BBM方程在Besov空间$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$中的全局适定性

Global Well-Posedness for the BBM Equation in Besov Spaces $B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$

摘要: 本文研究了Benjamin-Bona-Mahony (BBM)方程在非齐次Besov空间$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ 中的全局适定性。首先用了压缩映射原理证明了当$1\le p\le \infty ,1<r\le \infty$ 及$s>\frac{1}{p}$ (或$1\le p\le \infty$ ，$r=1$ 及$s\ge \frac{1}{p}$ )时，BBM方程在$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ 中局部适定的。接着，用高低频分解技巧及算子半群理论证明了当$1/2<s\le 1$ ，$2\le r<\infty$ 时，BBM方程在$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ 中全局适定。

Abstract: In this study, we devoted to the global well-posedness for the Benjamin-Bona-Mahony (BBM) equation in the Nonhomogeneous Besov spaces $B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ First, using the contraction mapping principle, it is proved that when $1\le p\le \infty ,1<r\le \infty$ and $s>\frac{1}{p}$ (or $1\le p\le \infty$ , $r=1$ and $s\ge \frac{1}{p}$ ), the BBM is locally well-posed in $B_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ (or in $B_{p,1}^s\left(ℝ\right)$ ). Then using Bourgain’s low-high frequency decomposition technique, it is proved that when $\frac{1}{2}<s\le 1$ and $2\le r<\infty$ , BBM is globally well-posed in Besov spaces $B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ .

1. 引言及符号说明

1.1. 引言

本文我们将研究Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程[1]的初值问题(IVP)

$u_t-u_{txx}+u_x+u{u}_x=0,u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right),$ (1)

在Besov空间$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ 中的适定性。方程(1)用以描述浅水区单向，小振幅长波；其中$x$ 表示位置，$t$ 表示时间，$u\left(t,x\right)$ 表示水面波的振幅。

实际上，单向、一维、小振幅长波在非线性色散媒介中的传播最初用Korteweg-de Vries (KDV)方程[2]

$u_t+u_{xxx}+u_x+u{u}_x=0,u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right),$ (2)

来描述。1972年，Benjamin，Bona及Mahony在对(2)的推导中发现$u_x\sim -u_t$ ，进而$u_{xxx}=-u_{txx}$ ，因此BBM方程也称正则化的长波方程(RLW)。自1960年中期到1970年开始，类似(1)~(2)这种非线性色散方程一直是非线性分析的主流。实际上由于色散项$-u_{txx}$ 具有更强的光滑作用，BBM方程(1)适定性的建立要比KDV方程(2)容易的多。在一般的Sobolev空间$H^s\left(ℝ\right)$ 中，当$s\ge 1$ 且为整数时，BBM方程的全局适定性在文献[1]中已被证明。之后Avrin在文献[3]中建立了高维BBM方程在$W^{1,p}\left(ℝ\right)$ 中的全局适定性。由于方程(1)有$H^1$ 能量等式

${\displaystyle \int u_x^2\left(t\right)+u^2\left(t\right)\text{d}x}={\displaystyle \int u_x^2\left(0\right)+u^2\left(0\right)\text{d}x},$ (3)

因此其在$H^1$ 中的全局适定性可由(3)得到。但对于一般的Sobolev空间$H^s\left(ℝ\right)$ ，$s<1$ 时，类似(3)的能量不等式是不存在的，这给BBM全局适定性的研究带来了本质困难。之后得益于Bourgain与T. Tao等在非线性薛定谔方程(NLS)、非线性波动方程(NLW)及KDV方程的适定性方面的突破；即分别建立了高低频分解技术[4] [5]和I方法[6]。Bona和Tzvetkov在文献[7]中用高低频分解技术证明了在$H^s\left(ℝ\right)$ 中，对于$s\in ℝ$ ，当$s\ge 0$ 时，BBM方程(1)是全局适定的；且当$s<0$ 时，是不适定的。实际上固定任意小的$t>0$ ，当$s<0$ 时，流映射$u_0\to u\left(t\right)$ 从$H^s\left(ℝ\right)$ 到分布${\left(C_c^{\infty }\left(ℝ\right)\right)}^{\prime }$ 是不连续的[8]，即解对初值$u_0$ 不具有连续依赖性。随后，$s\ge 0$ 时，IVP(1)被证明在$H^s\left(\mathbb{T}\right)$ 中亦是全局适定的[9]。之后在文献[10]中，作者用I方法证明了，当$s\ge \max \left\{0,1/p-1/2\right\},$ $1\le p<\infty$ 时，IVP(1)在$H^{s,p}\left(ℝ\right)$ 中是全局适定的。更多关于IVP(1)适定性的结论可以在文献[11] [12]及其中包含的参考文献中找到。

本文发展了文献[7]和[12]中的方法，并沿着之前的研究思路，将BBM方程适定性的结果推广到更大的函数空间。我们知道，Besov空间$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ 包含Sobolev空间$H^s\left(ℝ\right)$ ，即当积分指标$p=2$ 且第三指标$r=2$ 时，有$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)~H^s\left(ℝ\right)$ 。那么一个自然的想法是，在低正则情形下，即$s<1$ 时，固定$p=2$ ，当$1\le p\le \infty$ 时，IVP(1)在$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ 中是否全局适定。我们将在本文给出部分肯定回答。

除了适定性外，有关BBM方程行波解的研究可以参看文献[13] [14]及其内的参考文献，守恒律及孤立波的研究见文献[15] [16]及其内的参考文献，唯一连续性的研究见[17]-[19]及其内的参考文献，带阻尼的BBM方程见[20]-[22]及其内的参考文献，带噪声的BBM方程的研究见[23]及其内的参考文献，带时滞的BBM方程见[24]及其内的参考文献。

1.2. 符号说明

Schwartz函数$f\left(x\right)\in S\left(ℝ\right)$ 的傅里叶变换定义为

$ℱ\left[f\right]\left(\xi \right)=\widehat{f}\left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{-ix\xi }f\left(x\right)\text{d}x}$.

傅里叶逆变换定义为

${ℱ}^{-1}\left[f\right]\left(\xi \right)=f^{\vee }\left(\xi \right)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{ix\xi }f\left(x\right)\text{d}x}=\frac{1}{2\pi }\widehat{f}\left(-\xi \right)$.

傅里叶变换的最大定义域为缓增分布${\mathcal{S}}^{\prime }\left(ℝ\right)$ (即$S\left(ℝ\right)$ 的对偶空间)。具体而言，对于任意的$u\in {\mathcal{S}}^{\prime }\left(R\right)$ ，其傅里叶变换定义为

$\langle \widehat{u},\varphi \rangle =\langle u,\widehat{\varphi }\rangle ,\forall \varphi \in \mathcal{S}\left(ℝ\right).$

$A{\lesssim }_{\alpha ,\beta }B$ 表示$A\le C\left(\alpha ,\beta \right)B$ ，其中$C\left(\alpha ,\beta \right)$ 为依赖于$\alpha ,\beta$ 的常数。$A\approx B$ 表示存在一个常数$c$ 使得$\frac{1}{c}\left|A\right|\le \left|B\right|\le c\left|A\right|$ 。若$X,Y$ 为Banach空间，$X~Y$ 表示$X$ 与$Y$ 一致，即元素相同，且${\Vert \cdot \Vert }_X\approx {\Vert \cdot \Vert }_Y$ 。$X$ ↪$Y$ 表示$X$ 连续嵌入到$Y$ 中。最后，在不发生歧义的情况下，我们将$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ ，$H^s\left(ℝ\right)$ 及$L^p\left(ℝ\right)$ 分别简记为$B_{p,r}^s$ ，$H^s$ 及$L^p$ 。

2. 准备工作

本节开头，我们介绍Besov空间的定义，接着为了方便起，我们将回顾本文需要用到的与之相关的定义、定理及性质。我们所回顾的定义、定理及性质均可在[25]中找到陈述及证明，因此，我们将证明略去。Besov空间的定义，基于下面的Littlewood-Paley分解。

命题1. 令$\mathcal{C}=\left\{\xi \in R,3/4\le \left|\xi \right|\le 8/3\right\}$ ，$ℬ=\left\{\xi \in ℝ,\left|\xi \right|\le 4/3\right\}$ 。则存在值域在$\left[0,1\right]$ 上的光滑径向函数$\chi \in C_c^{\infty }\left(ℬ\right)$ 和$\phi \in C_c^{\infty }\left(\mathcal{C}\right)$ ，使得

$\forall \xi \in ℝ,\chi \left(\xi \right)+{\displaystyle \sum _{j\ge 0}\phi }\left(2^{-j}\xi \right)=1,$ (4)

$\forall \xi \in ℝ-\left\{0\right\},{\displaystyle \sum _{j\in Z}\phi }\left(2^{-j}\xi \right)=1,$ (5)

$\left|j-j^{\prime }\right|\ge 2\Rightarrow \text{Supp}\phi \left(2^{-j}\cdot \right)\cap \text{Supp}\phi \left(2^{-j^{\prime }}\cdot \right)=\varnothing ,j\ge 1\Rightarrow \text{Supp}\chi \cap \text{Supp}\phi \left(2^{-j}\cdot \right)=\varnothing .$

我们将$\chi ,\phi$ 固定下来。对于缓增分布$u\in {\mathcal{S}}^{\prime }\left(ℝ\right)$ ，定义频率局部化算子

${\Delta }_{j}u=0\left(j\le 2\right),{\Delta }_{-1}u=\chi \left(D\right)u={\left(\chi \left(\xi \right)\widehat{u}\left(\xi \right)\right)}^{\vee }$ (6)

${\Delta }_{j}u=\phi \left(2^{-j}D\right)u={\left(\phi \left(2^{-j}\xi \right)\widehat{u}\left(\xi \right)\right)}^{\vee }\left(j\in \mathbb{N}\right).$ (7)

简单来说，${\Delta }_j$ 的作用就是将分布$u$ 在频率域$\left|\xi \right|\approx 2^j$ 处光滑截断。接着定义低频截断算子

$S_{j}u={\displaystyle \sum _{j^{\prime }\le j-1}{\Delta }_{j^{\prime }}}u.$

最后我们有Littlewood-Paley分解

$\text{Id}={\displaystyle \sum _j{\Delta }_j},u={\displaystyle \sum _{j\ge -1}{\Delta }_j}u.$ (8)

由定义可知，Littlewood-Paley分解具有几乎正交性，即

${\Delta }_j{\Delta }_{j^{\prime }}u\equiv 0,\text{if }\left|j-j^{\prime }\right|\ge 2;{\Delta }_j\left(S_{k-1}u{\Delta }_{k}u\right)\equiv 0,\text{if }\left|j-k\right|\ge 5.$

由傅里叶变换在$S\left(ℝ\right)$ 中同胚，得${\left(\chi (\cdot )\right)}^{\vee },{\left(\phi \left(2^{-j}\cdot \right)\right)}^{\vee }$ 在$S\left(ℝ\right)$ 中，再结合卷积不等式可知${\Delta }_j$ 及$S_j$ 是$L^p$ 到$L^p$ 的有界算，这里$1\le p\le \infty .$

现在可以给出非齐次Besov空间的定义了。

定义1. 令$s\in ℝ$ ，$1\le p\le \infty$ 非齐次Besov空间$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ 定义为

$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)=\left\{u\in {\mathcal{S}}^{\prime }\left(ℝ\right),{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}={\Vert {\left(2^{js}{\Vert {\Delta }_{j}u\Vert }_{L^p}\right)}_{j\ge -1}\Vert }_{l^r\left(\mathbb{Z}\right)}<\infty \right\}$

在上面定义中，我们称$s$ 为微分指标，$p$ 为积分指标，$r$ 为第三指标。由Plancherel公式可以证明，Besov空间$B_{2,2}^s\left(ℝ\right)$ 与Sobolev空间$H^s\left(ℝ\right)$ 一致，即$B_{2,2}^s\left(ℝ\right)~H^s\left(ℝ\right)$ 若积分指标$p$ 与第三指标$r$ 均为正无穷，且$s\in {ℝ}^{+}-\mathbb{N}$ ，则其与Holder空间一致，即$B_{\infty ,\infty }^s\left(ℝ\right)~C^{\left[s\right],s-\left[s\right]}\left(ℝ\right)$ ；特别地，若$s\in \mathbb{N}$ 时，有$C^s\left(ℝ\right)\subseteq B_{\infty ,\infty }^s\left(ℝ\right)$ 。我们可以看出，Besov空间包含Sobolev空间，关于更多细节可以参看[25] [26]之对应章节。

定义2. 我们称光滑函数$f:{ℝ}^d\to ℝ$ 为一个$m$ 阶乘子，是指其满足：对所有的多重指标$\alpha$ ，均存在依赖于$\alpha$ 的常数$C_{\alpha }$ ，使得

$\forall \xi \in {ℝ}^d,\left|{\partial }^{\alpha }f\left(\xi \right)\right|\le C_{\alpha }{\left(1+\left|\xi \right|\right)}^{m-\left|\alpha \right|}.$

引理1. 1) (完备性)：$s\in ℝ,1\le p,r\le \infty$ ，则赋范空间$\left(B_{p,r}^s\left(ℝ\right),{\Vert \cdot \Vert }_{B_{p,r}^s}\right)$ 完备，即$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ 是Banach空间。

2) (Sobolev嵌入)：若$1\le p_1\le p_2\le \infty$ ，$1\le r_1\le r_2\le \infty ,s\in ℝ$ 且$s_1\le s_2$ ，有$B_{p_1,r_1}^s$ ↪$B_{p_2,r_2}^{s-\left(\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}\right)}$ 及$B_{p_1,r_1}^{s_2}$ ↪$B_{p_1,r_1}^{s_1}$ 。

3) (乘子定理)：令$m\in ℝ$ ，$f$ 是一个$m$ 阶乘子，那么对所有$s\in ℝ$ $1\le p,r\le \infty$ 算子$f\left(D\right)$ 从$B_{p,r}^s$ 到$B_{p,r}^{s-m}$ 有界。

4) (收敛性)：若$1\le r<\infty$ 对于任意$u\in B_{p,r}^s$ ，有${\lim }_{j\to \infty }{\Vert S_{j}u-u\Vert }_{B_{p,r}^s}=0$ 。

5) (代数性质)：对任意正实数$s\in {ℝ}^{+}$ ，任意$1\le p,r\le \infty$ 空间$L^{\infty }\cap B_{p,r}^s$ 是一个代数：也就是说对任意$u,v\in L^{\infty }\cap B_{p,r}^s$ ，有$uv\in L^{\infty }\cap B_{p,r}^s$ 。并且可以找到一个常数$C_s$ 使得

${\Vert uv\Vert }_{B_{p,r}^s}\le C_s\left({\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert v\Vert }_{L^{\infty }}\right)$ .

证明：(1)~(5)分别见[25]之定理2.72，命题2.72，命题2.78，引理2.73及推论2.86。

在本节的末尾，我们给出一个与算子$P\left(D\right)=-{\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}$ 有关的双线性估计，其是我们上面所述引理的一个直接推论，在下面讨论局部及全局适定性时发挥着重要作用。

引理2. 若$1\le p,r\le \infty$ ，且$s>1/p$ (或$s\ge 1/p,r=1$ )，则对于任意的$u,v\in B_{p,r}^s$ ，有

${\Vert P\left(D\right)\left(fg\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}{\lesssim }_{s,p,r}{\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert g\Vert }_{B_{p,r}^s}.$ (9)

证明：注意到$p\left(\xi \right)=\frac{i\xi }{1+{\xi }^2}\in C^{\infty }\left(R\right)$ 。且对任意指标$\alpha \in \mathbb{N}$ ，有$\left|\frac{{\text{d}}^{\alpha }p\left(\xi \right)}{\text{d}\xi }\right|\le {\left|\xi \right|}^{-1-\alpha }$ 对$\forall \xi \in ℝ$ 成立，故$p\left(\xi \right)$ 为−1阶，进而由引理1之乘子定理可知，$P\left(D\right)$ 将$B_{p,r}^{s-1}$ 映到$B_{p,r}^s$ 。并且，当$s>1/p$ (或$s\ge 1/p,r=1$ )时，有嵌入关系$B_{p,r}^s$ ↪$L^{\infty }$ 。再结合引理1之代数性质及嵌入关系$B_{p,r}^s$ ↪$B_{p,r}^{s-1}$ ，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert P\left(D\right)\left(fg\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\lesssim {\Vert fg\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \lesssim {\Vert f\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert g\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }}\\ \lesssim {\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert g\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert g\Vert }_{B_{p,r}^s}\\ {\lesssim }_{s,p,r}{\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert g\Vert }_{B_{p,r}^s}.\end{array}$

3. 局部适定性

本节我们将给出IVP(1)在Besov空间$B_{p,r}^s$ 中的局部适定性。首先，将拟微分算子${\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}$ 作用到方程(1)两边，从而将BBM方程写成如下形式：

$\{\begin{array}{l}{u}_t=A\left(u+\frac{1}{2}{u}^2\right),\\ u\left(0,x\right)=u_0,\end{array}$ (10)

其中$A=P\left(D\right)=-{\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}$ 显然，由于$A$ 是−1阶乘子，且$B_{p,r}^s$ ↪$B_{p,r}^{s-1}$ 可知，$A$ 是Banach空间$B_{p,r}^s$ 到自身的有界线性算子。因此，由[27]之定理1.2可知，有界线性算子$A$ 在$B_{p,r}^s$ 上生成一致连续线性算子半群$S\left(t\right)={\left\{{\text{e}}^{tA}\right\}}_{t\ge 0}$ ，即存在着一个非负常数$\omega \ge 0$ ，使得

${\Vert {\text{e}}^{tA}\Vert }_{B_{p,r}^s\to B_{p,r}^s}\le {\text{e}}^{\omega t},\forall t\ge 0.$ (11)

借由算子半群$S\left(t\right)$ 我们可以将方程(10)进一步写成与之等价的积分方程

$u\left(t,x\right)=S\left(t\right)u_0-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-\tau \right){\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}}{u}^2\left(\tau ,x\right)\text{d}\tau .$ (12)

其中$S\left(t\right)u_0$ 是相对应的线性初值问题

$\{\begin{array}{l}{u}_t=Au,\\ u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right)\in B_{p,r}^s\left(ℝ\right)\end{array}$

的解。接下来，我们将给出本文的主要结果之一，BBM方程在Besov空间中的局部适定性定理。

定理1 (局部适定性)。假设$1\le p,r\le \infty ,s>1/p$ (或$s\ge 1/p,r=1$ )。对于任意$u_0\left(x\right)\in B_{p,r}^s$ (或$B_{p,1}^s$ )，如果

$\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\le \frac{1}{4},\left(或\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert u_0\Vert }_{B_{p,1}^s}\le \frac{1}{4}\right)$

那么，BBM方程(1)存在唯一解$u\left(t,x\right)\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)\left(或C\left(\left[0,T\right];B_{p,1}^s\right)\right)$ 。

证明：首先，我们用不动点定理证明解的存在唯一性。且在这里，我们只讨论$B_{p,r}^s$ 当$r>1$ 的情形；对于$B_{p,1}^s$ 的讨论完全相同，故不在这里赘述。为此，我们定义球

$ℬ=\left\{u\left(t,x\right):{\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\text{e}}^{-\omega t}{\Vert u\left(t,x\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\le 2{\Vert u_0\left(x\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\right\}$

及其上的映射

$\Gamma u=S\left(t\right)u_0-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-\tau \right){\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}}{u}^2\left(\tau ,x\right)\text{d}\tau ,$

这里的$\omega$ 与不等式(11)右边的一致。显然，$ℬ$ 为Banach空间。我们要证$\Gamma$ 在$ℬ$ 内有不动点。首先，任取$u\in ℬ$ ，由(11)及引理2，可得

$\begin{array}{c}\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }{\text{e}}^{-\omega t}{\Vert \Gamma u\Vert }_{B_{p,r}^s}\le {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+\frac{1}{2}\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }{\text{e}}^{-\omega t}{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert S\left(t-\tau \right){\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}{u}^2\Vert }_{B_{p,r}^s}}\text{d}\tau \\ \le {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+\frac{C}{2}{\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\omega \tau }{\left({\text{e}}^{-\omega \tau }{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^2}\text{d}\tau \\ \le {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{\omega \tau }}\text{d}\tau {\left({\sup }_{\tau \in \left[0,T\right]}{\text{e}}^{-\omega \tau }{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^2\\ \le {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+\frac{C}{\omega }2\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^2.\end{array}$ (13)

然后，对于$\forall u,v\in ℬ$ 有

$\begin{array}{c}{\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\text{e}}^{-\omega t}{\Vert \Gamma u-\Gamma v\Vert }_{B_{p,r}^s}\le \frac{1}{2}{\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\text{e}}^{-\omega t}{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert S\left(t-\tau \right){\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}\left(u^2-v^2\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}}\text{d}\tau \\ \le \frac{C}{2}{\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\omega \tau }}{\Vert u-v\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert u+v\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau \\ \le \frac{C}{\omega }\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}{\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\text{e}}^{-\omega t}{\Vert u-v\Vert }_{B_{p,r}^s}\end{array}$ (14)

需要说明的是，上面出现的常数$C$ 是估计(9)中出现的常数，当然我们可以调整(11)中的常数$\omega$ ，使得$\frac{C}{\omega }\le 1$ 。

由(13)~(14)可知，若$\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\le \frac{1}{4},$ 则映射$\Gamma :ℬ\to ℬ$ 是一个压缩映射。故BBM方程(1)存在唯一解$u\left(t,x\right)\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)$ 同时，由(10)及引理2可知$u_t\left(t,x\right)\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)$ 即$u\left(t,x\right)\in W^{1,\infty }\left(\left[0,T\right],B_{p,r}^s\right)$ 最后由Sobolev嵌入

$W^{1,\infty }\left(\left[0,T\right],B_{p,r}^s\right)$ ↪$C\left(\left[0,T\right],B_{p,r}^s\right)$

可知$u\left(t,x\right)\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)$ 证毕。

4. 全局适定性

接下来，我们讨论定理1中得到的局部解$u$ 的全局性。即其在任意给定的时间$T$ 内不发生爆破。我们采取的策略是将$u$ 分解为$u=v+w$ ，其中让$v$ 满足BBM方程，但初值$v\left(0,x\right)$ 可以控制到任意小，而$w$ 满足另一个方程，且初值足够光滑。为此，我们要将初值$u_0\left(x\right)=u\left(0,x\right)$ 进行频率分解。在此之前，我们需要下面的引理。

引理3. 令$1\le p,r\le \infty ,s\in ℝ$ 热流${\left\{{\text{e}}^{t{\partial }_x^2}\right\}}_{t\ge 0}$ 为$B_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ 中的$C_0$ 压缩算子半群；即

${\Vert {\text{e}}^{t{\partial }_x^2}\Vert }_{B_{p,r}^s\to B_{p,r}^s}\le 1,\forall t\ge 0.$

证明：由Hille-Yosida定理[27]，我们只需要证明

${\Vert {\left(\lambda -{\partial }_x^2\right)}^{-1}\Vert }_{B_{p,r}^s\to B_{p,r}^s}\le \frac{1}{\lambda },\forall \lambda >0.$ (15)

为此，任意取定一个$f\in B_{p,r}^s$ ，由Besov空间的定义及${\Delta }_j$ 与${\left(\lambda -{\partial }_x^2\right)}^{-1}$ 可交换，我们只需说明对任意$j\ge -1$ 有

${\Vert {\left(\lambda -{\partial }_x^2\right)}^{-1}{\Delta }_{j}u\Vert }_{L^p}\le \frac{1}{\lambda }{\Vert {\Delta }_{j}u\Vert }_{L^p}$ (16)

即可。由傅里叶变换的卷积性质，${\left(\lambda -{\partial }_x^2\right)}^{-1}{\Delta }_{j}u=G_{2,\lambda }\ast {\Delta }_{j}u$ ，其中

$\begin{array}{c}{G}_{2,\lambda }\left(x\right)={ℱ}^{-1}{\left(\lambda +{\xi }^2\right)}^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{ix\xi }{\left(\lambda +{\xi }^2\right)}^{-1}}\text{d}\xi \\ =\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{ix\xi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-t\left(\lambda +{\xi }^2\right)}}}\text{d}t\text{d}\xi \\ =\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\lambda t}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{ix\xi }}}{\text{e}}^{-t{\xi }^2}\text{d}\xi \text{d}t,\end{array}$ (17)

其中(17)中交换积分次序由富比尼定理[28]保证。注意到，由于

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\mathrm{e}}^{ix\xi }}{\mathrm{e}}^{-t{\xi }^2}\mathrm{d}\xi =ℱ\left[{\mathrm{e}}^{-t{|\cdot |}^2}\right]\left(-x\right)={\left(\frac{\pi }{t}\right)}^{\frac{1}{2}}{\text{e}}^{-\frac{x^2}{4t}},$

故，最终得

$G_{2,\lambda }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{-\frac{1}{2}}{\text{e}}^{-t\lambda -\frac{x^2}{4t}}}\text{d}t.$ (18)

由等式(18)显然可以得到$G_{2,\lambda }\left(x\right)\in C^{\infty }\left(ℝ-\left\{0\right\}\right)$ 且对$\forall \in ℝ$ 均有$G_{2,\lambda }\left(x\right)>0$ 因此我们可以得到

${\Vert G_{2,\lambda }\left(x\right)\Vert }_{L^1\left(ℝ\right)}=\widehat{G_{2,\lambda }}\left(0\right)=\frac{1}{\lambda }.$

最后由Young不等式可得(16)成立，这样我们就证明了该引理。

注意到，由于$C_0$ 压缩算子半群一定是强连续算子半群，因此，由强连续性可知

${\lim }_{t\to 0^{+}}{\Vert {\text{e}}^{t{\partial }_x^2}f-f\Vert }_{B_{p,r}^s}=0,\forall f\in B_{p,r}^s.$

同时注意到，对于函数$G_{2,\lambda }\left(x\right)$ 而言，当$\lambda =1$ 时，$G_{2,1}\left(x\right)=G_2\left(x\right)={ℱ}^{-1}{\left(1+{\xi }^2\right)}^{-1}\left(x\right)$ ，其对应于贝塞尔势函数[26]，$G_z\left(x\right)={ℱ}^{-1}{\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{z}{2}}\left(x\right)$ 当$z=2$ 时的情形。并且经计算可知，

${\Vert G_{z,\lambda }\left(x\right)\Vert }_{L^1\left(ℝ\right)}={\left(\lambda \right)}^{-\frac{z}{2}}{\Vert G_z\left(x\right)\Vert }_{L^1\left(ℝ\right)}={\left(\lambda \right)}^{-\frac{z}{2}}$ .

对任意的实数$z>0$ 均成立。最后注意到，实际上由文献[25]之引理2.4可知，对于每个频率截断${\Delta }_{j}u$ 而言，热流${\text{e}}^{t{\partial }_x^2}$ 在Besov空间中具有更强的耗散作用，即

${\Vert {\text{e}}^{t{\partial }_x^2}{\Delta }_{j}u\Vert }_{B_{p,r}^s}\le C{\text{e}}^{-ct{4}^j}{\Vert {\Delta }_{j}u\Vert }_{B_{p,r}^s},$

这里的$C,c$ 均为不依赖于$j,s,p,r$ 的常数。

接下来，我们给出本文的主要定理，BBM方程(1)在Besov空间$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ 中的全局适定性。

定理2. (全局适定性)。设$1/2<s\le 1$ ，$2\le r<\infty$ 。则BBM方程(1)在Besov空间$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ 中全局适定。

证明：由前面的分析可知，令$u\left(t,x\right)$ 为BBM方程(1)的解，我们只需要证明，对于任意给定的$T>0$ ，有

${\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\Vert u\left(t,x\right)\Vert }_{B_{2,r}^s}<\infty$ (19)

即可。为此，我们做分解$u=v+w$ ，其中$v$ 和$w$ 分别满足

$\{\begin{array}{l}{v}_t+v_x-v_{txx}+v{v}_x=0,\\ v\left(0,x\right)=\left(Id-S_j\right)u_0+\left(1-{\text{e}}^{\epsilon {\partial }_x^2}\right)\left(S_j{u}_0\right),\end{array}$ (20)

$\{\begin{array}{l}{w}_t+w_x-w{}_{txx}+w{w}_x+{\left(wv\right)}_x=0,\\ w\left(0,x\right)={\text{e}}^{\epsilon {\partial }_x^2}\left(S_j{u}_0\right).\end{array}$ (21)

首先看问题(20)。由定理1可知，对于给定的$T$ 只要控制初值$v\left(0,x\right)$ ，使其满足

$\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert v\left(0,x\right)\Vert }_{B_{2,r}^s}\le \frac{1}{4},$ (22)

则有

${\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\Vert v\left(t,x\right)\Vert }_{B_{2,r}^s}<\infty$

成立。显然，这是可以做到的。事实上，由引理1之(4)收敛性知，可以找到足够大的$j$ ，使得

$\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert \left(\text{Id}-S_j\right)u_0\Vert }_{B_{2,r}^s}\le \frac{1}{8}.$

再由引理3知，存在足够小的$ϵ>0$ 使得

$\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right){\Vert \left(1-{\text{e}}^{ϵ{\partial }_x^2}\right)\left(S_j{u}_0\right)\Vert }_{B_{2,r}^s}\le \frac{1}{8}.$

因此，我们可以取定$\left(j,ϵ\right)$ 使得(22)式成立。

再来看问题(21)。其等价的积分方程为

$w\left(t,x\right)=S\left(t\right)w\left(0,x\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-\tau \right){\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}}{w}^2\text{d}\tau -{\displaystyle {\int }_0^{t}S\left(t-\tau \right){\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}\left(wv\right)\text{d}\tau }$ ,

其中$v$ 是初值s问题(20)的解。由引理2及定理1可知，对于$\forall t\in \left[0,T\right]$ 有

$\begin{array}{l}{\Vert {\partial }_x{\left(1-{\partial }_x^2\right)}^{-1}\left(wv\right)\Vert }_{B_{2,r}^s}\le C{\Vert w\left(t,\cdot \right)\Vert }_{B_{2,r}^s}{\Vert v\left(t,\cdot \right)\Vert }_{B_{2,r}^s}\\ \le C2{\text{e}}^{\omega T}{\Vert v\left(0,\cdot \right)\Vert }_{B_{2,r}^s}{\Vert w\left(t,\cdot \right)\Vert }_{B_{2,r}^s}\\ \le \tilde{C}{\Vert w\left(t,\cdot \right)\Vert }_{B_{2,r}^s}\end{array}$,

其中$\tilde{C}$ 是依赖于初值$u_0$ ，时间$T$ 及参数$j,\epsilon$ 的常数。因此，可以用与定理1完全类似的方法得到其局部适定性；即初值问题(21)存在唯一的解$w\in L^{\infty }\left(\left[0,\delta \right];B_{2,r}^s\right)$ 这里的$\delta$ 为一个异于$T$ 的正值，不妨令$\delta <T$ 。现在我们来说明其在给定的时间段0到$T$ 内不发生爆破；即

${\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\Vert w\left(t,x\right)\Vert }_{B_{2,r}^s}<\infty .$ (23)

注意到，$u_0\left(x\right)$ 的低频截断$S_j{u}_0\in B_{2,2}^0$ (实际上$S_j{u}_0\in B_{2,l}^{\sigma }$ 其中$\sigma \in ℝ,1\le l\le \infty$ )。由于空间$B_{2,2}^0$ 与空间$L^2$ 一致，再利用热算子半群${\text{e}}^{ϵ{\partial }_x^2}$ 的光滑作用可知$w\left(0,x\right)={\text{e}}^{ϵ{\partial }_x^2}\left(S_j{u}_0\right)\in H^1\left(ℝ\right)$ 对方程(21)两边同乘$2w$ 后再对空间变量$x$ 积分，得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{w}^2}+w_x^2\text{d}x-2{\displaystyle {\int }_{ℝ}wv{w}_x}\text{d}x=0,$ (24)

其中

$\begin{array}{c}2{\displaystyle {\int }_{ℝ}wv{w}_x}\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{ℝ}{v}^2}{w}^2\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{ℝ}{w}_x^2}\text{d}x\\ \le {\Vert v^2\Vert }_{L^{\infty }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{w}^2}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{ℝ}{w}_x^2}\text{d}x\\ \le \text{max}\left\{{\Vert v\Vert }_{L^{\infty }}^2,1\right\}{\Vert w\Vert }_{H^1}^2.\end{array}$ (25)

由定理的假设，有嵌入关系$B_{2,r}^s$ ↪$L^{\infty }$ ，再结合(24)~(25)，可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert w\Vert }_{H^1}^2\le CV\left(t\right){\Vert w\Vert }_{H^1}^2,$ (26)

其中$V\left(t\right)=\text{max}\left\{{\Vert v\Vert }_{B_{2,r}^s}^2,1\right\}$ 。然后，由Gronwall引理，及${\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\Vert v\Vert }_{B_{2,r}^s}<\infty$ 得

${\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\Vert w\left(t,x\right)\Vert }_{H^1}^2\le \text{exp}\left\{C{\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\displaystyle {\int }_0^{t}V\left(\tau \right)\text{d}\tau }\right\}{\Vert w\left(0,x\right)\Vert }_{H^1}^2\le W{\Vert w\left(0,x\right)\Vert }_{H^1}^2<\infty ,$

其中$W=\text{exp}\left\{CT\left({\sup }_{t\in \left[0,T\right]}{\Vert v\Vert }_{B_{2,r}^s}^2+1\right)\right\}$ 。最后，由嵌入关系$B_{2,2}^1$ ↪$B_{2,r}^s$ ，得(23)成立。这样我们就证明了该定理。

注意到，由于技术原因，当第三指标$r=\infty$ 时，我们不能得到全局性。这是由于当$r=\infty$ 时，无法保证引理1中(4)收敛性成立。同时注意到，在上述证明中，对于使得(22)成立的频率阈值$j$ 而言，我们只能得到其存在性，但是无法进一步给出其精确的估计；这与我们无法控制正项级数部分和数列收敛快慢类似。事实上，

$u_0\in B_{2,r}^s\iff {\displaystyle \sum _{j\ge -1}{2}^{jsr}{\Vert {\Delta }_j{u}_0\Vert }_{L^2}^r}<\infty \Rightarrow {\displaystyle \sum _{k\ge j}{2}^{ksr}{\Vert {\Delta }_k{u}_0\Vert }_{L^2}^r}={\Vert \left(\text{Id}-S_j\right)u_0\Vert }_{B_{2,r}^s}^r\to 0$ 当$j\to \infty$ ，因此，可以找到一个足够大的$j$ ，使得

${\Vert \left(\text{Id}-S_j\right)u_0\Vert }_{B_{2,r}^s}\le \frac{1}{8}{\left({\text{e}}^{\omega T}-1\right)}^{-1}$

成立。

5. 总结

本文中，我们详细讨论了BBM方程在Besov空间中的适定性问题，特别的得到了其在$B_{2,r}^s\left(ℝ\right)$ 中的全局适定性，部分回答了我们在引言中提出的问题。同样地，对于BBM方程在齐次Besov空间${\dot{B}}_{p,r}^s\left(ℝ\right)$ 中的适定性亦可进行讨论。