船舶压缩机往复惯性力计算分析与改进研究

Study on Reciprocating Inertia Force Calculation Analysis and Improvement of Marine Compressor

摘要: 文章采用欧拉公式研究压缩机的振动、噪声问题并改进其计算结果。利用复变函数论推导出W型机器运转时一、二阶惯性力公式与图像、相位与幅值，从理论上揭示夹角γ、往复质量m对其合力的影响。针对具体的型式采用合适的平衡机构诸如行星齿轮机构来平衡一、二阶惯性力。分析结果表明，三列往复运动的机械结构(质量大小、夹角、转速、曲柄连杆比等)决定了其惯性力模式，而与转向无关。

Abstract: In this paper, Euler formula is used to study the vibration and noise of compressors and improve its calculation results. The first- and second-order inertia force formulae and images, phases and amplitudes of W-type machines are derived by using complex variable function theory. The influence of angle γ and reciprocating mass m on resultant force is theoretically revealed. An appropriate balancing mechanism, such as planetary gear mechanism, is used to balance the first- and second-order inertial forces according to specific types. The analysis results show that the mechanical structure of the three-column reciprocating machinery (mass size, angle, speed, crank link ratio, etc.) determines its inertial force pattern, which is independent of the steering.

1. 序言

W型压缩机产品有0.5/14、0.9/10、1.25/10、1.8/8、CW480/40系列等[1]。机器在初始试制中活塞等往复质量控制不理想，机器的设计转速1000 r/min左右，机器试制时振动烈度都较高。批量投产铝活塞的质量也在强度允许范围内有所下降。本文以单曲拐、W型角度式压缩机为例，从理论上分析推导出机器的一、二阶往复惯性力的公式，该惯性力作用在曲轴箱体中心点上，惯性力的矢端在曲轴的运动平面上形成了惯性力的矢端轨迹力图，以提出合适的平衡一、二阶往复惯性力的措施用以推动国内的压缩机的升级换代。

2. 往复惯性力理论分析

2.1. 正方向问题

W型压缩机的三列连杆并列于同一的曲拐轴上，之间夹角60˚。两级压缩机有两级，设一级的往复部件质量为m_s1，二级往复部件质量为m_s2，以图示的右边的一列m_s2为基准建立直角坐标系XOY，规定投影到曲柄方向为x轴，与曲柄垂直的方向为y轴。这里规定x轴正方向是由机器中心向外指，这与压缩机中将连杆受拉伸规定为正值相吻合，压缩机动力计算时也将曲柄在上死点位置时运动部件受到的往复惯性力为正的最大值。y轴的正方向规定为将x轴顺旋转方向转一直角方向为其正方向。

2.2. 研究方法

采用欧拉公式研究三列惯性力矢量的合力问题，将教科书上推导过程中采用垂直和水平方向两个式子合并成一个式子，这里规定x轴代表向量的实部，y轴代表向量的虚部，二者连接采用虚数单位i来连接。运用到的相关公式如下：

${\text{e}}^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$ (1)

其中，e为工程指数，i为虚数单位，θ为曲柄转角，单位为弧度，规定顺时针旋转方向为正值，θ为变量函数。该式子描述的也就是单位圆。

${\text{e}}^{-\text{i}\theta }=\cos \theta -\text{i}\sin \theta =\overline{{\text{e}}^{\text{i}\theta }}$ (2)

该式子也是上述复数的共轭复数。

$\cos \theta =\frac{1}{2}\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)$ (3)

一阶惯性力是余弦函数，本文将用一对互为共轭的复数的平均值来研究一、二阶惯性力。

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +2\gamma \right)}\right)=\frac{\cos \theta +\cos \left(\theta +2\gamma \right)}{2}+\text{i}\frac{\sin \theta -\sin \left(\theta +2\gamma \right)}{2}\\ =\cos \left(\theta +\gamma \right)\cos \gamma -\text{i}\cos \left(\theta +\gamma \right)\sin \gamma \end{array}$ (4)

它巧妙地运用到两个不同相位的欧拉函数的代数和来研究惯性力的投影问题。式子的右边正好是图示中中间列一阶惯性力投影到XOY坐标系上两个方向上两个力的大小，根据前面规定了x、y轴的正方向，注意到上式的虚部应为负值。该式的“γ”用“-γ”代替后形成新的公式后文中也会运用到它。

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\left({\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -\gamma \right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -3\gamma \right)}\right)=\frac{\cos \left(2\theta -\gamma \right)+\cos \left(2\theta -3\gamma \right)}{2}+\text{i}\frac{\sin \left(2\theta -\gamma \right)-\sin \left(2\theta -3\gamma \right)}{2}\\ =\cos \left(2\theta -2\gamma \right)\cos \gamma +\text{i}\cos \left(2\theta -2\gamma \right)\sin \gamma \end{array}$ (5)

该式子是图2中间列二阶惯性力投影到XOY坐标系上两个方向上两个力的大小。该式的“γ”用“-γ”代替后形成新的公式就是二阶惯性力的计算公式。

2.3. 研究重点

本文研究惯性力的计算公式及其图像，顾及三列不同的往复质量对计算公式的影响，分析两种往复质量的计算公式，通常θ角的计入零点规定为m_s2列活塞处于上死点的位置。文中得到的计算公式与选择上面的计入零点无关。为什么无关呢？下面就通过W型压缩机往复惯性力的理论分析后进行具体的压缩机A、B、C类转动时一阶惯性力计算和二阶惯性力的变化计算。进行定量的计算对W型压缩机的减少机械的震动和减少W型压缩机的故障具有重大意义。国内外对这方面研究一直在不断探索中。例如学者Kyrtatos等、李松虎[2]-[5]等，对3W型活塞压缩机的往复惯性力都进行了一阶惯性力计算和二阶惯性力的分析，但是缺少有力的计算工具和推动国内外的压缩机的升级换代。

3. W型压缩机A、B、C类顺时针转动时的惯性力

3.1. A类顺时针转动时的惯性力

W型压缩机A类往复质量偏置如图1所示。转动时的惯性力：

Figure 1. W-type compressor Class A reciprocating mass offset diagram

图1. W型压缩机A类往复质量偏置图

$C=r{\omega }^2$ (6)

其中，r为曲柄半径。ω为旋转角速度，以弧度计入计算。C为后文列出的公式书写方便引入的记号。

$\gamma =\frac{\pi }{3}$

1) 一阶惯性力的计算

$I_{\text{I}}=\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +4\gamma \right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +2\gamma \right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)$ (7)

$I_{\text{I}}=\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)$

$I_{\text{I}}=\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}+m_{s1}\right)C{\text{e}}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{2}{m}_{s2}C{\text{e}}^{-\text{i}\theta }+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)}\right)$

${\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)}=-{\text{e}}^{-\text{i}\theta }$ (8)

该式用到了三角函数的和差化积公式。

$I_{\text{I}}=\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}+m_{s1}\right)C{\text{e}}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{2}{m}_{s2}C{\text{e}}^{-\text{i}\theta }+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left(-{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)$

$I_{\text{I}}=\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}+m_{s1}\right)C{\text{e}}^{\text{i}\theta }+\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}-\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C{\text{e}}^{-\text{i}\theta }$

$I_{\text{I}}=\left(m_{s2}+\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C\cos \theta +i\left(\frac{3}{2}{m}_{s1}C\sin \theta \right)$ (9)

上式就是W型夹角60˚一阶往复惯性力复数表达式。

$\frac{x^2}{{\left[\left(m_{s2}+\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C\right]}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{3}{2}{m}_{s1}C\right)}^2}=1$ (10)

上式表明，一阶惯性力矢端轨迹是一椭圆，变化的周期和曲轴旋转的周期相同。该椭圆的图像在运动平面上相当于将标准椭圆顺时针旋转了30˚，若m_s2 > m_s1，长半轴为(m_s2 + 0.5m_s1)C，短半轴为(1.5m_s1)C；若m_s2 = m_s1，椭圆退化成圆，半径为(1.5m_s1)C。

2) 二阶惯性力的计算

$I_{\text{II}}=\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta +2\gamma \right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta +6\gamma \right)}\right]+\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{i\left(2\theta +\gamma \right)}+{\text{e}}^{-i\left(2\theta +3\gamma \right)}\right]+\frac{1}{2}\lambda m_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}2\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}2\theta }\right)$ (11)

式中，$\lambda$ 为曲柄半径连杆比，意义为：W型压缩机的曲柄半径R/连杆L。

$I_{\text{II}}=\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta +2\pi \right)}\right]+\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta +\frac{\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta +\pi \right)}]+\frac{1}{2}\lambda m_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}2\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}2\theta }\right)$

${\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta +\frac{\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}=\sqrt{3}\left[\cos \left(2\theta +\frac{\pi }{2}\right)+\text{i}\sin \left(2\theta +\frac{\pi }{2}\right)\right]=-\sqrt{3}\sin 2\theta +\text{i}\sqrt{3}\cos 2\theta$ (12)

${\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta +\pi \right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta +2\pi \right)}=0$ (13)

$I_{\text{II}}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta +\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left(-\sqrt{3}\sin 2\theta +\text{i}\sqrt{3}\cos 2\theta \right)$

$I_{\text{II}}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\sin 2\theta +\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\cos 2\theta$ (14)

这是W型夹角60˚二阶往复惯性力复数表达式。

$\{\begin{array}{l}{I}_{\text{II}X}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\sin 2\theta \\ I_{\text{II}Y}=\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\cos 2\theta \end{array}$ (15)

这也是二阶惯性力参数方程的表达式。

为寻找上述方程所描述的图像，先假定两个往复质量相等，利用寻找两个变量的二次多项式方程方法和矩阵转换法来进行。

$m_{s1}=m_{s2}=m$ (16)

$B=\lambda mC$ (17)

$X=\frac{x}{B}$ $Y=\frac{y}{B}$

$\{\begin{array}{l}x=B\cos 2\theta -\frac{\sqrt{3}}{2}B\sin 2\theta \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}B\cos 2\theta \end{array}$

$X^2-\frac{4}{\sqrt{3}}XY+\frac{7}{3}{Y}^2-\frac{3}{4}=0$ (18)

$AC=\frac{7}{3}\ne 0$ $B^2-4AC=-4<0$

根据线性代数中二次多项式的判别式定理，满足上两个条件，所以二阶惯性力也是一个椭圆。

坐标系顺转30˚后，由于y轴在标准直角坐标的对面，相当于坐标系逆时针旋转30˚，作坐标系的矩阵变换的因子为$\left[\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{6}& \sin \frac{\pi }{6}\\ -\sin \frac{\pi }{6}& \cos \frac{\pi }{6}\end{array}\right]$ 。

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{X}^{\prime }\\ Y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos 2\theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta \\ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\theta \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}\frac{3\sqrt{3}}{4}\cos 2\theta -\frac{3}{4}\sin 2\theta \\ \frac{1}{4}\cos 2\theta +\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\cos \left(2\theta +\frac{\pi }{6}\right)\\ \frac{1}{2}\sin \left(2\theta +\frac{\pi }{6}\right)\end{array}\right]\end{array}$ (19)

上式清晰地表明二阶惯性力的轨迹是椭圆，变化的周期是曲轴旋转的周期的一半。经坐标系的旋转变换后的参数方程表明：该椭圆的长半轴是短半轴的3倍，不论是在XOY坐标系还是在X’OY’坐标系中，其椭圆的长半轴始终在水平方向，这与三列活塞在旋转平面的分布紧密联系，后文还分析表明，不论m_s2处于偏置还是中间位置，不论旋转方向，二阶惯性力矢端力图始终是椭圆，该椭圆的长轴始终处于水平方向，不过其相位变化比较复杂，由式(19)可以看出θ为30˚时，力矢到达该椭圆的短半轴位置，这两个矢量不在同一方向成90˚，θ为−15˚时，力矢到达该椭圆的长半轴位置，这两个矢量不在同一方向成45˚。二阶惯性力的变化比曲轴自身旋转变化快一倍[6] [7]。

3.2. B类反时针转动时的惯性力

Figure 2. W-type compressor Class B reciprocating mass offset diagram

图2. W型压缩机B类往复质量偏置图

1) 一阶惯性力的计算

$I_{\text{I}}=\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta -4\gamma \right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta -2\gamma \right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)$ (20)

$I_{\text{I}}=\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta -\frac{4\pi }{3}\right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)$

$I_{\text{I}}=\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}+m_{s1}\right)C{\text{e}}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{2}{m}_{s2}C{\text{e}}^{-\text{i}\theta }+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left(-{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)$

$I_{\text{I}}=\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}+m_{s1}\right)C{\text{e}}^{\text{i}\theta }+\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}-\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C{\text{e}}^{-\text{i}\theta }$

$I_{\text{I}}=\left(m_{s2}+\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C\cos \theta +\text{i}\left(\frac{3}{2}{m}_{s1}C\sin \theta \right)$

$\{\begin{array}{l}{I}_{\text{IX}}=\left(m_{s2}+\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C\cos \theta \\ I_{\text{IY}}=\frac{3}{2}{m}_{s1}C\sin \theta \end{array}$

$\frac{x^2}{{\left[\left(m_{s2}+\frac{1}{2}m{}_{s1}\right)C\right]}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{3}{2}{m}_{s1}C\right)}^2}=1$ (21)

该式表明反时针旋转时，一阶惯性力复数方程和直角坐标方程形式上与顺时针旋转时完全相同，说明W型60˚布置时，轨迹力图与转向无关，轨迹力矢的方向始终在曲柄转动方向矢附近。当二者质量相等时，就成圆的变化，能够在曲柄的反方向加一合适的平衡重，达到完全平衡掉一阶往复惯性力，如图2所示。

2) 二阶惯性力的计算

$I_{\text{II}}=\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -2\gamma \right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -6\gamma \right)}\right]+\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -\gamma \right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -3\gamma \right)}\right]+\frac{1}{2}\lambda m_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}2\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}2\theta }\right)$ (22)

$I_{\text{II}}=\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -\frac{2\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -2\pi \right)}\right]+\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -\pi \right)}\right]+\frac{1}{2}\lambda m_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}2\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}2\theta }\right)$

${\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -\frac{2\pi }{3}\right)}=\sqrt{3}\left[\cos \left(2\theta -\frac{\pi }{2}\right)+\text{i}\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{2}\right)\right]=\sqrt{3}\sin 2\theta -\text{i}\sqrt{3}\cos 2\theta$

${\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -\pi \right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -2\pi \right)}=-\cos 2\theta +\text{i}\sin 2\theta +\cos 2\theta -i\sin 2\theta =0$

$I_{\text{II}}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta +\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left(\sqrt{3}\sin 2\theta -\text{i}\sqrt{3}\cos 2\theta \right)$

$I_{\text{II}}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\sin 2\theta -\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\cos 2\theta$ (23)

$\{\begin{array}{l}{I}_{\text{II}X}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\sin 2\theta \\ I_{\text{II}Y}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda m_{s1}C\cos 2\theta \end{array}$ (24)

上式表明反时针旋转时，二阶惯性力直角坐标方程形式上与顺时针旋转时不同，说明换一个方向旋转时，需要另一种方程描述二阶惯性力的表现形式，后文的计算表明，它们的轨迹力图是相同的。文章从理论提供了该力矢的数学表达式，希望能找到一种合适的机构加装上也能够平衡掉二阶往复惯性力。

下面仿照上面的假设，推导出它是一椭圆的依据[8]。

$m_{s1}=m_{s2}=m$

$B=\lambda mC$

$X=\frac{x}{B}$ $Y=\frac{y}{B}$

$\{\begin{array}{l}x=B\cos 2\theta +\frac{\sqrt{3}}{2}B\sin 2\theta \\ y=-\frac{\sqrt{3}}{2}B\cos 2\theta \end{array}$

$X^2+\frac{4}{\sqrt{3}}XY+\frac{7}{3}{Y}^2-\frac{3}{4}=0$ (25)

$AC=\frac{7}{3}\ne 0$ $B^2-4AC=-4\le 0$

坐标系顺转30˚后，

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{X}^{\prime }\\ Y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)& \sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\\ -\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)& \cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos 2\theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\theta \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}\frac{3\sqrt{3}}{4}\cos 2\theta +\frac{3}{4}\sin 2\theta \\ -\frac{1}{4}\cos 2\theta +\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\cos \left(2\theta -\frac{\pi }{6}\right)\\ \frac{1}{2}\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{6}\right)\end{array}\right]\end{array}$ (26)

3.3. C类顺时针转动时的惯性力

Figure 3. W-type compressor Class C reciprocating mass offset diagram

图3. W型压缩机C类往复质量偏置图

1) 一阶惯性力的计算

$I_{\text{I}}=\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta +2\gamma \right)}\right)+\frac{1}{2}{m}_{s2}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\theta }\right)+\frac{1}{2}{m}_{s1}C\left({\text{e}}^{\text{i}\theta }+{\text{e}}^{-\text{i}\left(\theta -2\gamma \right)}\right)$ (27)

$I_{\text{I}}=\left(\frac{1}{2}{m}_{s2}+m_{s1}\right)C{\text{e}}^{\text{i}\theta }+\frac{1}{2}\left(m_{s2}-m_{s1}\right)C{\text{e}}^{-\text{i}\theta }$

$I_{\text{I}}=\left(m_{s2}+\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C\cos \theta +\text{i}\left(\frac{3}{2}{m}_{s1}C\sin \theta \right)$ (28)

一阶力矢成椭圆变化。

2) 二阶惯性力的计算

$I_{\text{II}}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta +\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta -\frac{\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{\text{i}\left(2\theta +\frac{\pi }{3}\right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta -\pi \right)}+{\text{e}}^{-\text{i}\left(2\theta +\pi \right)}\right]$ (29)

$I_{\text{II}}=\lambda m_{s2}C\cos 2\theta +\frac{1}{2}\lambda m_{s1}C\left[{\text{e}}^{\text{i}2\theta }-2{\text{e}}^{-\text{i}2\theta }\right]$

$I_{\text{II}}=\lambda \left(m_{s2}-\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C\cos 2\theta +\text{i}\frac{3}{2}\lambda m_{s1}C\sin 2\theta$

$\{\begin{array}{l}{I}_{\text{II}X}=\lambda \left(m_{s2}-\frac{1}{2}{m}_{s1}\right)C\cos 2\theta \\ I_{\text{II}Y}=\frac{3}{2}\lambda m_{s1}C\sin 2\theta \end{array}$ (30)

$\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}B\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{3}{2}B\right)}^2}=1$ (31)

二阶力矢也成椭圆变化，这种布置时θ为0˚时，力矢到达该椭圆的短半轴位置，曲柄方向矢与二阶力矢在同一方向。如图3所示。

3) 讨论

对于图3所示分布的机器，由式(28)、(30)可知，① 当m_s2 = m_s1时，一阶惯性力成圆的分布，二阶惯性力成长短轴之比为3:1椭圆的分布；② 当m_s2 = 2m_s1时，一阶惯性力成长短轴之比为5:3椭圆的分布，二阶惯性力成圆的分布。

从上面的三种情况分析和计算，可以得出W型60˚布置有两个m_s1、一个m_s2往复质量。1) 一阶惯性力是一椭圆，m_s2列中心线是该椭圆的一个对称轴方向，不论m_s1、m_s1，m_s2在运动平面上如何分布，若m_s2 > m_s1，则长轴在m_s2列方向，反之则短轴在m_s2列方向。2) 二阶惯性力也是一椭圆，若m_s1 = m_s2，不论采用上面三种情况的特殊情形来计算，该椭圆的长轴始终在水平方向，短轴在竖直方向，并且长半轴是短半轴的3倍。若m_s1 ≠ m_s2，则会将原来标准的椭圆作一适量旋转，长短半轴的数值也会作微量变化[5]。

4. 计算结论

以某型全无油空压机为例分析W型60˚二级压缩机的一、二阶往复惯性力。其中，一级往复质量m_s1为1.82 kg，二级往复质量m_s2为1.76 kg，曲柄半径为0.0375 m，曲柄半径连杆比λ为37.5/195，角速度ω为2π × (800/60) rad/s，现将上述结构参数分别代入上文中所列的相关公式中计算分析，其结果如下：

1) 按图1形式作顺时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图4所示。

Figure 4. W-type compressor reciprocating mass offset diagram

图4. W型压缩机往复质量偏置图

计算结果表明，一阶往复惯性力是一个椭圆，二阶往复惯性力如I_Ⅱ(θ)所示，它也是一个很明显的椭圆。一阶惯性力的短半轴、长半轴为703 N、719 N，短轴在x轴方向上，该椭圆旋转30˚后形成标准椭圆。二阶惯性力图是按照总往复质量不变，三列往复质量相等绘制的(下同)，即$m_s{}_1=m_s{}_2=1.8\text{kg}$ ，它是一个标准的椭圆，二阶惯性力的长半轴、短半轴为136.7 N、45.6 N，长轴始终在水平方向，长短轴之比为3:1。往复质量列表如下所示(见表1)。

Table 1. Statistics on the deflection of inertial force graphs by differences in reciprocating masses at 60˚ angle

表1. 60˚夹角时往复质量的不同对惯性力图形的偏转情况的统计

往复质量(总5.4)		一阶惯性力		二阶惯性力
ms2 (kg)	ms1 (kg)	Imax (N)	Imin (N)	Imin (N)	Imax (N)	长轴转角
2.16	1.62	781.7	639.6	36.2	144	反转约5度
1.98	1.71	746.1	675.1	40.3	140.2	反转约3度
1.8	1.8	710.6	710.6	45.6	136.7	0
1.62	1.89	675.1	746.1	51.6	133.4	顺转约3度
1.44	1.98	639.6	781.7	58.2	130.4	顺转约5度

上表1显示了W型二级压缩机，二级往复质量m_s2偏离理论质量引起一阶惯性力成椭圆变化，偏离越多椭圆化越严重，不论质量是增大还是减小；而其一周内的平均值始终不变。而二阶惯性力则始终保持了长轴在水平方向，二级往复质量增大时，原长短径3:1的椭圆愈扁平化，减小时愈圆形化。

2) 按图2形式作反时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图5所示。

Figure 5. Legend of W-type 60 degree two-stage compressor reciprocating mass m_s2 offset counterclockwise rotation

图5. W型60度二级压缩机往复质量m_s2偏置反时针旋转图例

这里一阶惯性力方向矢量顺着曲柄矢沿轨迹图反时针变化，两阶矢量近似跟随。二阶惯性力图也类似这样，并且图5与图4起始的二阶惯性力矢量I_Ⅱ(0)不变。

3) 按顺时针转动，其一、二阶惯性力矢端力图如图6所示。

Figure 6. W-type compressor reciprocating mass m_s2 center clockwise rotation diagram

图6. W型压缩机往复质量m_s2居中顺时针旋转图

5. 结论

对于往复质量固定的这三种分布的型式，一、二阶惯性力矢图非常相似，也就是说结构决定了力矢图。二阶惯性力的椭圆应设法平衡，特别是在机器重量往越来越大的方向发展时，往复质量m_s、C值都变大时尤为需要。针对具体的W型60˚二级压缩机的一、二阶往复惯性力计算表明：采用合适的平衡机构诸如行星齿轮机构来平衡一、二阶惯性力，三列往复运动的机械结构(质量大小、夹角、转速、曲柄连杆比等)决定了其惯性力模式，而与转向无关。计算结果对于推动国内压缩机的升级换代具有重要意义。