分数阶非线性薛定谔系统规范解的存在性

Existence of Normalized Solution for Fractional Nonlinear Schrödinger Systems

摘要: 本文主要研究了一类分数阶非线性薛定谔系统 在$H^s\left(R^N\right)\times H^s\left(R^N\right)$ 中的规范解的存在性，且解满足${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^2\text{d}x}=a_1,{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_2\right|}^2\text{d}x}=a_2.$ 其中规定$s\in \left(0,1\right),a_1,a_2>0,{\lambda }_1,{\lambda }_2\in R$ 是以拉格朗日乘子出现的未知参数，$h_i:R^N\to \left[0,\infty \right)$ 为有界连续函数。考虑$f_i={\left|u_i\right|}^{p_i-2}{u}_i,i=1,2$ 且$F\left(u_1,u_2\right)=\omega {\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_2}$ ，$\omega ,r_1,r_2$ 是正的常数。

Abstract: This article mainly studies a class of fractional nonlinear Schrödinger coupled systems with the existence of the normalized solution in $H^s\left(R^N\right)\times H^s\left(R^N\right)$ , and the solution satisfies${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^2\text{d}x}=a_1,{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_2\right|}^2\text{d}x}=a_2.$ Among them, it is specified that $s\in \left(0,1\right),a_1,a_2>0,{\lambda }_1,{\lambda }_2\in R$ is a Lagrange multiplier; $h_i:R^N\to \left[0,\infty \right)$ is a bounded continuous function. Consider $f_i={\left|u_i\right|}^{p_i-2}{u}_i,i=1,2$ and $F\left(u_1,u_2\right)=\omega {\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_2}$ , where $\omega ,r_1,r_2$ are positive constant.

1. 引言

研究方程(1.1)

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s{u}_1={\lambda }_1{u}_1+h_1\left(x\right)f_1\left(u_1\right)+{\partial }_{1}F\left(u_1,u_2\right),\\ {\left(-\Delta \right)}^s{u}_2={\lambda }_2{u}_2+h_2\left(x\right)f_2\left(u_2\right)+{\partial }_{2}F\left(u_1,u_2\right),\end{array}$ (1.1)

规范解的存在性主要来自非线性薛定谔方程的耦合系统

$\{\begin{array}{l}i\frac{\partial {\phi }_1}{\partial t}={\left(-\Delta \right)}^s{\phi }_1-h_1\left(x\right)g_1\left({\left|{\phi }_1\right|}^2\right){\phi }_1-{\partial }_{1}G\left({\left|{\phi }_1\right|}^2,{\left|{\phi }_2\right|}^2\right){\phi }_1,\\ i\frac{\partial {\phi }_2}{\partial t}={\left(-\Delta \right)}^s{\phi }_2-h_2\left(x\right)g_2\left({\left|{\phi }_2\right|}^2\right){\phi }_2-{\partial }_{2}G\left({\left|{\phi }_1\right|}^2,{\left|{\phi }_2\right|}^2\right){\phi }_2,\end{array}$ (1.2)

其由于质量

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\phi }_1\right|}^2\text{d}x},{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\phi }_2\right|}^2\text{d}x}$

沿着(1.2)的轨迹保持不变，因此可以认为它是规定了的。其驻波解是具有${\phi }_i\left(x,t\right)={\text{e}}^{-i{\lambda }_{i}t}$ 。$u_i\left(x\right)$ 形式的解，它是对某${\lambda }_1,{\lambda }_2\in R$ 的，且这个假设使得有$f_i=g_i\left(\left|u_i\right|\right)u_i$ ，以及$F\left(u_1,u_2\right)=\frac{1}{2}G\left(\left|u_1\right|,\left|u_2\right|\right)$ 。

${\left(-\Delta \right)}^s$ 表示为分数阶拉普拉斯函数，其定义为

${\left(-\Delta \right)}^s{u}_j=C\left(N,s\right)P.V.{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{u_j\left(x\right)-u_j\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y,}j=1,2,$

这里的符号$P.V.$ 是柯西主值，$C\left(N,s\right)$ 是一个合适的正的正则化常数。算子${\left(-\Delta \right)}^s$ 可以看作Levy稳定扩散过程的无限小发生元[1]。它起源于描述应用科学领域的各种现象，如分数阶量子力学、势垒问题、马尔科夫问题和相变现象。近几十年来，分数阶薛定谔方程问题的研究引起了广泛关注，参见参考文献[2]-[4]。对于${\lambda }_i\in R$ ，我们可以认为它是未知的，在这种研究路线中具有特殊的意义，因为它解释了质量守恒。而分数阶耦合系统的规范解揭示了非局部相互作用下的新型波动行为，其数学形式(如幂律衰减、参数依赖)和物理效应(如反常能量转移)为调控复杂动力学提供了新工具。

到目前为止，关于方程(1.1)中的频率${\lambda }_i\in R$ ，存在两种截然不同的研究路线：一种是将方程(1.1)中的频率${\lambda }_i$ 视为一个给定的常数。另一种是将频率${\lambda }_i$ 视为一个给定的未知参数，在这种情况下，规定质量${\displaystyle {\int }_{R^N}{u}_i^2\text{d}x}=a_i$ 的值是很自然的，使得${\lambda }_i$ 以拉格朗日乘子出现，这样把$L^2$ -约束问题称为规范解问题。此时，出现一个新的临界指数，$L^2$ -临界指数(也称为质量临界指数)：$r=2+\frac{4s}{N}$ ，称$r<2+\frac{4s}{N}$ 为$L^2$ -次临界，而称$r>2+\frac{4s}{N}$ 为$L^2$ -超临界。

在局部情况下，当$s=1$ 时，分数阶拉普拉斯${\left(-\Delta \right)}^s$ 约化为局部微分算子$\left(-\Delta \right)$ 。如果$V\left(x\right)\equiv 0$ 且$u_2=0$ ，Jeanjean [5]利用山路定理来处理规范解的存在性，对于这类问题的更多结果，请参考文献[5]-[7]。

对于其他关于非线性薛定谔系统的解，亦有许多。例如，Bartsch和Jeanjean [8]证明以下一类椭圆方程的耦合系统

$\{\begin{array}{l}-\Delta u_1={\lambda }_1{u}_1+f_1\left(u_1\right)+{\partial }_{1}F\left(u_1,u_2\right),\\ -\Delta u_2={\lambda }_2{u}_2+f_2\left(u_2\right)+{\partial }_{2}F\left(u_1,u_2\right),\end{array}$ (1.3)

规范解的存在性。作者在论文中考虑了$f_i={\mu }_i{\left|u_i\right|}^{p_i-1}{u}_i$ ，$F\left(u_1,u_2\right)=\beta {\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_2}$ 的情况，其中${\mu }_i,\beta$ 是正的常数，$p_1,p_2,r_1+r_2\in \left(2,2^{*}\right)\backslash 2+\frac{4}{N}$ 。

关于$0<s<1$ 的情况，可用的结果很少。在论文[9] [10]中，作者证明了分数阶非线性薛定谔方程的一些存在性和渐进结果。而规范解的存在性意味着物理或数学模型所描述的现象在理论上有解，为进一步研究系统的行为提供了基础。例如，在量子力学中，若该系统用于描述粒子的状态，规范解的存在性表示存在特定的粒子状态分布满足所给定的分数阶薛定谔耦合关系。对于幂型组合非线性的特殊情况，即

$f\left(t\right)=\mu {\left|t\right|}^{q-2}t+{\left|t\right|}^{p-2}t$ ，并且$h\left(x\right)=1$ ，以及$V\left(x\right)\equiv 0$ ，其中$2<q<p<2_s^{*}=\frac{2N}{N-2s}$ ，Zhang [11]证明了质量次临界和质量超临界下的规范解的存在性和不存在性结果。

基于以上讨论，$h_i$ 满足以下条件：

(H₁) $h_i\in C^1\left(R^N,R\right),\underset{x\in R^N}{\max }{h}_i\left(x\right)=h_i^{\max }>\underset{x\in R}{\inf }{h}_i=h_i^0,i=1,2$ ；

(H₂) $h_i^{-1}\left\{h_i^{\max }\right\}=\left\{{\alpha }_i^1,{\alpha }_i^2,\cdots ,{\alpha }_i^l\right\}$ ，其中，${\alpha }_i^t\cap {\alpha }_i^j=\alpha$ ，即$h_i\left(\alpha \right)$ 。

为了保持思想和结果的简单性，考虑$F\left(s,t\right)=\omega {\left|s\right|}^{r_1}{\left|t\right|}^{r_2}$ ，以及非线性项$f_i={\left|u_i\right|}^{p_i-2}{u}_i$ 。由于$h_i$ 为有界连续函数，可假设存在${\mu }_1,{\mu }_2>0$ ，使得

${\mu }_1<h_1,h_2<{\mu }_2,$

即${\mu }_1=\max \left\{h_1^0,h_2^0\right\},{\mu }_2=\min \left\{h_1\left(\alpha \right),h_2\left(\alpha \right)\right\}$ 。

因此寻找耦合系统

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s{u}_1={\lambda }_1{u}_1+{\mu }_1{\left|u_1\right|}^{p_1-2}{u}_1+r_1\omega {\left|u_1\right|}^{r_1-2}{\left|u_2\right|}^{r_2}{u}_1,\\ {\left(-\Delta \right)}^s{u}_2={\lambda }_2{u}_2+{\mu }_2{\left|u_2\right|}^{p_2-2}{u}_2+r_2\omega {\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_2-2}{u}_2,\\ {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^2\text{d}x}=a_1,{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_2\right|}^2\text{d}x}=a_2,\end{array}$ (1.4)

正的径向解$\left(u_1,u_2\right)\in H_{rad}^s\left(R^N\right)\times H_{rad}^s\left(R^N\right)$ ，其中$\omega ,r_1,r_2>0$ ，且$2\le r_1+r_2<2+\frac{4s}{N},p_i\in \left(2,2+\frac{4s}{N}\right)$ 。(1.4)的弱解$\left(u_1,u_2\right)$ 对应于能量泛函

$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}^2+{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2\right|}^2\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{{\mu }_1}{p_1}{\left|u_1\right|}^{p_1}+}\frac{{\mu }_2}{p_2}{\left|u_2\right|}^{p_2}\text{d}x-\omega {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_1}\text{d}x}$ (1.5)

限制在球体

$S=\left\{\left(u_1,u_2\right)\in H_{rad}^s\left(R^N\right)\times H_{rad}^s\left(R^N\right)|{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^2\text{d}x}=a_1,{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_2\right|}^2\text{d}x}=a_2\right\}$ (1.6)

上的一个临界点，其中$S=S\left(a_1\right)\times S\left(a_2\right)$ 。

众所周知，$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)\in C^1\left(H^s\left(R^N\right)\times H^s\left(R^N\right),R\right)$ 且

$\begin{array}{c}{J}_{\mu }^1\left(u_1,u_2\right)\left({\phi }_1,{\phi }_2\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{\phi }_1+{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{\phi }_2}\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{R^N}{\mu }_1{\left|u_1\right|}^{p_1-2}}{u}_1{\phi }_1\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{R^N}{\mu }_2{\left|u_2\right|}^{p_2-2}}{u}_2{\phi }_2\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{R^N}{r}_1\omega {\left|u_1\right|}^{r_1-2}{\left|u_2\right|}^{r_2}}{u}_1{\phi }_1\\ +r_2\omega {\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_2-2}{u}_2{\phi }_2\text{d}x.\end{array}$

本文的主要结果如下：

定理1.1. 对$a_1,a_2>0$ 使得系统(1.4)存在弱解$\left(\left(u_1,{\lambda }_1\right),\left(u_2,{\lambda }_2\right)\right)$ ，满足${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i\right|}^2\text{d}x}=a_i$ ，${\lambda }_i<0$ ，且$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)<0,i=1,2$ 。

在整篇论文中，除非另有说明，将使用以下符号：

$•$ $C_1,C_2,C_3,\cdots$ 表示为任意正常数，其值不相关；

$•$ ${\left|\cdot \right|}_p$ 表示空间的$L^p\left(R^N\right)$ 通常范数${\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}},p\in \left[1,+\infty \right)$ 。用$H$ 表示具有通常范数$\Vert \cdot \Vert$ 的空间$H_{rad}^s\left(R^N\right)$ ；

$•$ $o_n\left(1\right)$ 表示实序列，其中当$n\to +\infty ,o_n\left(1\right)\to 0$ 。

2. 主要结果的证明

引理2.1. 以下成立：

(i) $J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 在$S$ 中有下界；

(ii) $J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 在$H\times H$ 中的每个最小化序列有界。

证明. (i) 由于$2\le r_1+r_2<2+\frac{4s}{N}$ ，存在$q>1$ 有

$\max \left\{\frac{2}{r_1},\frac{2+\frac{4s}{N}}{2+\frac{4s}{N}-r_2}\right\}\le q\le \min \left\{\frac{2+\frac{4s}{N}}{r_1},\frac{2}{{\left(2-r_2\right)}^{+}}\right\},$

这表明$2\le r_{1}q,r_2{q}^{\prime }\le 2+\frac{4s}{N}$ ，因而

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^{r_1}}{\left|u_2\right|}^{r_2}\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}_{r_{1}q}^{r_1}}{\left|u_2\right|}_{r_2{q}^1}^{r_2}\text{d}x<\infty .$

根据分数阶Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式[12]，可知当$2\le q\le 2_s^{*}$ ，存在常数$C=C\left(s,N,q\right)$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^{\alpha }\text{d}x}\le C\left(s,N,\alpha \right){\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{N\left(\alpha -2\right)}{4s}}{\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{\alpha }{2}-\frac{N\left(\alpha -2\right)}{4s}},$ (2.1)

因此

$\begin{array}{c}{J}_{\mu }\left(u_1,u_2\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}^2+{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2\right|}^2\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{{\mu }_1}{p_1}{\left|u_1\right|}^{p_1}}+\frac{{\mu }_2}{p_2}{\left|u_2\right|}^{p_2}+\omega {\left|u_1\right|}^{r_2}{\left|u_2\right|}^{r_2}\text{d}x\\ \ge \frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}^2+{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2\right|}^2\text{d}x}-C\left(N,a_1,p_1\right){\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{N\left(p_1-2\right)}{4s}}\\ -C\left(N,a_1,p_2\right){\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{N\left(p_2-2\right)}{4s}}\\ -C\left(N,q\right){\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{N\left(r_{1}q-2\right)}{4sq}}{\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{N\left(r_2{q}^1-2\right)}{4s{q}^1}}.\end{array}$ (2.2)

由于$p_i\in \left(2,2+\frac{4s}{N}\right),i=1,2$ ，显然$0<\frac{N\left(p_i-2\right)}{4s}<1$ ，又$2\le r_1+r_2<2+\frac{4s}{N}$ ，因此 $\frac{N\left(r_{1}q-2\right)}{4sq}+\frac{N\left(r_2{q}^{\prime }-2\right)}{4s{q}^{\prime }}<1$ ，这保证了$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 有下界且强制于$S$ 。

(ii) 由于$\left(u_1,u_2\right)\in S$ ，从(2.2)可以直接得到结论。

根据引理2.1可知

$m\left(a_1,a_2\right)=\underset{u\in S}{\inf }{J}_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$

存在。

设能量泛函$I_{\mu }:H^s\left(R^N\right)\to R$ 定义为：

$I_{\mu }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}u\right|}^2\text{d}x}-\frac{\mu }{p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^p}\text{d}x.$

类似地，可证明$I_{\mu }\left(u\right)$ 在$S\left(a\right)$ 中有下界，因此记$m_p^{\mu }\left(a\right)=\underset{u\in S}{\inf }{I}_{\mu }\left(u\right)$ 。

引理2.2. 对任意的$\mu ,a>0$ ，有$m_p^{\mu }\left(a\right)=\underset{u\in S\left(a\right)}{\inf }{I}_{\mu }\left(u\right)<0$ 。

证明. 设$u_0\in S\left(a\right),\tau \in R$ ，定义

$\left(\tau *u_0\right)={\text{e}}^{\frac{N\tau }{2}}{u}_0\left({\text{e}}^{\tau }x\right),x\in R^N.$

那么$\left(\tau *u_0\right)\in S\left(a\right)$ ，因此

$I_{\mu }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}\tau *u_0\right|}^2}\text{d}x-\frac{\mu }{p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\tau *u\right|}^p}\text{d}x=\frac{{\text{e}}^{2s\tau }}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_0\right|}^2}\text{d}x-\frac{\mu {\text{e}}^{\left(p-2\right)N\tau }}{p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_0\right|}^p}\text{d}x.$

由于$p\in \left(2,2+\frac{4s}{N}\right)$ ，所以存在$\tau <0$ ，使得

$=\frac{{\text{e}}^{2s\tau }}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_0\right|}^2}\text{d}x-\frac{\mu {\text{e}}^{\left(p-2\right)N\tau }}{p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_0\right|}^p}\text{d}x<0,$

因此

$m_p^{\mu }\left(a\right)=\underset{u\in S\left(a\right)}{\inf }{I}_{\mu }\left(u\right)<0.$ (2.3)

□

引理2.3. 如果$\mu >0$ ，那么对任意的$a>0$ ，存在$s_0\in \left(0,1\right)$ ，对每一个$s\in \left(s_0,1\right)$ ，方程

${\left(-\Delta \right)}^{s}u=\lambda u+\mu {\left|u\right|}^{p-2}u$

存在解$\left({\lambda }_a,u_a\right)\in R^{-}\times H^s\left(R^N\right)$ ，且满足$u_a>0,{\left|u\right|}_2^2=a,I_{\mu }\left(u_a\right)=m_p^{\mu }\left(u_a\right)$ 。

证明. 据[13]可知，存在$s_0\in \left(0,1\right)$ ，对每一个$s\in \left(s_0,1\right)$ ，方程

${\left(-\Delta \right)}^{s}u=\lambda u+\mu {\left|u\right|}^{p-2}u$

存在唯一正的、径向的最小能量解$\omega \left(x\right)$ 。

对任意的$\lambda <0$ ，设$u_{\lambda }\left(x\right)={\lambda }^{\frac{1}{p-2}}\omega \left({\lambda }^{\frac{1}{2s}}x\right)$ ，则

$\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s\left(u_{\lambda }\left(x\right)\right)+\lambda u_{\lambda }\left(x\right)-\mu {\left|u_{\lambda }\left(x\right)\right|}^{p-2}{u}_{\lambda }\left(x\right)\\ ={\lambda }^{1+\frac{1}{p-2}}\left[{\left(-\Delta \right)}^s\omega \left({\left(-\lambda \right)}^{\frac{1}{2s}}x\right)-\mu {\left|\omega \left({\left(-\lambda \right)}^{\frac{1}{2s}}x\right)\right|}^{p-2}\omega \left({\left(-\lambda \right)}^{\frac{1}{2s}}x\right)\right]=0.\end{array}$

由此可知，$u_{\lambda }\left(x\right)$ 是方程

${\left(-\Delta \right)}^{s}u=\lambda u+\mu {\left|u\right|}^{p-2}u$

唯一正的、径向的最小能量解。

令${\left|u_{\lambda }\left(x\right)\right|}_2^2=a$ ，则${\lambda }^{\frac{4s-N\left(p-2\right)}{2s\left(p-2\right)}}{\left|\omega \right|}_2^2=a$ ，因此取${\lambda }_a={\left(\frac{a}{{\left|\omega \right|}_2^2}\right)}^{\frac{2s\left(p-2\right)}{4s-N\left(p-2\right)}}$ ，推出$u_{{\lambda }_a}\left(x\right)\in H^s\left(R^N\right)$ 是方程

${\left(-\Delta \right)}^{s}u={\lambda }_{a}u+\mu {\left|u\right|}^{p-2}u$

唯一正的、径向的最小能量解，且${\left|u_{{\lambda }_a}\left(x\right)\right|}_2^2=a$ 。即$u_{{\lambda }_a}\left(x\right)$ 是能量泛函

$I_{\mu }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}u\right|}^2}\text{d}x-\frac{\mu }{p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^p}\text{d}x.$

限制在$L^2$ -球$S\left(a\right)$ 上的最小能量解，其中${\lambda }_a$ 以拉格朗日乘子的形式出现。 □

引理 2.4。对任意的${\mu }_1,{\mu }_2,\mu ,a_1,a_2,a>0$ ，有

(i) 映射$a\to m_p^{\mu }\left(a\right)$ 是严格单调递减的；

(ii) $m\left(a_1,a_2\right)\le m_{p_1}^{{\mu }_1}\left(a_1\right)+m_{p_2}^{{\mu }_2}\left(a_2\right)<0$ 。

证明. 对$\epsilon >0$ ，存在$u\in S\left(b_1\right)\cap C_o^{\infty }\left(R^N\right)$ 且$v\in S\left(b_2-b_1\right)\cap C_o^{\infty }\left(R^N\right)$ ，使得 $I_{\mu }\left(u\right)\le m_{\mu }^{b_1}+\epsilon ,I_{\mu }\left(v\right)\le m_{\mu }^{b_2-b_1}+\epsilon .$

由于$u$ 和$v$ 有紧支集，通过平行平移，可以取得$R$ 足够大满足

$\tilde{v}\left(x\right)\le v\left(x-R\right),\text{supp}\left(u\right)\cap \text{supp}\left(v\right)=\varnothing .$

则$u+\tilde{v}\in S\left(b_2\right)$ ，因此

$m_{\mu }^{b_2-b_1}\le I_{\mu }\left(u+\tilde{v}\right)\le I_{\mu }\left(u\right)+I_{\mu }\left(\tilde{v}\right)+\epsilon \le m_{\mu }^{b_1}+m_{\mu }^{b_2}+3\epsilon .$

由于$\epsilon$ 的任意性，对任意$b_2>b_1>0$ ，可得$m_{\mu }^{b_1}>m_{\mu }^{b_2}$ 。即映射$a\to m_p^{\mu }\left(a\right)$ 是严格单调递减的。

(i) 证明完成。

(ii) 由于$\omega >0$ ，显然有

$m\left(a_1,a_2\right)\le m_{p_1}^{{\mu }_1}\left(a_1\right)+m_{p_2}^{{\mu }_2}\left(a_2\right)<0.$ (2.4)

引理2.5. 设$\left\{\left(u_1^n,u_2^n\right)\right\}\in S$ 是关于$m\left(a_1,a_2\right)$ 的最小化$\left(PS\right)$ 序列，则存在$\left(u_1,u_2\right)\in E$ ，$\left({\lambda }_1,{\lambda }_2\right)\in R\times R$ ，以及序列$\left\{\left({\lambda }_1^n,{\lambda }_2^n\right)\right\}\subset R\times R$ ，使得子列有：

(a) 在$H\times H$ 以及$L^2\left(R^N\right)\times L^2\left(R^N\right)$ 中，$\left(u_1^n,u_2^n\right)\stackrel{弱}{\to }\left(u_1,u_2\right)$ ；对任意$q\in \left(2,2^{*}\right)$ ，在$L^q\left(R^N\right)$ 中，$\left(u_1^n,u_2^n\right)\to \left(u_1,u_2\right)$ 。

(b) 在$R\times R$ 中，$\left({\lambda }_1^n,{\lambda }_2^n\right)\to \left({\lambda }_1,{\lambda }_2\right)$ 。

(c) 在$E^{*}$ 中，$J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right)-{\lambda }_1^n\left(u_1^n,0\right)-{\lambda }_2^n\left(0,u_2^n\right)\to 0$ 。

(d) $\left(u_1,u_2\right)$ 是系统(1.4)的解，其中$\left({\lambda }_1,{\lambda }_2\right)$ 由(b)给定。如果${\lambda }_1<0$ ，那么在$H$ 中，$u_1^n\to u_1$ ；类似地，如果${\lambda }_2<0$ ，那么在$H$ 中，$u_2^n\to u_2$ 。

证明. (a)可在[14]中找到。若$\left\{\left(u_1^n,u_2^n\right)\right\}\in S$ 是关于$m\left(a_1,a_2\right)$ 的最小化序列，即当$n\to \infty$ 时

$J_{\mu }\left(u_1^n,u_2^n\right)\to m\left(a_1,a_2\right).$

由前面引理2.1，$\left\{\left(u_1^n,u_2^n\right)\right\}\in S$ 是有界的，根据Berestyski和Lions [14]，可知在$E^{*}$ 中

${\left|J\right|}_s^1\left(u_1^n,u_2^n\right)\to 0,$

等价于在$E^{*}$ 中有

$J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right)-\frac{1}{{\left|u_1\right|}_2^2}\langle J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right),\left(u_1^n,0\right)\rangle \left(u_1^n,0\right)-\frac{1}{{\left|u_2\right|}_2^2}\langle J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right),\left(0,u_2^n\right)\rangle \left(0,u_2^n\right)\to 0.$

因此在$E^{*}$ 中有

$J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right)-{\lambda }_1^n\left(u_1^n,0\right)-{\lambda }_2^n\left(0,u_2^n\right)\to 0,$

以及

${\lambda }_1^n=\frac{1}{{\left|u_1^n\right|}_2^2}\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1^n\right|}^2}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{R^N}{\mu }_1{\left|u_1^n\right|}^{p_1}}+\omega {\left|u_1^n\right|}^{r_2}{\left|u_2^n\right|}^{r_2}\text{d}x\right),$ (2.5)

${\lambda }_2^n=\frac{1}{{\left|u_2^n\right|}_2^2}\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2^n\right|}^2}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{R^N}{\mu }_2{\left|u_2^n\right|}^{p_2}}+\omega {\left|u_1^n\right|}^{r_2}{\left|u_2^n\right|}^{r_2}\text{d}x\right),$ (2.6)

这证明了(c)。

对于(b)的证明，即要证明$\left\{\left({\lambda }_1^n,{\lambda }_2^n\right)\right\}\subset R\times R$ 是有界的，则通过引理2.1可知$\left\{\left(u_1^n,u_2^n\right)\right\}\subset E$ 是有界的，即可证明(b)。因此$\left(u_1,u_2\right)$ 是系统(1.4)的解，其中$\left({\lambda }_1,{\lambda }_2\right)$ 由(b)给定。由于

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1^n\right|}^{p_1}}\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^{p_1}}\text{d}x,{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_{\text{2}}^n\right|}^{r_1}{\left|u_2^n\right|}^{r_2}}\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_2}}\text{d}x,$

以及

$\langle J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right)-{\lambda }_1^n\left(u_1^n,0\right),\left(u_1^n,0\right)\rangle -\langle J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right)-{\lambda }_1\left(u_1,0\right),\left(u_1,0\right)\rangle =0$

这一事实，可得

${\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1^n\right|}_2^2-{\lambda }_1^n{\left|u_1^n\right|}_2^2\to {\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}_2^2-{\lambda }_1^n{\left|u_1\right|}_2^2,$ (2.7)

从而在$H$ 中有$u_i^n\stackrel{弱}{\to }{u}_i$ ，因此

${\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}_2^2\le \lim \inf {\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1^n\right|}_2^2,{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2\right|}_2^2\le \lim \inf {\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2^n\right|}_2^2,$

又因为${\lambda }_1^n\to {\lambda }_1$ ，从(2.7)得到

${\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1^n\right|}_2^2\to {\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}_2^2,{\left|u_1^n\right|}_2^2\to {\left|u_1\right|}_2^2.$

因此，在$E$ 中，$\left(u_1^n,u_2^n\right)\to \left(u_1,u_2\right)$ ，其中${\left(\Vert u_1\Vert +\Vert u_2\Vert \right)}^{\frac{1}{2}}$ 表示$E$ 的通常范数。根据Brezis-Lieb引理[15]有

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^n\right|}^{p_i}}\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^n-u_i\right|}^{p_1}}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i\right|}^{p_i}}\text{d}x+o_n\left(1\right),$ (2.8)

又由于

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^n-u_i\right|}^{p_1}}\text{d}x\le {\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^n-u_i\right|}^2}\text{d}x\right)}^{\frac{p_i}{2}-\frac{N\left(p_i-2\right)}{4s}}.$

因此得到${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^n-u_i\right|}^{p_i}\text{d}x}\to 0$ ，从而由(2.8)有

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^n\right|}^{p_i}}\text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i\right|}^{p_i}}\text{d}x.$

结合$m\left(a_1,a_2\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{J}_{\mu }\left(u_1^n,u_2^n\right)$ 有

$\begin{array}{l}m\left(a_1,a_2\right)\\ =\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1^n\right|}^2+{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2^n\right|}^2}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{{\mu }_1}{p_1}{\left|u_1^n\right|}^{p_1}}+\frac{{\mu }_2}{p_2}{\left|u_2^n\right|}^{p_2}+\omega {\left|u_1^n\right|}^{r_2}{\left|u_2^n\right|}^{r_2}\text{d}x\\ =\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}^2+{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_2\right|}^2}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{R^N}\frac{{\mu }_1}{p_1}{\left|u_1\right|}^{p_1}}+\frac{{\mu }_2}{p_2}{\left|u_2\right|}^{p_2}+\omega {\left|u_1\right|}^{r_2}{\left|u_2\right|}^{r_2}\text{d}x\\ =J_{\mu }\left(u_1,u_2\right),\end{array}$

由于$\left(u_1,u_2\right)\in S$ ，可得$m\left(a_1,a_2\right)=J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 。

因此存在$\left|y_n\right|\to \infty$ ，那么考虑${\tilde{u}}_i^n\left(x\right)=u_i\left(x+y_n\right)$ ，显然$\left\{\left({\tilde{u}}_1^n,{\tilde{u}}_2^n\right)\right\}\subset S$ ，它也是$m\left(a_1,a_2\right)$ 的最小化序列。而且存在${\tilde{u}}_i\in H$ ，使得在$E$ 中，$\left({\tilde{u}}_1^n,{\tilde{u}}_2^n\right)\stackrel{弱}{\to }\left({\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2\right)$ ；在$R^N\times R^N$ 上，$\left({\tilde{u}}_1^n,{\tilde{u}}_2^n\right)\to \left({\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2\right)$ 几乎处处成立，由前面证明，可知在$E$ 中，$\left({\tilde{u}}_1^n,{\tilde{u}}_2^n\right)\to \left({\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2\right)$ 。

引理2.6. (i) 设当$N\ge 3$ 时，$p\in \left(1,1+\frac{N}{N-2}\right)$ ；当$N=1,2$ 时，$p\in \left(1,+\infty \right)$ 。如果$u\in H^s\left(R^N\right)$ 是光滑函数且满足${\left(-\Delta \right)}^{s}u\ge 0$ ，那么$u\equiv 0$ 。

(ii) 设$p\in \left(1,1+\frac{N}{N-2}\right)$ ，那么${\left(-\Delta \right)}^{s}u\ge u^p$ 在$R^N$ 中没有正的古典解。

证明. 此定理的证明参考文献[16]。

引理2.7. 设$N\le 4$ 或$N\ge 5$ ，$p_1\in \left(1,1+\frac{N}{N-2}\right)$ 。如果$\left(u_1,u_2\right)\in E$ 是(1.4)式的解，且满足$u_1>0,u_2\ge 0$ ，那么${\lambda }_1<0$ 。如果$\left(u_1,u_2\right)\in E$ 是(1.4)式的解，且满足$u_2>0,u_1\ge 0$ ，那么${\lambda }_2<0$ 。

证明. 首先证明第一中情形：当$u_1>0$ 满足方程

${\left(-\Delta \right)}^s{u}_1={\lambda }_1{u}_1+{\mu }_1{\left|u_1\right|}^{p_1-2}{u}_1+r_1\omega {\left|u_1\right|}^{r_1-2}{\left|u_2\right|}^{r_2}{u}_1.$

如果${\lambda }_1\ge 0$ ，那么上述方程的右边都是非负的，据引理2.6可知$u_1\equiv 0$ ，这与假设$u_1>0$ 矛盾。因此${\lambda }_1<0$ 成立。其中${\lambda }_1<0$ 表示在光滑函数$u_1$ 分量上，系统存在$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 约束，使得$u_1$ 在满足${\displaystyle {\int }_{R^N}{u}_i^2\text{d}x}=a_i$ 条件下使$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 达到极小值。当$r_1,\omega >0$ 且$2\le r_1+r_2<2+\frac{4s}{N}$ ，$p_1\in \left(2,2+\frac{4s}{N}\right)$ ，${\lambda }_1<0$ 保证了$u_1$ 不会无

限制地增大，${\lambda }_1{u}_1$ 这一项对$u_1$ 的增长起到抑制作用，使得$u_1$ 在系统中处于一个合理的状态，从而得到规范解$u_1$ ，由此可得$u_1$ 的正则性。相反，如果${\lambda }_1\ge 0$ ，会导致系统的解出现不稳定或者不符合物理实际等情况，此时无法得到规范解。

类似的，可以证明第二种情形成立。 □

定理1.1的证明。

证明. 根据引理2.1，存在有界极小序列$\left\{\left({\tilde{u}}_1^n,{\tilde{u}}_2^n\right)\right\}\subset S$ 满足$J_{\mu }\left(u_1^n,u_2^n\right)\to m\left(a_1,a_2\right)$ ，那么应用引理2.5，存在$\left(u_1,u_2\right)\in S$ ，使得$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)=m\left(a_1,a_2\right)$ 。因此通过拉格朗日乘子定理，存在${\lambda }_i\in R$ 使得

$\{\begin{array}{l}{J}_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right)\left(u_1^n,0\right)={\lambda }_1{\Phi }^1\left(u_1\right)u_1,\\ J_{\mu }^1\left(u_1^n,u_2^n\right)\left(0,u_2^n\right)={\lambda }_1{\Phi }^1\left(u_2\right)u_2,\end{array}$ (2.9)

其中$\Phi \left(u_i\right):H\to R$ 由

$\Phi \left(u_i\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i\right|}^2\text{d}x}$

给定。因此根据(2.9)，可知

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s{u}_1={\lambda }_1{u}_1+{\mu }_1{\left|u_1\right|}^{p_1-2}{u}_1+r_1\omega {\left|u_1\right|}^{r_1-2}{\left|u_2\right|}^{r_2}{u}_1,\\ {\left(-\Delta \right)}^s{u}_2={\lambda }_2{u}_2+{\mu }_2{\left|u_2\right|}^{p_2-2}{u}_2+r_2\omega {\left|u_1\right|}^{r_1}{\left|u_2\right|}^{r_2-2}{u}_2,\end{array}$ (2.10)

现在需要证明$u_1,u_2>0$ 。从泛函$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 的定义，很容易检验$J_{\mu }\left(\left|u_1\right|,\left|u_2\right|\right)=J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 。由于$\left(u_1,u_2\right)\in S$ ，可以得到

$m\left(a_1,a_2\right)=J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)=J_{\mu }\left(\left|u_1\right|,\left|u_2\right|\right)\ge m\left(a_1,a_2\right).$

这意味着$J_{\mu }\left(\left|u_1\right|,\left|u_2\right|\right)=m\left(a_1,a_2\right)$ ，因此，可以用$\left(\left|u_1\right|,\left|u_2\right|\right)$ 来代替$\left(u_1,u_2\right)$ 。而且，如果用$\left(u_1^{*},u_2^{*}\right)$ 来表示$\left(u_1,u_2\right)$ 的径向对称[17]，那么

${\displaystyle {\iint }_{R^{2N}}\frac{{\left(u_i\left(x\right)-u_i\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}\ge {\displaystyle {\iint }_{R^{2N}}\frac{{\left(u_i^{*}\left(x\right)-u_i^{*}\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y},$ (2.11)

${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i\right|}^{p_i}}\text{d}x={\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^{*}\right|}^{p_i}}\text{d}x,{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i\right|}^2}\text{d}x={\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^{*}\right|}^2}\text{d}x,$

则$\left(u_1^{*},u_2^{*}\right)\in S$ ，且$J_{\mu }\left(u_1^{*},u_2^{*}\right)=m\left(a_1,a_2\right)$ ，因此可以用$\left(u_1^{*},u_2^{*}\right)$ 来替代$\left(u_1,u_2\right)$ 。

现在，证明对所有$x\in R^N$ ，有$u_1,u_2>0$ ，假设(1)$u_1=0,u_2=0$ ；(2) $u_1\ne 0,u_2=0$ ；(3) $u_1=0,u_2\ne 0$ 。

(1) 由于${\left|u_i^n\right|}^{p_i}\to 0,{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_i^n\right|}^2\text{d}x\to 0}$ ，且${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1^n\right|}^{r_1}{\left|u_2^n\right|}^{r_2}\text{d}x\to 0}$ ，那么$\lim \sup J_{\mu }\left(u_1^n,u_2^n\right)\ge 0$ ，与 $m\left(a_1,a_2\right)<0$ 矛盾。

(2) 那么

$\lim \sup J_{\mu }\left(u_1^n,u_2^n\right)\ge \frac{1}{2}{\left|{\left(-\Delta \right)}^{\frac{s}{2}}{u}_1\right|}_2^2-\frac{{\mu }_1}{p_1}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_1\right|}^{p_1}\text{d}x}\ge m_{{\mu }_1}\left({\overline{a}}_1\right)$

其中${\overline{a}}_1:={\left|u_1\right|}_2^2\le a_1$ ，根据引理2.4，知道$m_{\mu }\left({\overline{a}}_1\right)\ge m_{\mu }\left(a_1\right)$ ，由于$m_{\mu }\left(a_2\right)<0$ ，这与(2.4)矛盾，证明完成。

(3) 情况与(2)类似。

泛函$J_{\mu }\left(u_1,u_2\right)$ 满足以上引理，因此方程(1.4)有解$\left(\left(u_1,{\lambda }_1\right),\left(u_2,{\lambda }_2\right)\right)$ ，其中$u_1,u_2$ 为正的、径向的。定理1.1得证。 □

3. 结论

对应规范解的性质分析如下：设$u_1^0,u_2^0\in H^s\left(R^N\right)$ 为(2.10)的解，再设${\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2\in H^s\left(R^N\right)$ 为方程组

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s{u}_1+u_1=u_1^0+{\lambda }_1{u}_1^0+{\mu }_1{\left|u_1^0\right|}^{p_1-2}{u}_1^0+r_1\omega {\left|u_1^0\right|}^{r_1-2}{\left|u_2^0\right|}^{r_2}{u}_1^0:=f_1\left(x\right),\\ {\left(-\Delta \right)}^s{u}_2+u_2=u_2^0+{\lambda }_2{u}_2^0+{\mu }_2{\left|u_2^0\right|}^{p_2-2}{u}_2^0+r_2\omega {\left|u_1^0\right|}^{r_1}{\left|u_2^0\right|}^{r_2-2}{u}_2^0:=f_2\left(x\right),\end{array}$ (3.1)

的解，由条件可得

$\min \left\{\frac{2}{p_1-2},\frac{2}{p_2-2},\frac{2}{r_1+r_2-2},2\right\}>\frac{N}{2s}.$

记

$q_0=\max \left\{\frac{2}{p_1-2},\frac{2}{p_2-2},\frac{2}{r_1+r_2-2},2\right\}.$

令

$\kappa \left(x\right)=F^{-1}\left(\frac{1}{1+{\left|\xi \right|}^{2s}}\right),\xi \in R^N,$

其中$F^{-1}$ 表示Fourier逆变换，则

${\tilde{u}}_1\left(x\right)=\left(\kappa *f_1\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\kappa \left(x-\xi \right)f_1\left(\xi \right)\text{d}\xi },{\tilde{u}}_2\left(x\right)=\left(\kappa *f_2\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\kappa \left(x-\xi \right)f_2\left(\xi \right)\text{d}\xi .}$

因此可得对任意$q>q_0$ 都有${\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2\in L^q\left(R^N\right)\cap L^{\infty }\left(R^N\right)$ 。从而方程组(3.1)的解有意义。于是

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s\left({\tilde{u}}_1-u_1^0\right)+\left({\tilde{u}}_1-u_1^0\right)=0,\\ {\left(-\Delta \right)}^s\left({\tilde{u}}_2-u_2^0\right)+\left({\tilde{u}}_2-u_2^0\right)=0,\end{array}$

易知，${\tilde{u}}_1=u_1^0>0,{\tilde{u}}_2=u_2^0>0$ 。类似于[18]中的定理(3.4)，存在常数$\alpha \in \left(0,1\right)$ ，使得${\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2\in C^{0,\alpha }\left(R^N\right)$ 且当$\left|x\right|\to +\infty$ 时，${\tilde{u}}_1\left(x\right)\to 0,{\tilde{u}}_2\left(x\right)\to 0$ 。由于$u_1^0>0,u_2^0>0$ ，且能被${\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2$ 控制，故$u_1^0,u_2^0\in L^{\infty }\left(R^N\right)$ 且当$\left|x\right|\to +\infty$ 时，$u_1^0\left(x\right)\to 0,u_2^0\left(x\right)\to 0$ 。由此可以得到规范解$u_1^0,u_2^0$ 的衰减性。其反映了系统在空间无穷远处的行为，说明系统的影响在远离某个区域后会逐渐消失，例如在描述物理场的分布时，这表示场的强度在足够远的地方趋于零，符合物理上的局域性原理。

对于该结果，例如在量子力学中的双粒子系统，分数阶薛定谔耦合系统的规范解可以用来描述两种粒子的量子态。其中，每个粒子的波函数由规范解中的一个分量表示，而耦合项则体现了粒子之间的相互作用。比如规范解可以给出粒子在空间中的概率分布，从而帮助确定量子阱中找到每个粒子的可能性。同时，通过分析规范解的能量本征值，可以了解系统的能量状态，这对于研究量子系统的激发态和光学性质等非常重要。