欧氏空间子流形的一个微分球面定理

A Differentiable Sphere Theorem for Submanifolds in Euclidean Space

摘要: 球面定理是整体微分几何领域的重要问题。设M为欧氏空间中的紧致子流形，如果M的里奇曲率与平均曲率满足特定的拼挤条件，本文推导出子流形M的曲率张量满足里奇流收敛定理的条件，于是M的度量在正规化里奇流下会收敛到一个常曲率度量。由此可得M微分同胚于球面空间形式。如果M还是单连通的，则M微分同胚于标准球面。

Abstract: Sphere theorems are important problems in global Differential geometry. Let M be a compact submanifold in Euclidean space. If the Ricci curvature and mean curvature of M satisfy a certain pinching condition, it can be deduced that the curvature tensor of submanifold M satisfies the condition of the convergence theorem of Ricci flow. Thus, the metric of M will converge to a metric of constant curvature. Hence M is diffeomorphic to a spherical space form. In addition, if M is simply connected, then M is diffeomorphic to the standard sphere.

1. 引言

研究流形上的曲率与拓扑是整体微分几何的核心课题之一。1982年，R. Hamilton [1]引入了里奇流这一重要工具，证明了具有正里奇曲率的3维紧致黎曼流形微分同胚于球面空间形式。利用里奇流，S. Brendle和R. Schoen [2] [3]证明了著名的1/4微分球面定理。

2009年，H. W. Xu和E. T. Zhao [4]首次运用里奇流的收敛性[5]及稳定流的不存在性证明了球面中子流形的微分球面定理。H. W. Xu和L. Tian [6]证明了里奇曲率条件下子流形的一个微分球面定理。在文献[7]中，Xu-Gu证明了子流形在里奇曲率条件下的拓扑球面定理和微分球面定理。

本文研究了欧氏空间中子流形的微分球面定理，证明了

主要定理 设M是${ℝ}^{n+p}$ 中的$n\left(\ge 4\right)$ 维紧致子流形。如果M的里奇曲率满足

$Ri{c}_M>\frac{n\left(3n^2-15n+20\right)}{3n^2-12n+16}{H}^2,$

那么M的度量在正规化里奇流的演化下会收敛到一个常曲率度量。所以M微分同胚于球面空间形式。如果M还是单连通的，则M微分同胚于标准球面。

2. 预备知识和符号

设M是欧氏空间${ℝ}^{n+p}$ 中的n维黎曼子流形。记$\overline{\nabla }$ 和$\nabla$ 分别为${ℝ}^{n+p}$ 和M上的Levi-Civita联络。子流形M的第二基本形式h定义为

$h\left(X,Y\right)={\overline{\nabla }}_{X}Y-{\nabla }_{X}Y.$

设$\left\{e_i\right\}$ 是切丛TM上的局部单位正交标架场。令$h_{ij}=h\left(e_i,e_j\right)$ 。平均曲率向量的定义为$\overrightarrow{H}=\frac{1}{n}\mathrm{tr}h=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{h}_{ii}}$ 。平均曲率为$H=\left|\overrightarrow{H}\right|$ 。

设$R$ 为M的曲率张量。我们有下述高斯方程：

$R_{ijkl}=\langle h_{ik},h_{jl}\rangle -\langle h_{il},h_{jk}\rangle .$ (2.1)

记UM为M的单位切丛，设$u\in U_{x}M$ 是M上点x处的单位切向量，记$Ric\left(u\right)$ 为M的u方向的里奇曲率，则

$Ric\left(u\right)={\displaystyle \sum _{j}R}\left(u,e_j,u,e_j\right).$ (2.2)

由高斯方程可得

$Ric\left(e_i\right)=n\langle \overrightarrow{H},h_{ii}\rangle -{\displaystyle \sum _j{\left|h_{ij}\right|}^2}.$ (2.3)

记$h^{°}=h-\xi \otimes g$ 为无迹第二基本形式，则有$h_{ii}^{°}=h_{ii}-\overrightarrow{H}$ ,以及当$i\ne j$ 时有$h_{ij}^{°}=h_{ij}$ 。从而${\displaystyle \sum _{i=1}^n{h}_{ii}^{°}}=0$ 。

然后(2.3)式可化为

$Ric\left(e_i\right)=\left(n-1\right)H^2+\left(n-2\right)\langle \overrightarrow{H},h_{ii}^{°}\rangle -{\displaystyle \sum _j{\left|h_{ij}^{°}\right|}^2}.$ (2.4)

令$Ri{c}_{\min }=\underset{u\in U_{x}M}{\min }Ric\left(u\right)$ 。由上式可得

$Ri{c}_{\min }\le \left(n-1\right)H^2+\left(n-2\right)\langle \overrightarrow{H},h_{ii}^{°}\rangle -{\displaystyle \sum _j{\left|h_{ij}^{°}\right|}^2}.$ (2.5)

根据高斯方程，当$i\ne j$ 时，M在$e_i\wedge e_j$ 上的截面曲率为

$\begin{array}{c}{R}_{ijij}=\langle h_{ii},h_{jj}\rangle -{\left|h_{ij}\right|}^2\\ =H^2+\langle \overrightarrow{H},h_{ii}^{°}+h_{jj}^{°}\rangle +\langle h_{ii}^{°},h_{jj}^{°}\rangle -{\left|h_{ij}^{°}\right|}^2\\ \ge H^2+\langle \overrightarrow{H},h_{ii}^{°}+h_{jj}^{°}\rangle -\left|h_{ii}^{°}\right|\left|h_{jj}^{°}\right|-{\left|h_{ij}^{°}\right|}^2.\end{array}$ (2.6)

然后，我们有

$\begin{array}{c}\left|R_{1234}\right|=\left|\langle h_{13}^{°},h_{24}^{°}\rangle -\langle h_{14}^{°},h_{23}^{°}\rangle \right|\\ \le \frac{1}{2}\left({\left|h_{13}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2+{\left|h_{14}^{°}\right|}^2+{\left|h_{23}^{°}\right|}^2\right).\end{array}$ (2.7)

我们需要下述里奇流的收敛定理。

定理2 [7] 设$\left(M,g_0\right)$ 为$n\left(\ge 4\right)$ 维的紧致黎曼流形。如果

$R_{1313}+{\lambda }^2{R}_{1414}+R_{2323}+{\lambda }^2{R}_{2424}-2\lambda R_{1234}>0$

对所有的正交4标架$\left\{e_1,e_2,e_3,e_4\right\}$ 和所有的$\lambda \in \left[-1,1\right]$ 都成立。那么以$g_0$ 为初值的正规化里奇流的解一直存在并且当$t\to \infty$ 时收敛到一个常曲率度量。

3. 主要结果的证明

我们先证明关于M的曲率张量R的几个不等式。

由(2.6)式与(2.7)式可得

$\begin{array}{c}{R}_{1313}+R_{2323}-\left|R_{1234}\right|\\ \ge H^2+\langle \overrightarrow{H},h_{11}^{°}+h_{33}^{°}\rangle -\left|h_{11}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|-{\left|h_{13}^{°}\right|}^2\\ +H^2+\langle \overrightarrow{H},h_{22}^{°}+h_{33}^{°}\rangle -\left|h_{22}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|-{\left|h_{23}^{°}\right|}^2\\ -\frac{1}{2}\left({\left|h_{13}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2+{\left|h_{14}^{°}\right|}^2+{\left|h_{23}^{°}\right|}^2\right)\\ =2H^2+\langle \overrightarrow{H},h_{11}^{°}+h_{22}^{°}+2h_{33}^{°}\rangle \\ -\left|h_{11}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|-\left|h_{22}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|-\frac{3}{2}{\left|h_{13}^{°}\right|}^2-\frac{3}{2}{\left|h_{23}^{°}\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|h_{14}^{°}\right|}^2-\frac{1}{2}{\left|h_{24}^{°}\right|}^2.\end{array}$ (3.1)

由(2.5)式可得

$\langle \overrightarrow{H},h_{ii}^{°}\rangle \ge \frac{1}{n-2}\left[Ri{c}_{\min }-\left(n-1\right)H^2+{\displaystyle \sum _j{\left|h_{ij}^{°}\right|}^2}\right].$

令

$T=Ri{c}_{\min }-\left(n-1\right)H^2.$

然后，我们有

$\langle \overrightarrow{H},h_{11}^{°}\rangle \ge \frac{1}{n-2}\left(T+{\left|h_{11}^{°}\right|}^2+{\left|h_{13}^{°}\right|}^2+{\left|h_{14}^{°}\right|}^2\right),$

$\langle \overrightarrow{H},h_{22}^{°}\rangle \ge \frac{1}{n-2}\left(T+{\left|h_{22}^{°}\right|}^2+{\left|h_{23}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2\right),$

$\langle \overrightarrow{H},h_{33}^{°}\rangle \ge \frac{1}{n-2}\left(T+{\left|h_{13}^{°}\right|}^2+{\left|h_{23}^{°}\right|}^2+{\left|h_{33}^{°}\right|}^2\right),$

及

${\displaystyle \sum _{i=4}^n\langle \overrightarrow{H},h_{ii}^{°}\rangle }\ge \frac{1}{n-2}\left[\left(n-3\right)T+{\left|h_{14}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2\right].$

于是，我们有

$\begin{array}{c}\langle \overrightarrow{H},h_{11}^{°}+h_{22}^{°}+2h_{33}^{°}\rangle \\ =\langle \overrightarrow{H},\left(\frac{3n}{4}-2\right)\left(h_{11}^{°}+h_{22}^{°}\right)+\left(\frac{3n}{4}-1\right)h_{33}^{°}+\left(\frac{3n}{4}-3\right){\displaystyle \sum _{i=4}^n{h}_{ii}^{°}}\rangle \\ \ge \frac{1}{n-2}\cdot \\ [\left(\frac{3n}{4}-2\right)\left(T+{\left|h_{11}^{°}\right|}^2+{\left|h_{13}^{°}\right|}^2+{\left|h_{14}^{°}\right|}^2\right)+\left(\frac{3n}{4}-2\right)\left(T+{\left|h_{22}^{°}\right|}^2+{\left|h_{23}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2\right)\\ +\left(\frac{3n}{4}-1\right)\left(T+{\left|h_{13}^{°}\right|}^2+{\left|h_{23}^{°}\right|}^2+{\left|h_{33}^{°}\right|}^2\right)+\frac{3}{4}\left(n-4\right)\left(\left(n-3\right)T+{\left|h_{14}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2\right)]\\ \ge \frac{1}{n-2}\times [\left(\frac{3n^2}{4}-3n+4\right)T+\left(\frac{3n}{4}-2\right)\left({\left|h_{11}^{°}\right|}^2+{\left|h_{22}^{°}\right|}^2\right)+\left(\frac{3n}{4}-1\right){\left|h_{33}^{°}\right|}^2\\ +\frac{3\left(n-2\right)}{2}\left({\left|h_{13}^{°}\right|}^2+{\left|h_{23}^{°}\right|}^2\right)+\frac{1}{2}\left(3n-10\right)\left({\left|h_{14}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2\right)].\end{array}$ (3.2)

结合(3.1)式与(3.2)式，我们得到

$\begin{array}{c}{R}_{1313}+R_{2323}-\left|R_{1234}\right|\\ \ge 2H^2+\frac{3n^2-12n+16}{4\left(n-2\right)}T+\frac{3n-8}{4\left(n-2\right)}\left({\left|h_{11}^{°}\right|}^2+{\left|h_{22}^{°}\right|}^2\right)\\ +\frac{3n-4}{4\left(n-2\right)}{\left|h_{33}^{°}\right|}^2+\frac{n-4}{n-2}\left({\left|h_{14}^{°}\right|}^2+{\left|h_{24}^{°}\right|}^2\right)\\ -\left|h_{11}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|-\left|h_{22}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|.\end{array}$ (3.3)

因为

$\begin{array}{l}\frac{3n-8}{4\left(n-2\right)}{\left|h_{11}^{°}\right|}^2+\frac{3n-4}{8\left(n-2\right)}{\left|h_{33}^{°}\right|}^2\ge \left|h_{11}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|,\\ \frac{3n-8}{4\left(n-2\right)}{\left|h_{22}^{°}\right|}^2+\frac{3n-4}{8\left(n-2\right)}{\left|h_{33}^{°}\right|}^2\ge \left|h_{22}^{°}\right|\left|h_{33}^{°}\right|.\end{array}$ (3.4)

将(3.2)、(3.3)与(3.4)式代入(3.1)式可得

$\begin{array}{c}{R}_{1313}+R_{2323}-\left|R_{1234}\right|\\ \ge 2H^2+\frac{3n^2-12n+16}{4\left(n-2\right)}\left[Ri{c}_{\min }-\left(n-1\right)H^2\right].\end{array}$ (3.5)

现在我们完成主要定理的证明。

主要定理的证明 由定理的条件可得

$\begin{array}{c}Ri{c}_{\min }-\left(n-1\right)H^2\\ >\frac{n\left(3n^2-15n+20\right)}{3n^2-12n+16}{H}^2-\left(n-1\right)H^2\\ =-\frac{8\left(n-2\right)}{3n^2-12n+16}{H}^2.\end{array}$ (3.6)

结合(3.5)与(3.6)式，得到

$R_{1313}+R_{2323}-\left|R_{1234}\right|>0.$

同理可得

$R_{1414}+R_{2424}-\left|R_{1234}\right|>0.$

然后，我们有

$\begin{array}{l}{R}_{1313}+{\lambda }^2{R}_{1414}+R_{2323}+{\lambda }^2{R}_{2424}-2\lambda R_{1234}\\ \ge \left(R_{1313}+R_{2323}-\left|R_{1234}\right|\right)+{\lambda }^2\left(R_{1414}+R_{2424}-\left|R_{1234}\right|\right)>0.\end{array}$

根据定理2，M的度量在正规化里奇流的演化下会收敛到一个常曲率度量。所以M微分同胚于一个球面空间形式。如果M还是单连通的，那么M微分同胚于标准球面。

证毕。

由此我们将文献[6]中的相关结论，以及相关的条件进一步进行了扩充，使在此条件下的子流形M是微分同胚于球面空间形式，并且同时我们也完成了证明。