摘要: 本文针对一类具有未知时变控制系数及随机噪声干扰的不确定项的随机非完整系统，研究其有限时间稳定问题。根据系统的特性，分两阶段进行控制设计：首先基于Lyapunov理论为
子系统设计保证子系统稳定的控制输入
；其次，通过对
系统进行坐标变换转换成新形式
系统，并采用递归反推法最终设计出全局控制输入
。最终设计出全局控制输入理论分析表明，闭环系统的稳定性可通过随机Lyapunov函数
的负定性严格证明，且系统状态在有限时间内收敛至平衡点。
Abstract: This paper investigates the finite-time stabilization problem for a class of stochastic nonholonomic systems with unknown time-varying control coefficients and stochastic noise disturbances. Based on the system characteristics, a two-phase control design framework is proposed. First, a Lyapunov-based control input
is designed for the
-subsystem to ensure its stability. Subsequently, the original
-system is transformed into a new structure
-system via coordinate transformation, and a recursive backstepping approach is employed to synthesize the global control input
. Theoretical analysis demonstrates that the closed-loop system’s stability can be rigorously proven through the negative definiteness of the stochastic Lyapunov function
, ensuring probabilistic convergence of system states to the equilibrium point within a finite time. The proposed method effectively addresses uncertainties arising from time-varying control coefficients and stochastic disturbances, providing a systematic solution for finite-time stabilization of stochastic nonholonomic systems.
1. 引言
本文研究一类具有未知控制系数的随机非完整系统的有限时间镇定问题，其系统模型如下：
(1)
其中
是系统状态；
并且
是控制输入；
，
，
，
，
，
且
为Borel可测连续函数；
，
，是未知的控制系数；
和
是随机变量并且
是一个定义在概率空间
上的
维标准维纳过程。
非完整系统的本质在于不可积分的速度相关约束，这类约束无法通过坐标变换消除，需在动力学中独立处理，从而形成独特的非完整力学体系。典型例子包括轮式移动机器人、滚动刚体等，其运动自由度受限于速度方向而非几何位置。为描述上述等典型机械例子，非完整系统的控制问题受到了全球研究者的广泛关注，由于Brockett必要条件[1]的限制，这类非线性系统无法通过静态连续状态反馈实现镇定[2]。为克服这一难题，研究者们提出了多种创新方法，主要包括：不连续时不变镇定[3] [4]、光滑时变镇定[5]。在这些有效方法的推动下，非完整系统的鲁棒性问题得到了深入研究，并取得了一系列重要成果。
2. 预备知识
定义1 考虑如下
维随机非线性系统：
(2)
其中，
，
是Borel可测函数，
在
上连续，且满足
。设
表示所有定义在
上的非负函数
构成的族，这些函数关于
二次连续可微。对于每个
，定义与系统(1)相关联的微分算子
如下：
(3)
定义2 [6]对于系统(2)，如果存在一个李雅普诺夫函数
，
函数
，正实数
和
，对于所有
和
，会有
(4)
(5)
那么，系统(2)的平凡解是有限时间吸引且依概率稳定的。
为了设计系统(1)的有限时间控制，我们给出以下假设：
假设1 对于
，存在已知正常数
使得
(6)
假设2 存在一个已知的非负光滑函数
和一个已知的正常数
使得
(7)
假设3 对于
，存在已知非负光滑函数
，和一个已知常数
，使得
(8)
(9)
其中，
是常数且
。
引理1 [7] 
，
在定义域内具有二阶连续导数，其中
且
。此外，
且
。
引理2 [8]对于任意正实数
和任意实值函数
，有
引理3 [9]如果
为实数且
，则对于任何
，都有
3. 有限时间控制器设计
接下来，本文在
的前提下，分两部分设计控制输入
。
3.1. 控制器u0的设计
对于
-系统，我们选取李雅普诺夫函数
。通过(5)，我们有
(10)
选取控制器
(11)
其中
和
已经在假设1-2被定义过，
是个正常数。从而有
(12)
3.2. 控制器u的设计
3.2.1. 系统坐标变换
非完整系统因Brockett定理限制，无法通过连续静态反馈镇定。通过坐标变换，可将系统转换为满足反推法的形式，绕过Brockett条件的约束。因此，针对控制系数的不确定性，我们对系统(1)进行如下坐标变换：
(13)
然后，系统(1)转变为
(14)
其中
(15)
和
(16)
引理4 如果假设2成立，对于
，存在非负光滑函数
使得
(17)
3.2.2. 控制器u的设计步骤
我们选择反步法对控制器u进行设计，具体步骤如下：
步骤一：
令
和设置
，就能得到(i) 
；(ii)
。那么我们构造李雅普诺夫函数[10]
(18)
其中
。通过(15)，我们可以得到
(19)
那么，选取
虚拟控制器
(20)
我们得到
(21)
归纳步骤：
假设第
步，存在
和一组虚拟控制器
满足[10]
(22)
其中
为光滑函数，使得
(23)
接下来，我们构造第
个李雅普诺夫函数
(24)
其中
(25)
我们能够得到
(26)
其中，
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
是
且我们选择虚拟控制器
其中
，使得
(35)
通过上述分析，我们可以得到，在第n步时，存在一个状态反馈控制器
，使得
(36)
其中
(37)
因为
，我们得到
(38)
然后，令
，我们有
(39)
对期望值应用伊藤公式，可得
(40)
利用詹森不等式，进一步得到
(41)
解得
(42)
右侧为0时，得到收敛时间期望上界
(43)
4. 结论
针对具有未知项的随机非完整系统，分两部分分别设计有限时间控制器，本文运用坐标变换和反步法，通过构造李雅普诺夫函数，使得闭环系统(1)能够在有限时间内趋于稳定。本文扩展了Brockett定理的适用范围，为随机非完整系统提供了新的分析工具。