一类带有对数非线性项的热方程的梯度爆破问题

Gradient Blow Up Problem for a Class of Heat Equations with Logarithmic Nonlinear Terms

摘要: 我们考虑了具有一般对数非线性项的一维半线性热方程的梯度爆破问题，也就是方程解本身有界，但解的梯度会趋于无穷。通过尺度变换和抛物估计，得到了解梯度的一个上界和下界。最后给出了一个特殊例子来验证。

Abstract: We considered the gradient blow up problem of the one-dimensional semi-linear heat equation with general logarithmic nonlinear term, which the solution of the equation is bounded but the gradient of the solution becomes unbounded. By the rescaling method and parabolic estimates, the upper and lower bounds of gradient blow up rate are established. Furthermore, an example is given to illustrate.

1. 引言

自热方程被提出以来，众多学者对其进行了广泛研究，并取得了大量成果[1]-[10]。随着研究的深入，问题变得愈发复杂，导致方程类型发生变化。因此，求得精确解变得极其困难，促使研究人员对解的某些性质进行探究，比如解在有限时间内趋于无穷大的爆破行为。在这一研究过程中，发现了一种新的现象，即梯度爆破。起初发现，对于如下形式的方程[11]：

$u_t=u_{xx}+F\left(u,\nabla u\right),$ (1)

众所周知，如果该方程满足下列条件

$F\left(u,\nabla u\right)\le C\left(u\right)\left(1+{\left|\nabla u\right|}^2\right),$

那么该方程任意有界解的梯度也是有界的。

随后，文献[12]研究了如下的半线性抛物方程，

$u_t=u_{xx}+{\text{e}}^{u_x},$

并且证明了：对于任意的初值$u_0\in C^1\left[0,1\right]$ ，都存在有限时间$T\in \left(0,\infty \right)$ 使得$\underset{t\to T}{\lim }\sup \left|u_x\left(0,t\right)\right|=\infty$ 。这样的一

种现象叫做梯度爆破，它不同于一般的爆破现象也就是$L^{\infty }$ 范数的爆破，即当时间$t\to T^{-}$ 时解本身趋于无穷。在最近这些年，有限时间爆破的现象已经吸引了广泛的注意，许多研究都关心解本身的爆破现象，包括爆破准则，爆破的位置，爆破速率和爆破集。尤其是对于经典的半线性热传导方程：$u_t=\Delta u+u^p$ ，研究者们已经取得了丰富的成果[13]-[16]。而关于梯度爆破的研究，大部分的重点是放在爆破准则上，也就是梯度爆破什么情况下会发生。例如，看[17]-[18]，他们研究了一类特殊方程的梯度爆破条件。至于如下方程

$u_t=\Delta u+{\left|\nabla u\right|}^p,$

当$p>2$ ，梯度爆破会发生，并且这是唯一的情况。之后，文献[19]证明了梯度爆破会发生在何处，也就是，梯度爆破仅仅会发生在边界。在文献[20]中，设定合适的初值条件，一维情况下的梯度爆破下界被计算为${\left(T-t\right)}^{-1/\left(p-2\right)}$ 。

有趣的是，不同于其他情况，文献[21]研究了带有指数非线性项的问题，也就是$u_t=u_{xx}+{\text{e}}^{u_x}$ ，他们通过抛物估计，得到了梯度爆破的上界和下界，梯度爆破的速率约为$-\ln \left(T-t\right)$ 。近几十年来，带有对数形式非线性项的热传导方程受到了研究者们的广泛关注，如文献[22]和文献[23]研究了如下形式的热传导问题：$u_t=u_{xx}+u\ln \left|u\right|$ ，他们通过索伯列夫不等式和势井方法，得到了全局解的存在性和特定情况下爆破解的发生。据我们所知，当非线性项$f\left(u\right)$ 是一个对数梯度项的时候，关于这方面的研究并不多，因为在一般情况下比起单项式和指数项的情况，对数项的积分和处理是更复杂困难的。而文献[24]通过抛物估计计算出了对数情况的梯度爆破上下界，我们发现这种方法可以应用在对数非线性项中。

基于此，我们考虑了如下带有对数非线性项的方程：

$u_t=\Delta u+{\left(\left|\nabla u\right|+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(\left|\nabla u\right|+p_2\right),$

其中$p_1>0,p_2>1$ ，且有2种情况

情况1：$q_1>2,q_2>0$ ；

情况2：$q_1=2,q_2>1$ 。

由于技术上的问题，我们仅仅考虑一维的情况，也就是

$u_t=u_{xx}+{\left(\left|u_x\right|+p_1\right)}^{q_1}\left|{\ln }^{q_2}\left(\left|u_x\right|+p_2\right)\right|$

2. 边界梯度爆破

对于我们的问题

$\{\begin{array}{ll}{u}_t=u_{xx}+{\left(\left|u_x\right|+p_1\right)}^{q_1}\left|{\ln }^{q_2}\left(\left|u_x\right|+p_2\right)\right|\hfill & 0<x<1,t>0,\hfill \\ u\left(0,t\right)=0,u\left(1,t\right)=A,\hfill & t>0,\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\hfill & 0\le x\le 1,\hfill \end{array}$ (2)

其中$A>0$ 且足够大，$p_1,p_2,q_1,q_2$ 有如下情况

情况1：$p_1>0,p_2>1,q_1>2,q_2>0$ ，

情况2：$p_1>0,p_2>1,q_1=2,q_2>1$ ，

并且我们假设下面情况成立：

$u_0\in C^2\left[0,1\right],u_0\left(0\right)=0,u_0\left(1\right)=A,$ (3)

$0<u_0(x)<A,0\le x\le 1,$ (4)

$u_{0^{″}}\left(x\right)+{\left(\left|u_{0^{\prime }}\left(x\right)\right|+p_1\right)}^{q_1}\left|{\ln }^{q_2}\left(\left|u_{0^{\prime }}\left(x\right)\right|+p_2\right)\right|\ge 0,u_{0^{\prime }}\left(x\right)\ge 0,0\le x\le 1.$ (5)

基于以上假设，通过极值原理我们可以得到，

$\left|u\left(x,t\right)\right|\le {\Vert u_0\Vert }_{L^{\infty }},0<x<1,t>0,$

$0<u_t\left(x,t\right)<\underset{0\le x\le 1}{\sup }\left\{u_{0^{″}}\left(x\right)+{\left(\left|u_{0^{\prime }}\left(x\right)\right|+p_1\right)}^{q_1}\left|{\ln }^{q_2}\left(\left|u_{0^{\prime }}\left(x\right)\right|+p_2\right)\right|\right\},0<x<1,t>0.$ (6)

引理1. 基于强极值原理，我们可以进一步得到：

$u_x\left(x,t\right)>0,0<x<1,t>0.$

那么(2)可以被改写为：

$u_t=u_{xx}+{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right),0<x<1,t>0.$

引理2. 如果条件(3)~(4)成立，且$u\left(x,t\right)$ 是问题(2)的一个解，那么对于合适的初值$u_0\left(x\right)$ 和$A$ ，存在有限时间$T$ 使得

$\underset{t\to T^{-}}{\lim }\left\{\underset{0\le x\le 1}{\sup }{u}_x\left(x,t\right)\right\}=\infty ,\underset{0\le x\le 1}{\sup }\left|u\left(x,t\right)\right|<\infty$

证明：广为人知的是(见[16])：若(1)的$F\left(u,\nabla u\right)$ 满足

$F\left(u,\nabla u\right)\ge {\left|\nabla u\right|}^{2}g\left(\left|\nabla u\right|\right),{{\displaystyle \int }}^{+\infty }\frac{\text{d}s}{sg\left(s\right)}<\infty ,$

那么问题(1)的解将会发生梯度爆破现象。显然，对于我们的问题，

$F\left(u,\nabla u\right)={\left(\left|\nabla u\right|+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(\left|\nabla u\right|+p_2\right),$

$g\left(s\right)=\frac{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}}{s^2}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right),$

所以

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\text{d}s}{sg\left(s\right)}}={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}}\\ <{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}}\\ =\left\{{\displaystyle {\int }_0^{\text{e}}+}{\displaystyle {\int }_{\text{e}}^{+\infty }}\right\}\frac{\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}\\ \le \frac{\text{e}}{p_1^{q_1-1}{\ln }^{q_2}{p}_2}+{\displaystyle {\int }_{\text{e}}^{+\infty }\frac{\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}},\end{array}$

并且如果$p_1>0$ ，$p_2>1$ ，$q_1>2$ ，$q_2>1$ 或者$p_1>0$ ，$p_2>1$ ，$q_1=2$ ，$q_2>1$ ，那么有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\text{e}}^{+\infty }\frac{1}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}\text{d}s}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\text{e}}^{+\infty }\left\{\frac{1}{\left(s+p_1\right){\ln }^{q_2}\left(s+p_1\right)}+\frac{1}{\left(s+p_2\right){\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}\right\}\text{d}s}\\ \le \frac{{\ln }^{1-q_2}\left(p_1+1\right)}{q_2-1}+\frac{{\ln }^{1-q_2}\left(p_2+1\right)}{q_2-1}\\ <+\infty ,\end{array}$

此外，若$p_1>0$ ，$p_2>1$ ，$q_1>2$ ，$0\le q_2\le 1$ ，那么

${\displaystyle {\int }_{\text{e}}^{+\infty }\frac{1}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}\text{d}s}\le {\displaystyle {\int }_{\text{e}}^{+\infty }\frac{\text{1}}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}}\text{d}s}=\frac{{\left(\text{e}+p_1\right)}^{2-q_1}}{q_1-2}<+\infty ,$

这样对于情况1和情况2，都有${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\text{d}s}{sg\left(s\right)}}<+\infty$ 。

引理3. 基于假设(3)~(5)，我们可以计算出对于，

${\left\{\left(q_1+q_2-1\right)x+a\right\}}^{-\frac{1}{q_1+q_2-1}}-p_1-p_2\le u_x\left(x,t\right)\le {\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}+C_{0}x$ ， (7)

其中$a={\left\{u_x\left(0,t\right)+p_1+p_2\right\}}^{-\left(q_1+q_2-1\right)}$ ，$b={\ln }^{-q_2}{u}_x\left(0,t\right)$ 。

证明：由(6)，对于任意给定的$t\in \left(0,T\right)$ ，

$0<u_{xx}\left(x,t\right)+{\left(u_x\left(x,t\right)+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(u_x\left(x,t\right)+p_2\right)<C_0$

我们可以定义，

$g\left(x\right):={\left\{\left(q_1+q_2-1\right)x+a\right\}}^{-\frac{1}{q_1+q_2-1}}-p_1-p_2,$

其中$a={\left\{u_x\left(0,t\right)+p_1+p_2\right\}}^{-\left(q_1+q_2-1\right)}$ ，显然，$g\left(x\right)$ 满足：

$\begin{array}{l}{g}_x\left(x\right)+{\left(g\left(x\right)+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(g\left(x\right)+p_2\right)\\ \le g_x\left(x\right)+{\left(g\left(x\right)+p_1+p_2\right)}^{q_1+q_2}\\ =-{\left\{\left(q_1+q_2-1\right)x+a\right\}}^{-\frac{q_1+q_2}{q_1+q_2-1}}+{\left\{\left(q_1+q_2-1\right)x+a\right\}}^{-\frac{q_1+q_2}{q_1+q_2-1}}\\ =0.\end{array}$

也因为$g\left(0\right)=a^{-\frac{1}{q_1+q_2-1}}-p_1-p_2\le u_x\left(0,t\right)$ ，通过比较原理，我们可以得到$u_x\left(x,t\right)>g\left(x\right)$ 。并且，我们计算得到：

$h\left(x\right)={\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}+C_{0}x,b={\ln }^{-q_2}{u}_x\left(0,t\right)$

从而：

$\begin{array}{l}{h}_x\left(x\right)+{\left(h\left(x\right)+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(h\left(x\right)+p_2\right)\\ \ge h_x\left(x\right)+h^{q_1}\left(x\right){\ln }^{q_2}h\left(x\right)\%\\ =-{\text{e}}^{{\left(3x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{3}}}{\left(3x+b\right)}^{-\frac{3}{4}}+C_0+{\left({\text{e}}^{{\left(3x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{3}}}\right)}^2{\ln }^3\left({\text{e}}^{{\left(3x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{3}}}+C_{0}x\right)\\ \ge C_0-{\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}{\left(q_{2}x+b\right)}^{-\frac{1+q_2}{q_2}}+{\left({\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left({\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}\right)\\ =C_0+{\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}{\left(q_{2}x+b\right)}^{-1}\left\{{\left({\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}\right)}^{q_1-1}-{\left(q_{2}x+b\right)}^{-\frac{1}{q_2}}\right\}\\ \ge C_0.\end{array}$

通过比较原理，也因为$h\left(0\right)={\text{e}}^{b^{-\frac{1}{q_2}}}\ge u_x\left(0,t\right)$ ，我们得到：$u_x\left(x,t\right)\le h\left(x\right)$ ，也就是

${\left\{\left(q_1+q_2-1\right)x+a\right\}}^{-\frac{1}{q_1+q_2-1}}-p_1-p_2\le u_x\left(x,t\right)\le {\text{e}}^{{\left(q_{2}x+b\right)}_{}^{-\frac{1}{q_2}}}+C_{0}x,$

其中$a={\left\{u_x\left(0,t\right)+p_1+p_2\right\}}^{-\left(q_1+q_2-1\right)}$ ，$b={\ln }^{-q_2}{u}_x\left(0,t\right)$ 。

注1. 在假设(3)~(5)下，得到

也就是$u\left(1,t\right)=u_0\left(1\right)$ ，即

$0<u_x\left(1,t\right)\le u_{0^{\prime }}\left(1\right).$

所以我们知道$x=1$ 不能是一个梯度爆破点。此外，从(7)可知，$x=0$ 是唯一的梯度爆破点，那么也就是

$\underset{t\to T^{-}}{\lim }{u}_x\left(0,t\right)=+\infty .$

3. 梯度爆破下界

引理4. 在假设(3)~(5)下，如果梯度爆破发生在有限时间$t=T$ 时，那么存在常数$C_1>0$ 使得

$u_x\left(0,t\right)=M\left(t\right)\ge G\left(C_1\left(T-t\right)\right),$

其中$G$ 是${\displaystyle {\int }_x^{+\infty }\frac{\text{d}s}{F^{\prime }\left(s\right)}}$ 的逆函数。

证明：我们定义$C_0=\underset{0\le x\le 1}{\sup }\left\{u_{0^{″}}\left(x\right)+{\left(u_{0^{\prime }}\left(x\right)+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(u_{0^{\prime }}\left(x\right)+p_2\right)\right\}$ 。令

$M\left(t\right)=\underset{0\le x\le 1,0\le \tau \le t}{\sup }{u}_x\left(x,\tau \right),0<T-t\ll 1.$

能够计算出$w=\frac{u_x^2}{2}$ 满足方程

$w_t-w_{xx}=w_x\left\{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\right\}-u_{xx}^2,$

因此，通过极值原理，我们有

$\underset{0\le x\le 1,0\le \tau \le t}{\sup }{u}_x\left(x,\tau \right)=\underset{0\le \tau \le t}{\sup }{u}_x\left(0,\tau \right),0<T-t\ll 1.$

此外，参考文献[21]中的引理3.2，$M(t)$ 是单调递增的，也就是

$M\left(t\right)=u_x\left(0,t\right).$ (8)

通过对式子(2)两边同时对$t$ 求导，我们发现$v:=u_t$ 满足方程

$\begin{array}{c}{v}_t=v_{xx}+F^{\prime }\left(u_x\right)v_x\\ =v_{xx}+\left\{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\right\}{v}_x\end{array}$

对于任意给定的$t\in \left(0,T\right)$ 。令

$\phi \left(a,b\right):=v\left(\theta a,{\theta }^{2}b+t\right),\theta :=\frac{1}{F^{\prime }\left(M\right)}$

那么$\phi$ 满足

${\phi }_b-{\phi }_{aa}=\theta \left\{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\right\}{\phi }_a,$

我们定义

$\begin{array}{c}\psi \left(a,b\right)=\theta \left\{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\right\}\\ =\frac{F^{\prime }\left(u_x\right)}{F^{\prime }\left(M\right)}\\ =\frac{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)}{q_1{\left(M+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(M+p_2\right)+q_2\frac{{\left(M+p_1\right)}^{q_1}}{M+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(M+p_2\right)},\end{array}$

显然，$\psi \left(a,b\right)$ 是有界的，并且通过(6)，

因此通过$W_p^{2,1}$ 内边界估计(见[15])，对于任意$1<p<\infty$ ，

${\Vert \phi \Vert }_{W_p^{2,1}}\le C_1.$

通过索伯列夫嵌入定理，如果$p>3$ ，那么

${\phi }_a\left(0,0\right)\le C_1$ ，

其中常数$C_1$ 独立于$t$ 和$\theta$ ，这也就意味着

$\theta u_{xt}\le C_1$ ，

也就是

$\frac{M^{\prime }\left(t\right)}{F^{\prime }\left(M\right)}\le C_1,$

通过对方程两边同时对$t$ 在$\left[t,T\right)$ 上积分，我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_t^T\frac{M^{\prime }\left(t\right)}{F^{\prime }\left(M\right)}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_t^T\frac{M^{\prime }\left(t\right)}{q_1{\left(M+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(M+p_2\right)+q_2\frac{{\left(M+p_1\right)}^{q_1}}{M+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(M+p_2\right)}\text{d}t}\\ ={\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{\text{d}s}{q_1{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)+q_2\frac{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}}{s+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(s+p_2\right)}}\\ \le C_1\left(T-t\right),\end{array}$

显然，${\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{\text{d}s}{q_1{\left(s+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)+q_2\frac{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}}{s+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(s+p_2\right)}}<\infty$ ，所以我们有

$M\left(t\right)\ge G\left(C_1\left(T-t\right)\right),$

其中$G$ 是${\displaystyle {\int }_x^{+\infty }\frac{\text{d}s}{F^{\prime }\left(s\right)}}$ 的逆函数。

现在，我们采用另一种方法，也就是抛物估计方法来重新得到它的下界。

定理1. 在假设(3)~(5)下，如果$0<T-t\ll 1$ 那么存在常数$C_2>0$ 使得：

$M^{\prime }\left(t\right)\le C_2\frac{F\left(M\right)}{M},$

其中M由(8)定义，那么我们有

$u_x\left(0,t\right)\ge H\left(C_2\left(T-t\right)\right),$

其中$H$ 是${\displaystyle {\int }_x^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{F\left(s\right)}}$ 的逆函数。

证明：为了方便，我们定义

$ℒ\left[\omega \right]:={\omega }_t-{\omega }_{xx}-\left\{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\right\}{\omega }_x.$

取$\eta \left(x,t\right):=1-\frac{u_x\left(x,t\right)}{u_x\left(0,t\right)}=1-\frac{u_x\left(x,t\right)}{M\left(t\right)}$ 。因为$M$ 独立于$x$ ，所以可以直接计算得到

$\begin{array}{c}ℒ\left[\eta \right]=ℒ\left[1\right]-ℒ\left[\frac{u_x}{M}\right]\\ =-\frac{1}{M}ℒ\left[u_x\right]-u_xℒ\left[\frac{1}{M}\right]\\ =-u_x\left(-\frac{M^{\prime }}{M^2}\right)\\ =\frac{u_x}{M^2}\ge 0,\end{array}$

因为$M^{\prime }>0$ 几乎处处成立。

我们取$t_0$ 使得$0<T-t_0\ll 1$ 成立对于$t\in \left[t_0,T\right)$ 。显然对于任意常数$C>0$ ， $C\eta \left(0,t\right)=C\left[1-\frac{u_x\left(0,t\right)}{M\left(t\right)}\right]=0$ 和$u\left(0,t\right)=0$ ，我们可以得到$u_t\left(0,t\right)=0$ ，也就是

$C\eta \left(0,t\right)=0=u_t\left(0,t\right).$

基于抛物估计，我们可以得到$u$ 和$u_x$ 在$\Omega$ 上都是一致有界的，其中

$\Omega :=\left\{t=t_0,0\le x\le x_0\right\}\cup \left\{t_0<t<T,x=x_0\right\},0<T-t_0\ll 1,0<x_0\ll 1.$

确定地，存在常数$C_2$ 使得$u_t\left(x,t\right)\le C_2\eta \left(x,t\right)$ 在$\Omega$ 上。于是，对于任意的$x_0\in \left(0,\widehat{x}\right)$ ，其中$0<\widehat{x}\ll 1$ ，我们对$u_t-C_2\eta$ 在区域$\left(0,x_0\right)\times \left(t_0,T\right)$ 上应用极值原理得到$u_t\le C_2\eta$ ，所以

$\begin{array}{c}{u}_{xt}\left(0,t\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{u_t\left(x,t\right)}{x}\le \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{C}_2\frac{\eta \left(x,t\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{C}_2\frac{\eta \left(x,t\right)-\eta \left(0,t\right)}{x}\\ =C_2{\eta }_x\left(0,t\right)=-C_2\frac{u_{xx}\left(0,t\right)}{M\left(t\right)}=C_2\frac{F\left(M\right)}{M\left(t\right)}.\end{array}$ (9)

这样(9)意味着

(10)

也就是

$\frac{M{M}^{\prime }\left(t\right)}{F\left(M\right)}\le C_2,$ (11)

因此，通过对方程两边同时在$\left[t,T\right)$ 上对$t$ 积分得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_t^T\frac{M{M}^{\prime }\left(t\right)}{F\left(M\right)}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{F\left(s\right)}}\\ ={\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}}\\ \le C_2\left(T-t\right),\end{array}$

显然，${\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}}<\infty$ ，也就是

$u_x\left(0,t\right)=M\left(t\right)\ge H\left(C_2\left(T-t\right)\right),$

其中$H$ 是${\displaystyle {\int }_x^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{F\left(s\right)}}$ 的逆函数。

4. 梯度爆破上界

定理2：在假设(3)~(5)，如果$0<T-t\ll 1$ 那么存在常数$C_3>0$ 使得：

$M^{\prime }\left(t\right)\ge C_5\frac{F\left(M\right)}{M},0<T-t\ll 1,$

其中M由(8)定义，那么我们有

$u_x\left(0,t\right)=M\left(t\right)\le H\left(C_5\left(T-t\right)\right),$

其中$H$ 是${\displaystyle {\int }_x^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{F\left(s\right)}}$ 的逆函数。

证明：从先前的定义，可以看出

$ℒ\left[\omega \right]:={\omega }_t-{\omega }_{xx}-\left\{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_2\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\right\}{\omega }_x,$

于是$ℒ\left[u_x\right]\equiv 0$ ，$ℒ\left[u_t\right]\equiv 0$ 。

令$\eta \left(x,t\right):=\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }\left(t\right)}\right)\left(1-\frac{u_x\left(x,t\right)}{M\left(t\right)}\right)=\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)\left(1-\frac{u_x}{M}\right)$ ，其中$\alpha >0$ 之后给出取值。

那么：

$\begin{array}{c}ℒ\left[\eta \right]=ℒ\left[1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right]\left(1-\frac{u_x}{M}\right)+\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)ℒ\left[1-\frac{u_x}{M}\right]\\ =-\frac{\alpha M^{\prime }}{M^{\alpha +1}}\left(1-\frac{u_x}{M}\right)-\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)\left\{ℒ\left[u_x\right]\frac{1}{M}+u_xℒ\left[\frac{1}{M}\right]\right\}\\ =-\frac{\alpha M^{\prime }}{M^{\alpha +1}}\left(1-\frac{u_x}{M}\right)-\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)\left\{u_xℒ\left[\frac{1}{M}\right]\right\}\\ =M^{\prime }\left\{-\frac{\alpha }{M^{\alpha +1}}\left(1-\frac{u_x}{M}\right)+\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)\frac{u_x}{M^2}\right\}.\end{array}$

此外，

$\begin{array}{c}ℒ\left[u\right]=u_t-u_{xx}-\left\{q_1{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)+q_2\frac{{\left(u_x+p_2\right)}^{q_1}}{u_x+p_2}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\right\}{u}_x\\ =-{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}{\ln }^{q_2-1}\left(u_x+p_2\right)\left\{\left[\left(q_1-1\right)u_x-p_1\right]\ln \left(u_x+p_2\right)+q_2{u}_x\frac{u_x+p_1}{u_x+p_1}\right\}\\ \le -{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}\left[\left(q_1-1\right)u_x-p_1\right]{\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)\\ \le -{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}\left(u_x-p_1\right){\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right).\end{array}$

1) 若$u_x\le \frac{\alpha }{\alpha +2}{M}^{1-\alpha }$ ，我们有

$\begin{array}{c}ℒ\left[\eta \right]=\frac{M^{\prime }}{M^{\alpha +1}}\left\{-\alpha +\frac{u_x}{M^{1-\alpha }}+\left(\alpha +1\right)\frac{u_x}{M}\right\}\\ \le \frac{M^{\prime }}{M^{\alpha +1}}\left\{-\alpha +\frac{\alpha }{\alpha +2}+\frac{\alpha \left(\alpha +1\right)}{\alpha +2}\frac{1}{M^{\alpha }}\right\}\\ =\frac{\alpha \left(\alpha +1\right)M^{\prime }}{\left(\alpha +2\right)M^{\alpha +1}}\left\{-1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right\}\\ \le 0,\end{array}$

2) 若$u_x>\frac{\alpha }{\alpha +2}{M}^{1-\alpha }$ ，通过(11)我们有

$\begin{array}{c}ℒ\left[\eta \right]\le M^{\prime }\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)\frac{u_x}{M^2}\\ \le 2C_2\frac{{\ln }^{q_2}\left(M+p_2\right)}{M}\frac{u_x{\left(M+p_1\right)}^{q_1}}{M^2}\\ \le 8C_{2}B{u}_x{\left(M+p_1\right)}^{q_1-2}\\ \le 8C_{2}B{u}_x{\left(\frac{\alpha +2}{\alpha }{u}_x^{\frac{1}{1-\alpha }}+p_1\right)}^{q_1-2}\\ \le 8C_{2}B{u}_x{\left(2\frac{\alpha +2}{\alpha }{u}_x^{\frac{1}{1-\alpha }}\right)}^{q_1-2},\end{array}$

我们有如下两种情况：

1) 若$q_1=2$ ，那么$ℒ\left[\eta \right]\le 8C_{2}B{u}_x$ ，我们定义$C_4^{*}:=8C_{2}B{\left(2\frac{\alpha +2}{\alpha }\right)}^{q_1-2}=8C_{2}B>0$ ，于是

$ℒ\left[\eta +C_4^{*}u\right]\le C_4^{*}\left\{u_x-\left(u_x^2-p_1^2\right){\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)\right\}\le 0,$

2) 若$q_1>2$ ，那么因为当$t\to T$ 时，$M\to +\infty ,$ 所以存在一个足够大的常数$B$ 使得$\frac{{\ln }^{q_2}\left(M+p_2\right)}{M}\le B$ ，现在我们选择$\alpha =\frac{1}{q_1-1}\in \left(0,1\right)$ 使得

$\frac{q_1-2}{1-\alpha }=q_1-1,$

我们定义$C_4^{**}:=8C_{2}B{\left(2\frac{\alpha +2}{\alpha }\right)}^{q_1-2}>0$ ，那么$ℒ\left[\eta \right]\le C_4^{**}{u}_x^{q_1}\le C_4^{**}{u}_x{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}$ ，因此，

$\begin{array}{c}ℒ\left[\eta +C_4^{**}u\right]\le C_4^{**}{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}\left\{u_x-\left(u_x-p_1\right){\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)\right\}\\ =C_4^{**}{u}_x{\left(u_x+p_1\right)}^{q_1-1}\left\{1-\left(1-\frac{p_1}{u_x}\right){\ln }^{q_2}\left(u_x+p_2\right)\right\}\\ \le 0,\end{array}$

我们取$C_4=\max \left\{C_4^{*},C_4^{**}\right\}$ ，结合情况1)和2)，得到：

$ℒ\left[\eta +C_{4}u\right]\le 0,$

于是，对于情况1，显然：

$ℒ\left[\eta +C_{4}u\right]\le 0.$

最终，结合情况1和2我们得到：

$ℒ\left[\eta +C_{4}u\right]\le 0.$

存在$t_0$ 使得$0<T-t_0\ll 1$ 成立对于$t\in \left[t_0,T\right)$ 。显然对于任意常数$C>0$ ，

$C\left(\eta \left(0,t\right)+C_{4}u\left(0,t\right)\right)=0=u_t\left(0,t\right),t_0<t<T.$

基于强极值原理，有$\underset{t_0<t<T}{\inf }{u}_t\left(x_0,t\right)>0,u_{xt}\left(0,t_0\right)>0$ 。

通过抛物估计，知$u$ 和$u_x$ 在区域$\Omega$ 上是一致有界的，其中

$\Omega :=\left\{t=t_0,0\le x\le x_0\right\}\cup \left\{t_0<t<T,x=x_0\right\},0<T-t_0\ll 1,0<x_0\ll 1.$

存在一个常数$C_5>0$ 使得$u_t\left(x,t\right)\ge C_5\left\{\eta \left(x,t\right)+C_{4}u\left(x,t\right)\right\}$ 在区域$\Omega$ 上。这样，对于任意的$x_0\in \left(0,\widehat{x}\right)$ ，其中$0<\widehat{x}\ll 1$ ，并且，我们可以在区域$\left(0,x_0\right)\times \left(t_0,T\right)$ 上对$u_t-C_5\left(\eta +C_{4}u\right)$ 应用强极值原理，从而得到

$u_t\ge C_5\left(\eta +C_{4}u\right)$ ，

也就是

$\begin{array}{c}{u}_{xt}\left(0,t\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{u_t\left(x,t\right)}{x}\ge \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{C}_5\frac{\eta \left(x,t\right)+C_{4}u}{x}\\ \ge \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{C}_5\frac{\eta \left(x,t\right)}{x}\%\ge \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{C}_3\frac{u\left(x,t\right)u_x^{\alpha }\left(x,t\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{C}_5\frac{\eta \left(x,t\right)-\eta \left(0,t\right)}{x}\\ =C_5{\eta }_x\left(0,t\right)=-C_5\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)\frac{u_{xx}\left(0,t\right)}{M\left(t\right)}=C_5\left(1+\frac{1}{M^{\alpha }}\right)\frac{F\left(M\right)}{M}\\ \ge C_5\frac{F\left(M\right)}{M},\end{array}$ (12)

即：

$M^{\prime }\left(t\right)\ge C_5\frac{F\left(M\right)}{M},$

那么，

$\frac{M{M}^{\prime }}{F\left(M\right)}\ge C_5,$ (13)

在$\left[t,T\right)$ 上积分，我们有

$\begin{array}{c} {\displaystyle {\int }_t^T\frac{M{M}^{\prime }}{F\left(M\right)}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{F\left(s\right)}}\\ ={\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}}\\ \ge C_5\left(T-t\right),\end{array}$

显然，${\displaystyle {\int }_{M\left(t\right)}^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{{\left(s+p_1\right)}^{q_1}{\ln }^{q_2}\left(s+p_2\right)}}<\infty$ ，也就是

$u_x\left(0,t\right)=M\left(t\right)\le H\left(C_5\left(T-t\right)\right),$

其中$H$ 是${\displaystyle {\int }_x^{+\infty }\frac{s\text{d}s}{F\left(s\right)}}$ 的逆函数。

5. 应用举例

在大多数情况下，函数$\frac{s}{F\left(s\right)}$ 没有原函数故而没有精确值的表达式，但是对于一些特殊的情况，我们可以采用不等式来放缩处理。如：

$\{\begin{array}{ll}{u}_t=u_{xx}+{\left(\left|u_x\right|+2\right)}^2\left|{\ln }^3\left(\left|u_x\right|+2\right)\right|,\hfill & 0<x<1,t>0,\hfill \\ u\left(0,t\right)=0,u\left(1,t\right)=A,\hfill & t>0,\hfill \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),\hfill & 0\le x\le 1,\hfill \end{array}$ (14)

其中$0<A<\infty$ 足够大，且我们假设下面的条件成立：

$u_0\in C^2\left[0,1\right],u_0\left(0\right)=0,u_0\left(1\right)=A,$

$0<u_0\left(x\right)<A,0\le x\le 1,$

$u_{0^{″}}\left(x\right)+{\left(\left|u_{0^{\prime }}\left(x\right)\right|+2\right)}^2\left|{\ln }^3\left(\left|u_{0^{\prime }}\left(x\right)\right|+2\right)\right|\ge 0,u_{0^{\prime }}\left(x\right)\ge 0,0\le x\le 1.$

通过以上假设，且通过(11)和(13)我们知道$x=0$ 是唯一的梯度爆破点，并且有

$C_5\le \frac{M{M}^{\prime }}{{\left(M+2\right)}^2{\ln }^3\left(M+2\right)}\le C_2,$

这里M的定义见(8)，也就是$M=u_x\left(0,t\right)$ ，且$0<T-t\ll 1$ ，显然，

$\frac{C_5}{2}\le \frac{M^{\prime }}{\left(M+2\right){\ln }^3\left(M+2\right)}\le C_2,$

在$\left[t,T\right)$ 上积分，我们有对于$0<T-t\ll 1$

${\text{e}}^{\frac{1}{\sqrt{C_5\left(T-t\right)}}}-2\le u_x\left(0,t\right)=M\left(t\right)\le {\text{e}}^{\frac{1}{\sqrt{2C_2\left(T-t\right)}}}-2$ ，

这也就是问题(14)梯度爆破的上下界。

6. 小结

本文研究了带有不定指数的对数非线性项的热传导方程的梯度爆破问题，在假设初值条件下，通过已知定理得出研究方程会发生梯度爆破的条件，对各个指数进行了分类讨论。然后构造函数，运用比较原理得出方程发生梯度爆破的位置，也就是只在边界处发生梯度爆破。通过尺度变换和抛物方程的正则估计得到方程梯度爆破的上下界。最后通过一个例子来验证本章的结论。

本文研究了较为一般的带有对数形式的热方程的梯度爆破问题，即各个指数和底数是不定的，但是这种情况还是比较特殊，更为一般的形式是今后研究的目标，此外，更精确的梯度爆破上下界也是一个值得考虑的问题。

基金项目

山西省基础研究计划，项目编号202403021221030。

NOTES

^*通讯作者。