一个Hermite矩阵不等式在四元数自共轭矩阵的推广

A Generalization of Hermite Matrix Inequalities in Quaternionic Self-Conjugate Matrices

摘要: 本文给出四元数自共轭矩阵的导出阵表示，得到了两个四元数自共轭矩阵及其特征值的不等式。

Abstract: In this paper, the derived matrix representation of quaternionic self-conjugate matrices is given, and inequalities for two quaternionic self-conjugate matrices and their eigenvalues are obtained.

1. 引言

令H表示四元数体，C表示复数域，Q表示实数域，对任意$a\left(a\in H\right)=a_0+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\left(a_0,a_1,a_2,a_3\in R\right)=\left(a_0+a_{1}i\right)+\left(a_2+a_{3}i\right)j=z_1+z_{2}j\left(z_1,z_2\in C\right)$ ，$H^{n\times n}$ 表示H上全体$n\times n$ 矩阵构成的集合，$A^{*}$ 表示A的转置共轭矩阵，若$A\in H^{n\times n}$ 且$A^{*}=A$ ，(记为$A\in S{C}_n\left(H\right)$ )则称A为四元数自共轭矩阵。$S{C}_n\left(H\right)$ 表示所有n阶四元数自共轭方阵的集合。

定义1：$a^{\sigma }=\left[\begin{array}{cc}{a}_0+a_{1}i& -a_2-a_{3}i\\ a_2-a_{3}i& a_0-a_{1}i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{z}_1& -z_2\\ {\overline{z}}_2& {\overline{z}}_1\end{array}\right]\in C^{2\times 2}$ 记为四元数a的导出阵，同理定义$A^{\sigma }=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& -A_2\\ {\overline{A}}_2& {\overline{A}}_1\end{array}\right]\in C^{2n\times 2n}$ 记为A ($A\in H^{n\times n}$ )的导出阵。

定理1 [1]：A是四元数自共轭矩阵的充要条件是$A^{\sigma }$ 是Hermite方阵。

定理2 [2]：若$A\in S{C}_n\left(H\right)$ ，则存在$H^{n\times n}$ 中的广义酉矩阵$U$ ，使得

$UA{U}^{*}=diag\left({\lambda }_1\left(A\right),{\lambda }_2\left(A\right),\cdots ,{\lambda }_n\left(A\right)\right)$ .

由定理1易知定理2成立，因为${\lambda }_1\left(A\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 均为实数，我们约定它们按如下大小递增排列：${\lambda }_1\left(A\right)\le {\lambda }_2\left(A\right)\le \cdots \le {\lambda }_n\left(A\right)$ 。

定理1 [3]：(Weyl不等式)设$A,B,A,B,A+B$ 都是Hermite矩阵且$A,B,A,B,A+B$ 的特征值分别为${\lambda }_1\left(A\right)\le {\lambda }_2\left(A\right)\le \cdots \le {\lambda }_{n-1}\left(A\right)\le {\lambda }_n\left(A\right)$ 、${\lambda }_1\left(B\right)\le {\lambda }_2\left(B\right)\le \cdots \le {\lambda }_{n-1}\left(B\right)\le {\lambda }_n\left(B\right)$ 、${\lambda }_1\left(A+B\right)\le {\lambda }_2\left(A+B\right)\le \cdots \le {\lambda }_{n-1}\left(A+B\right)\le {\lambda }_n\left(A+B\right)$ ，则有：

${\lambda }_k\left(A\right)+{\lambda }_1\left(B\right)\le {\lambda }_k\left(A+B\right)\le {\lambda }_k\left(A\right)+{\lambda }_n\left(B\right),k\left(=1,2,\cdots ,n\right)$ .

定理4 [4]：设$A,B\in S{C}_n\left(Q\right)$ 且$A,B,A+B$ 的特征值分别为${\lambda }_1\left(A\right)\le {\lambda }_2\left(A\right)\le \cdots \le {\lambda }_{n-1}\left(A\right)\le {\lambda }_n\left(A\right)$ 、${\lambda }_1\left(B\right)\le {\lambda }_2\left(B\right)\le \cdots \le {\lambda }_{n-1}\left(B\right)\le {\lambda }_n\left(B\right)$ 、${\lambda }_1\left(A+B\right)\le {\lambda }_2\left(A+B\right)\le \cdots \le {\lambda }_{n-1}\left(A+B\right)\le {\lambda }_n\left(A+B\right)$ ，则有：

${\lambda }_k\left(A\right)+{\lambda }_1\left(B\right)\le {\lambda }_k\left(A+B\right)\le {\lambda }_k\left(A\right)+{\lambda }_n\left(B\right),k\left(=1,2,\cdots ,n\right)$ .

定理5 [5]：设自共轭矩阵，$A,B\in H^{n\times n}$ ，则对于满足$1\le j,k\le n$ 且$j+k\ge n+1$ 的$j$ 和$k$ 均有：

${\lambda }_{j+k-n}\left(A+B\right)\le {\lambda }_j\left(A\right)+{\lambda }_k\left(B\right)$

对于满足$1\le j,k\le n$ 且$j+k\le n+1$ 的$j$ 和$k$ 均有：

${\lambda }_{j+k-1}\left(A+B\right)\ge {\lambda }_j\left(A\right)+{\lambda }_k\left(B\right)$

2. 结论

定理6：设$A,B\in S{C}_n\left(Q\right)$ ，则对于$1\le m\le n$ ，以及任何$i$ 、$j$ 、$k$ 、$j^{\prime }$ ，满足$1\le i,j,k\le n$ ，$j+k=n+1$ 且$j^{\prime }=k-i+n$ 使得以下不等式式成立：

${\displaystyle \sum }_{i=1}^m{\lambda }_i\left(A\right)+{\displaystyle \sum }_{j=1}^m{\lambda }_j\left(B\right)\le {\displaystyle \sum }_{k=1}^m{\lambda }_k\left(A+B\right)\le {\displaystyle \sum }_{j=1}^m{\lambda }_i\left(A\right)+{\displaystyle \sum }_{j^{\prime }=1}^m{\lambda }_{j^{\prime }}\left(B\right)$

证明：由定理4和由定理5可知对于自共轭矩阵，$A,B\in H^{n\times n}$ ，则对于$1\le m\le n$ ，以及任何$i$ 、$j$ 、$k$ 、$j^{\prime }$ ，满足$1\le i,j,k\le n$ ，$j+k=n+1$ 且$j^{\prime }=k-i+n$ 使得以下不等式式成立：

${\lambda }_i\left(A\right)+{\lambda }_j\left(B\right)\le {\lambda }_k\left(A+B\right)\le {\lambda }_i\left(A\right)+{\lambda }_{j^{\prime }}\left(B\right)$

应用数学归纳法证明定理6，由定理2知若$A\in S{C}_n\left(H\right)$ ，则存在$H^{n\times n}$ 中的广义酉矩阵$U$ ，使得$UA{U}^{*}=diag\left({\lambda }_1\left(A\right),{\lambda }_2\left(A\right),\cdots ,{\lambda }_n\left(A\right)\right)$ 。

当$m=1$ 时，定理6变为${\lambda }_i\left(A\right)+{\lambda }_j\left(B\right)\le {\lambda }_k\left(A+B\right)\le {\lambda }_i\left(A\right)+{\lambda }_{j^{\prime }}\left(B\right)$ ，即满足定理5。

设当$m=n-1$ 时，定理6成立，下证当$m=n$ 时，不等式成立。

当$m=n-1$ 时，则下式成立：

${\displaystyle \sum }_{i=1}^{n-1}{\lambda }_i\left(A\right)+{\displaystyle \sum }_{j=1}^{n-1}{\lambda }_j\left(B\right)\le {\displaystyle \sum }_{k=1}^{n-1}{\lambda }_k\left(A+B\right)\le {\displaystyle \sum }_{i=1}^{n-1}{\lambda }_i\left(A\right)+{\displaystyle \sum }_{j^{\prime }=1}^{n-1}{\lambda }_{j^{\prime }}\left(B\right)$

当$m=n$ 时，取$i=n$ ，$j=1$ ，$k=n$ ，$j^{\prime }=n$ ，使得

${\lambda }_n\left(A\right)+{\lambda }_1\left(B\right)\le {\lambda }_n\left(A+B\right)\le {\lambda }_n\left(A\right)+{\lambda }_n\left(B\right)$

上面两不等式对应相加，即得不等式

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\lambda }_i\left(A\right)+{\displaystyle \sum }_{j=1}^n{\lambda }_j\left(B\right)\le {\displaystyle \sum }_{k=1}^n{\lambda }_k\left(A+B\right)\le {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\lambda }_i\left(A\right)+{\displaystyle \sum }_{j^{\prime }=1}^n{\lambda }_{j^{\prime }}\left(B\right)$

当且仅当$A$ 和$B$ 可交换，即$AB=BA$ 时等号成立。即定理6得证。