具有特殊权重的Paley-Wiener空间上的线性宽度问题

Linear Width Problem of Paley-Wiener Spaces with Special Weights

摘要: 带有限函数空间在数值分析、数据拟合等方面有广泛的应用，为许多问题提供了稳定性和可控性，能够有效地处理近似问题，找到最佳逼近方案。Paley-Wiener空间作为带有限函数空间的特殊情况，也是广泛应用于分析和信号处理等领域。本文研究加权多元Paley-Wiener空间在概率框架和平均框架下的逼近特征，特别地，利用离散化的方法估计了在概率框架和平均框架下，加权多元Paley-Wiener空间的线性n-宽度的精确渐进阶。

Abstract: Spaces of bounded functions have wide applications in numerical analysis, data fitting, and other fields. They provide stability and controllability for many problems, effectively handling approximation problems and finding optimal approximation solutions. As a special case of spaces of bounded functions, Paley-Wiener spaces are also widely used in fields such as analysis and signal processing. This paper studies the approximation properties of weighted multivariate Paley-Wiener spaces in probability and average settings. Specifically, by using discretization methods, it estimates the exact asymptotic order of the linear n-width of weighted multivariate Paley-Wiener spaces in both the probabilistic and average settings.

1. 引言

在解决问题的所有算法中，找到计算成本最低的那个算法变得至关重要，而这样的算法也称为最优算法，由此衍生出了计算复杂性这门学科[1] [2]。宽度是衡量函数空间或子集在特定逼近方法下可逼近程度的一个定量指标，其作为函数逼近论中必不可少的一部分，更是直接影响逼近算法的设计、复杂性分析和误差估计[3] [4]。因此，研究宽度不仅有着理论层面作用，更是有着实际方面作用。宽度的概念最早由Kolmogorov提出，并且他估计了Sobolev类在经典勒贝格空间上的Kolmogorov宽度，并且得到了其精确渐近阶。

Paley-Wiener空间作为带有限函数空间的特殊情况，也是广泛应用于分析和信号处理等领域。2002年，Fang和Chen [5] [6]通过研究不规则分布离散样本得到了Paley-Wiener函数类的恢复。2013年，Ledford [7] [8]给出函数$\phi \left(x\right)$ 的充分条件，称为插值器。由以上研究可知，关于带有限函数空间的研究主要集中于数据处理和信号分析等方面，对于其上的逼近问题研究甚少，如Li等[9]研究了加权带有限函数空间在一致框架下的Kolmogorov n-宽度和线性n-宽度的精确渐近阶。本文将继续这一工作，研究加权多元Paley-Wiener空间在概率框架下和平均框架下的逼近特征，特别估计概率框架下和平均框架下加权多元Paley-Wiener空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中线性n-宽度的精确渐进阶。

现介绍本文所用的相关记号。$\mathbb{Z}$ 表示整数集，${\mathbb{Z}}_0$ 表示非零整数集，$\mathbb{N}$ 表示自然数集，${\mathbb{N}}_{+}$ 表示正整数集，$ℝ$ 表示实数域，$ℂ$ 表示复数域。若$a\left(x\right)$ 和与$b\left(x\right)$ 为定义在集合$F$ 上的两个正函数，用$a\left(x\right)\ll b\left(x\right)$ 表示存在与$x$ 无关的正常数$c_1$ ，使得对任意$x\in F$ 有$a\left(x\right)\le c_{1}b\left(x\right)$ ；而$a\left(x\right)\gg b\left(x\right)$ 表示存在与$x$ 无关的正常数$c_2$ ，使得对任意$x\in F$ ，存在$a\left(x\right)\ge c_{2}b\left(x\right)$ ；$a\left(x\right)\asymp b\left(x\right)$ 表示$a\left(x\right)\ll b\left(x\right)$ 与$a\left(x\right)\gg b\left(x\right)$ 同时成立。

2. 加权多元Paley-Wiener空间及其主要性质

本节主要介绍本文研究的函数空间及其相关性质。

用$L_p\left({ℝ}^d\right)\left(1\le p<\infty \right)$ 表示定义在${ℝ}^d$ 上的p-次幂可积的经典Lebesgue空间，${\Vert \cdot \Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$ 表示其范数；$l_p\left({\mathbb{Z}}^d\right)\left(l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)\right)\left(1\le p<\infty \right)$ 表示定义在${\mathbb{Z}}^d\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)$ 上p-次幂可和的序列空间，${\Vert \cdot \Vert }_{l_p\left({\mathbb{Z}}^d\right)}\left({\Vert \cdot \Vert }_{l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)}\right)$ 表示其范数。

下面介绍指数型整函数的概念。

设$g\left(z\right)$ 为${ℂ}^d$ 上的整函数。若$\forall \epsilon >0$ ，存在仅与$\epsilon$ 有关的正常数$A:=A\left(\epsilon \right)$ ，使得

$\left|g\left(z\right)\right|\le A\exp \left({\displaystyle \sum _{j=1}^d\left(\pi +\epsilon \right)\left|z_j\right|}\right),z=\left(z_1,\cdots ,z_d\right)\in {ℂ}^d.$

则称函数$g\left(z\right)$ 为指数$\pi$ -型整函数。用$B_{\pi }\left({ℝ}^d\right)$ 表示限制在${ℝ}^d$ 上有界的所有指数$\pi$ -型整函数的全体之集。

对$1<p<\infty ,\sigma >0$ ，记

${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):=\left\{f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):f\left(k\right)=0,k\in Z^d\backslash Z_0^d\right\}.$

易见，${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 关于${\Vert \cdot \Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$ 为$B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 的闭子空间，即${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 关于范数${\Vert \cdot \Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$ 为Banach空间。

关于多元Paley-Wiener空间，有如下主要性质。

引理2.1 [6]设$1<p<\infty$ ，则

1) 对$\forall f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，有

$f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{k\in Z^d}f}\left(k\right)\sin c_d\left(\pi x-k\pi \right),x=\left(x_1,\cdots ,x_d\right)\in {ℝ}^d.$

且上式右边级数在${ℝ}^d$ 上绝对一致收敛于$f\left(x\right)$ 。其中

$\sin c_d\left(x\right)={\displaystyle \prod _{j=1}^d\sin c}\left(x_j\right),x=\left(x_1,\cdots ,x_d\right)\in {ℝ}^d.$

而

$\sin ct=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin t}{t},\hfill & t\in ℝ,t\ne 0,\hfill \\ 1,\hfill & t=0.\hfill \end{array}.$

2) 存在仅依赖于$p$ 的常数${c^{\prime }}_p$ 、${c^{″}}_p$ ，使得对$\forall f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，有

${c^{\prime }}_p{\left({\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}^d}{\left|f\left(k\right)\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\Vert f\Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}\le {c^{″}}_p{\left({\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}^d}{\left|f\left(k\right)\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

3) 对$\forall y=\left\{y_k\right\}\in l_p\left({\mathbb{Z}}^d\right)$ ，存在唯一的$g\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，使得$g\left(k\right)=y_k,\forall k\in {\mathbb{Z}}^d$ 。

注2.1 1)由引理2.1知，对$1<p<\infty$ ，$f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，则

${\Vert f\Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}\asymp {\Vert \left\{f\left(k\right)\right\}\Vert }_{l_p\left({\mathbb{Z}}^d\right)}.$ (1)

2) 对$1<p<\infty$ ，记

${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):=\left\{f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):f\left(k\right)=0,k\in {\mathbb{Z}}^d\backslash {\mathbb{Z}}_0^d\right\}.$

由引理2.1知，${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 为$B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 的线性子空间，且$\left({\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right),L_p\left({ℝ}^d\right)\right)$ 为Banach空间，引理2.1对${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 均成立。

3) 对$t\in ℝ$ ，$j\in {\mathbb{Z}}_0^d$ ，记$e_j\left(t\right):=\sin c\left(\pi t-j\pi \right)$ ，对$x=\left(x_1,\cdots ,x_d\right)\in {ℝ}^d$ ，$k=\left(k_1,\cdots ,k_d\right)\in {\mathbb{Z}}_0^d$ ，记$e_k^d\left(x\right)={\displaystyle \prod _{j=1}^d{e}_{k_j}}\left(x_j\right)$ ，则${\left\{e_k^d\left(x\right)\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}$ 为${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 的Schauder基。

为方便起见，以下行文中，若没有特殊说明，$B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 均表示${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 。

下面，介绍加权多元Paley-Wiener空间，这也是本文研究的主要函数空间。

设$1<p<\infty$ ，$r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d$ ，且$r_1=r_2=\cdots =r_{\nu }<r_{\nu +1}\le \cdots \le r_d,j=1,\cdots ,d$ 。若$f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，且$\left\{{\left|k\right|}^{r}f\left(k\right)\right\}\in l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)$ ，其中${\left|k\right|}^r={\displaystyle \prod _{j=1}^d{\left|k_j\right|}^{r_j}}$ ，$k=\left(k_1,\cdots ,k_d\right)\in {\mathbb{Z}}_0^d$ ，则由引理2.1知级数

${\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}{\left|k\right|}^r}f\left(k\right)e_k^d\left(x\right),x=\left(x_1,\cdots ,x_d\right)\in {ℝ}^d$

在${ℝ}^d$ 上绝对一致收敛，记该函数为$f^{\left(r\right)}\left(x\right)$ ，则$f^{\left(r\right)}\left(x\right)\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 。

反之，若$f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，且${\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}{\left|k\right|}^r}f\left(k\right)e_k^d\left(x\right)\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，则$\left\{{\left|k\right|}^{r}f\left(k\right)\right\}\in l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)$ 。

因此，由引理2.1易知

$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)=\left\{f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):f^{\left(r\right)}\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)\right\}$

为$B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 的线性子空间，且$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ 关于范数

${\Vert f\Vert }_{r,p}:={\Vert f^{\left(r\right)}\Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$

为Banach空间，称其为加权多元Paley-Wiener空间。

关于加权多元Paley-Wiener空间，有如下主要性质。

引理2.2 设$1<p,q<\infty ,r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d$ ，且$r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d$ ，若$r_1>\max \left\{0,\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right\}$ ，则$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ 可以连续嵌入$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中。

证明：参考文献[9]的证明方法可证得引理2.2，此处略去证明。

另外，易见$B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$ 与$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 分别关于内积

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^d}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x},f,g\in B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$

和

${\langle f,g\rangle }_r:=\langle f^{\left(r\right)},g^{\left(r\right)}\rangle ,f,g\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$

为Hilbert空间，其诱导的范数分别为${\Vert \cdot \Vert }_{L_2\left({ℝ}^d\right)}$ 与${\Vert \cdot \Vert }_{r,2}$ ，且由引理2.1易知${\left\{e_k^d\left(x\right)\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}$ 为它们的标准正交基。

Li等[9]讨论了一致框架下，$B_{\pi ,p}^r\left(ℝ\right)$ 在$B_{\pi ,q}\left(ℝ\right)\left(1<p,q<\infty ,r_1>\max \left\{0,\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right\}\right)$ 中Kolmogorov n-宽度的渐进阶。本文继续这一研究，讨论概率框架和平均框架下Hilbert空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中的Kolmogorov n-宽度的渐进阶。其中，$1<q<\infty ,r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v\le r_{v+1}\le \cdots \le r_d$ 。为此，首先在Hilbert空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 上赋予高斯测度$\mu$ ，$\mu$ 的期望为零元，协方差算子$C_{\mu }$ 对应的特征函数为$e_k^d\left(x\right),k\in {\mathbb{Z}}_0^d$ ，且相应的特征值为

${\lambda }_k={\left|k\right|}^{-\rho },\rho >1,k\in {\mathbb{Z}}_0^d.$

即

$C_{\mu }{e}_k^d\left(x\right)={\lambda }_k{e}_k^d\left(x\right),k\in {\mathbb{Z}}_0^d.$ (2)

由文献[10]知，$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 上满足以上条件的高斯测度$\mu$ 是唯一的。令$y_1,\cdots ,y_n$ 为$B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$ 中的n个正交向量，${\sigma }_j=\langle C_{\mu }{y}_j,y_j\rangle ,\left(j=1,\cdots ,n\right)$ 。B为${ℝ}^n$ 中的Borel子集，则$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 中的柱集

$G=\left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right):\left({\langle f,y_1^{\left(-r\right)}\rangle }_r,\cdots ,{\langle f,y_n^{\left(-r\right)}\rangle }_r\right)\in B\right\}$

的测度为

$\mu \left(G\right)={\displaystyle \prod _{j=1}^n{\left(2\pi \right)}^{-\frac{1}{2}}}{\displaystyle {\int }_B\exp \left(-{\displaystyle \sum _{j=1}^n\frac{{\left|{\mu }_j\right|}^2}{2}}\right)\text{d}{\mu }_1\cdots \text{d}{\mu }_n}.$

关于Hilbert空间上高斯测度的详细信息可参考文献[11]。本文主要研究$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 上赋予上述测度情形下，其在$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中的线性n-宽度。

3. 概率框架和平均框架下加权多元Paley-Wiener空间的线性n-宽度

定义3.1 令T是一个从Z到Z的线性算子，则TW到W的线性距离为

$\lambda \left(W,T,Z\right):=\underset{x\in W}{\sup }\Vert x-Tx\Vert .$

W在Z的线性n-宽度的定义为

${\lambda }_n\left(W,Z\right):=\underset{T_n}{\inf }\lambda \left(W,T_n,Z\right)=\underset{T_n}{\inf }\underset{x\in W}{\sup }\Vert x-T_{n}x\Vert .$

其中，$T_n$ 取遍Z中的秩不超过n的所有线性有界算子。

定义3.2 设B是W上的Borel域，$\mu$ 是定义在B上的概率测度，令$\delta \in \left(0,1\right],0<p<\infty$ ，分别称

${\lambda }_{n,\delta }\left(W,\mu ,Z\right):=\underset{G_{\delta }}{\inf }{\lambda }_n\left(W\backslash G_{\delta },Z\right)$

和

${\lambda }_n^{\left(a\right)}{\left(W,\mu ,Z\right)}_p:=\underset{T_n}{\inf }{\left({\displaystyle {\int }_W{\Vert x-T_{n}x\Vert }^p\text{d}\mu \left(x\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}$

为概率框架下，W在Z中的线性n-宽度和平均框架下W在Z中的p-平均线性n-宽度，分别简称为W在Z中关于测度$\mu$ 的线性$\left(n,\delta \right)$ 宽度和平均线性n-宽度。其中$G_{\delta }$ 取遍B中测度不超过$\delta$ 的子集，$F_n$ 取遍Z中的所有维数不超过N的线性子空间，$T_n$ 取遍Z中的秩不超过n的线性算子。

本节主要是估计$r>\frac{1}{2}$ 时，${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)$ 和${\lambda }_n^{\left(a\right)}{\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)}_p$ 的精确渐进阶。其主要结果如下。

定理3.1 设$1<p<\infty ,r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d,\rho >1$ 且$\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right],n\in \mathbb{Z}$ ，则

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\asymp {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\left(1+n^{-\min \left\{\frac{1}{2},\frac{1}{q}\right\}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right).$

通过定理3.1，按文献[11]的证明方法易知定理3.2成立，其证明过程省略。

定理3.2 设$1<q<\infty ,0<p<\infty ,r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d$ ，且$\rho >1$ ，则

${\lambda }_n^{\left(a\right)}\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\asymp {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}.$

本文主要采用离散化的方法估计定理3.1的上、下界。为此，首先介绍有限维空间的相应结果。

设$1\le p\le \infty$ ，用$l_p^m$ 表示在${ℝ}^m$ 上赋予范数${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 的Banach空间，其中

${\Vert x\Vert }_{l_p^m}=\{\begin{array}{l}{\{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^m{\left|x_k\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{1\le k\le m}{\max }\left|x_k\right|,p=\infty \end{array},x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)\in {ℝ}^m.$

用$B_p^m$ 表示$l_p^m$ 中的单位球。

现在${ℝ}^m$ 上赋予标准高斯测度$\nu :={\nu }_m$

$\nu \left(G\right)={\left(2\pi \right)}^{-\frac{m}{2}}{\displaystyle {\int }_G\exp \left(-\frac{1}{2}{\Vert x\Vert }_{l_m^2}^2\right)\text{d}x}.$

其中，$G$ 为${ℝ}^m$ 中的Borel集，显然$\nu \left({ℝ}^m\right)=1$ 。

以下引理对证明定理3.1至关重要。

引理3.3 设$1<q<\infty ,m\ge 2n,\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ ，则

1) ${\lambda }_{n,\delta }\left({ℝ}^m,v,l_q^m\right)\asymp m^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }},1<q\le 2$ 。

2) ${\lambda }_{n,\delta }\left({ℝ}^m,v,l_q^m\right)\asymp m^{\frac{1}{q}}+\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }},2\le q<\infty$ 。

离散化定理的建立：

设$S=\left(S_1,\cdots ,S_d\right)\in {\mathbb{N}}^d$ ，令${\rho }_s=\left\{n=\left(n_1,\cdots ,n_d\right)\in {\mathbb{Z}}_0^d:2^{s_{j-1}}<\left|n_j\right|\le 2^{s_j},j=1,\cdots ,d\right\}$ 。则$\left|{\rho }_s\right|=2^{\left(s,1\right)},{\displaystyle \sum _{s\in {\mathbb{N}}^d}{\rho }_s}={\mathbb{Z}}_0^d$ 且${\rho }_{s^{\prime }}\cap {\rho }_s=\varnothing ,s^{\prime },s\in {\mathbb{N}}_{+}^d,s\ne s^{\prime }$ 。

下面，对${\mathbb{N}}_{+}^d$ 再进行分块，令$\rho =\left(1,\cdots ,1,\frac{r_{v+1}+\frac{\rho }{2}}{r_1+\frac{\rho }{2}},\cdots ,\frac{r_d+\frac{\rho }{2}}{r_1+\frac{\rho }{2}}\right)$ ，对$l\in {\mathbb{N}}_{+}$ ，

令

$S_l=\left\{s\in {\mathbb{N}}^d:l-1\le \left(s,\gamma \right)<l\right\}.$ (3)

再设$\Vert S_l\Vert ={\displaystyle \sum _{s\in S_l}\left|{\rho }_s\right|}={\displaystyle \sum _{l-1\le \left(s,\gamma \right)<l}{2}^{\left(s,1\right)}}$ 。由(3)知，$\Vert S_l\Vert \asymp 2^l{l}^{v-1}$ 。

设$l\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，对$f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)\left(1<p<\infty \right)$ ，令

$\left({\Delta }_{l}f\right)\left(x\right)={\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{C}_n}}{e}_{n,\pi }^d\left(x\right),x\in {ℝ}^d$

其中，$C_n:=f\left(n\right)$ ，易知

${\Vert f\Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}\asymp {\left({\displaystyle \sum _{l\ge 1}{\Vert {\Delta }_{l}f\Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

令

$F_l=span\left\{e_n^d\left(x\right):n\in {\rho }_s,s\in S_l\right\}$

易见$\dim F_l=\Vert S_l\Vert$ 。再令

$I_l:F_l\to {ℝ}^{\Vert S_l\Vert }$

$f\to {\left\{\langle f,\frac{e_n^d\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}$ (4)

易见$I_l$ 为$F_l$ 到$l_q^{\Vert S_l\Vert }$ 的线性同构映射。由(4)可知，

${\sigma }_n=\langle C_{\mu }\frac{e_n^d\left(t\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}},\frac{e_n^d\left(t\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle =1,n\in {\rho }_s.$

对$1<q<\infty ,n=\left(n_1,\cdots ,n_d\right)\in {\rho }_s$ ，由于$\left|n\right|={\displaystyle \prod _{j=1}^d\left|n_j\right|}=2^{\left(s,1\right)}$ ，所以对$f\in F_l$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert I_{l}f\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}={\Vert {\left\{\langle f,\frac{e_n^d\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\\ \asymp 2^{\frac{\left(s,1\right)}{2}\rho }{\Vert {\left\{f\left(n\right)\right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\asymp 2^{\frac{\left(s,1\right)}{2}\rho }{\Vert f\Vert }_{\sigma ,q}\end{array}$ (5)

以及

$\begin{array}{c}{\Vert f^{\left(r\right)}\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\asymp {\left({{\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}\left|n\right|}}}^{rq}{\left|f\left(n\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp {\left({\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{2}^{\left(s,r\right)q}}}{\left|f\left(n\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp {\left({\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{2}^{\left(s,r\right)\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)q-\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}}}{\left|f\left(n\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp 2^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l-\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}{\left({\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{\left|f\left(n\right)\right|}^q}}\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp 2^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l-\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}{\Vert f\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\end{array}$ (6)

所以，对于$f\in F_l$ ，由(1)、(2)、(5)和(6)得

${\Vert f\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\asymp 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l+\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}{\Vert f^{\left(r\right)}\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\asymp 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\Vert {\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}$ (7)

现在建立估计定理3.1上界的离散化定理。

定理3.4 设$1<q<\infty ,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d,r_i\in {ℝ}^d,i=1,\cdots ,d,n\in \mathbb{N}$ ，且$\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ ，取非负整数序列$\left\{n_l\right\}$ 以及非负实序列$\left\{{\delta }_l\right\}$ ，满足$0\le n_l\le \Vert S_l\Vert$ 且${\displaystyle \sum _l{n}_l\le n},{\displaystyle \sum _l{\delta }_l}\le \delta$ ，则

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\sigma ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\sigma ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {\displaystyle \sum _l{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{d}_{n_l,{\delta }_l}}\left({ℝ}^{\Vert S_l\Vert },\upsilon ,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right).$

证明：设$T_l$ 是${ℝ}^{\Vert S_l\Vert }$ 到${ℝ}^{\Vert S_l\Vert }$ 的一个线性算子，且其秩$rank{T}_l\le n_l$ ，且

$v\left\{y\in {ℝ}^{\Vert S_l\Vert }:{\Vert y-T_{l}y\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}>{\lambda }_{n_l,{\delta }_l}\right\}\le {\delta }_l$ (8)

其中

${\lambda }_{n_l,{\delta }_l}:={\lambda }_{n_l,{\delta }_l}\left({ℝ}^{\Vert S_l\Vert },\upsilon ,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right).$

对于$\forall f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ ，由(7)式知，存在正常数$C_0$ ，有

$\begin{array}{l}{\Vert {\delta }_{l}f-D^{-r}{I}_l^{-1}{T}_l{I}_l{\delta }_{l}f\Vert }_{\sigma ,q}\\ =C_0{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\Vert \langle D^{r}f,\frac{e_n\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle -T_l{\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in S_l}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\end{array}$ (9)

考虑$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 的子集$G_l$ ，

$G_l=\left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right):{\Vert {\delta }_{l}f-D^{-r}{I}_l^{-1}{T}_l{I}_l{\delta }_{l}f\Vert }_{\sigma ,q}>C_0{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\lambda }_{n_l,{\delta }_l}\right\}.$

由(8)和(9)式以及测度$\mu ,v$ 定义知

$\mu \left(G_l\right)\ll \nu \left\{y\in {ℝ}^{\Vert S_l\Vert }:{\Vert y-T_{l}y\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}>{\lambda }_{n_l,{\delta }_l}\right\}\le {\delta }_l.$

取$G={\displaystyle \underset{l}{\cup }{G}_l},F={\displaystyle \sum _l{D}^{-r}{I}_{}^{-1}{T}_l{I}_l}$ ，其中$F$ 是$D^{-r}{I}_{}^{-1}{T}_l{I}_l$ 的直和，因此

$\mu \left(G\right)\le {\displaystyle \sum _l\mu \left(G_l\right)}\le {\displaystyle \sum _l{\delta }_l}\le \delta ,rank{T}_n\le {\displaystyle \sum _{l}rank{T}_l}\le {\displaystyle \sum _l{n}_l}\le n.$

所以，由$G,F,\left\{G_l\right\},\left\{T_l\right\}$ 的定义，可得

$\begin{array}{c}{\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\le \underset{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\backslash G}{\sup }{\Vert f-T_{n}f\Vert }_{\pi ,q}\\ \le \underset{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\backslash G}{\sup }{\displaystyle \sum _l{\Vert {\delta }_{l}f-D^{-r}{I}_l^{-1}{T}_l{I}_l{\delta }_{l}f\Vert }_{\pi ,q}}\\ \ll {\displaystyle \sum _l{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\lambda }_{n_l,{\delta }_l}}\end{array}$

因此

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {\displaystyle \sum _l{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\lambda }_{n_l,{\delta }_l}}\left({ℝ}^{\Vert S_l\Vert },v,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right).$

定理得证。

接下来建立估计定理3.1下界的离散化定理。

设

$S=S_{k_0}=\left\{s=\left(s_1,\cdots ,s_v,1,\cdots ,1\right)\in {\mathbb{N}}^d:\left(s,1\right)=k=\left[k_0\right]\right\}$ (10)

其中，$k_0$ 稍后选取。$\left[k_0\right]$ 表示不超过$k_0$ 的最大整数，不难验证$\left|s\right|\asymp k^{\upsilon -1}$ ，现在选取$k_0,C_0\ge 0$ ，使得

$\Vert S\Vert :={\displaystyle \sum _{s\in S}\left|{\square }_s\right|}={\displaystyle \sum _{s\in S}{2}^{\left(s,1\right)}}=\left|s\right|2^k\ge C_{k_0}{k}_0^{\upsilon -1}{2}^{k_0}=2n.$

因此，$2^k{k}^{\upsilon -1}\asymp n\asymp \left|s\right|2^k$ 。

现在考虑空间$F_s:=span\left\{e_n^d\left(x\right):n\in {\square }_s,s\in S\right\}$ 。

对$1<q<\infty$ ，令

$I_s:F_s\to l_q^{\Vert S\Vert },f\to {\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\square }_s,s\in S}.$

易见$I_s$ 为$F_s$ 到$l_q^{\Vert S_l\Vert }$ 的线性同构映射，类似(8)、(9)的方法可得

${\Vert {\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\square }_s,s\in S}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\asymp 2^{r_1+\frac{\rho }{2}}{\Vert f\Vert }_{B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)},f\in F_s.$ (11)

通过(11)，下面建立估计定理3.1下界的离散化定理。

定理3.5 设$1<q<\infty ,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d,r_i\in {ℝ}^d,i=1,\cdots ,d,n\in \mathbb{N}$ ，且$\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ ，则

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ge 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{\lambda }_{n,\delta }\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },\nu ,l_q^{\Vert S\Vert }\right).$

证明：设$T_1$ 是作用到$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\cap F_s$ 的线性算子，使得$rank{T}_1\le n$ ，且

$\mu \left\{f\in B_{\sigma ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\cap F_k:{\Vert f-T_{1}f\Vert }_{\sigma ,q}>{\lambda }_{n,\delta }\right\}\le \delta .$

其中

${\lambda }_{n,\delta }={\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right).$

考虑集合

$G=\left\{y\in {ℝ}^{\Vert S\Vert }:{\Vert y-I_k{T}_1{D}^r{I}_k^{-1}y\Vert }_{l_q^{\Vert S\Vert }}>C_0{}^{-1}{2}^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{\lambda }_{n,\delta }\right\}.$

由(9)式以及测度$\mu ,v$ 定义知

$v\left(G\right)\le \mu \left\{f\in B_{\sigma ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\cap F_k:{\Vert f-T_{1}f\Vert }_{\sigma ,q}>{\lambda }_{n,\delta }\right\}\le \delta .$

显然$rank{I}_k{T}_1{D}^r{I}_k^{-1}\le n$ ，因此，由上式可得

${\lambda }_{n,\delta }\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },v,l_q^{\Vert S\Vert }\right)\le \underset{f\in {ℝ}^{\Vert S\Vert }\backslash G}{\sup }{\Vert y-I_k{T}_1{D}^r{I}_k^{-1}y\Vert }_{l_q^{\Vert S\Vert }}\ll 2^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{\lambda }_{n,\delta }.$

因此

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\sigma ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\sigma ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\gg 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{\lambda }_{n,\delta }\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },v,l_q^{\Vert S\Vert }\right).$

定理得证。

为了证明定理3.1，还需要以下引理。

引理3.6 设$0<\beta <1$ ，$S_l$ 的定义见(3)，对$n\in \mathbb{N}$ ，存在$u>0$ ，使得$n\asymp 2^u{u}^{v-1}$ ，定义序列$\left\{n_l\right\}$ 如下

$n_l:=\{\begin{array}{l}\Vert S_l\Vert ,l\le u\\ \Vert S_l\Vert 2^{\left(1+\beta \right)\left(u-l\right)},l>u\end{array}$ (12)

则${\displaystyle \sum _l{n}_l\ll n}$ 。

定理3.1的证明：

首先估计$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)$ 的上界。

按引理3.2定义非负整数序列$\left\{n_l\right\}$ ，令

${\delta }_l=\{\begin{array}{l}\frac{\delta n_l}{n},l>u\\ 0,l\le u\end{array}$ (13)

则${\displaystyle \sum _l{\delta }_l\ll \delta }$ 。易见，$\left\{n_l\right\}$ 和$\left\{{\delta }_l\right\}$ 满足定理3.3的条件，由线性n-宽度易知

${\lambda }_{n_l,{\delta }_l}\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },\nu ,l_q^{\Vert S\Vert }\right)=0,l\le u.$

根据(12)和(13)中的定义，定义序列$\left\{n_l\right\}$ 和$\left\{{\delta }_l\right\}$ 。它们满足定理3.1中的条件，可得$\Vert S\Vert \asymp 2^l{k}^{v-1}$ 。

1) $1<q<2$ 时

先估计上界。

由引理3.3和定理3.4，有

$\begin{array}{l}{\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert S_l\Vert }^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{\Vert S_l\Vert +\ln \frac{n}{n_l\delta }}\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{\frac{l}{q}}{l}^{\left(v-1\right)/q}+{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{n}^{\frac{1}{2}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}\\ +{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\sqrt{\frac{1}{\delta }}\\ =:{I^{\prime }}_1+{I^{\prime }}_2+{I^{\prime }}_3\end{array}$

首先估计${I^{\prime }}_1$ ，有

${I^{\prime }}_1:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{\frac{l}{q}}{l}^{\left(v-1\right)/q}\ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}\right)l}}{l}^{\left(v-1\right)/q}\ll 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}{\left(2^u{u}^{v-1}\right)}^{\frac{1}{q}}\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}$

同样对于${I^{\prime }}_2$ ，取$0<\beta <\min \left\{1,2r_1+\rho -1\right\}$ ，则

$\begin{array}{c}{I^{\prime }}_2:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{n}^{\frac{1}{2}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{2}^{-\frac{1+\beta }{2}u}u{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}-\frac{\beta }{2}\right)l}}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{2}^{-\frac{1+\beta }{2}u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}{\left(2^u{u}^{v-1}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}{2}^{\frac{1+\beta }{2}u}\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

最后，对于${I^{\prime }}_3$ ，有

$\begin{array}{c}{I^{\prime }}_3:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\sqrt{\frac{1}{\delta }}\\ \ll \sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}+\frac{1}{2}\right)l}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}}\\ \ll 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}{\left(2^u{u}^{v-1}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$

所以

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {I^{\prime }}_1+{I^{\prime }}_2+{I^{\prime }}_3\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\left(1+n^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right)$

其次估计下界。

根据定理3.5和引理3.3-2)，以及$\Vert S\Vert \asymp 2^k{k}^{v-1}\asymp n$ ，知

$\begin{array}{c}{\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\gg 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{\Vert S\Vert }^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{\Vert S\Vert +\ln \frac{1}{\delta }}\\ \gg {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\\ \gg {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\left(1+n^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right)\end{array}$

因此，$1<q<2$ 时，

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\asymp {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\left(1+n^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right).$

得证。

2) $2\le q<\infty$ 时

先估计上界。

类似于1)，由定理3.4和引理3.3-2)，有

$\begin{array}{l}{\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}\left({\Vert S_l\Vert }^{\frac{1}{q}}+\sqrt{\ln \frac{n}{n_l\delta }}\right)}\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\left(2^l{l}^{v-1}\right)}^{\frac{1}{q}}}+{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\left(2^l{l}^{v-1}\right)}^{-\frac{1}{2}}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}}+{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ :={K^{\prime }}_1+{K^{\prime }}_2+{K^{\prime }}_3\end{array}$

由${K^{\prime }}_1={I^{\prime }}_1$ ，知

${K^{\prime }}_1\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}$

下面估计${K^{\prime }}_2$ ，类似地

$\begin{array}{c}{K^{\prime }}_2:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\left(2^l{l}^{v-1}\right)}^{-\frac{1}{2}}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{2}^{-\frac{1+\beta }{2}u}u{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\beta }{2}\right)l}{l}^{-\frac{v-1}{2}}}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{2}^{-\frac{1+\beta }{2}u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}{\left(2^u{u}^{v-1}\right)}^{-\frac{1}{2}}{2}^{\frac{1+\beta }{2}u}\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

对于${K^{\prime }}_3$ ，有

$\begin{array}{c}{K^{\prime }}_3:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}{n}^{-\frac{1}{q}}\end{array}$

即

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\left(1+n^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right)$

得证。

继续估计下界。

类似地，由定理引理3.3-2)和定理3.5，以及$\Vert S\Vert \asymp 2^k{k}^{v-1}\asymp n$ ，有

$\begin{array}{c}{\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\gg 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}\left({\Vert S\Vert }^{\frac{1}{q}}+\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right)\\ \gg {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}\left(n^{\frac{1}{q}}+\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right)\\ \gg {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\left(1+n^{-\frac{1}{q}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right)\end{array}$

因此，综上所述

${\lambda }_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\asymp {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\left(1+n^{-\frac{1}{q}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\right).$

定理3.1得证。