柯西收敛原理及其应用研究

Research on the Cauchy Convergence Criterion and Its Applications

摘要: 柯西收敛原理是实数完备性理论的核心工具，它通过评估序列项之间的自洽性判定收敛性，摆脱了对极限值的依赖，兼具理论深度与应用广度。然而，由于其抽象性与严格性使其成为学生学习过程中的难点，深入剖析柯西收敛原理的结构特征与应用场景，不仅有助于学生更好地理解数学分析的基本概念，而且对培养他们的数学思维和分析能力具有重要意义。

Abstract: The Cauchy Convergence Criterion is a core tool in the theory of real number completeness. It determines convergence of a sequence by evaluating the self-consistency among its terms, thus avoiding reliance on limit values. It combines theoretical depth with broad application. However, due to its abstractness and strictness, it poses a challenge for students during their learning process. A thorough analysis of the structural features and application scenarios of Cauchy Convergence Criterion not only helps students better understand the fundamental concepts of mathematical analysis, but also plays a significant role in cultivating their mathematical thinking and analytical abilities.

1. 引言

柯西收敛原理(Cauchy Convergence Criterion)作为数学分析中实数完备性理论的基石之一，自19世纪由Augustin-Louis Cauchy提出以来，始终是序列与函数收敛性研究的核心工具。其核心思想表明：一个数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$\epsilon$ ，存在正整数$N$ ，使得当$n,m>N$ 时，序列项之间的差值小于$\epsilon$ 。这一准则摆脱了对极限值的依赖，仅通过序列内部项的“自洽性”即可判定收敛性，不仅为实数系的完备性提供了深刻诠释，更在微积分、泛函分析、拓扑学等领域中展现出强大的普适性。

尽管柯西收敛原理在数学分析中占有重要地位，但在教学和学习过程中，学生觉得这一概念难以理解和掌握。这主要是因为柯西收敛原理涉及到的证明和应用往往较为抽象，需要较高的逻辑推理和分析能力。因此，深入剖析柯西收敛原理的逻辑结构与应用场景，对掌握数学分析思想体系至关重要，对提高学生的数学素养和分析能力也具有重要意义。教师在教学中应注重引导学生从直观理解过渡到抽象思维，通过实例和练习加深对柯西收敛原理的理解和应用。

关于这方面的内容，也有一些学者进行了相关研究。丁玉敏[1]、高勇[2]主要讨论了函数极限的柯西收敛原理充分性证明的不同思路。杨进[3]给出了柯西收敛原理的一个新证明。张学茂等人[4]遵循学生学习知识的顺序，利用柯西收敛原理对实数完备性其它定理进行了证明。马文山[5]讨论了柯西收敛原理的不同形式及其应用。姚卫红[6]深度解析了柯西收敛原理的几何解释在教学中的具体应用。张清业[7]尝试将数学分析中刻画实数系完备性的几个定理(包括柯西收敛原理)推广到泛函分析中的一般距离空间上，进而引出其中的相关概念和理论。与之相反，胡永模和张海[8]则从“泛函分析”课程中的距离空间完备的角度重新审视实数集的完备性定理。

本文在前人研究的基础上，全面系统地研究柯西收敛原理及其应用。首先，我们分析和总结应用柯西收敛原理的特点和关键，为后续的讨论打下坚实的理论基础。接着，探讨柯西收敛原理在数学分析中的具体应用，主要包括数列(级数)的敛散性、函数项级数的一致收敛性、含参变量反常积分一致收敛性的判断等。最后，总结柯西收敛原理的研究现状，并提出未来可能的研究方向。我们期望通过本论文的研究，能够为数学教育工作者提供有价值的参考和启示，同时也为数学分析的学习者提供深入理解和应用柯西收敛原理的指导。

2. 柯西收敛原理及其应用解析

2.1. 柯西收敛原理

定理1 [9] [10] $\left\{x_n\right\}$ 收敛的充要条件是：对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists N\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，$\forall m,n>N$ 时，成立

$\left|x_m-x_n\right|<\epsilon$ 或者$\left|x_{n+p}-x_n\right|<\epsilon$ ，$\forall p\in {\mathbb{N}}^{+}$ 。 ($\ast$ )

若数列$\left\{x_n\right\}$ 满足($\ast$ )，则称$\left\{x_n\right\}$ 为基本列(或柯西列)。

2.2. 柯西收敛原理的深度解析

1) 地位分析

柯西收敛是一个利用数列自身结构(不依赖于极限值，仅通过序列内部关系，即任意两项的差值)判断收敛性的结论，奠定了极限存在性理论的基础。这是一个定性分析的工具，仅能用于判断收敛或发散，不涉及极限计算。

2) 柯西片段特征

柯西片段定义为任意两项差的绝对值$\left|x_m-x_n\right|$ 或$\left|x_{n+p}-x_n\right|$ ，强调下标$m,n,p$ 的独立性，这种独立性是应用的关键，需避免逻辑混淆。另外将下标形式$\left|m-n\right|$ 改写为单变量$p$ (如$\left|n+p-n\right|$ )，虽不改变变量的独立性，但显著简化证明过程，提升应用灵活性；这也体现了数学中的降维思想。

在函数空间、高维序列及随机过程中，需重新定义Cauchy片段(如依范数或概率收敛)，但其核心思想仍保持一致。

3) 理论意义

在实数理论的构建中，柯西收敛原理承担了填补逻辑空缺的核心使命。由于有理数集不完备，康托尔等人以柯西列的等价类定义实数：将差序列趋于零的有理数柯西列归于同一等价类，每个类对应一个实数。此方法通过“封装”所有柯西列的极限，将有理数扩展为完备的实数集，彻底解决了极限缺失问题。例如，原本在有理数中发散的柯西列(如$\sqrt{2}$ 的逼近序列)，在实数理论中通过赋予其等价类身份获得极限。这一构造不仅实现了完备性，更奠定了分析学的严密基础——无需预先知晓极限，仅凭序列内在的柯西条件即可判定收敛性，从而摆脱了早期微积分对几何直观的依赖，使极限理论、连续函数等概念得以严格化。因此，柯西收敛原理既是实数完备性的标志，也是从有理数到实数逻辑跃迁的基石，其通过“潜在极限”到“实在对象”的转化，彰显了数学从不完备到完备的抽象构造力量。

2.3. 应用柯西收敛原理的基本方法

1) 放大法

类比数列极限的$\epsilon -N$ 定义，用它证明数列收敛时，即证对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists N\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，使得当$n>N$ 时，成立$\left|x_{n+p}-x_n\right|<\epsilon$ ，$\forall p\in {\mathbb{N}}^{+}$ 。为此对$\left|x_{n+p}-x_n\right|$ 进行放大，从中分离出$n$ ，即

$\left|x_{n+p}-x_n\right|<\cdots <G\left(n\right)$ ，$\forall p\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，

其中$\underset{n\to \infty }{\lim }G\left(n\right)=0$ 。

2) 缩小法

类比数列极限的$\epsilon -N$ 定义，用它证明数列发散时，即证对$\exists {\epsilon }_0>0$ ，$\forall N\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，存在$n>N$ 时，成立$\left|x_{n+p}-x_n\right|\ge {\epsilon }_0$ ，$\exists p\in {\mathbb{N}}^{+}$ 。为此对$\left|x_{n+p}-x_n\right|$ 进行缩小，即

$\left|x_{n+p}-x_n\right|\ge \cdots \ge G\left(n,p\right)$ ，

通过选择特殊的$p=p\left(n\right)$ ($p\left(n\right)$ ：$p$ 与$n$ 的适当关系)，使得$G\left(n,p\right)=G\left(n,p\left(n\right)\right)\ge {\epsilon }_0$ 。

注 应用中的注意事项：独立性陷阱，即使用Cauchy片段时，需严格确保下标变量的独立选取，避免误用固定关系导致证明失效。

3. 柯西收敛原理的应用

3.1. 证明数列的敛散性

例1 判断数列$x_n=\frac{1}{1+\sqrt{1}}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n+\sqrt{n}}$ 的敛散性。

解 对任意的正整数$n$ ，取$p\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，有

$\left|x_{n+p}-x_n\right|=\frac{1}{n++\sqrt{n+1}}+\frac{1}{n+2+\sqrt{n+2}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n+p+\sqrt{n+p}}>\frac{p}{n+p+\sqrt{n+p}}>\frac{p}{2\left(n+p\right)}$ ，

特别地取$p=n$ ，则$\frac{p}{2\left(n+p\right)}=\frac{1}{4}$ 。故取${\epsilon }_0=\frac{1}{4}$ ，对任意的正整数$n$ ，取$p=n$ ，总有

$\left|x_{n+p}-x_n\right|>\frac{1}{4}$ ，

由柯西收敛原理可知，数列$\left\{x_n\right\}$ 发散。

【举一反三】判断数列$x_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$ 的敛散性。

3.2. 证明级数的敛散性

定理2 (级数收敛的柯西收敛原理) [11]

级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n}$ 收敛的充要条件是：对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists N\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，$\forall n>N$ 时，成立

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k}\right|=\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+p}\right|<\epsilon$ ，$\forall p\in {\mathbb{N}}^{+}$ 。

例2 设正项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n}$ 发散，$S_n$ 为其部分和，证明：当$p\le 1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 发散；当$p>1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 收敛。

分析 若$p=1$ 时${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^{}}}$ 发散；则$p<1$ 时，$\frac{u_n}{S_n^p}>\frac{u_n}{S_n^{}}$ ，由比较判别法，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 发散；故先证明

$p=1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^{}}}$ 发散。注意到这是抽象级数，考虑用定义方法或柯西收敛原理。

证明 1) 记$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$ ，由题意可知$\left\{S_n\right\}$ 单调递增发散到$+\infty$ 。

当$p=1$ 时，考查级数的柯西片段

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+l}\frac{u_k}{S_k^{}}}\right|\ge \frac{1}{S_{n+l}}\left(u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots +u_{n+l}\right)=\frac{S_{n+l}-S_n}{S_{n+l}}=1-\frac{S_n}{S_{n+l}}$ ，

固定$n$ ，令$l\to \infty$ ，则$\frac{S_n}{S_{n+l}}\to 0\left(l\to \infty \right)$ ，即对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists l_0>0$ ，$\forall l>l_0$ ，有

$0\le \frac{S_n}{S_{n+l}}<\epsilon$ 。

取$\epsilon =\frac{1}{2}$ ，$l=l_0+1$ ，此时$1-\frac{S_n}{S_{n+l}}>\frac{1}{2}$ 。故取${\epsilon }_0=\frac{1}{2}$ ，对$\forall N>0$ ，取$n=N+1>N$ ，则

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+l}\frac{u_k}{S_k}}\right|\ge 1-\frac{S_n}{S_{n+l}}>\frac{1}{2}$ ，其中$l=l_0+1$ 。

故$p=1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^{}}}$ 发散。

当$p<1$ 时，$\frac{u_n}{S_n^p}>\frac{u_n}{S_n^{}}$ ，由比较判别法，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 发散。综上$p\le 1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 发散。

2) 当$p>1$ 时，$0\le \frac{u_k}{S_k^p}=\frac{{\displaystyle {\int }_{S_{k-1}}^{S_k}\text{d}x}}{S_k^p}={\displaystyle {\int }_{s_{k-1}}^{S_k}\frac{\text{d}x}{S_k^p}}<{\displaystyle {\int }_{S_{k-1}}^{S_k}\frac{\text{d}x}{x^p}}$ ，从而

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+l}\frac{u_k}{S_k^p}}\right|\le {\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+l}{\displaystyle {\int }_{S_{k-1}}^{S_k}\frac{\text{d}x}{x^p}}}={\displaystyle {\int }_{S_n}^{S_{n+l}}\frac{\text{d}x}{x^p}}=\frac{S_n^{1-p}-S_{n+l}^{1-p}}{p-1}<\frac{S_n^{1-p}}{p-1}\to 0\left(n\to \infty \right)$ ，$\forall l\in N^{+}$ 。

由柯西收敛原理知，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 收敛。或者也可采用部分和序列方法：

${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{u_k}{S_k^p}}\le \frac{u_1}{u_1^p}+{\displaystyle \sum _{k=2}^n{\displaystyle {\int }_{S_{k-1}}^{S_k}\frac{\text{d}x}{x^p}}}=\frac{u_1}{u_1^p}+{\displaystyle {\int }_{S_1}^{S_n}\frac{\text{d}x}{x^p}}=\frac{u_1}{u_1^p}+\frac{S_1^{1-p}-S_n^{1-p}}{p-1}<\frac{p}{p-\text{1}}{u}_1^{1-p}$ ，

即正项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 的部分和序列有上界，故${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{S_n^p}}$ 收敛。

【举一反三】设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n}$ 是收敛的正项级数，$r_n={\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }{u}_k}$ 为余和，则当$p\ge 1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{r_n^p}}$ 发散；当$p<1$ 时，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n}{r_n^p}}$ 收敛。

3.3. 证明函数项级数的一致收敛性

定理3 (函数项级数一致收敛的柯西收敛原理) [11]

函数项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 关于$x\in D$ 一致收敛的充要条件是：对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists N\left(\epsilon \right)\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，$\forall n>N\left(\epsilon \right)$ ，成立

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k\left(x\right)}\right|=\left|u_{n+1}\left(x\right)+u_{n+2}\left(x\right)+\cdots +u_{n+p}\left(x\right)\right|<\epsilon$ ，$\forall x\in D$ ，$\forall p\in {\mathbb{N}}^{+}$ 。

例3 设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在$\left[a,b\right]$ 上点收敛，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u^{\prime }}_n\left(x\right)}$ 的部分和序列在$\left[a,b\right]$ 上一致有界，证明：${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在$\left[a,b\right]$ 上一致收敛。

分析 题型：抽象函数项级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 一致收敛性的判断。

思路：用柯西收敛原理判断一致收敛。即证$\forall \epsilon >0$ ，$\exists N\left(\epsilon \right)>0$ ，$\forall n>N$ ，成立

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_n\left(x\right)}\right|<\epsilon$ ，$\forall x\in \left[a,b\right]$ ，$\forall p\in N^{+}$ 。

已知：${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u^{\prime }}_n\left(x\right)}$ 的部分和序列在$\left[a,b\right]$ 上一致有界，即$\exists M>0$ ，使得$\left|{\displaystyle \sum _{k=1}^n{u^{\prime }}_k\left(x\right)}\right|\le \frac{M}{2}$ 。

关键：如何建立$u_n^{}\left(x\right)$ 与${u^{\prime }}_n\left(x\right)$ 之间的联系？

思路：从积分角度出发，利用牛顿–莱布尼茨公式${\displaystyle {\int }_a^b{F}^{\prime }\left(t\right)\text{d}t}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ ，即

$F\left(b\right)={\displaystyle {\int }_a^b{F}^{\prime }\left(t\right)\text{d}t}+F\left(a\right)$ ，

从微分角度出发，利用微分中值定理$F\left(b\right)-F\left(a\right)=F^{\prime }\left(\xi \right)\left(b-a\right)$ ，即

$F\left(b\right)=F^{\prime }\left(\xi \right)\left(b-a\right)+F\left(a\right)$ 。

这里利用积分方法(微分方法自行练习)，则$u_k\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{x_{i_0}}^x{u^{\prime }}_k\left(t\right)\text{d}t}+u_k\left(x_{i_0}\right)$ ，从而

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k\left(x\right)}\right|=\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}\left({\displaystyle {\int }_{x_{i_0}}^x{u^{\prime }}_k\left(t\right)\text{d}t}+u_k\left(x_{i_0}\right)\right)}\right|=\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{\displaystyle {\int }_{x_{i_0}}^x{u^{\prime }}_k\left(t\right)\text{d}t}}+{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k\left(x_{i_0}\right)}\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_{x_{i_0}}^x{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u^{\prime }}_k\left(t\right)\text{d}t}}+{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k\left(x_{i_0}\right)}\right|\le \left|{\displaystyle {\int }_{x_{i_0}}^x\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u^{\prime }}_k\left(t\right)}\right|\text{d}t}\right|+\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k\left(x_{i_0}\right)}\right|\\ \le M\left|x-x_{i_0}\right|+\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k\left(x_{i_0}\right)}\right|=I_1+I_2\end{array}$

其中$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u^{\prime }}_k\left(t\right)}\right|=\left|{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+p}{u^{\prime }}_k\left(t\right)}-{\displaystyle \sum _{k=1}^n{u^{\prime }}_k\left(t\right)}\right|\le \left|{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+p}{u^{\prime }}_k\left(t\right)}\right|+\left|{\displaystyle \sum _{k=1}^n{u^{\prime }}_k\left(t\right)}\right|\le M$ 。

现$\forall \epsilon >0$ ，对于$I_1$ ，只要$\left|x-x_{i_0}\right|<\epsilon$ ，则$I_1<M\epsilon$ 。

对于$I_2$ ，利用${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在点$x=x_{i_0}\in \left[a,b\right]$ 收敛，即对上述$\epsilon >0$ ，$\exists N\left(x_{i_0},\epsilon \right)>0$ ，$\forall n>N\left(x_{i_0},\epsilon \right)$ ，成立

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_n\left(x_{i_0}\right)}\right|<\epsilon$ ，$\forall p\in N^{+}$ 。

即$I_2<\epsilon$ 。

难点：

1) $x_{i_0}$ 会随着$x$ 的变化而变化，如何选取$x_{i_0}$ 使得满足$\left|x-x_{i_0}\right|<\epsilon$ ？

2) 如何使$N\left(x_{i_0},\epsilon \right)$ 与$x_{i_0}$ 无关。

解决方法：

1) 利用有限开覆盖定理处理。(自行练习)

2) 这里通过有限分割将任意动态点的估计转化为有限个点的静态估计。

证明 现$\forall \epsilon >0$ ，将$\left[a,b\right]$ l等分：$a=x_0<x_1<\cdots <x_l=b$ ，且满足$0<\frac{b-a}{l}<\epsilon$ 。

对$\forall x\in \left[a,b\right]$ ，则$\exists x_{i_0}\in \left[a,b\right]$ ，使得$\left|x-x_{i_0}\right|\le \frac{b-a}{l}<\epsilon$ ，此时$M\left|x-x_{i_0}\right|<M\epsilon$ 。

因${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在点$x=x_{i_0}\in \left[a,b\right]$ 收敛，故对上述$\epsilon >0$ ，$\exists N\left(x_{i_0},\epsilon \right)>0$ ，$\forall n>N$ ，有

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_n\left(x_{i_0}\right)}\right|<\epsilon$ ，$\forall p\in N^{+}$ 。

取$N=\max \left\{N\left(x_0,\epsilon \right),N\left(x_1,\epsilon \right),\cdots ,N\left(x_l,\epsilon \right)\right\}$ ，则当$n>N$ 时，成立

$\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_n\left(x\right)}\right|\le M\left|x-x_{i_0}\right|+\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}{u}_k\left(x_{i_0}\right)}\right|<\left(M+1\right)\epsilon$ ，$\forall x\in \left[a,b\right]$ ，$\forall p\in N^{+}$ 。

故${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\left(x\right)}$ 在$\left[a,b\right]$ 上一致收敛。

【抽象总结】

1) 任给$\epsilon >0$ ，分割区间，确定有限个分点；

2) 在分点处利用柯西收敛原理处理；

3) 利用插项法进行放大，进而证明一致收敛性，注意相互间的逻辑关系；

4) 类似的结论可以推广到函数列情形：设可微函数列$\left\{S_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上点收敛，且$\left\{{S^{\prime }}_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上一致有界，则$\left\{S_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 一致收敛。

【举一反三】设$\left\{S_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上等度连续，即$\forall \epsilon >0$ ，$\exists \delta >0$ ，对$\forall x,y\in \left[a,b\right]$ ，当$\left|x-y\right|<\delta$ 时，有$\left|S_n\left(x\right)-S_n\left(y\right)\right|<\epsilon$ ，$\forall n$ ；又设$\left\{S_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上点收敛，证明：$\left\{S_n\left(x\right)\right\}$ 在$\left[a,b\right]$ 上一致收敛[12]。

3.4. 证明含参变量反常积分的一致收敛性

定理4 (含参变量反常积分一致收敛的柯西收敛原理) [11]

含参变量反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\infty }f\left(x,y\right)\text{d}x}$ 关于$y\in D$ 一致收敛的充要条件是：

对$\forall \epsilon >0$ ，$\exists A\left(\epsilon \right)>0$ ， $\forall A^{\prime },A^{″}>A\left(\epsilon \right)$ ，成立$\left|{\displaystyle {\int }_{A^{\prime }}^{A^{″}}f\left(x,y\right)\text{d}x}\right|<\epsilon$ ，$\forall y\in D$ 。

例4 证明：${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{x\sin \left(xy\right)}{1+x^2}\text{d}x}$ 关于$y\in \left(0,+\infty \right)$ 非一致收敛。

证明 将${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{x\sin \left(xy\right)}{1+x^2}\text{d}x}$ 看成是无穷区间形式的含参广义积分，首先，易知${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{x\sin \left(xy\right)}{1+x^2}\text{d}x}$ 关于$y\in \left(0,+\infty \right)$ 收敛(Dirichlet判别法)。

其次，取${\epsilon }_0=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，对任意的$A>0$ ，取$A^{\prime }=n\pi >A,A^{″}=2n\pi >A,y=\frac{1}{4n}$ ，则

$\left|{\displaystyle {\int }_{A^{\prime }}^{A^{″}}\frac{x\sin \left(xy\right)}{1+x^2}\text{d}x}\right|={\displaystyle {\int }_{n\pi }^{2n\pi }\frac{x\sin \left(xy\right)}{1+x^2}\text{d}x}>\frac{\sqrt{2}}{2}{\displaystyle {\int }_{n\pi }^{2n\pi }\frac{x}{1+x^2}\text{d}x}=\frac{\sqrt{2}}{4}\ln \frac{1+4n^2{\pi }^2}{1+n^2{\pi }^2}>\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，

由柯西收敛原理可知，含参变量反常积分${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{x\sin \left(xy\right)}{1+x^2}\text{d}x}$ 关于$y\in \left(0,+\infty \right)$ 非一致收敛。

【举一反三】证明：${\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{+\infty }{\text{e}}^{-t^2\left(1+x^2\right)}\sin x}\text{d}x$ 关于$t\in \left(0,+\infty \right)$ 非一致收敛。

3.5. 在泛函分析中的应用

完备性是泛函分析中空间结构的核心性质，直接决定了数学工具的有效性和应用范围。柯西收敛原理通过刻画序列的内在收敛性，为定义和研究 Banach空间(完备赋范线性空间)与Hilbert空间(完备内积空间)提供了理论基础。

柯西序列在分析有界线性算子时，不仅是验证一致收敛性的核心工具，更是连接算子空间完备性、紧性及谱理论的关键桥梁。明确不同收敛模式下的柯西条件及其对应的数学内涵，有助于避免常见误区，深化对泛函分析中空间结构的理解。

4. 结束语

柯西收敛原理以其独特的“自洽性”思想，将极限存在性问题转化为序列内部结构的分析，在数学分析及其众多应用领域中扮演着至关重要的角色。它不仅为理论数学提供了深刻的洞见，也为实际问题的解决提供了强有力的工具。尽管柯西收敛原理的应用已经相当广泛，但其在非传统数学领域，如机器学习和复杂网络动力学中的潜力仍有待进一步探索。未来的研究可以更加关注这些新兴领域中柯西收敛原理的扩展和应用，以期为这些领域带来新的理论突破和实践创新。通过跨学科的合作和深入研究，我们期待柯西收敛原理能够在更广阔的舞台上展现其价值，为现代科学的发展贡献更多的数学智慧。