具有时空卷积的Wazwaz-Benjamin-Bona-Mahony方程孤立波和周期波的不存在性

Non-Existence of Solitary Wave and Periodic Wave for Wazwaz-Benjamin-Bona-Mahony Equation with Spatiotemporal Convolution

摘要: 本文研究具有时空卷积的Wazwaz-Benjamin-Bona-Mahony (WBBM)方程孤立波和周期波的存在性。根据几何奇异摄动理论，将一个非线性偏微分方程转化为平面二维动力系统。基于Melnikov方法，可以判断出扰动WBBM方程的孤立波和周期波是不存在的。

Abstract: This paper discusses the existence of solitary waves and periodic waves for Wazwaz-Benjamin-Bona-Mahony (WBBM) equation with spatiotemporal convolution. According to the theory of geometric singular perturbations, a nonlinear partial differential equation is transformed into a two-dimensional planar dynamical system. Based on the Melnikov method, it can be determined that solitary waves and periodic waves of perturbed WBBM equation do not exist.

1. 引言

在1972年，Benjamin等人[1]建立了Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程。由下式给出：

$u_t+u_x+u^n{u}_x-u_{xxt}=0.$ (1)

它是KdV方程(Amick等人[2]，Benjamin [3])的正则化形式。BBM方程和KdV方程被用来研究水中的表面波(长波)和非线性色散中的长波系统、等离子体中的表面波等。它们是描述水波中非线性传播的重要方程。许多学者对它们的动态特性进行了广泛的研究，包括稳定性、振荡模式和演化(Tso [4]，Johnspillai等人[5])。从可控性的角度来看，处理BBM方程比处理KdV方程简便得多。有许多论文考虑了BBM方程的精确解(例如参见[6]-[11])。当$n=2$ 时，方程(1)变成修正的BBM方程式。Wazwaz [12]得到了一种新的(3 + 1)维修正BBM方程，成为Wazwaz-Benjamin-Bona-Mahony (WBBM)方程。形式如下：

$u_t+u_x+u^2{u}_x-u_{xzt}=0,$ (2)

$u_t+u_z+u^2{u}_x-u_{xyt}=0,$ (3)

$u_t+u_y+u^2{u}_z-u_{xxt}=0.$ (4)

从WBBM方程中获得的解的波动现象通常用于水波动力学、流体动力学等研究领域。也有一些学者对WBBM方程进行了研究。Mamun等人[13]采用改进的拓展tanh函数方法研究了WBBM方程的孤立波。Abbs等人[14]使用新的拓展直接代数方法来获得WBBM方程的行波剖面。Shakeel等人[15]使用改进的exp函数方法，研究了WBBM方程的精确行波。

Britton [16]首次将空间和时间上的卷积引入扩散模型中，他推导出了一个模型如下：

$u_t=u\left(1+\alpha u-\left(1+\alpha \right)\left(f\ast u\right)\right)+\Delta u,$ (5)

这里，$f\ast u$ 是时空中的局部卷积，形式为：

$\left(f\ast u\right)\left(x,y,z,t\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t}f\left(t-s\right)u\left(x,y,z,s\right)\text{d}s.}$ (6)

我们取核$f\left(t\right)$ 如下：

$f\left(t\right)=\frac{4t}{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }},$ (7)

带有平均延迟$\tau ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }tf\left(t\right)\text{d}t}$ ，这里${\displaystyle {\int }_0^{\infty }tf\left(t\right)\text{d}t}=1$ 以及$tf\left(t\right)\in L^1\left(\left(0,\infty \right),R\right),f:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 。引入时滞卷积使模型更接近实际情况。

几何奇异摄动(GSP)理论是探索行波的重要工具。Chen等人[17]专注于研究扰动的广义BBM方程孤立波和周期波的存在性问题。Cheng和Li [18]证明了Degasperis-Procesi方程中具有时滞项的孤立波的存在性。Qiao和Zhang [19]利用GSP定理研究了Keller-Segel系统的动力学行为。Shen和Zhang [20]证明了FitzHugh-Nagumo方程行波脉冲的存在性。Yan等人[21]应用GSP理论和正则摄动分析来研究扰动广义KdV方程。Wen [22]研究了扰动加德纳方程扭结波和反扭结波的存在性。Fan和Wei [23]探索了五次方波BBM方程的周期波和孤立波的存在性。Zhang等人[24]利用GSP定理研究了扰动mKdV方程。

受上述结果的启发，本文主要讨论了带有时滞的WBBM方程孤立波和周期波的存在性。方程形式如下：

$u_t+u_x+\frac{1}{3}{\left(\left(f\ast u\right)u^2\right)}_y-u_{xzt}+\tau u_{xx}=0,$ (8)

$u_t+u_z+\frac{1}{3}{\left(\left(f\ast u\right)u^2\right)}_x-u_{xyt}+\tau u_{xx}=0,$ (9)

$u_t+u_y+\frac{1}{3}{\left(\left(f\ast u\right)u^2\right)}_z-u_{xxt}+\tau u_{xx}=0,$ (10)

其中，$0<\tau \ll 1$ 。

文章的布局如下。在第2节中，利用行波变换和几何奇异摄动理论对WBBM方程降维。在第3节，由反证法知，摄动系统的孤立波解不存在。在第4节中，同样发现摄动系统的周期波解不存在。最后，对文章内容做了一个总结。

2. 模型的降维

在本节中，我们利用行波变换和GSP理论对模型进行简化，得到了一个二维系统。

首先，引入变换：

$\varphi \left(\xi \right)=u\left(x,y,z,t\right),\xi =x+y+z-ct,$ (11)

令$t-s=\varpi$ ，则局部卷积可化成如下形式：

$\begin{array}{c}\left(f\ast u\right)\left(x,y,z,t\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^t\frac{4\left(t-s\right)}{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2\left(t-s\right)}{\tau }}u\left(x,y,z,s\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_{+\infty }^0\frac{4\varpi }{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2\varpi }{\tau }}u\left(x,y,z,t-\varpi \right)\text{d}\left(t-\varpi \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4\varpi }{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2\varpi }{\tau }}\varphi \left(\xi +c\varpi \right)\text{d}\varpi }\\ ={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4t}{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}\varphi \left(\xi +ct\right)\text{d}t}.\end{array}$ (12)

那么，方程(8)变成了一个常微分方程，形式如下：

$\left(1-c\right){\varphi }^{\prime }+\frac{1}{3}{\left(\psi {\varphi }^2\right)}^{\prime }+c{\varphi }^{‴}+\tau {\varphi }^{″}=0,$ (13)

这里，$\psi \left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4t}{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}\varphi \left(\xi +ct\right)\text{d}t}$ 。考虑现实意义，我们只分析$c>0$ 的情况。因为方程(8)~(10)化为常微分方程时有相同的形式，为了方便起见，我们只考虑方程(8)。

对方程(13)积分一次得：

$\left(1-c\right)\varphi +\frac{1}{3}\psi {\varphi }^2+c{\varphi }^{″}+\tau {\varphi }^{\prime }=g,$ (14)

这里，$g$ 是积分常数。我们以1为临界点对波速$c$ 进行分类。当$c>1$ 时，令$\kappa =\frac{\varphi }{{\left(c-1\right)}^{\frac{1}{2}}},G=\frac{g}{{\left(c-1\right)}^{\frac{3}{2}}}$ ，方程(14)转化为：

$-\kappa +\frac{1}{3}\tilde{\psi }{\kappa }^2+\frac{c}{c-1}{\kappa }^{″}+\frac{\tau }{c-1}{\kappa }^{\prime }=G,$ (15)

这里，$\tilde{\psi }\left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4t}{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}\kappa \left(\xi +ct\right)\text{d}t}$。

对$x$ 求导，我们有：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\tilde{\psi }}{\text{d}\xi }={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4t}{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}{\kappa }_{\xi }\left(\xi +ct\right)\text{d}t}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4t}{c{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}{\kappa }_t\left(\xi +ct\right)\text{d}t}\\ =\frac{1}{c\tau }\left[2{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4t}{{\tau }^2}{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}\kappa \left(\xi +ct\right)\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4}{\tau }{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}\kappa \left(\xi +ct\right)\text{d}t}\right]\\ =\frac{1}{c\tau }\left(2\tilde{\psi }-\tilde{\omega }\right)\end{array}$ (16)

这里，$\tilde{\omega }={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{4}{\tau }{\text{e}}^{-\frac{2t}{\tau }}\kappa \left(\xi +ct\right)\text{d}t}$。

按照同样的方法，可以推出：

$\frac{\text{d}\tilde{\omega }}{\text{d}\xi }=\frac{2}{c\tau }\left(\tilde{\omega }-2\kappa \right).$ (17)

因此，方程(15)被重写为：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\kappa }{\text{d}\xi }=\nu ,\\ \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }=\frac{c-1}{c}\left(G+\kappa -\frac{1}{3}\tilde{\psi }{\kappa }^2-\frac{\tau }{c-1}\nu \right),\\ \tau \frac{\text{d}\tilde{\psi }}{\text{d}\xi }=\frac{1}{c}\left(2\tilde{\psi }-\tilde{\omega }\right),\\ \tau \frac{\text{d}\tilde{\omega }}{\text{d}\xi }=\frac{2}{c}\left(\tilde{\omega }-2\kappa \right).\end{array}$ (18)

通过变换$\xi =\tau \eta$ ，我们得到：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\kappa }{\text{d}\eta }=\tau \nu ,\\ \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\eta }=\frac{\tau \left(c-1\right)}{c}\left(G+\kappa -\frac{1}{3}\tilde{\psi }{\kappa }^2-\frac{\tau }{c-1}\nu \right),\\ \frac{\text{d}\tilde{\psi }}{\text{d}\eta }=\frac{1}{c}\left(2\tilde{\psi }-\tilde{\omega }\right),\\ \frac{\text{d}\tilde{\omega }}{\text{d}\eta }=\frac{2}{c}\left(\tilde{\omega }-2\kappa \right).\end{array}$ (19)

对于$0\ll \tau <1$ ，为了获得一个不变流形，结合GSP理论，我们先验证$M_0$ 是否是法向双曲的。系统(19)在$\tau =0$ 处的线性化矩阵是：

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{c}& -\frac{1}{c}\\ -\frac{4}{c}& 0& 0& \frac{2}{c}\end{array}\right).$ (20)

矩阵$A$ 有四个特征值，分别是$0,0,\frac{2}{c},\frac{2}{c}$ 。因此，$M_0$ 是法向双曲的(见文献[25]-[27])。结合Fenichel [28]第一个不变流形理论，存在一个与$M_0$ 微分同胚的子流形$M_{\tau }$ 。$M_{\tau }$ 可表示为：

$M_{\tau }=\left\{\left(\kappa ,\nu ,\tilde{\psi },\tilde{\omega }\right)\in R^4|\tilde{\psi }=\kappa +\alpha \left(\kappa ,\nu ,\tau \right),\tilde{\omega }=2\kappa +\beta \left(\kappa ,\nu ,\tau \right)\right\}.$ (21)

其中，$\alpha$ 和$\beta$ 关于$\tau$ 足够光滑，且满足$\alpha \left(\kappa ,\nu ,\tau \right)=0,\beta \left(\kappa ,\nu ,\tau \right)=0$ 。根据$\tau$ 的泰勒展开，我们有$\tilde{\psi }=\kappa +\tau {\alpha }_1+O\left({\tau }^2\right),\tilde{\omega }=2\kappa +\tau {\beta }_1+O\left({\tau }^2\right)$ 。将其代入到方程(18)中，得：

$\tau \frac{\text{d}\tilde{\psi }}{\text{d}\xi }=\frac{1}{c}\left(2\tilde{\psi }-\tilde{\omega }\right)=\frac{\tau }{c}\left(2{\alpha }_1-{\beta }_1\right)+O\left({\tau }^2\right)=\tau \left[\nu +\tau \left(\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial \kappa }\nu +\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial \nu }\times \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }\right)+O\left({\tau }^2\right)\right].$ (22)

$\tau \frac{\text{d}\tilde{\omega }}{\text{d}\xi }=\frac{2}{c}\left(\tilde{\omega }-2\kappa \right)=\frac{2\tau {\beta }_1}{c}+O\left({\tau }^2\right)=\tau \left[2\nu +\tau \left(\frac{\partial {\beta }_1}{\partial \kappa }\nu +\frac{\partial {\beta }_1}{\partial \nu }\times \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }\right)+O\left({\tau }^2\right)\right].$ (23)

比较$\tau$ 的一次项系数，可得：

${\alpha }_1={\beta }_1=c\nu .$ (24)

同样地，有：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }=\frac{c-1}{c}\left(G+\kappa -\frac{1}{3}\tilde{\psi }{\kappa }^2-\frac{\tau }{c-1}\nu \right)+O\left({\tau }^2\right)\\ =\frac{c-1}{c}\left[G+\kappa -\frac{1}{3}\left(\kappa +\tau c\nu \right){\kappa }^2-\frac{\tau }{c-1}\nu \right]+O\left({\tau }^2\right)\\ =\frac{c-1}{c}\left(-\frac{1}{3}{\kappa }^3+\kappa +G\right)+\tau \left(\frac{1-c}{3}\nu {\kappa }^2-\frac{1}{c}\nu \right)+O\left({\tau }^2\right).\end{array}$ (25)

因此，限制在$M_{\tau }$ 上的慢系统是：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\kappa }{\text{d}\xi }=\nu ,\\ \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }=\frac{c-1}{c}\left(-\frac{1}{3}{\kappa }^3+\kappa +G\right)+\tau \left(\frac{1-c}{3}\nu {\kappa }^2-\frac{1}{c}\nu \right)+O\left({\tau }^2\right).\end{array}$ (26)

考虑到由方程${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 定义的未扰系统，容易看出当参数$G$ 取不同的值时，系统包含同宿轨道和周期轨道。根据平面动力系统理论[29]，我们有以下关于系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 的结论，并画出了每种情况对应的图(见图1)。

1) 当$\left|G\right|>\frac{2}{3}$ 时，系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 只有一个中心；

2) 当$\left|G\right|=\frac{2}{3}$ 时，系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 有一个尖点和一个中心；

3) 当$G=0$ 时，系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 有一个鞍点$\left(0,0\right)$ ，两个中心$\left(\sqrt{3},0\right)$ 和$\left(-\sqrt{3},0\right)$ ；

4) 当$0<\left|G\right|<\frac{2}{3}$ 时，系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 有一个鞍点和两个中心。

Figure 1. Phase plane of the unperturbed system ${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ when $c>1$

图1. 当$c>1$ 时，未扰系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 的相平面

当$0<c<1$ 时，令$\kappa =\frac{\varphi }{{\left(1-c\right)}^{\frac{1}{2}}},G=\frac{g}{{\left(1-c\right)}^{\frac{3}{2}}}$ ，我们获得对应的二维正则系统如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\kappa }{\text{d}\xi }=\nu ,\\ \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }=\frac{1-c}{c}\left(-\frac{1}{3}{\kappa }^3-\kappa +G\right)+\tau \left(\frac{c-1}{3}\nu {\kappa }^2-\frac{1}{c}v\right)+O\left({\tau }^2\right).\end{array}$ (27)

对应的未扰系统是：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\kappa }{\text{d}\xi }=\nu ,\\ \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }=\frac{1-c}{c}\left(-\frac{1}{3}{\kappa }^3-\kappa +G\right).\end{array}$ (28)

通过分析未扰系统(28)，我们知道未扰系统(28)有一个平衡点且是中心。系统(28)的轨迹是一簇围绕着中心的轨道，而且没有同宿轨道，这不在我们的考虑范围内。类似地，当$c=1$ 时，我们可以推出它的情况与$0<c<1$ 时相似。

3. WBBM方程孤立波解的存在性

当$\tau =0$ 时，我们已经在文献[30]中讨论过随着参数取值的不同，未扰系统存在四种孤立波。因此，在这一章节中，我们结合Melnikov方法，主要讨论扰动系统(8)孤立波解的存在性。

在[31] [32]中，通过Poincare映射来度量鞍点(或中心)的稳定与不稳定流形之间的距离。

$d:h\to P\left(h,c,\tau \right).$

扰动后，鞍点的稳定和不稳定流形的横截相交性由下述积分的零点所确定：

$\begin{array}{c}d\left(h,c,\tau \right)={\displaystyle {\int }_h^{P\left(h,c,\tau \right)}\text{d}H}\\ ={\displaystyle {\int }_{t_h}^{t_{P\left(h,c,\tau \right)}}{\left(\frac{\partial H}{\partial x}\frac{\text{d}x}{\text{d}\xi }+\frac{\partial H}{\partial y}\frac{\text{d}y}{\text{d}\xi }\right)|}_{\gamma \left(h,c,\tau \right)}\text{d}\xi ,}\end{array}$ (29)

其中，$t_{P\left(h,c,\tau \right)}$ 和$t_h$ 分别表示初始点和映射点的时间，$\gamma \left(h,c,\tau \right)$ 是扰动后的轨道。并且当$\tau \to 0$ 时，它趋向于未扰轨道$\gamma \left(h,c\right)$ 。把$d\left(h,c,\tau \right)$ 关于$\tau$ 泰勒展开，可得：

$d\left(h,c,\tau \right)=\tau M\left(h,c\right)+O\left({\tau }^2\right)$ (30)

其中，$M\left(h,c\right)$ 被称为Melnikov函数。

未扰系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 有一个鞍点$\left({\kappa }_0,0\right)$ ，这里$\left({\kappa }_0,0\right)$ 满足${\kappa }_0-\frac{{\kappa }_0^3}{3}+G=0,$ $-1\le {\kappa }_0\le 1$ 。对此，鞍点的稳定和不稳定流形之间的距离函数由下式确定：

$\begin{array}{c}d\left(h,c,\tau \right)={\displaystyle {\int }_0^{\xi \left(\tau \right)}{H}_{\kappa }}\text{d}\kappa +H_{\nu }\text{d}\nu \\ ={\displaystyle {\int }_0^{\xi \left(\tau \right)}\frac{c-1}{c}\left(\frac{1}{3}{\kappa }^3-\kappa -G\right)\text{d}\kappa +\nu \text{d}\nu }\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\xi \left(\tau \right)}\frac{c-1}{c}\left(\frac{1}{3}{\kappa }^3-\kappa -G\right)\text{d}\kappa +\nu \left[\frac{c-1}{c}\left(-\frac{1}{3}{\kappa }^3+\kappa +G\right)+\tau \left(\frac{1-c}{3}\nu {\kappa }^2-\frac{1}{c}\nu \right)+O\left({\tau }^2\right)\right]\text{d}\xi }\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\xi \left(\tau \right)}\left[\tau {\nu }^2\left(\frac{1-c}{3}{\kappa }^2-\frac{1}{c}\right)+O\left({\tau }^2\right)\right]\text{d}\xi }\\ ={\displaystyle {\oint }_{L_0^{\pm }\left({\kappa }_0\right)}\tau {\nu }^2\left(\frac{1-c}{3}{\kappa }^2-\frac{1}{c}\right)\text{d}\xi }+O\left({\tau }^2\right)\\ =\tau M_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)+O\left({\tau }^2\right)\end{array}$ (31)

这里，$H$ 为哈密顿函数$H\left(\kappa ,\nu \right)=\frac{1}{2}{\nu }^2+\frac{c-1}{c}\left(\frac{1}{12}{\kappa }^4-\frac{1}{2}{\kappa }^2-G\kappa \right)$ 。

由此可知，我们定义系统(26)沿着左或右同宿轨道的Melnikov函数为：

$M_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)={\displaystyle {\oint }_{L_0^{\pm }\left({\kappa }_0\right)}{\nu }^2\left(\frac{1-c}{3}{\kappa }^2-\frac{1}{c}\right)\text{d}\xi }.$ (32)

根据定义，未扰系统${\left(26\right)|}_{\tau =0}$ 的双同宿轨道由如下的代数曲线确定：

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\nu }^2+\frac{c-1}{c}\left(\frac{1}{12}{\kappa }^4-\frac{1}{2}{\kappa }^2-G\kappa \right)=\frac{1}{2}{\nu }^2+\frac{c-1}{c}\left[\frac{1}{12}{\kappa }^4-\frac{1}{2}{\kappa }^2+\left({\kappa }_0-\frac{{\kappa }_0^3}{3}\right)\kappa \right]\\ =\frac{c-1}{c}\left(\frac{1}{2}{\kappa }_0^2-\frac{1}{4}{\kappa }_0^4\right).\end{array}$ (33)

另外，双同宿轨道包括右同宿轨道$L_0^{+}\left({\kappa }_0\right)$ 和左同宿轨道$L_0^{-}\left({\kappa }_0\right)$ ，其范围分别是${\kappa }_0<\kappa \le m_{+}$ 和$m_{-}\le \kappa <{\kappa }_0$ ，这里$m_{\pm }=-{\kappa }_0\pm \sqrt{6-2{\kappa }_0^2}$ 。同时，我们定义双同宿轨道$L_0^{+}\left({\kappa }_0\right)\cup L_0^{-}\left({\kappa }_0\right)$ 的Melnikov函数如下：

$\begin{array}{c}M\left(c,{\kappa }_0\right)=M_{+}\left(c,{\kappa }_0\right)+M_{-}\left(c,{\kappa }_0\right)\\ ={\displaystyle {\oint }_{L_0^{+}\left({\kappa }_0\right)\cup L_0^{-}\left({\kappa }_0\right)}{\nu }^2\left(\frac{1-c}{3}{\kappa }^2-\frac{1}{c}\right)\text{d}\xi }.\end{array}$ (34)

为了探究Melnikov函数的零点，我们把$M_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)$ 的表达式分成两部分。设

$I_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)={\displaystyle {\oint }_{L_0^{\pm }\left({\kappa }_0\right)}{\nu }^2\text{d}\xi },$ (35)

$J_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)={\displaystyle {\oint }_{L_0^{\pm }\left({\kappa }_0\right)}{\nu }^2{\kappa }^2\text{d}\xi },$ (36)

那么，$M_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)$ 变成了

$M_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)=-\frac{1}{c}{I}_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)+\frac{1-c}{3}{J}_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right).$ (37)

不难得知$I_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)>0,J_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)>0$ 。我们用反证法来证明Melnikov函数零点的存在性。如果$M_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)=0$ ，有$c=\frac{J\pm \sqrt{J^2-12IJ}}{2J}$ 。分情况讨论。

1) 当$c=\frac{J+\sqrt{J^2-12IJ}}{2J}$ ，$c<\frac{2J}{2J}=1$ ；2) 当$c=\frac{J-\sqrt{J^2-12IJ}}{2J}$ ，$c<\frac{J}{2J}=\frac{1}{2}$ 。

综上所述，这与$c>1$ 相矛盾。因此，$M_{\pm }\left(c,{\kappa }_0\right)$ 的零点不存在。类似地，$M\left(c,{\kappa }_0\right)$ 的零点也不存在。这表明扰动系统(26)的同宿轨道破裂，也意味着方程(8)的孤立波解不存在。

4. WBBM方程周期波解的存在性

在这一节中，我们分别考虑未扰系统和摄动系统周期波解的存在唯一性。

在之前的讨论中，我们获得了正则摄动系统(26)。当$\tau =0$ 时，未扰系统和对应的哈密顿函数如下：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\kappa }{\text{d}\xi }=\nu ,\\ \frac{\text{d}\nu }{\text{d}\xi }=\frac{c-1}{c}\left(-\frac{1}{3}{\kappa }^3+\kappa +G\right),\end{array}$ (38)

和

$H\left(\kappa ,\nu \right)=\frac{1}{2}{\nu }^2+\frac{c-1}{c}\left(\frac{1}{12}{\kappa }^4-\frac{1}{2}{\kappa }^2-G\kappa \right).$ (39)

根据Cardano公式系统(38)有三个平衡点分别是：$E_0\left(2\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3}{2}G\right)+\frac{4}{3}\pi \right),0\right)$ ，$E_1\left(2\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3}{2}G\right)\right),0\right)$ ，$E_2\left(2\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3}{2}G\right)+\frac{2}{3}\pi \right),0\right)$ 。其中，这三个平衡点对应的哈密顿函数是$h_0:=H\left(2\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3}{2}G\right)+\frac{4}{3}\pi \right),0\right)$ ，$h_1:=H\left(2\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3}{2}G\right)\right),0\right)$ 以及$h_2:=H\left(2\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3}{2}G\right)+\frac{2}{3}\pi \right),0\right)$ 。为了比较这三个平衡点横坐标的大小，结合三角函数的性质，不妨令$-\frac{2}{3}<G<0$ ，我们获得了如下估计：$x_{E_0}\in \left(0,1\right),x_{E_1}\in \left(1,\sqrt{3}\right),x_{E_2}\in \left(-2,-\sqrt{3}\right)$ 。这里$x_{E_0},x_{E_1},x_{E_2}$ 代表着每个点的横坐标。如图1(c)所示，不难看出$E_0$ 是鞍点，$E_1$ 和$E_2$ 是中心。同样地，当$0\le G\le \frac{2}{3}$ 或$G=-\frac{2}{3}$ 时的情况也可被同样推导出来，这里不再赘述。

接下来，我们将计算未扰系统(38)的周期波解的表达式。为了方便起见，我们计算在鞍点右边的闭合周期轨道，这对应于图1(c)中的黑色曲线。我们得到了下述定理：

定理1：针对$c>1$ 以及$-\frac{2}{3}<G<0$ 的情况，方程(8)有一簇周期波解如下：

$\varphi \left(\xi \right)={\left(c-1\right)}^{\frac{1}{2}}\left[{\mu }_2-\frac{\left({\mu }_2-{\mu }_3\right)\left({\mu }_4-{\mu }_2\right)}{\left({\mu }_4-{\mu }_2\right)+\left({\mu }_3-{\mu }_4\right)s{n}^2\left(\sqrt{\frac{\left(c-1\right)\left({\mu }_4-{\mu }_2\right)\left({\mu }_3-{\mu }_1\right)}{24c}}\left|\xi \right|,\sqrt{\frac{\left({\mu }_4-{\mu }_3\right)\left({\mu }_2-{\mu }_1\right)}{\left({\mu }_4-{\mu }_2\right)\left({\mu }_3-{\mu }_1\right)}}\right)}\right].$

其中，$\xi =x+y+z-ct$ ，${\mu }_i\left(i=1,2,3,4\right)$ 是方程${\kappa }^4-6{\kappa }^2-12G\kappa -\frac{12ch}{c-1}=0$ 在$h\in \left(h_2,h_0\right)$ 上的实根，${\mu }_1<{\mu }_2<2\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \left(\frac{3}{2}G\right)+\frac{4}{3}\pi \right)<{\mu }_3<{\mu }_4$ 。

注：定理1的证明基本类似于文献[30] (推论6.1)，因此本文省略。

当$-\frac{2}{3}<G<0$ ，系统(38)的相平面如图1(c)所示，可以看出存在一簇周期轨道${\Gamma }_h$ 围绕着中心$E_1$ 。为了探索扰动WBBM系统周期轨道的存在性，参考文献[33]，我们定义Melnikov函数如下：

$\begin{array}{c}M\left(h\right)={\displaystyle {\oint }_{{\Gamma }_h}\left(\frac{1-c}{3}\nu {\kappa }^2-\frac{1}{c}\nu \right)\text{d}\kappa }\\ =\frac{1-c}{3}{I}_2\left(h\right)-\frac{1}{c}{I}_0\left(h\right)\\ =\frac{1-c}{3}{I}_0\left(h\right)\left(\frac{I_2\left(h\right)}{I_0\left(h\right)}-\frac{3}{c\left(1-c\right)}\right).\end{array}$ (40)

其中，$I_0\left(h\right)={\displaystyle {\oint }_{{\Gamma }_h}\nu \text{d}\kappa }$ ，$I_2\left(h\right)={\displaystyle {\oint }_{{\Gamma }_h}\nu {\kappa }^2\text{d}\kappa }$ 。周期轨道${\Gamma }_h$ 关于$\kappa$ 轴对称，故有$I_0\left(h\right)=2{\displaystyle {\int }_{{\kappa }_1}^{{\kappa }_2}\nu \text{d}\kappa >0}$ ，$I_2\left(h\right)=2{\displaystyle {\int }_{{\kappa }_1}^{{\kappa }_2}\nu {\kappa }^2\text{d}\kappa >0}$ 。这里${\kappa }_1,{\kappa }_2$ 代表周期轨道和$\kappa$ 轴交点的横坐标。因为当$c>1$ 时，有$\frac{I_2\left(h\right)}{I_0\left(h\right)}>0$ ，$\frac{3}{c\left(1-c\right)}<0$ ，所以$M\left(h\right)>0$ ，即$M\left(h\right)$ 没有零点。这意味着受到扰动后，系统的周期轨道破裂，周期波不存在。

5. 总结

本文对具有卷积的WBBM方程的孤立波和周期波解的存在性问题进行了讨论。主要讨论在未扰系统存在孤立波和周期波的情况下，利用Melnikov方法，发现受到扰动后WBBM方程的孤立波和周期波是不存在的。