基于蓝牙数字传感器的摆动实验仪的设计与研究

Design and Research of Pendulum Experiments Based on Bluetooth Digital Sensor

摘要: 人工智能赋能高等教育，2023版《理工科类大学物理实验课程教学基本要求》要求实验仪器的数字化，以蓝牙模块和角度传感器为核心器件，设计了一套基于蓝牙数字传感器的摆动实验设备，精简了实验仪配件，提高了空间利用率及提高了测量精度。在这一数字化仪器的基础上，从大学实验教学目的出发，并紧密结合理论知识，同时兼顾可视化、数字化、模块化等特点，设计了多个数字化实验。有利于学生掌握理解相关专业知识，提升实验操作能力与水平。

Abstract: Artificial intelligence empowers higher education, and the 2023 “Basic Requirements for University Physics Experiment Courses in Science and Engineering” requires the digitization of experimental instruments. We have designed a set of pendulum experiment equipment, which takes the Bluetooth module and angle sensor as the core components. This design simplifies the experimental accessories, improves the utilization of space, and enhances the accuracy of measurements. Based on this digital instrument, and starting from the purpose of university experimental teaching, we have designed three digital experiments. These experiments are closely linked with theoretical, while also taking into account the characteristics of visualization, digitalization, and modularization. It is conducive to students mastering professional knowledge, enhancing their experimental operation skills and levels.

1. 引言

了解并掌握地球表面重力的分布，对地球物理科学、空间科学和航空航天技术、地震预测及大地测量等领域的研究具有十分重要的意义[1]-[3]。因此，如何精准测量重力加速度g就显得尤为重要[4]。目前较为常用的方法有单摆法、复摆法、气垫导轨法及冷原子干涉法等[5]-[8]。复摆法测重力加速度的概念清晰、明确，知识点包含了谐振动与微分方程等数理知识，因此使用该方法测量重力加速度是高等学校普通物理实验必定开展的实验项目。现有相应实验仪器存在操作繁琐、测量误差大(偶然误差)、体积大且严重占用空间等缺点，在高等教育数字化改革的浪潮下，为了提高测量精度减少偶然误差的引入，整合不必要的仪器配件提高空间利用率，利用蓝牙通讯模块、角度传感器作为核心器件，设计开发了基于蓝牙数字传感器的摆动实验仪。结合这一数字化仪器特点，并从大学实验教学目的出发，紧密围绕谐振理论知识，同时兼顾数字化、可视化、模块化、操作便捷度及成本等因素，设计并实现了以下3个实验：1. 复摆–数字化最佳采样频率实验；2. 复摆–数字化数据采集精度对比实验；3. 数字化凯特摆实验。

2. 基本原理

复摆是一具有一定质量的刚体，在重力作用下绕固定水平轴作小幅摆动的动力运动体系[9]。如图1所示，悬挂在旋转轴上O点的不规则刚体，小角度摆动时可近似成谐振动，其振动周期公式如(1)所示：

$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}$ (1)

其中：m是刚体的质量，g是重力加速度，h是旋转轴O到重心点G的距离，I是刚体绕O点的转动惯量。

Figure 1. Complex pendulum (irregular rigid body)

图1. 复摆(不规则刚体)

从刚体平行轴定理可知，公式(1)可以变成如下公式(2)：

$T=2\pi \sqrt{\frac{I_G+m{h}^2}{mgh}}$ (2)

其中：I_G是该刚体过重心G的转动惯量。

从公式(2)中可知，一定存在一个h值使该复摆摆动周期最小，这时的h值被称为复摆的回旋半径，用r表示。因此，在旋转轴r两边一定会存在无数个摆动周相同的旋转轴，通常把这样的一对旋转轴称为共轭轴。若假设其中一对共轭轴，它们到重心点的距离分别为h₁、h₂ (h₁$\ne$ h₂)，测得的对应周期值为T₁、T₂。将以上数据带入公式(2)，并根据T₁=T₂这个关系式得到公式如下(3)和(4)：

$I_G=m{h}_1{h}_2$ (3)

$T=\pi \sqrt{\frac{h_1+h_2}{g}}$ (4)

由公式(4)可知，只要测出复摆的其中一对共轭轴的距离h₁、h₂及摆动周期T，就能求出重力加速度g。

凯特摆是复摆的一种特定形式，利用两个外形一样但是质量不同的摆锤对称固定在具有对称结构的物理摆上，从而实现重心G的改变来确定其共轭点[10]。

3. 仪器设计

实验仪器示意图如图2所示，实物图如图3所示，其中1是无线角度传感器[11] [12]，采样频率可以设置为10 Hz、20 Hz、50 Hz、100 Hz、200 Hz、500 Hz及1000 Hz等，按照设定的采样频率进行角度位移数据采集，并通过蓝牙模块将数据传输到计算机上，角度传感器的最大转速是30转/s，角分辨率是0.18°；2是复摆，总长28.00 cm，每间隔2.00 cm开一个小孔，3是凯特摆。

无线蓝牙通讯模块选择的是由Microchip公司生产的一款基于IS1678芯片完成认证的嵌入式BM78无线模块，实物图如图4所示。通过BM78模块将复摆实验仪链接到电脑，通过软件实现信号的设置、部件的控制以及采样数据的传输，其工作流程图如图5所示。BM78模块通电完成进入配置模式准备接收控制指令，在有效时序内，接收到有效指令完成配置，离开配置模式进入正常工作模式。如果在有效时序内，没有接收到有效指令，模块将退出配置模式，重新等待进入配置模式。

Figure 2. Schematic diagram of instrument

图2. 仪器示意图

Figure 3. Image of the instrument

图3. 仪器实物图

Figure 4. Image of bluetooth communication module

图4. 蓝牙通讯模块实物图

Figure 5. BM78 flowchart

图5. BM78工作流程图

4. 实验结果与分析

用本实验仪器开展了以下3个实验：1. 复摆–数字化最佳采样频率实验；2. 复摆–数字化数据采集精度对比实验；3. 数字化凯特摆实验。

4.1. 复摆–数字化最佳采样频率实验

Figure 6. Schematic diagram of the complex pendulum

图6. 复摆示意图

实验复摆示意图如图6所示，定义复摆一端为a点，从端点a开始依次为转轴1、转轴2…直达转轴n，其中转轴1的圆心与端点a位于同一水平线。令转轴1的圆心到端点a的距离为d₁、转轴2圆心到端点a的距离为d₂……直到d_n，可知d₁ = 0；转轴1的摆动周期为T₁，转轴2的摆动周期为T₂…以此类推到T_n。

实验步骤：用米尺测量复摆a端面至各转轴孔的距离d₁、d₂……d_n，数据如表1所示；将复摆固定在角度传感器上；调节复摆底座水平仪，使仪器水平放置；打开蓝牙按钮，将角度传感器通过蓝牙与电脑连接；打开数据采集软件，采样频率选择为10 Hz，使复摆处于小幅度周期摆动状态，得到摆动周期，依次记录不同转轴的摆动周期；选择采样频率分别为20 Hz、50 Hz、100 Hz，重复上述步骤，记录并处理实验数据，不同采样频率下各摆动周期数据如表2所示。

Table 1. Distance from each axle to ednpoint a (d_n/cm)

表1. 各转轴到端点a的距离(d_n/cm)

d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7	d8
0.00	2.00	4.02	6.02	8.00	10.00	11.98	14.00
d9	d10	d11	d12	d13	d14	d15
16.00	18.00	20.01	22.00	24.03	26.02	28.01

Table 2. Period T_n of each shaft at different sampling frequencies

表2. 不同采样频率得到的各转轴孔周期T_n

周期Tn (s)	采样频率
	10 Hz	20 Hz	50 Hz	100 Hz
T1	0.87	0.87	0.87	0.872
T2	0.84	0.84	0.84	0.843
T3	0.83	0.82	0.82	0.821
T4	0.81	0.81	0.81	0.812
T5	0.83	0.83	0.83	0.829
T6	0.91	0.91	0.91	0.911
T7	1.17	1.17	1.17	1.169
T8	/	/	/	/
T9	1.17	1.17	1.17	1.167
T10	0.91	0.91	0.91	0.909
T11	0.83	0.83	0.83	0.830
T12	0.81	0.81	0.81	0.812
T13	0.83	0.83	0.82	0.820
T14	0.85	0.84	0.84	0.842
T15	0.87	0.87	0.87	0.871

实验时发现在第八个转轴时，复摆几乎不进行周期运动，认为转轴8圆心非常接近重心，周期时间数据不做记录。转轴n距复摆a端的距离为d_n = 14.00 − h_n，其中h_n是转轴n距离复摆中心的距离，对以上数据采用最小二乘法拟合，拟合系数取5，采用MATLAB绘图得到复摆T-d曲线如图7所示：

Figure 7. Figure of T-d fitting for four frequencies

图7. 四种频率的T-d拟合图

分析图7发现采样频率10 Hz得到的拟合曲线偏差较大，随着采样频率越大曲线越圆滑，对这些数据作进一步处理。取定一个T₀ = 0.84 s，使复摆正挂和倒挂的周期都等于T₀，利用MATLAB软件对拟合曲线逆向求解相应的d，得到等效摆长和重力加速度，杭州当地的重力加速度为g₀ = 9.7936 m/s²，数据结果表如表3所示。

Table 3. Equivalent pendulum length l, gravitational acceleration g, absolute error δ, and relative error E obtained from four different sampling frequencies

表3. 四种采样频率得到的等效摆长l、重力加速度g、绝对误差δ与相对误差E

采样频率	l/m	g/m∙s^−^2	δ/m∙s^−^2	E/%
10 Hz	0.1692	9.4696	−0.3240	3.3
20 Hz	0.1736	9.7129	−0.0807	0.82
50 Hz	0.1736	9.7129	−0.0807	0.82
100 Hz	0.1733	9.6962	−0.0904	0.99

当角度传感器的采样频率从10 Hz到100 Hz逐步增加时，测得重力加速度的数值误差具有明显变小趋势，可以认为采样频率越高仪器测得的数据准确度更高，考虑仪器本身测量精度及后续数据处理，实验采样频率设置为100 Hz。

4.2. 复摆–数字化数据采集精度对比实验

将角度传感器的采样频率选择为100 Hz，并使复摆处于小幅度周期摆动状态，使用手机进行视频拍摄，利用Tracker软件和手机视频编辑软件分析处理数据并计算周期。角度传感器、Tracker软件和手机视频编辑软件获得周期数据如表4所示。对数据表4和表1采用最小二乘法拟合，拟合系数取5，采用MATLAB绘图得到复摆在3种软件下获得T-d曲线如图8所示。

Table 4. Period T_n of each shaft under three measurement methods

表4. 3种测量方式下各转轴孔周期T_n

周期Tn (s)	采样方式
	角度传感器	Tracker软件	手机视频编辑软件
T1	0.873	0.874	0.87
T2	0.844	0.843	0.85
T3	0.821	0.823	0.83
T4	0.813	0.810	0.81
T5	0.829	0.827	0.83
T6	0.908	0.910	0.91
T7	1.169	1.169	1.17
T8	/	/	/
T9	1.167	1.174	1.17
T10	0.906	0.907	0.91
T11	0.828	0.827	0.83
T12	0.812	0.812	0.81
T13	0.822	0.821	0.83
T14	0.844	0.843	0.85
T15	0.872	0.873	0.87

Figure 8. Figure of T-d fitting under three measurement methods

图8. 3种测量方式下的T-d拟合图

分析图8发现利用手机视频编辑软件获得的数据拟合曲线偏差较大，说明手机视频编辑软件的采样时间较大，存在较大的仪器误差。取定一个T₀ = 0.84 s，使复摆正挂和倒挂的周期都等于T₀，利用MATLAB软件对图8拟合曲线逆向求解相应的d，得到等效摆长和重力加速度，杭州当地的重力加速度为g₀ = 9.7936 m/s²，数据结果表如表5所示。

Table 5. Equivalent pendulum length l, gravitational acceleration g, absolute error δ, and relative error E obtained from three measurement methods

表5. 3种测量方式下得到的等效摆长l、重力加速度g、绝对误差δ与相对误差E

测量方式	l/m	g/m∙s^−^2	δ/m∙s^−^2	E/%
角度传感器	0.1728	9.6682	−0.1254	1.3
Tracker软件	0.1718	9.6122	−0.1814	1.8
手机视频编辑软件	0.1659	9.2821	−0.5115	5.2

分析图8和表5发现3种测量方式中角度传感器测得数据的计算结果误差最小而手机最大。手机视频编辑软件获得数据误差大的原因可能是受录制视频的帧率限制(30帧)和时间精度只能到秒。Tracker软件所获得数据稍微有点偏差是受视频文件所限，即使Tracker的动态捕捉比较精准，也会因原视频30帧的帧率限制而存在误差。

4.3. 数字化凯特摆实验

Figure 9. Schematic diagram of the Kate pendulum

图9. 凯特摆示意图

凯特摆示意图如图9所示，孔O₁为转轴时认为是正挂，周期T₁，孔O₂为转轴时认为是倒挂，周期T₂。用米尺测量O₁、O₂之间距离l，根据$l$ 和杭州重力加速度g₀计算T'；将凯特摆倒挂于角度传感器上，测量倒挂周期T₂，调节大摆锤A或D，使的|T' − T₂ | < 5 ms，然后将凯特摆正挂于角度传感器上，反复移动小摆锤B或C，调节过程中需要注意记录每次摆锤的调节方向，当$\left|T_1-T_2\right| <1\text{ms}$ 认为调节完成。多次测量周期$T_1$ 和$T_2$ ，数据记录表如表6所示。用悬挂法获得凯特摆重心G位置，并测量G与O₁的$距离$ h₁与O₂的距离h₂，数据记录表如表7所示。

Table 6. Kate pendulum period T₁ and inverted period T₂

表6. 凯特摆正挂周期$T_1$ 和倒挂周期$T_2$

测量次数/n	正挂周期T1/s	倒挂周期T2/s
1	1.153	1.156
2	1.153	1.155
3	1.153	1.156
4	1.154	1.155
5	1.153	1.155
平均值	1.153	1.155

Table 7. Kate pendulum period T₁ and inverted period T₂

表7. 凯特摆重心G到O₁、O₂的距离h₁、h₂和等效摆长l

测量次数/n	h1/cm	h2/cm	l/cm
1	10.90	22.05	33.00
2	11.00	22.00	33.10
3	10.98	21.95	33.05
4	10.95	22.00	33.08
5	11.00	22.00	33.05
平均值	10.97	22.00	33.06

根据表6和表7的数据，得到$\overline{T_1}=1.153\text{s}$、$\overline{T_2}=1.155\text{s}$，$\overline{h_1}=10.97\text{cm}$、$\overline{h_2}=22.00\text{cm}$、$\overline{l}=33.06\text{cm}$。根据凯特摆测重力加速度公式(5)，计算得到重力加速度g。

$g=\frac{4{\pi }^2}{\frac{T_1{}^2+T_2{}^2}{2l}+\frac{T_1{}^2-T_2{}^2}{2\left(h_1-h_2\right)}}=9.7499\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ (5)

经查得杭州当地的重力加速度为$g_0=9.7936\text{m}/{\text{s}}^2$ ，则相对误差E为0.44%。

$E=\frac{\left|g-g_0\right|}{g_0}\times 100\%=0.44\%$

5. 结论

在高等教育数字化改革的浪潮下，通过调研及理论知识学习，设计并开发了基于蓝牙数字传感器的摆动实验装置。采用蓝牙通讯模块，整合不必要的仪器配件提高空间利用率并实现数据无线传输。角度传感器提高了仪器测量精度减少偶然误差的引入，实验仪器误差在4.0%以内。结合无线蓝牙角度传感器，开展设计的3个数字化实验拥有更简明的实验流程、更好的教学展示效果及更高的实验测量精度，有利于学生掌握谐振动的相关专业知识，提升实验操作能力与水平，为其在大学物理理论学习上打下坚实基础，同时也有利于提高学生的综合实验能力。

基金项目

浙江工业大学2023年教学改革项目(JG2023035)。