从有限理性角度分析电商企业价格战

Analyzing the Price War of E-Commerce Enterprises from the Perspective of Bounded Rationality

摘要: 本文利用多目标博弈的方法，从有限理性角度分析了电商企业价格战。研究结果表明，在适当的情况下，即使不完全了解市场信息，电商企业的营销策略也不会受到太大的影响，在大多数时候都可以做出对自己有利，让自己满意的策略。

Abstract: This article uses multi-objective game theory to analyze the price war of e-commerce enterprises from the perspective of bounded rationality. The research results indicate that under appropriate circumstances, even without a complete understanding of market information, e-commerce companies’ marketing strategies are not greatly affected, and most of the time they can make strategies that are beneficial to themselves and satisfy themselves.

1. 引言

新冠疫情的暴发在很大程度上影响了人们的生活方式。在封闭期间，很多人开启直播，通过这种方式积累了许多粉丝，并在粉丝心目中有较高的信誉度。随后，许多电商企业也通过直播的方式对自己的产品进行推广。因此，直播带货逐渐成为主流，并对传统的营销方式产生了一定影响。虽然互联网的发展为网络带货带来了极大便利，但是主播的影响力以及粉丝的基数也影响着企业的利润，各个企业公司除了借助直播的方式推销自己的产品外，还会利用价格战，促销等手段来维护自己的粉丝量。值得注意的是，直播带货改变了传统的营销方式，对企业制定策略产生了一定的影响。

许多著名学者用博弈论的方法研究了价格战对各个厂商定价的影响。孙雨尧[1]通过几个著名的博弈模型，如伯特兰德模式、囚徒困境和卡特尔模型，对企业的数据进行分析，指出在厂商理性的情况下，价格变化策略在垄断市场中是必不可少的。陈媛[2]更进一步，利用囚徒困境模型和伯特兰德价格竞争模型分析并得出结论，当企业制定的产品价格不大于该产品的边际成本时，价格战才会停止。罗洁雯[3]基于博弈论的视角，利用囚徒困境模型、伯特兰德模型对年中大促的天猫、京东电商价格战等事件进行分析，当对博弈模型进行轻微调整后，得出双方可能共赢的结果，并对电商企业价格战提出相应的建议和总结。陈立强[4]提出了多种规避价格战的方法，例如差异化竞争策略、与消费者建立良好关系以及技术创新、提高产品质量等。苑鑫艺[5]从博弈论角度对电商企业间的价格竞争进行分析，并为电商企业未来发展及战略制定提供了一些具体有效的建议。由此我们可以发现，影响电商定价的因素很多，同时决定消费者是否购买产品的因素也不仅仅是价格。因此，为了更好地研究这一类问题，本文主要利用多目标博弈展开研究。关于多目标博弈的开创性研究可参考[6]-[8]，这为我们接下来的研究提供了理论支撑。

另一方面，这些博弈模型通常都是假设电商平台在制定策略时是完全理性的，他们总是能够在完全知晓市场情况的前提下作出做好的策略。但是现实情况确是，很多电商平台都不能够完全了解市场，更不能够知道其他电商平台的策略。因此他们一般只能作出令自己满意的策略，保证自己在市场当中能够处于有利地位即可。有限理性模型最初由Anderlini L和Canning D [9]建立。它指的是人的行为“是有意识的理性，但这种理性又是有限的”。在现实生活中，领导者既不是完全理性的，也不是完全不理性的，称这样的情形为“有限理性”的“管理人”。在实际决策的过程中，领导者的能力是有限的，他们获取信息，总结经验的能力也是有限的。因此，他们不可能做出最完美的解决方案，只是能够找出相对满意的解决方案。在考虑风险和收益等因素的情况下，管理者或决策者会做出自己较为满意的决策。然后经过Yu等人[10]进一步完善，并在经济理论中有着巨大的应用，例如[11]-[13]。

基于以上思考，本文主要是在有限理性框架下，通过多目标博弈论的方法来研究直播带货对电商企业定价的影响，同时也分析了利他偏好对公司制定策略的影响。

2. 预备知识

定义1 [14]设$X$ 和$Y$ 是两个Hausdorff拓扑空间，$F:X\rightrightarrows Y$ 是一个集值映射，即$\forall x\in X$ ，$F\left(x\right)$ 是$Y$ 中的非空集合。

(1) 如果对$Y$ 中的任意开集$G$ ，$G\supset F\left(x^{\prime }\right)$ ，存在$x$ 的开邻域$O_x$ ，使得$\forall x^{\prime }\in O_x$ ，有$G\supset F\left(x^{\prime }\right)$ ，则称集值映射$F$ 在$x$ 是上半连续的。

(2) 如果对$Y$ 中的任意开集$G$ ，$G\cap F\left(x\right)\ne \varnothing$ ，存在$x$ 的开邻域$O_x$ ，使得$\forall x^{\prime }\in O_x$ ，有$G\cap F\left(x\right)\ne \varnothing$ ，则称集值映射$F$ 在$x$ 是下半连续的。

(3) 如果集值映射$F$ 在$x$ 上既上半连续又下半连续，则称$F$ 在$x$ 是连续的。

(4) 如果$\forall x\in X$ ，集值映射$F$ 在$x$ 是连续的，则称$F$ 在$X$ 上是连续的。

(5) 如果$\forall x\in X$ ，$F\left(x\right)$ 是紧集，且集值映射$F$ 在$x$ 是上半连续的，则称$F$ 是$X$ 上的一个usco映射。

引理1 [15] (Fort定理)设$X$ 是一个Hausdorff拓扑空间，$Y$ 是一个度量空间，$F:X\rightrightarrows Y$ 是一个usco映射，则存在$X$ 中的一个剩余集$Q$ ，使得$\forall x\in Q$ ，$F$ 在$x$ 是下半连续。进而，$F$ 在$Q$ 上是连续的。

引理2 [14]设$X$ 是一个紧度量空间，则依赖于$G$ 的集值映射$f\left(G\right)=\left\{x\in X:x\in G\left(x\right)\right\}$ 必是上半连续的，其中$G:X\to P_0\left(X\right)$ 连续，$\forall x\in X$ ，$G\left(x\right)$ 是非空紧集，且$f\left(G\right)\ne \varnothing$ 。

引理3 [14]设$X$ ，$Y$ 和$Z$ 是三个度量空间，其中$Z$ 是紧的，$\left\{A_n\right\}$ 是$X$ 中的一列非空紧集，$h\left(A_n,A\right)\to 0$ ，其中$h$ 是$X$ 中的Hausdorff距离，$A$ 是$X$ 中的一个非空紧集，$\forall n=1,2,3,\cdots ,{\phi }_n:X\times Y\times Z\to R$ 是连续函数，$\underset{\left(x,y,z\right)\in X\times Y\times Z}{\sup }\left|{\phi }_n\left(x,y,z\right)-\phi \left(x,y,z\right)\right|\to 0$ ，其中$\phi$ 是$X\times Y\times Z$ 上的一个连续函数，$\left\{y_n\right\}$ 是$Y$ 中的一个序列，且$y_n\to y$ ，则有

$\underset{w\in A_n}{\max }\underset{z\in Z}{\min }{\phi }_n\left(w,y_n,z\right)\to \underset{w\in A}{\max }\underset{z\in Z}{\min }{\phi }_n\left(w,y,z\right)$ . (2.1)

定义1 [14]令$M=\left\{\text{Λ},X,f,R\right\}$ 表示一个有限理性模型，其中$\left(\text{Λ},\rho \right)$ 和$\left(X,d\right)$ 都是度量空间，集值映射$f:\text{Λ}\rightrightarrows X$ 是连续的且$\forall \lambda \in \Lambda ,f\left(\lambda \right)$ 是非空紧集，理性函数$R:graph\left(f\right)\to R_{+}$ 是连续的，且$\forall \lambda \in \Lambda ,E\left(\lambda ,\epsilon \right)=\left\{x\in f\left(\lambda \right):R\left(\lambda ,x\right)\le \epsilon \right\}$ 定义为$\lambda$ 的$\epsilon$ -平衡点集，则

(1) $\lambda \in \text{Λ}$ ，如果$\forall \delta >0,\exists \overline{\epsilon }>0$ ，当$\epsilon <\overline{\epsilon },\rho (\lambda ,{\lambda }^{{}^{\prime }})<\overline{\epsilon }$ ，有$h(E({\lambda }^{{}^{\prime }},\epsilon ),E({\lambda }^{{}^{\prime }}))<\delta$ ，则称模型$M$ 在$\lambda$ 对$\epsilon$ -平衡是鲁棒的，其$h$ 是$X$ 上的Hausdorff距离。

(2) 如果平衡映射$E:\text{Λ}\rightrightarrows X$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 是连续的，则称模型$M$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 是结构稳定的。

引理4 [10] $\lambda$ 对$\epsilon$ 平衡是鲁棒的当且仅当模型$M$ 是结构稳定的。

引理5 [10]若模型$M=\left\{\text{Λ},X,f,R\right\}$ 满足以下条件：$\left(\text{Λ},\rho \right)$ 是完备度量空间，$\left(X,d\right)$ 是紧度量空间，$f:\text{Λ}\rightrightarrows X$ 是上半连续的且$\forall \lambda \in \Lambda ,f\left(\lambda \right)$ 是非空紧集，$R:graph\left(f\right)\to R_{+}$ 是下半连续的且$\forall \lambda \in \Lambda ,E\left(\lambda \right)\ne \varnothing$ ，则

(1) 平衡映射$E:\text{Λ}\to P_0\left(X\right)$ 是一个usco映射；

(2) 存在$\text{Λ}$ 中的一个稠密剩余集$Q$ ，使得$\forall \lambda \in Q$ ，$\text{Λ}$ 在$\lambda$ 处是结构稳定的；

(3) 若模型$M$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 处是结构稳定的，则模型$M$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 对$\epsilon$ -平衡是鲁棒的；

(4) 存在$\text{Λ}$ 中的一个稠密剩余集$Q$ ，使$\forall \lambda \in Q,\forall {\lambda }_n\to \lambda ,{\epsilon }_n\to 0$ ，有

$h\left(E\left({\lambda }_n,{\epsilon }_n\right),E\left(\lambda \right)\right)\to 0$ ； (2.2)

(5) 若$\lambda \in \text{Λ}$ ，且$E\left(\lambda \right)=\left\{x\right\}$ 为单点集，则$M$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 处是结构稳定的，且在$\lambda \in \text{Λ}$ 对$\epsilon$ -平衡也是鲁棒的。

3. 模型建立

假设$N=\left\{1,\cdots ,n\right\}$ 是市场中所有电商公司的集合，$\forall i\in N$ ，$X_i$ 是电商公司$i$ 的策略集。$G_i:X_{\widehat{i}}\rightrightarrows X_i$ 是第$i$ 个电商公司的可行策略映射(这意味着每个电商公司的策略受其他电商公司的影响)，$F^i=\left\{f_1^i,\cdots ,f_k^i\right\}:X={\displaystyle \prod }_{i=1}^n{X}_i\to R^k$ 是第$i$ 个电商公司的向量值效用函数。该博弈模型记为$\lambda ={\left(X_i,G_i,F^i\right)}_{i\in N}$ 。如果$\exists \overline{x}=\left\{{\overline{x}}_1,\cdots ,{\overline{x}}_n\right\}\in X$ ，使得$\forall i\in N$ ，有${\overline{x}}_i\in G_i\left({\overline{x}}_{\widehat{i}}\right)$ ，且$\forall i\ne j\in N$ ，有

$F^i\left(x_j,{\overline{x}}_j\right)-F^i\left(\overline{x}\right)\notin R_{+}^k,x_j\in G_j\left({\overline{x}}_{\widehat{j}}\right)$ , (3.1)

则称策略$\overline{x}$ 是此博弈$\lambda$ 的弱Pareto-单边支持均衡。

令

$\text{Λ}=\left\{\lambda =(F^1,\mathrm{...},F^n;G_1,\mathrm{...},G_n):\begin{array}{c}\forall i\in N,F^i:X\to R^k��;\\ G_i:X_{\widehat{i}}\to P_0(X_i)��;\\ \forall x_{\widehat{i}}\in X_{\widehat{i}},G_i(x_{\widehat{i}})是X_i中的非空�集;\\ \end{array}\right\}$,

$\forall {\lambda }_1=\left(F^{11},\cdots ,F^{1n};G_{11},\cdots ,G_{1n}\right),\forall {\lambda }_1=\left(F^{21},\cdots ,F^{2n};G_{21},\cdots ,G_{2n}\right)\in \Lambda$ ，定义距离函数

$\rho \left({\lambda }_1,{\lambda }_2\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\underset{x\in X}{\max }\Vert F^{1i}\left(x\right)-F^{2i}\left(x\right)\Vert +{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\underset{x\in X}{\sup }{h}_i\left(G_{1i}\left(x_{\widehat{i}}\right),G_{2i}\left(x_{\widehat{i}}\right)\right)$ ,(3.2)

其中，$\forall i\in N$ ，$h_i$ 是$X_i$ 上的Hausdprff距离。

4. 稳定性分析

基于以上模型，我们可以证明以下结论。

定理1 $\left(\text{Λ},\rho \right)$ 是一个完备度量空间。

证明设$\left\{{\lambda }_m\right\}$ 是$\text{Λ}$ 中的任意Cahchy列，即$\forall \epsilon >0$ ，存在正整数$N\left(\epsilon \right)$ ，使得$\forall m,p\ge N\left(\epsilon \right)$ ，有

$\rho \left({\lambda }_m,{\lambda }_p\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\underset{x\in X}{\max }\Vert F^{mi}\left(x\right)-F^{pi}\left(x\right)\Vert +{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\underset{x\in X}{\sup }{h}_i\left(G_{mi}\left(x_{\widehat{i}}\right),G_{pi}\left(x_{\widehat{i}}\right)\right)<\epsilon$ . (4.1)

易知，$\forall i\in N$ ，存在$F^i:X\to R^k$ ，集值映射$G_i:X_{\widehat{i}}\rightrightarrows X_i$ ，使得$\underset{p\to \infty }{\lim }{F}^{pi}\left(x\right)=F^i\left(x\right)$ ，$\underset{p\to \infty }{\lim }{G}_{pi}\left(x\right)=G_i\left(x\right)$ ，且$F^i$ 连续，集值映射$G_i$ 连续。$\forall x_{\widehat{i}}\in X_{\widehat{i}}$ ，$G_i\left(x_{\widehat{i}}\right)$ 是$X_i$ 中的非空紧集，所以$\forall m\ge N\left(\epsilon \right)$ ，有

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n\underset{x\in X}{\max }\Vert F^{mi}\left(x\right)-F^i\left(x\right)\Vert +{\displaystyle \sum }_{i=1}^n\underset{x\in X}{\sup }{h}_i\left(G_{mi}\left(x_{\widehat{i}}\right),G_i\left(x_{\widehat{i}}\right)\right)<\epsilon$ . (4.2)

因为${\lambda }_m=\left(F^{m1},\cdots ,F^{mn};G_{m1},\cdots ,G_{mn}\right)\in \text{Λ}$ ，所以存在序列$x^m\in X$ ，使得$x_i^m\in G_{mi}\left(x_{\widehat{i}}^m\right)$ ，并且$\forall j\ne i\in N$ ，有

$F^{mi}\left(w_j,x_{\widehat{j}}^m\right)-F^{mi}\left(x_j^m,x_{\widehat{j}}^m\right)\notin int{R}_{+}^k,\forall w_j\in G_{mj}\left(x_{\widehat{j}}^m\right)$ . (4.3)

$\forall x^m\to x$ ，由于$X$ 是紧空间，所以$\forall i\in N$ ，有$h_i\left(G_{mi}\left(x_{\widehat{i}}^m\right),G_i\left(x_i\right)\right)\to 0$ ，$x_i\in G_i\left(x_{\widehat{i}}\right)$ 。同样，易证$\forall j\ne i\in N$ ，$\forall w_j\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)$ ，有

$F^{mi}\left(w_j,x_{\widehat{j}}^m\right)\to F^i\left(w_j,x_{\widehat{j}}\right),F^{mi}\left(x_j^m,x_{\widehat{j}}^m\right)\to F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)$ . (4.4)

于是，$\forall j\ne i\in N$ ，必有$F^i\left(w_j,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\notin int{R}_{+}^k$ 。所以，$\lambda =\left(F^1,\cdots ,F^n;G_1,\cdots ,G_n\right)\in \text{Λ}$ ，$\left(\text{Λ},\rho \right)$ 必是完备的。

$\forall \lambda =\left(F^1,\cdots ,F^n;G_1,\cdots ,G_n\right)\in \Lambda$ ，$\forall x\in X$ ，令

$f\left(\lambda \right)=\left\{x\in X:x\in G\left(x\right)={\displaystyle \prod }_{i=1}^n{G}_i\left(x_{\widehat{i}}\right)\right\}$ . (4.5)

则可以定义理性函数为：

$\varphi \left(\lambda ,x\right)={\displaystyle \sum }_{i\in N}{\displaystyle \sum }_{j\ne i,j\in N}\underset{w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle$ . (4.6)

现在构建广义多目标博弈的弱Pareto-单边支持均衡问题的有限理性模型为$\text{Ω}=\left\{\text{Λ},X,f,\varphi \right\}$ ，其中

(i) $\text{Λ}$ 是一个完备度量空间，$X$ 是一个度量空间；

(ii) 广义多目标博弈弱Pareto-单边支持均衡问题的可行约束为$f\left(\lambda \right)=\left\{x\in X:x\in G\left(x\right)={\displaystyle \prod }_{i=1}^n{G}_i\left(x_{\widehat{i}}\right)\right\}$ ；

(iii) 广义多目标博弈弱Pareto-单边支持均衡问题$\lambda$ 的解集为；

$E\left(\lambda \right)=\left\{x\in X:\forall i\in N,x_i\in G_i\left(x_{\widehat{i}}\right),\forall j\ne i,\forall w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right),F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\notin int{R}_{+}^k\right\}$ ;

(iv) 理性函数为$\varphi \left(\lambda ,x\right)={\displaystyle \sum }_{i\in N}{\displaystyle \sum }_{j\ne i,j\in N}\underset{w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle$ 。

由$\text{Λ}$ 的定义知，$E\left(\lambda \right)\ne \varnothing ,\forall \lambda \in \Lambda$ 。

定理2 $\forall \epsilon \ge 0$ ，$\forall \lambda \in \Lambda$ ，记$\lambda$ 的$\epsilon$ -弱Pareto单边支持均衡解集为$E\left(\lambda ,\epsilon \right)=\left\{x\in f\left(x\right):\varphi \left(\lambda ,x\right)\le \epsilon \right\}$ 。则有如下结果：

(1) $\forall \lambda \in \Lambda$ ，$E\left(\lambda \right)\ne \varnothing$ ，且$\forall x\in f\left(\lambda \right)$ ，$\varphi \left(\lambda ,x\right)\ge 0$ ；

(2) $\forall \lambda \in \Lambda$ ，$\forall x\in f\left(\lambda \right)$ ，$\varphi \left(\lambda ,x\right)=0\iff x\in E\left(\lambda \right)$ ；

(3) $f:\lambda \to P_0\left(X\right)$ 是连续的，且$\forall \lambda \in \Lambda$ ，$f\left(\lambda \right)$ 是非空紧集。

证明由引理1知，$f:\text{Λ}\rightrightarrows X$ 是上半连续的，且$\forall \lambda \in \Lambda$ ，$f\left(\lambda \right)$ 是非空紧集。$\forall \lambda \in \Lambda$ ，$\forall x\in f\left(\lambda \right)$ ，$\forall j\ne i\in N$ ，令$w_j^i=x_j\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)$ ，则$\varphi \left(\lambda ,x\right)\ge 0$ 。所以结果(1)成立。

结果(2)的必要性。若$\varphi \left(\lambda ,x\right)=0$ ，则$\forall j\ne i\in N$ ，有

$\underset{w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle =0$ 。 (4.7)

因此，$\forall w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)$ ，有

$\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle \le 0$ 。 (4.8)

若存在$w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)$ ，使得

$F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\in int{R}_{+}^k$ ， (4.9)

则$\forall z\in Z$ ，必有

$\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle >0$ 。 (4.10)

因$Z$ 是紧集，故$\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle >0$ ，这与前面矛盾。所以，$\forall j\ne i\in N,\forall w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)$ ，有$F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\notin int{R}_{+}^k$ ，从而$x\in E\left(\lambda \right)$ 。

结果(2)的充分性。若$x\in E\left(\lambda \right)$ ，则$\forall i\in N$ ，$x_i\in G_i\left(x_{\widehat{i}}\right)$ ，$\forall j\ne i\in N$ ，有

$F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\notin int{R}_{+}^k,\forall w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)$ 。 (4.11)

记$M=\left\{m\in \left\{1,\cdots ,k\right\}:F^{im}\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^{im}\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\le 0\right\}$ ，则$M\ne \varnothing$ 。取$m_0\in M$ ，定义$z^0=\left(z_1^0,\cdots ,z_{m_0}^0,\cdots ,z_k^0\right)$ ，其中$z_{m_0}^0=1,z_m^0=0\left(m\ne m_0\right)$ ，则$z^0\in Z$ 。因为$\langle z^0,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle \le 0$ ，所以$\underset{z\in Z}{\min }\langle z^0,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle \le 0$ 。从而有$\underset{w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z^0,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle \le 0$ 。即$\varphi \left(\lambda ,x\right)\le 0$ ，但前面已证$\varphi \left(\lambda ,x\right)\ge 0$ 。所以$\varphi \left(\lambda ,x\right)=0$ 。证毕。因此结果(2)成立。

结果(3)是显然的。

定理3 $\forall \left(\lambda ,x\right)\in \left(\Lambda ,X\right)$ ，$\varphi \left(\lambda ,x\right)$ 在$\left(\lambda ,x\right)$ 是连续的。

证明$\forall {\lambda }_m=\left(F^{m1},\cdots ,F^{mn};G_{m1},\cdots ,G_{mn}\right)\in \Lambda ,{\lambda }_m\to \lambda =\left(F^1,\cdots ,F^n;G_1,\cdots ,G_n\right),\forall x^m\in X,x^m\to x$ ，即证明$\forall j\ne i\in N$ ，有

$\underset{w_j^i\in G_{mj}\left(x_{\widehat{j}}^m\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^{mi}\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}^m\right)-F^{mi}\left(x_j^m,x_{\widehat{j}}^m\right)\rangle \to \underset{w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}^m\right)\rangle$ . (4.12)

$\forall i\in N$ ，$\forall m=1,2,3,\cdots$ ，定义

${\phi }_{mi}\left(w_j^i,x,z\right)=\langle z,F^{mi}\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^{mi}\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle$ ，${\phi }_i(w_j^i,x,z)=\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle$ . (4.13)

则${\phi }_{mi}$ 和${\phi }_i$ 在$X_j\times X\times Z$ 上是连续的，其中$z\in \left\{r\in R_{+}^k:\Vert r\Vert =1\right\}$ 是紧集。因此

$\begin{array}{l}\left|{\phi }_{mi}\left(w_j^i,x,z\right)-{\phi }_i\left(w_j^i,x,z\right)\right|\\ =\left|\langle z,F^{mi}\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^{mi}\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)+F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle \right|\\ \le \left|\langle z,F^{mi}\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)\rangle \right|+\left|\langle z,F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)-F^{mi}\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\rangle \right|\\ \le \Vert z\Vert \Vert F^{mi}\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)\Vert +\Vert z\Vert \Vert F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)-F^{mi}\left(x_j,x_{\widehat{j}}\right)\Vert \\ \le 2\rho \left({\lambda }^m,\lambda \right)\to 0.\end{array}$

又因为$x^m\to x,h_i\left(G_{mi}\left(x_i^m\right),G_i\left(x_{\widehat{i}}\right)\right)\to 0$ 。由引理3，有

$\underset{w_j^i\in G_{mj}\left(x_{\widehat{j}}^m\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^{mi}\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}^m\right)-F^{mi}\left(x_j^m,x_{\widehat{j}}^m\right)\rangle \to \underset{w_j^i\in G_j\left(x_{\widehat{j}}\right)}{\max }\underset{z\in Z}{\min }\langle z,F^i\left(w_j^i,x_{\widehat{j}}\right)-F^i\left(x_j,x_{\widehat{j}}^m\right)\rangle$ . (4.14)

所以，$\varphi \left(\lambda ,x\right)$ 是连续的。

综上，我们可以得到以下结果：

(1) 平衡映射$E:\text{Λ}\rightrightarrows X$ 是一个usco映射；

(2) 存在$\text{Λ}$ 中的一个稠密剩余集$Q$ ，使得$\forall \lambda \in Q$ ，$\text{Ω}$ 在$\lambda$ 处是结构稳定的；

(3) 若$\text{Ω}$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 处是结构稳定的，则$\text{Ω}$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 对$\epsilon$ -弱Pareto单边支持均衡是鲁棒的；

(4) 存在$\text{Λ}$ 中的一个稠密剩余集$Q$ ，使$\forall \lambda \in Q,\forall {\lambda }_n\to \lambda ,{\epsilon }_n\to 0$ ，有$h\left(E\left({\lambda }_n,{\epsilon }_n\right),E\left(\lambda \right)\right)\to 0$

(5) 若$\lambda \in \text{Λ}$ ，且$E\left(\lambda \right)=\left\{x\right\}$ 为单点集，则$\text{Ω}$ 在$\lambda \in \text{Λ}$ 处是结构稳定的，且在$\lambda \in \text{Λ}$ 对$\epsilon$ -弱Pareto单边支持均衡也是鲁棒的。

这个结果表明，只要每个电商公司的效用函数是连续的，稳定变化的，那么，其他电商公司的策略发生轻微变化时，不会对自己的效益产生太大的影响。

5. 结论

本文我们将电商企业价格战构建为一个多目标博弈，并在有限理性的角度下，研究了电商企业在不完全理解市场信息下的决策行为以及影响。结果表明，如果电商企业的收益函数是连续和凹的，那么他们的决策行为不会受到太大的干扰。这也表明在大多数情况下，只要其它电商企业的策略不发生太大的变化，那么电商企业的策略越不会产生太大的变化。