantum state evolution, quantum state differentiation, quantum precision measurement, etc., which has attracted continuous attention and become a frontier field in the past two decades. Quantum simulation of non-Hermitian systems is one of the main directions and an important means to study non-Hermitian systems. Typical non-Hermitian systems include parity-time (PT) symmetric systems and pseudo Hermitian symmetric systems. Previous studies have focused on the quantum simulation of the time evolution of non-Hermitian systems. In this paper, the virtual time evolution operators of non-Hermitian systems are studied. By calculating the virtual time evolution operators of non-Hermitian systems, it lays a foundation for the theoretical study of virtual time evolution of typical non-Hermitian systems. Our research theoretically expands the range of novel systems that quantum computers can simulate, and extends virtual time evolution to non-Hermitian systems. Based on our research on the virtual time evolution theory of non-Hermitian systems, it has a guiding role to carry out experimental research with different quantum systems and quantum real machines.

1. 引言

随着量子计算技术的快速发展，利用量子计算机模拟虚时演化过程已成为当前研究的前沿方向。然而，由于虚时演化算符的非幺正特性，其无法直接在物理系统上实现。针对这一挑战，研究者们提出了三种主要的量子计算模拟方案：变分虚时演化(VITE) [1] [2]、量子虚时演化(QITE) [3]以及概率性虚时演化(PITE) [4]-[6]。传统的量子力学主要研究厄米系统，而非厄米系统引入了耗散、增益等复杂因素，虚时演化的研究有助于拓展量子力学的理论框架，揭示非厄米系统的独特性质。典型的非厄米系统包括宇称–时间(Party-Time，简称PT)对称系统和赝厄米对称系统等。已有研究集中于对非厄米系统的时间演化开展量子模拟，本论文对PT对称，PT反对称，任意子PT对称和P-赝厄米对称系统的虚时演化算符进行计算，为开展非厄米系统的虚时演化量子模拟理论研究打下基础。

2. 虚时演化

虚时演化方法的核心在于通过Wick旋转实现时间概念的转换，即用虚时间参数($-i\tau$ )替代实时间变量(t)。这种数学变换建立了欧几里得空间与闵可夫斯基空间之间的对应关系，同时架起了量子力学与统计力学之间的桥梁。通过这种转换，原本的动力学问题可以转化为静态问题进行处理，为解决复杂量子系统提供了新的理论工具和计算途径。

3. 二维PT对称、PT反对称和任意子PT对称系统

在量子力学理论的发展历程中，Bender [7]和Boettcher于1998年提出的PT对称量子理论具有里程碑意义。该理论突破性地证明，在满足特定对称性条件的情况下，即使哈密顿量不具备厄米性，其本征值仍可能保持为实数。这一发现极大地拓展了量子力学的理论框架。关键性的宇称–时间(Parity-Time, PT)对称性，其哈密顿量可表示为：

$\begin{array}{c}H={\left(PT\right)}^{-1}HPT\end{array}$ (1)

式中，宇称算子P，时间演化算子T。

选取宇称算符$P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ，反线性算子时间反演T满足$T\phi =\overline{\phi }$ ，其形式是：

$\begin{array}{c}T\left(\begin{array}{c}{\phi }_1\\ {\phi }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\overline{\phi }}_1\\ {\overline{\phi }}_2\end{array}\right),\forall \phi =\left(\begin{array}{c}{\phi }_1\\ {\phi }_2\end{array}\right)\in {ℂ}^2\end{array}$ (2)

因此，推出二能级量子系统的PT对称哈密顿量为

$\begin{array}{c}{H}_{ }{}_{PT}=\left(\begin{array}{cc}r{e}^{i\theta }& s+\omega i\\ s-\omega i& r{e}^{-i\theta }\end{array}\right)\end{array}$ (3)

其中$r,s,\omega ,\theta$ 是实数。

在二能级系统中，PT对称的哈密顿量的本征值为${\epsilon }_{\pm }=rcos\theta \pm \frac{{\Delta }_{PT}}{2}$ ，对应两个本征态|${\epsilon }_{\pm }$ ⟩，其中${\Delta }_{PT}={\epsilon }_{+}-{\epsilon }_{-}=2\sqrt{s^2+{\omega }^2-r^{2}si{n}^2\theta }$ 是系统的能级差。该${\Delta }_{PT}$ 只能是实数或纯虚数。

PT对称和PT反对称哈密顿量$H_{PT}$ 和$H_{APT}$ 分别是满足换向和反换向

$\begin{array}{c}\left[PT, H_{PT}\right]= 0,\left\{PT, H_{APT}\right\}= 0\end{array}$ (4)

其中$\left[A,B\right]=AB-BA,\left\{A,B\right\}=AB+BA$ ，

当宇称算子P反转位置和时间反转T生效时，$i\to -i$ 的复杂共轭变化发生变化。鉴于前一次$i$ 偶尔会变成PT反对称哈密顿量，反之亦然，$H_{PT}$ 和$H_{APT}$ 可以被认为是彼此的实部和虚部。也可以通过将PT对称哈密顿量与虚数i相乘$H_{APT}=i{H}_{PT}$ 来构造。

PT反对称二能级系统的哈密顿量表示如下：

$\begin{array}{c}{H}_{ }{}_{APT}=i{H}_{ }{}_{PT}=i\left(\begin{array}{cc}r{e}^{i\theta }& s+\omega i\\ s-\omega i& r{e}^{-i\theta }\end{array}\right)\end{array}$ (5)

${\Delta }_{APT}=i{\Delta }_{PT}=2\sqrt{-s^2-{\omega }^2+r^{2}si{n}^2\theta }$

考虑一个非厄米哈密顿量H，它满足

$\begin{array}{c}{H}_{PT}\Delta \left(PT\right)H{\left(PT\right)}^{-1}=e^{i\phi }H\end{array}$ (6)

显然，H可以通过相位因子$e^{-i\frac{\phi }{2}}$ 定时$H_{PT}=e^{i\frac{\phi }{2}}H$ 得到，这是PT对称哈密顿量的复杂推广

$\begin{array}{c}H=e^{-i\frac{\phi }{2}}{H}_{PT}=cos\frac{\phi }{2}{H}_{PT}-sin\frac{\phi }{2}\left(i{H}_{PT}\right)\end{array}$ (7)

转置满足反PT对称性的$H_{APT}=i{H}_{PT}$ ，那么

$\begin{array}{c}H=cos\frac{\phi }{2}{H}_{PT}-sin\frac{\phi }{2}\left(H_{APT}\right)\end{array}$ (8)

以视为$H_{PT}$ 和$H_{APT}$ 的混合组合。因此，我们表征具有任意子PT对称性或$PT-\phi$ 对称性。PT对称，PT反对称和任意子PT对称之间的关系可以比作Boson，Fermion和anyon的关系。因此，预计H将表现出介于前两类之间的属性。实际上，在等式$H=cos\frac{\phi }{2}{H}_{PT}-sin\frac{\phi }{2}\left(H_{APT}\right)$ 中表达的关系分别统一了$\phi =2k\pi$ 和$\phi =\left(2k+1\right)\pi$ (其中k是整数)的PT和PT反对称性。需要注意的是， $H=cos\frac{\phi }{2}{H}_{PT}-sin\frac{\phi }{2}\left(H_{APT}\right)$ 不仅适用于二维情况，也适用于更一般的场景。

在二维情况下，任意子PT对称的哈密顿量最一般的形式是

$\begin{array}{c}{H}_{ }=e^{-i\frac{\phi }{2}}\left(\begin{array}{cc}r{e}^{i\theta }& s+\omega i\\ s-\omega i& r{e}^{-i\theta }\end{array}\right)\end{array}$ (9)

其中$\phi ,r,s,\omega ,\theta$ 是实数，宇称算符$P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 和$\phi$ 是固定为与对称性的联系。事实上，一般的PT对称哈密顿量时间$e^{-i\frac{\phi }{2}}$ 可以产生。

H的本征值分别为${\epsilon }_{\pm }=e^{-i\frac{\phi }{2}}\left(r cos\theta \pm \frac{{\Delta }_0}{2}\right)$ ，对应两个本征态|${\epsilon }_{\pm }$ ⟩，其中${\Delta }_0=e^{-i\frac{\phi }{2}}\left({\epsilon }_{+}-{\epsilon }_{-}\right)=2\sqrt{s^2+{\omega }^2-r^{2}si{n}^2\theta }$ 是$H_0=e^{i\frac{\phi }{2}}\text{H}$ 的能量差。

当$s^2+{\omega }^2\ge r^{2}si{n}^2\theta$ 时，$H_0$ 具有精确的PT对称性(或$H_0$ 的PT对称性未被破坏)，在这种情况下，$H_0$ 的两个本征态是PT操作。否则，$H_0$ 的PT对称性是自发破缺的(broken)。H在参数空间中的异常点(EPs)对应于导致${\Delta }_0=0$ 的值，描绘破缺和未破缺的PT对称性之间的边界。

4. 计算虚时演化算符

任意子PT对称系统的时间演化算子$e^{-i\frac{t}{\hslash }{H}_{ }}$ 控制，经过虚时演化wick rotation $\tau = it$ ，PT对称系统的虚时演化算子由$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{ }}$ 控制，$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{ }}$ 是非幺正的。类似的，PT对称系统的虚时演化算子由$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{PT}}$ 控制，PT反对称的虚时演化算子由$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{APT}}$ 控制。下面我们介绍如何计算系统的虚时演化算符。

以任意子PT对称的哈密顿量H为例，任意子PT对称系统哈密顿量H，以公式(9)为例，可进一步表示为如下形式：

$\begin{array}{c} e^{-\frac{i\phi }{2}}\left(r\cos \theta I+s{\sigma }_1-\omega {\sigma }_2+ir\sin \theta {\sigma }_3\right)\end{array}$ (10)

其中${\sigma }_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ 是Pauli矩阵。

因此，任意子PT对称的虚时演化算符$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{PT}}$ 可表示为

$\begin{array}{c}{e}^{-\frac{\tau }{\hslash }{e}^{- \frac{i\phi }{2}}\left(r\cos \theta I+s{\sigma }_1-\omega {\sigma }_2+ir\sin \theta {\sigma }_3\right)}\end{array}$ (11)

进一步展开得到

$\begin{array}{c}{e}^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{PT}} =e^{-\frac{\tau }{\hslash }{e}^{- \frac{i\phi }{2}}r\cos \theta I}.e^{-\frac{\tau }{\hslash }{e}^{- \frac{i\phi }{2}}\left(s{\sigma }_1-\omega {\sigma }_2+ir\sin \theta {\sigma }_3\right)}=U_I{U}_{\sigma }\end{array}$ (12)

我们利用泰勒公式$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots$ 对$U_I,U_{\sigma }$ 进行展开再合并得到：

$\begin{array}{c}{U}_I=I{e}^{-\frac{\tau }{\hslash }{e}^{- \frac{i\phi }{2}}r\cos \theta }\end{array}$ (13)

$\begin{array}{c}{U}_{\sigma }=cos\left({\alpha }^{\prime }\right)I - i\frac{1}{\Delta }\sin \left({\alpha }^{\prime }\right)\left(s{\sigma }_1-\omega {\sigma }_2+ir\sin \theta {\sigma }_3\right)\end{array}$ (14)

其中${\Delta }_{ }=2\sqrt{s^2+{\omega }^2-r^{2}si{n}^2\theta }$ ，${\alpha }^{\prime }=\frac{\Delta \left(-i\tau \right)e^{-i\frac{\phi }{2}}}{2\hslash }$

最终我们得到任意子PT对称系统的虚时演化算符$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{ }}$ 为

$\begin{array}{c}{e}^{-\frac{\tau }{\hslash }{e}^{-i\frac{\phi }{2}}rcos\theta }\left(\begin{array}{cc}cos{\alpha }^{\prime }+\frac{2rsin\theta sin{\alpha }^{\prime }}{\Delta }& \frac{2\omega sin{\alpha }^{\prime }}{\Delta }-\frac{2ssin{\alpha }^{\prime }}{\Delta }i\\ -\frac{2\omega sin{\alpha }^{\prime }}{\Delta }-\frac{2ssin{\alpha }^{\prime }}{\Delta }i& cos{\alpha }^{\prime }-\frac{2rsin\theta sin{\alpha }^{\prime }}{\Delta }\end{array}\right)\end{array}$ (15)

其中$\Delta =2\sqrt{s^2+{\omega }^2-r^{2}si{n}^2\theta }，{\alpha }^{\prime }=\frac{\Delta \left(-i\tau \right)e^{-i\frac{\phi }{2}}}{2\hslash }$ ，以上$\phi ,r,s,\omega$ 和$\theta$ 都是实数

模仿上述过程我们可以得到PT对称系统，PT反对称系统的虚时演化算符，结果如下：

PT对称的虚时演化算符$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{PT}}$ 为

$\begin{array}{c}{e}^{-\frac{\tau }{\hslash }rcos\theta }\left(\begin{array}{cc}\cos {\alpha }^{\prime }+\frac{2r\sin \theta \sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{PT}}& \frac{2w\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{PT}}-\frac{2s\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{PT}}i\\ -\frac{2w\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{PT}}-\frac{2s\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{PT}}i& \cos {\alpha }^{\prime }-\frac{2r\sin \theta \sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{PT}}\end{array}\right)\end{array}$ (16)

其中${\Delta }_{PT}=2\sqrt{s^2+{\omega }^2-r^{2}si{n}^2\theta },{\alpha }^{\prime }=\frac{{\Delta }_{PT}\left(-i\tau \right)}{2\hslash }$ ，以上$\phi ,r,s,\omega$ 和$\theta$ 都是实数。

PT反对称系统虚时演化算符$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{APT}}$ 为

$\begin{array}{c}{e}^{\frac{-i\tau }{\hslash }r\cos \theta }\left(\begin{array}{cc}\cos {\alpha }^{\prime }+\frac{2r\sin \theta \sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{APT}}i& \frac{2s\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{APT}}+\frac{2w\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{APT}}i\\ \frac{2s\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{APT}}-\frac{2w\sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{APT}}i& \cos {\alpha }^{\prime }-\frac{2r\sin \theta \sin {\alpha }^{\prime }}{{\Delta }_{APT}}i\end{array}\right)\end{array}$ (17)

其中${\Delta }_{APT}=2\sqrt{-s^2-{\omega }^2+r^{2}si{n}^2\theta },{\alpha }^{\prime }=\frac{{\Delta }_{APT}\left(-i\tau \right)}{2\hslash }$ ，以上$\phi ,r,s,\omega$ 和$\theta$ 都是实数。

5. 二维P-赝厄米对称系统

赝厄米理论最初由Pauli [8]提出，他通过引入不定度规空间建立了该理论的数学基础，其本质特征在于哈密顿量满足赝厄米性条件，这是保证实数本征值的充要条件。相应的哈密顿量可表示为：

$H^{†}=\text{ηH}{\eta }^{†}$

其中，η表示线性厄米算符。

2002年，Mostafazadeh [9]等学者基于双正交基方法，对赝厄米量子力学理论进行了系统性阐释。

在二能级量子系统中，P-赝厄米对称(PPH)系统的哈密顿量可以表示为：

$\begin{array}{c}{H}_{PPH}=\left(\begin{array}{cc}r{e}^{i\theta }& s\\ u& r{e}^{-i\theta }\end{array}\right)\end{array}$ (18)

其中，u与s为实数，其他参数与PT对称系统相同。P-赝厄米哈密顿量的本征值为${\epsilon }_{\pm }=rcos\theta \pm 2\sqrt{su-r^2{\sin }^2\theta }$ ，系统的能极差为${\Delta }_{PPH}=2\sqrt{su-r^2{\sin }^2\theta }$ ，${\Delta }_{PPH}$ 的值为实数或纯虚数。

P-赝厄米对称系统的时间演化算子由$e^{-i\frac{t}{\hslash }{H}_{PPH}}$ 控制。经过虚时演化wick rotation $\tau = it$ ，P-赝厄米对称系统的虚时演化算子由$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{PPH}}$ 控制，$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{PPH}}$ 是非幺正的。重复第3章节中的虚时演化算符的过程，将其中的H替换为$H_{PPH}$ ，得到P-赝厄米对称系统的虚时演化算符$e^{-\frac{\tau }{\hslash }{H}_{PPH}}$ 为

$\begin{array}{c}{e}^{-\frac{\tau }{\hslash }r\cos \theta }\left(\begin{array}{cc}\cos {\alpha }^{\prime }+\frac{2r\sin \theta \sin {\alpha }^{\prime }}{\omega }& -\frac{2s\sin {\alpha }^{\prime }}{\omega }i\\ -\frac{2u\sin {\alpha }^{\prime }}{\omega }i& \cos {\alpha }^{\prime }-\frac{2r\sin \theta \sin {\alpha }^{\prime }}{\omega }\end{array}\right)\end{array}$ (19)

其中${\Delta }_{PPH}=2\sqrt{su-r^2{\sin }^2\theta },{\alpha }^{\prime }=\frac{{\Delta }_{PPH}\left(-i\tau \right)}{2\hslash }$ ，以上$\phi ,r,s,\omega$ 和$\theta$ 都是实参数。

6. 小结

本文主要介绍了将PT对称性和反PT对称性发展为任意子PT对称，类似于玻色子、费米子和任意子，介绍了非厄米对称系统哈密顿量的一般二能级表示。我们通过泰勒展开的方法对虚时演化算符进行了计算，得到了PT对称，PT反对称，任意子PT对称，P-赝厄米对称系统的虚时演化算符。我们深入研究了非厄米系统的虚时演化算符，后续我们将利用酉算子的线性组合(LCU)的方法对虚时演化算符进行酉展开，以此来构建量子模拟线路，并通过计算量子线路模拟非厄米系统虚时演化的成功概率分析其中利弊。虚时演化算符的计算为后续的量子模拟提供了坚实的基础，对利用不同的量子系统和量子真机开展实验研究具有基石作用。