正则化的连续时间马尔可夫分支过程的加权矩

Weighted Moments for the Limit of a Normalized Markov Branching Process

摘要: 设为一连续时间超临界马尔可夫分支过程，令$W$ 表示归一化种群数量$Z\left(t\right)/e^{\lambda t}$ 的极限，其中$e^{\lambda t}$ 为该分支过程的均值。设$l$ 为在无穷远处缓变的正函数。本文证明：对任意$a>1$ ，$E{W}^{\alpha }l\left(W\right)<\infty$ 当且仅当$E{Y}^{\alpha }l\left(Y\right)<\infty$ ，其中$Y$ 为子代数目。

Abstract: Let be a continuous-time supercritical Markov branching process, and let $W$ be the limit of the normalized population size $Z\left(t\right)/e^{\lambda t}$ , where $e^{\lambda t}$ is the mean of the branching process. Let $l$ be a positive function slowly varying at $\infty$ . In this paper, we prove that for $a>1$ , $E{W}^{\alpha }l\left(W\right)<\infty$ if and only if $E{Y}^{\alpha }l\left(Y\right)<\infty$ , where $Y$ is the number of offspring.

1. 引言

马尔可夫分支过程理论(记为，其中$Z\left(t\right)$ 表示$t$ 时刻的种群数量)的奠基性发展可追溯至随机过程领域的开创性研究。柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)向前方程的推导，以及Athreya与Ney [1]建立的函数方程，构成了该领域的核心理论贡献。早期数学分析(包括矩计算与极限律刻画)由Kolmogorov和Dmitriev [2] [3]的协作研究率先提出，并辅以谢瓦斯季亚诺夫(Sevastyanov) [4]的独立探索。关于历史发展的系统综述及扩展文献索引，请参见哈里斯(Harris)的权威论述[5]。

本文主要研究马尔可夫分支过程的加权矩。关于加权矩的早期系统性工作集中于高尔顿–沃森过程(Galton-Watson Processes)：设${\left(Z_n\right)}_{n\ge 0}$ 为上临界高尔顿–沃森过程，其子代均值为$m=\mathbb{E}{Z}_1>1$ ，并令$W$ 表示归一化种群数量$Z_n/m^n$ 的几乎必然极限。对于在无穷远处缓变的正函数$l$ ，已有如下基本等价关系：Bingham与Doney [6]证明，当$\alpha >1$ 为非整数值时，条件$\mathbb{E}{W}^{\alpha }l\left(W\right)<\infty$ 成立当且仅当$\mathbb{E}{Z}_1^{\alpha }l\left(Z_1\right)<\infty$ ；进一步地，Alsmeyer与Rösler [7]将该等价性推广至排除二进制幂次的$\alpha >1$ 情形，Liang与Liu [8]后续又将结果扩展至所有$\alpha >1$ 。对于马尔可夫分支过程，存在类似结论。本文证明：对任意$\alpha >1$ ，矩条件$\mathbb{E}{W}^{\alpha }l\left(W\right)<\infty$ 等价于$\mathbb{E}{\text{Y}}^{\alpha }l\left(\text{Y}\right)<\infty$ ，其中$Y$ 表示子代数。

2. 预备知识

设$\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 为定义在正整数状态空间上的连续时间马尔可夫分支过程(Markov Branching Process with Immigration, MBPI)，它的$q$ 矩阵如下：

$q_{ij}:=\{\begin{array}{l}i{b}_{j-i+1},j\ge 1,j\ge i,\hfill \\ -i{b}_0,j=i-1,\hfill \\ 0,其它,\hfill \end{array}$

其中，$b_k$ 是分支率且满足：

$b_k\ge 0\left(k\ne 1\right),0<-b_1={\displaystyle \sum _{k\ne 1}{b}_k}<\infty$ ，

我们定义

$B\left(s\right)={\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{b}_j}{s}^j,\lambda :=B^1\left(1\right)>0以及\text{ P}\left(Y=k\right)=b_k$ 。

Athreya与Ney [1]证明了$e^{\lambda t}$ 可作为分支过程$\left\{Z\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 的均值函数；根据Seneta [9]的研究，在满足$L\log L$ 矩条件$\mathbb{E}\left[Z_1\log Z_1\right]<\infty$ 时，存在规范化函数$C\left(t\right)$ 使得$W\left(t\right):=Z\left(t\right)/C\left(t\right)\stackrel{t\to \infty }{\to }W$ 其中$W$ 为非退化随机变量，且$C\left(t\right)$ 满足极限关系$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{C\left(t+s\right)}{C\left(t\right)}=m\left(s\right)$ ，显然，$e^{\lambda t}$ 可作为替代$C\left(t\right)$ 的规范化函数。

我们设：

$W=\underset{t\to \infty }{\lim }Z\left(t\right)/e^{\lambda t},W^{\ast }:=su{p}_{t\ge 0}W\left(t\right)$

以及

$R_0=\left\{l:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right),l是可测的，并且\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{l\left(kx\right)}{l\left(x\right)}=1,\forall k>0\right\}$ 。

以下定理是本文的主要结论：

定理2.1. $设\alpha >1，l\in R_0，$ 以下内容是等价的：

$\left(a\right)E{Y}^{\alpha }l\left(Y\right)<\infty ;\left(b\right)E{W}^{\ast \alpha }l\left(W^{\ast }\right)<\infty ;\left(c\right)EW=1且E{W}^{\alpha }l\left(W\right)<\infty$ 。

3. 定理2.1.的证明

为证明定理2.1，我们通过将连续时间模型转换为离散时间模型，进而该定理的证明主要基于双重鞅结构及鞅的凸不等式分析。

我们将区间$\left[0,t\right]$ 划分为$t_0,t_1,t_2,\cdots ,t_n$ (其中$t_0=0,t_n=t$ 且$t_i-t_{i-1}=1$ ，$i=1,2,\cdots ,n$ )，此时该模型可视为已完成n次迭代。通过这种方式，我们可将连续时间模型近似转化为离散时间模型，即$\left\{Z_{t_i},i=0,1,\cdots ,n\right\}$ 构成一个G-W过程。

设$Z_{t_n}={\displaystyle \sum _{i=1}^{Z_{t_{n-1}}}{X}_i}$ ，其中$X_i$ 表示第$\left(n-1\right)$ 代第$i$ 个个体的后代数量，所有$X_i$ 均为取整数值的随机变量，服从共同分布${\left\{p_i\right\}}_{i\in \mathbb{N}}$ ，且彼此相互独立。相应的加权矩定义为$W_{t_n}:=Z_{t_n}/e^{\lambda t_n}$ 。

接着定义：

$D_n:=W_{t_n}-W_{t_{n-1}}=\frac{1}{e^{\lambda t_{n-1}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{Z_{t_{n-1}}}\left(\frac{X_i}{e^{\lambda }}-1\right)}=\frac{1}{e^{\lambda t_{n-1}}}{\displaystyle \sum _{i\in T_{n-1}}\widehat{X_i}},其中，\widehat{X_i}=\frac{X_i}{e^{\lambda }}-1。$

此处$S_{t_n}$ 表示第$n$ 代所有粒子构成的集合。进而${\left\{D_n,{\epsilon }_n\right\}}_{n\ge 1}$ 构成一个鞅差序列，且加权矩上确界$W^{\ast }=\underset{n\ge 0}{\sup }{W}_{t_n}$ 可表示为：

$W^{\ast }=1+\underset{n\ge 1}{\sup }\left(D_1+D_2+\cdots +D_n\right)$ 。

为表述便利，我们将给定${\epsilon }_n$ 的条件概率$\text{p}$ 简记为$P_n$ ，对应条件期望记为$E_n$ 。其中$\widehat{X_i}$ 为独立同分布随机变量。注意到$E\left(X_i\right)=e^{\lambda }$ 成立，故有$E\left(\widehat{X_i}\right)=0$ 。

为证明定理2.1，我们还需引用下列关键结论：

引理3.1. 设$\varphi$ 为满足$\varphi (0)=0$ 的凸递增函数，且存在常数$c\in (0,\infty )$ 使得对任意$x>0$ 有$\varphi \left(2x\right)\le c\varphi \left(x\right)$ 。若参数$\beta \in \left(0,2\right]$ ，且函数$x\mapsto \varphi \left(x^{\frac{1}{\beta }}\right)$ 亦为凸函数，同时满足$E\left(\left|\widehat{X}\right|\right)<\infty$ ，则成立：

$E\varphi \left(W^{\ast }-1\right)\le C{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{E\varphi \left(W_{t_{n-1}}^{\frac{1}{\beta }}\right)}{e^{\lambda t_{n-1}\left(\beta -1\right)}}}+C{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }E}\varphi \left(\frac{\left|{\widehat{X}}_{1_{n-1}}\right|\cdot W_{t_{n-1}}^{\frac{1}{\beta }}}{e^{\lambda t_{n-1}\left(\beta -1\right)/\beta }}\right),$ (3.1)

此处$C=C\left(\varphi ,\beta \right)$ 为仅依赖于$\varphi$ 和$\beta$ 的常数，其中$1_n$ 表示分量全为1的$n$ 维序列。Liang和Liu在文献[8]中运用BDG不等式完成了该定理的证明，并进一步建立了如下将在后文使用的经典等价关系：对任意$\alpha \in \left(1,\infty \right)$ ，有

$E\left(Y_{}^{\alpha }\right)<\infty \iff E{\left(W^{\ast }\right)}^{\alpha }<\infty \iff E{W}^{\alpha }<\infty 。$ (3.2)

引理3.2. 对任意$ϵ>0$ 及$l\left(x\right)\in R_0$ ，存在常数$C>0$ 使得对任意$x>0$ ，有$l\left(x\right)\le C\max \left(x^{ϵ},x^{-ϵ}\right)$ 。

引理3.3. 对任意$ϵ>0$ 及$l\left(x\right)\in R_0$ ，存在常数$C$ 使得对任意$x>0$ 和$y>0$ ，有$l\left(xy\right)\le Cl\left(x\right)\cdot \max \left\{y^{ϵ},y^{-ϵ}\right\}$ 成立。

上述两个定理均源自Potter定理，详细证明可参见文献[10]。

最后，我们需要引用一个非常著名的不等式——Jensen不等式。此处采用其期望形式：

$E\left(f\left(x\right)\right)\ge f\left(E\left(x\right)\right)。$

现在，我们可以给出定理2.1的证明。

证明：

我们首先证明$\left(a\right)$ 蕴含$\left(b\right)$ 。根据定理3.1，要证明$\left(b\right)$ 的有界性，只需证明(3.1)式右边两项的有界性即可。

取$\beta \in \left(1,2\right]$ 且满足$\beta <\alpha$ 。为方便起见，记$\varphi \left(x\right)=x^{\alpha }l\left(x\right)$ 。不失一般性，可假设$\varphi \left(x\right)在\left[0,\infty \right)$ 上为递增凸函数，且对任意$x>0$ 有$l\left(x\right)>0$ 。选取$0<ϵ\le \alpha \left(\beta -1\right)\left(\beta +1\right)$ 。根据Potter定理，可得：$$

$\frac{E\varphi \left(W_{t_{n-1}}^{\frac{1}{\beta }}\right)}{e^{\lambda t_{n-1}\left(\beta -1\right)}}\le \frac{C}{e^{\lambda t_{n-1}\left(\beta -1\right)}}\left(E{W}_{t_{n-1}}^{\frac{\alpha +ϵ}{\beta }}+E{W}_{t_{n-1}}^{\frac{\alpha -ϵ}{\beta }}\right)$ (3.3)

又因为$0<ϵ\le \alpha \left(\beta -1\right)\left(\beta +1\right)，$ 则

$\frac{\alpha +ϵ}{\beta }\le \frac{\alpha }{\beta +1}<\frac{2\alpha }{\beta +1}=\alpha -ϵ,$

进一步，我们可以得到

$E{Y}_{}^{\left(\alpha +ϵ\right)/\beta }\le E{X}_{}^{\alpha -ϵ}\le C{e}^{\lambda \left(\alpha -ϵ\right)}\left(1+E\varphi \left(W_{t_1}\right)\right).$

假设$\lambda >0$ ，根据(3.2)式可得：

$E{\left(W^{\ast }\right)}^{\frac{\alpha +ϵ}{\beta }}<\infty$ (3.4)

同理，

$\frac{\alpha -ϵ}{\beta }\le \frac{\alpha +ϵ}{\beta }<\alpha -ϵ,$

因此，我们有

$E{\left(W^{\ast }\right)}^{\frac{\alpha -ϵ}{\beta }}<\infty$ . (3.5)

由于$\lambda >0$ ，因此$e^{\lambda }>1$ 。结合(3.4)和(3.5)，我们可以看出(3.3)的左边部分在$n$ 上是可求和的，这表明(3.1)右边第一项的有限性。接下来，我们考虑(3.1)右边的第二项。注意到${\widehat{X}}_{1_{n-1}}和W_{t_{n-1}}$是独立的，因此我们有：

$E\varphi \left(\frac{\left|{\widehat{X}}_{1_{n-1}}\right|\cdot W_{t_{n-1}}^{\frac{1}{\beta }}}{e^{\lambda t_{n-1}\left(\beta -1\right)/\beta }}\right)=CE\varphi \left(\left|{\widehat{X}}_{1_{n-1}}\right|\right)E\varphi \left(\frac{W_{t_{n-1}}^{\frac{1}{\beta }}}{e^{\lambda t_{n-1}\left(\beta -1\right)/\beta }}\right).$

再次利用Potter定理，我们进一步得到：

$E\varphi \left(\frac{\left|{\widehat{X}}_{1_{n-1}}\right|\cdot W_{t_{n-1}}^{\frac{1}{\beta }}}{e^{\lambda t_{n-1}\left(\beta -1\right)/\beta }}\right)\le CE\varphi \left(\left|{\widehat{X}}_{1_{n-1}}\right|\right)\left(\frac{E{W}_{t_{n-1}}^{\frac{\alpha +ϵ}{\beta }}}{e^{\lambda \delta t_{n-1}\left(\beta -1\right)\left(\alpha +ϵ\right)/\beta }}+\frac{E{W}_{t_{n-1}}^{\frac{\alpha -ϵ}{\beta }}}{e^{\lambda \delta t_{n-1}\left(\beta -1\right)\left(\alpha -ϵ\right)/\beta }}\right)$ (3.6)

注意到$E\varphi \left(\left|{\widehat{X}}_{1_{n-1}}\right|\right)=E\varphi \left(W_{t_1}\right)<\infty$ ，结合(3.4)和(3.5)的事实，我们可以看出(3.6)的左边部分在$n$ 上是可求和的，这表明(3.1)右边第二项的有限性。因此，当$\left(a\right)$ 成立时，我们有$E\varphi \left(W^{\ast }-1\right)<\infty$ ，这等价于$E\varphi \left(W^{\ast }\right)<\infty$ 。

接下来，我们证明$\left(b\right)$ 蕴含$\left(c\right)$ 。假设$\left(a\right)$ 成立。由于$W\le W^{\ast }$ ，则$E\varphi \left(W\right)\le E\varphi \left(W^{\ast }\right)$ ；根据控制收敛定理，$W_{t_n}$ 在$L^1$ 中收敛于$W$ ，因此$EW=1$ 。

最后，我们证明$\left(c\right)$ 蕴含$\left(a\right)$ 。事实上，$W$ 满足以下分布方程：

$W={\displaystyle \sum _{i=1}^{Z_{t_1}}\frac{W^{\left(i\right)}}{e^{\lambda }}},$

其中$\left(W^{\left(i\right)}\right)$ 相互独立且独立于$Z_{t_1}$ ，每个$W^{\left(i\right)}$ 均与$W$ 同分布。因此，根据Jensen不等式可得：

$E\varphi \left(W\right)\ge E\varphi \left(E\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{Z_{t_1}}\frac{W^{\left(i\right)}}{e^{\lambda \delta t}}|{\epsilon }_1}\right)\right)=E\varphi \left(\frac{Z_{t_1}}{e^{\lambda t_1}}\right)=E\varphi \left(W_{t_1}\right).$

因此，当$E\varphi \left(W\right)<\infty$ 时，可得$E\varphi \left(W_{t_1}\right)<\infty$ ，该条件等价于$E\varphi \left(Y\right)<\infty$ 。