调和Bergman空间上斜Toeplitz算子的衍生算子

Derivative Operators of Slant Toeplitz Operators on Harmonic Bergman Spaces

摘要: 本文给出调和Bergman空间上的斜Toeplitz算子和其衍生算子的概念，并介绍了衍生算子的积分表示、有界性和紧性。此有界性和紧性为后续研究斜Toeplitz算子的有界性和紧性提供了研究方法。

Abstract: In this paper, the concepts of slant Toeplitz operators and its derivative operators on harmonic Bergman Spaces are given, and the integral representation, boundness and compactness of the derivative operators are introduced. The boundedness and compactness provide a method for the subsequent studies of boundedness and compactness of slant Toeplitz operators.

1. 引言

1911年，Toeplitz [1]引入了以有界可测函数$\varphi$ 为符号的Toeplitz算子$T_{\varphi }$ 的概念，并应用于小波分析和微分方程等邻域。后来对Hardy空间上的Toeplitz算子进行了广泛的研究，特别是像Brown，Halmos [2]和Douglas [3]这样的作者，他们对这些算子做了深入的研究。1966年，Mark [4]引进了Hardy空间$H^2$ 上以$\phi$ 为符号的斜Toeplitz算子的概念，介绍了该类算子的背景，讨论了该类算子的谱，$C^{*}$ 代数等若干基本性质。在文[5]中，对斜Toeplitz算子进行了更深入的研究。2004年，安恒斌和蹇人宜[6]将斜Toeplitz算子推广到了Bergman空间并给出了有限个斜Toeplitz算子的乘积S是紧算子的充要条件是其Berezin变换$\tilde{S}\left(z\right)$ 趋向于0$\left(\left|z\right|\to 1\right)$ 。2017年，Singh和Gupta [7]将斜Toeplitz算子推广到了k阶斜Toeplitz算子并给出以余解析函数和调和函数为符号的k阶斜Toeplitz算子在Fock空间上的交换性。此外人们还尝试着将斜Toeplitz算子的概念推广到高维空间上，甚至一些模空间上，并得到了一些结论([8] [9])。在引入斜Toeplitz算子后，由于这类算子在小波分析等中发挥了重要作用，该研究变得非常重要([10] [11])。2002年，Stroethoff和Zheng [12]证明了Bergman空间的正交补空间上的对偶Toeplitz算子是紧的当且仅当其符号函数在圆盘上几乎处处为零。2021年，Yang和Xian [13]证明了调和Bergman空间的正交补空间上的对偶Toeplitz算子是有界算子当且仅当其符号函数是几乎处处有界的，以及有界函数为符号的对偶Toeplitz算子是紧的当且仅当其符号函数在圆盘上几乎处处为0。

本文引入调和Bergman空间上斜Toeplitz算子及其衍生算子的概念，并给出斜H算子的积分表示。此外，还得到了斜L算子是有界线性算子当且仅当其符号函数是开单位圆盘上的本质有界可测函数，以及斜L算子是紧算子的充分必要条件是其符号函数在开单位圆盘上几乎处处为零。

2. 预备知识

$\mathbb{D}$ 表示复平面上的开单位圆盘，$\text{d}A$ 表示复平面上的标准化面积测度。$L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 是$\mathbb{D}$ 上关于测度$\text{d}A$ 平方可积的Lebesgue空间。Bergman空间$L_a^2$ 是$L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 中所有复值解析函数构成的闭子空间。调和Bergman空间$b^2$ 是$L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 中所有复值调和函数构成的Hilbert空间。调和Bergman空间$b^2$ 可表示成

$b^2=\left\{f\left(z\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n+}{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{b}_m{\overline{z}}^m}:{\Vert f\Vert }^2={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|f\left(w\right)\right|}^2\text{d}A\left(w\right)}<\infty \right\}$，

$L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 上内积为

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}f\left(w\right)\overline{g\left(w\right)}\text{d}A\left(w\right)}$，$f,g\in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。

$L_a^2$ 上的再生核为

$K_z\left(w\right)=\frac{1}{{\left(1-w\overline{z}\right)}^2}\left(z,w\in \mathbb{D}\right)$。

从而得$b^2$ 上的再生核为

$R_z\left(w\right)=K_z\left(w\right)+\overline{K_z\left(w\right)}-1\left(z,w\in \mathbb{D}\right)$。

$Q$ 是$L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 到$b^2$ 的正交投影。积分表示为

$Qf\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\left(\frac{1}{{\left(1-\overline{w}z\right)}^2}+\frac{1}{{\left(1-w\overline{z}\right)}^2}-1\right)f\left(w\right)\text{d}A\left(w\right)}$，$z\in \mathbb{D}$ ，

其中$f\in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。$T_{\phi }$ 为在$b^2$ 上以$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 为符号的Toeplitz算子

$T_{\phi }f=Q\left(\phi f\right)$ ，$f\in b^2$ 。

本文要借助$W$ 算子的概念，从而引出斜Toeplitz算子及其衍生算子的定义。

定义2.1 定义调和Bergman空间$b^2$ 上的$W$ 算子为

$W{z}^{2n}=z^n,W{\overline{z}}^{2n}={\overline{z}}^n,W{z}^{2n+1}=0,W{\overline{z}}^{2n+1}=0,n=0,1,\cdots$，

其中$z\in \mathbb{D}$ 。

定义2.2 设$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，$B_{\phi }=W{T}_{\phi }$ 称作符号为$\phi$ 的斜Toeplitz算子，其中$T_{\phi }$ 是符号为$\phi$ 的Toeplitz算子。

类比于斜Toeplitz算子的定义，我们给出斜$L$ 算子，斜$H$ 算子的概念。

定义2.3 对$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，斜$L$ 算子$L_{\phi }:{\left(b^2\right)}^{\perp }\to L^2\left(\mathbb{D},dA\right)$ 定义为：

$L_{\phi }\left(f\right)=\left(I-WQ\right)\left(\phi f\right)$ ，$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }$ 。

定义2.4 对$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，斜$H$ 算子$N_{\phi }:{\left(b^2\right)}^{\perp }\to b^2$ 定义为：

$N_{\phi }\left(f\right)=WQ\left(\phi f\right)$ ，$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }$ 。

定义2.5 对$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，乘法算子$M_{\phi }:L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)\to L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 定义为：

$M_{\phi }\left(f\right)=\phi f$ ，$f\in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。

注意当$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，对任意$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }\cap L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，有$L_{\phi }\left(f\right)=\left(I-WQ\right)\left(\phi f\right)\in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。

当$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，对任意$f\in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)\cap L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，有$M_{\phi }\left(f\right)=\phi f\in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。

易见当$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，对任意$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }\cap L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，有

$M_{\phi }\left(f\right)=N_{\phi }\left(f\right)+L_{\phi }\left(f\right)$ 。 $\left(2.1\right)$

3. 斜L算子的有界性和紧性

为了研究斜$L$ 算子的有界性和紧性，下面先给出斜$H$ 算子$N_{\phi }$ 的积分表示。

定理3.1 如果$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }$ ，则

$\left(N_{\phi }f\right)\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\phi \left(w\right)f\left(w\right)\overline{\left(J_z\left(w\right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{w}\right)-1\right)}}\text{d}A\left(w\right)$。

证明：计算可得

$\begin{array}{c}\left(N_{\phi }f\right)\left(z\right)=WP\left(\phi f\right)\left(z\right)=\langle P\left(\phi f\right)\left(w\right),J_z\left(w\right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{w}\right)-1\rangle \\ =\langle \phi \left(w\right)f\left(w\right),J_z\left(w\right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{w}\right)-1\rangle \\ ={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\phi \left(w\right)f\left(w\right)\overline{\left(J_z\left(w\right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{w}\right)-1\right)}}\text{d}A\left(w\right).\end{array}$

设$w\in \mathbb{D}$ ，$0<s<1-\left|w\right|$ 且$D\left(w,s\right)=\left\{z\in \mathbb{D}:\left|z-w\right|<s\right\}$ 。定义函数

$g_{w,s}\left(z\right):=\left[{\left(z-w\right)}^2\overline{\left(z-w\right)}-\frac{2}{3}{s}^2\left(z-w\right)\right]{\chi }_{D\left(w,s\right)}\left(z\right)$ 。

进一步，表示

$u_{w,s}\left(z\right)=\frac{g_{w,s}\left(z\right)}{\Vert g_{w,s}\left(z\right)\Vert }$ 。

引理3.1 通过上述记号，对每个$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，有$u_{w,s}\left(z\right)\in {\left(b^2\right)}^{\perp }\cap L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 且

$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\Vert M_{\phi }{u}_{w,s}\Vert =\left|\phi \left(w\right)\right|a.e.w\in \mathbb{D}$ 。

证明：先来证$g_{w,s}\left(z\right)\in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。对任意$z\in \mathbb{D}$ ，有

$\begin{array}{c}\left|g_{w,s}\left(z\right)\right|=\left|\left[{\left(z-w\right)}^2\overline{\left(z-w\right)}-\frac{2}{3}{s}^2\left(z-w\right)\right]{\chi }_{D\left(w,s\right)}\left(z\right)\right|\\ =\left|{\left(z-w\right)}^2\overline{\left(z-w\right)}-\frac{2}{3}{s}^2\left(z-w\right)\right|{\chi }_{D\left(w,s\right)}\left(z\right)\\ \le \left({\left|z-w\right|}^3+\frac{2}{3}{s}^2\left|z-w\right|\right){\chi }_{D\left(w,s\right)}\left(z\right)\\ \le \left({\left|z-w\right|}^3+\frac{2}{3}{s}^2\left|z-w\right|\right){\chi }_{D\left(w,s\right)}\left(z\right)\\ \le 2s^3<\infty ,\end{array}$

从而${\Vert g_{w,s}\left(z\right)\Vert }_{\infty }<\infty$ 。

由[13]的引理2.1可得$g_{w,s}\left(z\right)\in {\left(b^2\right)}^{\perp }$ 以及$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\Vert M_{\phi }{u}_{w,s}\Vert =\left|\phi \left(w\right)\right|a.e.w\in \mathbb{D}$ 。

引理3.2 设$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。对每个$w\in \mathbb{D}$ ，有

$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert =0$ 。

证明：对每个$z\in \mathbb{D}$ ，由定理3.1可得

$\begin{array}{c}{N}_{\phi }{u}_{w,s}\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\phi \left(\lambda \right)u_{w,s}\left(\lambda \right)\overline{\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)}}\text{d}A\left(\lambda \right)\\ ={\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}\phi \left(\lambda \right)u_{w,s}\left(\lambda \right)\overline{\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)}}\text{d}A\left(\lambda \right).\end{array}$

由Cauchy-Schwarz不等式可得

$\begin{array}{c}\left|N_{\phi }{u}_{w,s}\left(z\right)\right|\le {\left[{\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|u_{w,s}\left(\lambda \right)\right|}^2\text{d}A\left(\lambda \right)}\right]}^{\frac{1}{2}}{\left[{\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)\right|}^2\text{d}A\left(\lambda \right)}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ =\Vert u_{w,s}\Vert {\left[{\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)\right|}^2\text{d}A\left(\lambda \right)}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ ={\left[{\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)\right|}^2\text{d}A\left(\lambda \right)}\right]}^{\frac{1}{2}}.\end{array}$

故

${\left|N_{\phi }{u}_{w,s}\left(z\right)\right|}^2\le {\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)\right|}^2\text{d}A\left(\lambda \right)}$。

从而

$\begin{array}{c}{\Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2\le {\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)\right|}^2}\text{d}A\left(\lambda \right)\text{d}A\left(z\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\right|}^2{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left|\left(J_z\left(\lambda \right)+J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)-1\right)\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)\text{d}A\left(\lambda \right)}\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \le {\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\right|}^2{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left(\left|J_z\left(\lambda \right)\right|+\left|J_{\overline{z}}\left(\overline{\lambda }\right)\right|+1\right)}^2}\text{d}A\left(z\right)\text{d}A\left(\lambda \right)}\\ \le {\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\right|}^2{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}{\left(2\frac{1+\left|\lambda \right|}{{\left(1-\left|\lambda \right|\right)}^2}+1\right)}^2}\text{d}A\left(z\right)\text{d}A\left(\lambda \right)}\\ \le {\left(2\frac{1+\left|w\right|+s}{{\left(1-\left|w\right|-s\right)}^2}+1\right)}^2{\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\right|}^2\text{d}A}\left(\lambda \right).\end{array}$

由$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 和积分的绝对连续性，让$s\to 0^{+}$ ，则有

${\displaystyle {\int }_{D\left(w,s\right)}{\left|\phi \left(\lambda \right)\right|}^2\text{d}A\left(\lambda \right)}\to 0$ ，

从而$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert =0$ 。

引理3.3 设$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。对每个$w\in \mathbb{D}$ ，有

$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\langle N_{\phi }{u}_{w,s},M_{\phi }{u}_{w,s}\rangle =0$ 。

证明：由Cauchy-Schwarz不等式及引理3.1可得

$\left|\langle N_{\phi }{u}_{w,s},M_{\phi }{u}_{w,s}\rangle \right|\le \Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert \cdot \Vert \phi u_{w,s}\Vert \le \Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert \cdot \Vert \phi \Vert \cdot {\Vert u_{w,s}\Vert }_{\infty }$ 。

由$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 及引理3.2，让$s\to 0^{+}$ ，得

$\left|\langle N_{\phi }{u}_{w,s},M_{\phi }{u}_{w,s}\rangle \right|\to 0$ ，

从而$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\langle N_{\phi }{u}_{w,s},M_{\phi }{u}_{w,s}\rangle =0$ 。

通过$L_{\phi }$ 和$M_{\phi },N_{\phi }$ 的关系，以及由斜$H$ 算子$N_{\phi }$ 的积分表示所得出的引理3.2，3.3可得以下结论。

引理3.4 设$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，则有

$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\Vert L_{\phi }{u}_{w,s}\Vert =\left|\phi \left(w\right)\right|a.e.w\in \mathbb{D}$ 。

证明：对任意$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }\cap L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，由(2.1)可得

$M_{\phi }\left(f\right)=N_{\phi }\left(f\right)+L_{\phi }\left(f\right)$ 。

从而

$\begin{array}{c}{\Vert M_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2={\Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2+{\Vert L_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2+\langle N_{\phi }{u}_{w,s},L_{\phi }{u}_{w,s}\rangle +\langle L_{\phi }{u}_{w,s},N_{\phi }{u}_{w,s}\rangle \\ ={\Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2+{\Vert L_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2+\langle N_{\phi }{u}_{w,s},\left(M_{\phi }-N_{\phi }\right)u_{w,s}\rangle +\langle \left(M_{\phi }-N_{\phi }\right)u_{w,s},N_{\phi }{u}_{w,s}\rangle \\ =-{\Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2+{\Vert L_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }^2+2\mathrm{Re}\langle N_{\phi }{u}_{w,s},M_{\phi }{u}_{w,s}\rangle .\end{array}$

由引理3.2及3.3，让$s\to 0^{+}$ ，可得

$\left|\phi \left(w\right)\right|=\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\Vert L_{\phi }{u}_{w,s}\Vert a.e.w\in \mathbb{D}$ 。

定理3.2 设$\phi \in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，则$L_{\phi }$ 是${\left(b^2\right)}^{\perp }$ 上的有界线性算子当且仅当$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。

证明：先证充分性，当$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。对任意$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert L_{\phi }\Vert =\Vert \left(I-WQ\right)\left(\phi f\right)\Vert \\ \le \Vert I-WQ\Vert \Vert \phi f\Vert \\ \le \left(\Vert I\Vert +\Vert W\Vert \Vert Q\Vert \right)\cdot {\Vert \phi \Vert }_{\infty }\cdot \Vert f\Vert \\ =\left(1+\sqrt{2}\right){\Vert \phi \Vert }_{\infty }\cdot \Vert f\Vert .\end{array}$

由$f$ 的任意性可得，$L_{\phi }$ 是有界的。

再证必要性，当$L_{\phi }$ 是${\left(b^2\right)}^{\perp }$ 上的有界线性算子。注意到对所有$w\in \mathbb{D}$ 及$0<s<1-\left|w\right|$ 都有

$\Vert L_{\phi }{u}_{w,s}\Vert \le \Vert L_{\phi }\Vert$

成立。让$s\to 0^{+}$ 及使用引理3.4，有

$\left|\phi \left(w\right)\right|\le \Vert L_{\phi }\Vert a.e.w\in \mathbb{D}$ ，

从而${\Vert \phi \Vert }_{\infty }\le \Vert L_{\phi }\Vert$ 。

定理3.3 设$\phi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。算子$L_{\phi }$ 是${\left(b^2\right)}^{\perp }$ 上的紧算子当且仅当$\phi \left(w\right)=0a.e.w\in \mathbb{D}$ 。

证明：充分性显然成立，下面证明必要性。由[13]的定理2.5可知，对于每个$w\in \mathbb{D}$ ，当$s\to 0^{+}$ ，$u_{w,s}$ 在${\left(b^2\right)}^{\perp }$ 上弱收敛于0。 由$L_{\phi }$ 是${\left(b^2\right)}^{\perp }$ 上的紧算子可得

$\Vert L_{\phi }{u}_{w,s}\Vert \to 0\left(s\to 0^{+}\right)$ 。

由引理3.4可得$\phi \left(w\right)=0a.e.w\in \mathbb{D}$ 。

定理3.4 设$\phi ,\psi \in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ ，$h\in L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。如果算子$L_h$ 是算子$L_{\phi }{L}_{\psi }$ 的紧扰动当且仅当$\phi \psi =h$ 。在这种情况下，$\left(B_{\phi }-M_{\phi }\right)\cdot N_{\psi }$ 是紧算子。

证明：先证明充分性。假设$\phi \psi =ha.e.\mathbb{D}$ ， 则$h\in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。由条件和定理3.3可得$L_{\phi },L_{\psi }$ 和$L_h$ 均为紧算子，从而$L_{\phi }{L}_{\psi }-L_h$ 是紧算子，即算子$L_h$ 是算子$L_{\phi }{L}_{\psi }$ 的紧扰动。

下证必要性。假设$L_{\phi }{L}_{\psi }-L_h$ 是紧算子。由定理3.2可得，$h\in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 。由$M_{\phi }$ 及$B_{\phi }$ 的定义可得，对任意$f\in {\left(b^2\right)}^{\perp }$ ，有

$\begin{array}{c}{L}_{\phi }{L}_{\psi }\left(f\right)=L_{\phi }\left(I-WQ\right)\left(\phi f\right)\\ =L_{\phi }\left(\phi f-WQ\left(\phi f\right)\right)\\ =\left(I-WQ\right)\left(\psi \phi f-\psi WQ\left(\phi f\right)\right)\\ =\left(I-WQ\right)\left(\psi \phi f\right)+WQ\left(\psi WQ\left(\phi f\right)\right)-\psi WQ\left(\phi f\right)\\ =L_{\phi \psi }\left(f\right)+B_{\phi }{N}_{\psi }\left(f\right)-M_{\phi }{N}_{\psi }\left(f\right),\end{array}$

即$L_{\phi }{L}_{\psi }=L_{\phi \psi }+B_{\phi }{N}_{\psi }-M_{\phi }{N}_{\psi }$ 。由假设可知

$L_{\phi \psi -h}+B_{\phi }{N}_{\psi }-M_{\phi }{N}_{\psi }=L_{\phi }{L}_{\psi }-L_h$ 。 (3.1)

是紧算子。由定理3.3的证明，对于每个$w\in \mathbb{D}$ ，当$s\to 0^{+}$ ，$u_{w,s}$ 在${\left(b^2\right)}^{\perp }$ 上弱收敛于0。因此可得

$\Vert \left(L_{\left(\phi \psi -h\right)}+B_{\phi }{N}_{\psi }-M_{\phi }{N}_{\psi }\right)u_{w,s}\Vert \to 0\left(s\to 0^{+}\right)$ 。

由引理3.2，有$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }{\Vert N_{\phi }{u}_{w,s}\Vert }_2=0$ 。由于$B_{\phi }$ 和$M_{\phi }$ 是有界的，从而有

$\Vert L_{\left(\phi \psi -h\right)}{u}_{w,s}\Vert \to 0\left(s\to 0^{+}\right)$ 。

另一方面，由引理3.4及$\phi \psi -h\in L^{\infty }\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 有

$\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\Vert L_{\phi \psi -h}{u}_{w,s}\Vert =\left|\phi \left(w\right)\psi \left(w\right)-h\left(w\right)\right|a.e.w\in \mathbb{D}$ 。

因此。在这种情况下，由(3.1)可知

是紧算子。

推论3.1 设，是上的线性算子。则有：

若是上的连续函数，则是幂等的当且仅当或，对于。

证明：充分性显然成立，下证必要性。由于是幂等的当且仅当。由于是紧算子及定理3.4，有。又是上的连续函数，则，。故是上的特征函数。再由在上的连续性，得或，对于。