泵控电液伺服系统神经网络预设性能滑模控制

doi:10.12677/mos.2025.145427

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泵控电液伺服系统神经网络预设性能滑模控制
Neural Network Prescribed Performance Sliding Mode Control for Pump Control Electrohydraulic Servo System

DOI: 10.12677/mos.2025.145427, PDF, HTML, XML,
作者: 郑益平：上海理工大学机械工程学院，上海；马琛俊：上海电气液压气动有限公司，上海
关键词: 电液伺服系统；RBF神经网络；规定性能约束；参数不确定；滑模控制；Electro-Hydraulic Servo System； RBF Neural Network； Prescribed Performance Constraint； Parameter Uncertainty； Sliding Mode Control

摘要: 针对泵控电液伺服系统中常见的参数不确定性和未知干扰问题，文章设计了一种结合RBF神经网络的预设性能滑模控制方法(RBFPPCBSMC)。首先，基于模型设计了一种干扰观测器(DOB)对未知扰动进行估计，并采用反步法设计改进趋近律的滑模控制律，通过双曲正切函数(tanh)构造滑模面切换函数，有效抑制滑模控制中的高频抖振现象。其次，设计径向基函数(RBF)神经网络对系统未建模动态进行自适应补偿。然后，引入规定性能约束(PPC)，确保瞬态和稳态位置响应在要求的有界范围内，进一步降低系统的跟踪误差。通过Lyapunov稳定性理论，证明了采用该控制方法的闭环系统的稳定性。为了验证RBFPPCBSMC的有效性，文章进行了详细的仿真对比。仿真结果表明，该控制器能够实现泵控电液伺服系统的精准控制，并有效应对模型参数不确定性和外部扰动带来的挑战。

Abstract: To address the common issues of parameter uncertainty and unknown disturbances in pump control electrohydraulic servo systems, this paper proposes a novel control strategy combining RBF neural networks with preset performance sliding mode control (RBFPPCBSMC). Initially, a disturbance observer (DOB) is designed based on the system model to estimate unknown disturbances. The sliding mode control law is then formulated using a backstepping approach. The sliding surface switching function is constructed via the hyperbolic tangent function (tanh), effectively mitigating the high-frequency chattering phenomenon inherent in sliding mode control. In parallel, a radial basis function (RBF) neural network is synergistically designed to achieve adaptive compensation for the system’s unmodeled dynamics. To ensure that both transient and steady-state position responses remain within desired bounds and to minimize tracking errors, a prescribed performance constraint (PPC) is incorporated. The stability of the closed-loop system under this control method is rigorously proven using the Lyapunov stability theory. Detailed simulation comparisons are conducted to validate the effectiveness of the RBFPPCBSMC. Simulation results demonstrate that the proposed controller achieves precise control of the electro-hydraulic servo system and effectively handles challenges posed by model uncertainties and external disturbances.

文章引用：郑益平, 马琛俊. 泵控电液伺服系统神经网络预设性能滑模控制[J]. 建模与仿真, 2025, 14(5): 703-714. https://doi.org/10.12677/mos.2025.145427

1. 引言

电液伺服系统以其功率重量比高、响应速度快和负载适应性强等特点[1]，被广泛应用于各种工业和机械设备中，发挥着重要的作用。泵控系统是电液伺服系统的一种，由于节能等优势被广泛关注和研究。然而，泵控液压缸伺服系统在实际工况下面临多重不确定性挑战，例如非对称液压缸造成的伸出和缩回动态特性不一致，油液温度变化引起密度、油液弹性模量等参数变化，流量和压力的强非线性关系，以及摩擦和泄漏等一些动态特性难以建模描述等问题，这些因素耦合作用严重制约了其动态跟踪精度的提升。

针对上述问题，国内外研究人员已经提出了多种创新的控制策略和方法以提高电液伺服系统的控制性能，如滑模控制(SMC)策略[2]、自适应模糊控制策略[3]、具有规定性能约束的容错控制策略[4]等。例如，Dang [5]等通过结合反步法与滑模控制，构建类Lyapunov能量函数，实现了轨迹跟踪精度与动态收敛性的同步优化；针对液压执行器死区非线性与参数摄动耦合问题，牛善帅等[6]提出死区补偿结合自适应鲁棒控制方法，实验结果验证所设计控制器的可行性和优越性；郭雪杰等[7]引入预设性能函数，结合动态面控制技术，使系统保持设定的瞬态和稳态跟踪性能。然而，上述方法对模型精度要求高，但在实际中，液压系统参数不确定性且外部干扰未知，所建立的数学模型并不准确，上述控制算法的实际应用受限。而神经网络、遗传算法和模糊等智能方法能有效克服这些缺点，已广泛应用于各个领域[8]。在这些智能方法中，径向基函数(RBF)神经网络在所建模型不精确的情况下，逼近速度快，能够适应电液伺服系统变化的环境。

因此本文针对泵控液压缸伺服系统，提出了一种神经网络预设性能滑模控制器。该控制器通过干扰观测器估计未知扰动，并采用RBF神经网络逼近系统模型未知项，通过规定性能约束(PPC)进一步缩小系统误差，并确保瞬态和稳态位置响应在要求的有界范围内。最终所提控制器的性能在仿真实验中得到验证。

2. 泵控系统数学模型

泵控系统主要由电机、液压缸、伺服阀、溢流阀、位移传感器等元件组成。系统原理如图1所示，电机3驱动轴向柱塞泵1和补油泵2，液压差动缸由轴向柱塞泵直接供油。补油泵3提供低压，液控单向阀4a、4b连接主回路，维持低压回路恒定压力，平衡流量并补偿泄漏，蓄能器5稳定补油压力，溢流阀7限低压回路压力，溢流阀6a、6b保主回路安全。

Figure 1. Principle diagram of electro-hydraulic servo system

图1. 控制对象系统原理图

对图1中的液压主回路，建立差动缸力平衡方程和压力动态特性方程：

$\ddot{x} = (A_{A} \cdot p_{A} - A_{B} \cdot p_{B}) / m - f_{1} (x) - F / m$ (1)

$(A_{A} \cdot {\dot{p}}_{A} - A_{B} \cdot {\dot{p}}_{B}) / m = f_{2} (x) U + f_{3} (x) + k (t)$ (2)

公式(1)、(2)中字母具体含义如表1所示。 $h_{j} (x_{N}) = \exp (\frac{{‖ x_{N} - c_{N j} ‖}^{2}}{2 b_{N j}^{2}})$ 、 $f_{2} (x)$ 、 $f_{3} (x)$ 和 $k (t)$ 表达式如下：

${\begin{cases} f_{1} (x) = B_{m} \dot{x} / m \\ f_{2} (x) = \frac{n V_{p}}{m} (\frac{β_{e} A_{A}}{V_{A}} + \frac{β_{e} A_{B}}{V_{B}}) \\ f_{3} (x) = - \frac{1}{m} (\frac{β_{e} A_{A}^{2}}{V_{A}} + \frac{β_{e} A_{B}^{2}}{V_{B}}) x_{2} \\ k (t) = - \frac{K_{L i}}{m} (\frac{β_{e} A_{A}}{V_{A}} + \frac{β_{e} A_{B}}{V_{B}}) (P_{A} - P_{B}) + \frac{A_{A} β_{e}}{m V_{A}} Q_{c k 1} - \frac{A_{B} β_{e}}{m V_{B}} Q_{c k 2} \end{cases}$

由于参数的不确定性， $f_{1} (x)$ 是未知函数，而 $f_{2} (x)$ 可以表达为 $f_{2} (x) = g (x) + Δ f (x)$ ，其中 $g (x)$ 为 $f_{2} (x)$ 的已知确定标称值， $Δ f (x)$ 未知非线性函数。

根据文献[9]，选取状态变量 $x_{1} = x$ ， $x_{2} = \dot{x}$ ， $x_{3} = (A_{A} \cdot p_{A} - A_{B} \cdot p_{B}) / m$ ，可得如下状态空间方程：

$\begin{array}{l} \dot{x} = [\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{2} \\ x_{3} - f_{1} (x) + d (t) \\ g (x) U + f_{4} (x) \end{matrix}] \\ y = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}] x \end{array}$ (3)

式中， $d (t) = - F / m$ ， $f_{4} (x) = f_{3} (x) + Δ f (x) U + k (t)$ ； $f_{1} (x)$ 和 $f_{4} (x)$ 为模型中的未知非线性函数。后面在控制器设计中采用神经网络对 $f_{1} (x)$ 和 $f_{4} (x)$ 进行拟合逼近。

3. RBF神经网络预设性能滑模控制器设计

3.1. RBF网络设计

RBF网络结构简单，泛化能力强，对非线性函数具有逼近功能[10]，因此，针对泵控系统模型中存在来源于系统的动态变化、外部负载干扰或建模误差等不确定性参数，传统的建模方法往往难以准确描述其特性。采用RBF网络进行对该部分进行自适应逼近，RBF神经网络表达式如下：

$h_{j} (x_{N}) = \exp (\frac{{‖ x_{N} - c_{N j} ‖}^{2}}{2 b_{N j}^{2}})$ (4)

$f_{1} (x_{N}) = W^{*}^{Τ} h_{f} (x_{N}) + ε_{f}$ (5)

$f_{4} (x_{N}) = V^{*}^{Τ} h_{t} (x_{N}) + ε_{t}$ (6)

式中， $x_{N}$ 为网络输入； $c_{N j}$ 为网络隐含层第 $j$ 个神经元高斯基函数中心点的坐标； $b_{N j}$ 为隐含层第 $j$ 个神

经元高斯基函数的宽度； $h_{j} (x_{N})$ 为隐含层第 $j$ 个神经元的输出； $W^{*}$ 和 $V^{*}$ 分别是 $f_{1} (x_{N})$ 和 $f_{4} (x_{N})$ 的理想网络权值；逼近误差为 $ε_{f}$ 和 $ε_{g}$ ， $| ε_{f} | \leq ε_{M f}$ ， $| ε_{t} | \leq ε_{M t}$ ， $ε_{M f}$ 和 $ε_{M t}$ 均为有界的正值。

本文选取的RBF网络结构为2-5-2，对于本文的RBF网络，取系统位移、速度作为网络输入，网络隐含层数量取为5，即 $j = 1, 2, 3, 4, 5$ ；网络输出 $f_{1} (x_{N})$ 、 $f_{4} (x_{N})$ 的逼近值为 ${\hat{f}}_{1} (x_{N})$ 和 ${\hat{f}}_{4} (x_{N})$ 。

取网络输入为 $x_{N} = {[x_{1}, x_{2}]}^{T}$ ，则RBF输出为：

${\hat{f}}_{1} (x_{N}) = {\hat{W}}^{Τ} h_{f} (x_{N})$ (7)

${\hat{f}}_{4} (x_{N}) = {\hat{V}}^{Τ} h_{t} (x_{N})$ (8)

式中， $h_{f} (x_{N})$ 和 $h_{t} (x_{N})$ 为RBF高斯基函数， $\hat{W}$ 和 $\hat{V}$ 为RBF实际网络权值。

定义 $\tilde{f} = \hat{f} - f, \tilde{W} = \hat{W} - W^{*}, \tilde{V} = \hat{V} - V^{*}$ ，则逼近误差：

${\tilde{f}}_{1} = {\hat{W}}^{Τ} h_{f} (x_{N}) - W^{*}^{Τ} h_{f} (x_{N}) - ε_{f} = {\tilde{W}}^{Τ} h_{f} (x_{N}) - ε_{f}$ (9)

${\tilde{f}}_{4} = {\hat{V}}^{Τ} h_{t} (x_{N}) - V^{*}^{Τ} h_{t} (x_{N}) - ε_{t} = {\tilde{V}}^{Τ} h_{t} (x_{N}) - ε_{t}$ (10)

3.2. DOB设计

外界干扰是影响系统跟踪控制精度的主要原因之一，在不同的应用场合中，由于泵控系统运行环境恶劣、外部各类噪声以及其他因素的影响都会使得泵控系统受到不同程度的外界扰动。因此，为了补偿泵控液压系统液压缸受到的外部干扰，本文采用干扰观测器将观测器输出的干扰观测值反馈给控制系统。

$d (t)$ 是作用在执行元件液压缸上的外部扰动，针对该非线性系统(1)设计如下干扰观测器。

${\begin{array}{l} \hat{d} (t) = φ + ρ (x) \\ \dot{φ} = - l (x) φ - l (x) [ρ (x) + x_{3} - {\hat{f}}_{1} (x)] \end{array}$ (11)

式中， $\hat{d} (t)$ 为观测量， $φ$ 为变量， $ρ (x)$ 为非线性函数， $l (x)$ 为增益值，进行如下假设：

$\dot{ρ} (x) = l (x) {\dot{x}}_{2}$ (12)

定义观测误差为 $\tilde{d} (t) = \hat{d} (t) - d (t)$ ，可得：

$\dot{\tilde{d}} (t) = \dot{\hat{d}} (t) - \dot{d} (t)$ (13)

根据式(12)假设，由式(11)~式(13)，可得：

$\begin{array}{l} \dot{\tilde{d}} (t) = \dot{\hat{d}} (t) - \dot{d} (t) \\ = - l (x) φ - l (x) [ρ (x) + x_{3} - {\hat{f}}_{1} (x)] + \dot{ρ} (x) - \dot{d} (t) \\ = - l (x) \hat{d} (t) + l (x) d (t) + l (x) {\tilde{f}}_{1} (x) - \dot{d} (t) \\ = - l (x) (\tilde{d} (t) - {\tilde{f}}_{1} (x)) \end{array}$ (14)

由文献[11]可知，选择合适的 $l (x)$ 值，可使观测误差按照指数收敛。

3.3. RBF神经网络预设性能反步滑模控制器设计

针对非线性系统的控制难题，反步法通过状态变量递归解耦将高阶系统分解为严格反馈结构，并基于Lyapunov函数分步逆向推导虚拟控制律。在此基础上，引入改进趋近律的滑模控制，改善滑模控制的抖振问题。同时，创新性引入预设性能控制(PPC)，借助时变性能函数与误差转换机制构建动态约束边界，确保跟踪误差在设定精度带内，显著增强复杂机电系统的工程适用性[12]。神经网络预设性能滑模控制器见图2。

令跟踪误差 $e (t) = x_{1} - x_{1 d}$ ，严格满足以下不等式以实现规定的性能：

$- m_{l} ϕ (t) < e (t) < m_{t} ϕ (t), \forall t > 0$ (15)

式中， $m_{l} > 0, m_{t} > 0$ ，性能函数 $ϕ (t)$ 平滑有界，即：

$\begin{array}{l} ϕ (t) = (ϕ_{0} - ϕ_{\infty}) e^{- r t} + ϕ_{\infty} \\ \lim_{t \to \infty} ϕ (t) = ϕ_{\infty} > 0 \end{array}$ (16)

式中， $ϕ_{0} > 0, ϕ_{\infty} > 0$ ， $ϕ_{0}$ 为初始值，代表最大超调的界限， $ϕ_{\infty}$ 为所设计预设性能函数允许的最大稳态误差， $r$ 为误差收敛速度。

用如下误差变换公式：

$e (t) = ϕ (t) S (z_{1}), \forall t \geq 0$ (17)

式中， $S (z_{1}) = \frac{m_{t} e^{z_{1}} - m_{l} e^{- z_{1}}}{e^{z_{1}} + e^{- z_{1}}} = \frac{e (t)}{ϕ (t)} = λ$ 。

考虑到 $z_{1}$ 要求严格单调递增，故 $z_{1}$ 可以表示为：

$z_{1} = \frac{1}{2} \ln \frac{λ + m_{l}}{m_{t} - λ}$ (18)

步骤1：令 ${\dot{z}}_{1} = κ (\dot{e} - ϒ) = κ (x_{2} - {\dot{x}}_{1 d} - ϒ)$ ，其中 $x_{1 d}$ 为期望信号， $ϒ = \frac{e \dot{ϕ}}{ϕ}$ 。定义 $z_{2} = x_{2} - α_{1}$ ， $z_{3} = x_{3} - α_{2}$ ，

$α_{1}, α_{2}$ 为虚拟控制律，定义Lyapunov函数为：

$V_{1} = \frac{1}{2} z_{1}^{2}$ (19)

${\dot{V}}_{1} = z_{1} {\dot{z}}_{1} = κ z_{1} (z_{2} + α_{1} - {\dot{x}}_{1 d} - ϒ)$ (20)

设 $α_{1} = {\dot{x}}_{1 d} + ϒ - k_{1} z_{1}$ ，其中 $k_{1} > 0$ 为设计常数，则有 ${\dot{V}}_{1} = - κ k_{1} z_{1}^{2} + κ z_{1} z_{2}$ 。

步骤2：定义Lyapunov函数为：

$V_{2} = V_{1} + \frac{1}{2} z_{2}^{2}$ (21)

$\begin{array}{l} {\dot{V}}_{2} = {\dot{V}}_{1} + z_{2} {\dot{z}}_{2} \\ = - κ k_{1} z_{1}^{2} + κ z_{1} z_{2} + z_{2} ({\dot{x}}_{2} - {\dot{α}}_{1}) \\ = - κ k_{1} z_{1}^{2} + κ z_{1} z_{2} + z_{2} (x_{3} - f_{1} (x) + d (t) - {\dot{α}}_{1}) \\ = - κ k_{1} z_{1}^{2} + κ z_{1} z_{2} + z_{2} (z_{3} + α_{2} - f_{1} (x) + d (t) - {\dot{α}}_{1}) \end{array}$ (22)

此时，设计虚拟控制律 $α_{2}$ 如下：

$\begin{array}{l} α_{2} = α_{2 a} + α_{2 s} \\ α_{2 a} = {\hat{f}}_{1} (x) - κ z_{1} - \hat{d} (t) + {\dot{α}}_{1} \\ α_{2 s} = - k_{2} z_{2} \end{array}$ (23)

式中， $α_{2 a}$ 为基于模型的前馈补偿项， $α_{2 s}$ 为鲁棒控制项， $k_{2}$ 为增益值。

将式(23)代入式(22)，可得：

${\dot{z}}_{2} = z_{3} - κ z_{1} - k_{2} z_{2} + {\tilde{f}}_{1} (x) - \tilde{d} (t)$ (24)

步骤3：结合 $z_{3}$ 的定义和式(1)，得到 ${\dot{z}}_{3}$ 的动态表达式如下：

$\begin{array}{l} {\dot{z}}_{3} = {\dot{x}}_{3} - {\dot{α}}_{2} \\ = g (x) U + f_{4} (x) - {\dot{α}}_{2} \end{array}$ (25)

步骤4：定义滑模面： $s = l_{1} z_{1} + l_{2} z_{2} + z_{3}$ 。

为解决滑模控制器存在的抖振问题，将双曲正切函数 $\tanh (s / μ_{1})$ 作为切换项代替符号函数 $s i g n (s)$ ，可得控制律如下：

$\begin{array}{l} U = \frac{1}{g (x)} [L (\cdot)] \\ L (\cdot) = - ϖ_{1} {| s |}^{\frac{1}{2}} \tanh (s / μ_{1}) - l s - {\hat{f}}_{4} (x) + {\dot{α}}_{2} \end{array}$ (26)

式中， $ϖ_{1} > 0, l > 0, μ_{1} > 0$ 均为正增益数，其中 $μ_{1}$ 为影响拐点变化快慢系数[13]。

Figure 2. RBF neural network preset performance sliding mode controller block diagram

图2. 神经网络预设性能滑模控制器框图

3.4. 控制器整体稳定性证明

本小节对所设计的RBF神经网络预设性能滑模控制器进行整体稳定性分析。首先，选择Lyapunov函数如下：

$V = V_{2} + \frac{1}{2} s^{2} + + \frac{1}{2} {\tilde{d}}^{Τ} \dot{\tilde{d}} + \frac{1}{2 γ_{1}} {\tilde{W}}^{Τ} \tilde{W} + \frac{1}{2 γ_{2}} {\tilde{V}}^{Τ} \tilde{V}$ (27)

根据式(8)、式(9)、式(22)~式(26)，可以得到：

$\begin{array}{l} \dot{V} = - κ k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} + z_{2} (z_{3} + {\tilde{W}}^{Τ} h_{f} (x_{N}) - ε_{f} - \tilde{d} (t)) \\ + s [l_{1} κ (- k_{1} z_{1} + z_{2}) + l_{2} (z_{3} - κ z_{1} - k_{2} z_{2} + {\tilde{W}}^{Τ} h_{f} (x_{N}) - ε_{f} - \tilde{d} (t)) - ϖ_{1} {| s |}^{\frac{1}{2}} \tanh (s / μ_{1}) - l s - ({\tilde{V}}^{Τ} h_{t} (x_{N}) - ε_{t})] \\ + \frac{1}{2} {\tilde{d}}^{Τ} \dot{\tilde{d}} + \frac{1}{γ_{1}} {\tilde{W}}^{Τ} \dot{\hat{W}} + \frac{1}{γ_{2}} {\tilde{V}}^{Τ} \dot{\hat{V}} \\ = - κ k_{1} z_{1}^{2} - k_{2} z_{2}^{2} - l s^{2} + z_{2} z_{3} + s [l_{1} κ (- k_{1} z_{1} + z_{2}) + l_{2} (z_{3} - κ z_{1} - k_{2} z_{2})] \\ + {\tilde{W}}^{Τ} (h_{f} (x_{N}) (z_{2} + s l_{2}) + \frac{1}{γ_{1}} \dot{\hat{W}}) + {\tilde{V}}^{Τ} (- s h_{t} (x_{N}) + \frac{1}{γ_{2}} \dot{\hat{V}}) \\ - z_{2} (ε_{f} + \tilde{d} (t)) - s l_{2} (ε_{f} + \tilde{d} (t)) - s (ϖ_{1} {| s |}^{\frac{1}{2}} \tanh (s / μ_{1}) + ε_{t}) \\ - l (x) {\tilde{d}}^{Τ} \tilde{d} + {\tilde{d}}^{Τ} l (x) {\tilde{f}}_{1} (x) \end{array}$ (28)

确定参数的自适应律如下：

$\begin{array}{l} \dot{\hat{W}} = - r_{1} [h_{f} (x_{N}) (z_{2} + l_{2} s) + ς_{1} \hat{W}] \\ \dot{\hat{V}} = r_{2} [s h_{t} (x_{N}) - ς_{2} \hat{V}] \end{array}$ (29)

结合杨氏不等式，并将上式代入式(28)，化简得到如下不等式：

$\begin{matrix} \dot{V} \leq - κ k_{1} z_{1}^{2} - (k_{2} - \frac{1}{2}) z_{2}^{2} - (l - 1) s^{2} + z_{2} z_{3} \\ - (l_{1} κ k_{1} + l_{2} κ) s z_{1} + (l_{1} κ - l_{2} k_{2}) s z_{2} + l_{2} s z_{3} \\ - z_{2} \tilde{d} (t) - l_{2} s \tilde{d} (t) - s (ϖ_{1} {| s |}^{\frac{1}{2}} \tanh (s / μ_{1})) \\ - (l (x) + \frac{1}{2}) {\tilde{d}}^{Τ} \tilde{d} - (ς_{1} - \frac{1}{2}) {\tilde{W}}^{2} - (ς_{1} - \frac{1}{2}) {\tilde{V}}^{2} \\ + \frac{ς_{1}^{2} W^{*}^{2}}{2} + \frac{ς_{2}^{2} V^{*}^{2}}{2} + \frac{(1 + l_{2}^{2}) ε_{f}^{2}}{2} + \frac{ε_{t}^{2}}{2} + \frac{l {(x)}^{2}}{2} {\tilde{f}}_{1}^{2} (x) \end{matrix}$ (30)

定义 $Λ$ 为：

$Λ = [\begin{matrix} Λ_{1} & Λ_{2} \\ 0 & Λ_{3} \end{matrix}]$ ， $Λ_{1} = [\begin{matrix} κ k_{1} & 0 & 0 & l_{1} κ k_{1} + l_{2} κ \\ 0 & k_{2} - \frac{1}{2} & - 1 & l_{2} k_{2} - l_{1} κ \\ 0 & 0 & 0 & l_{2} \\ 0 & 0 & 0 & l - 1 \end{matrix}]$ (31)

$Λ_{2} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ l_{2} & 0 & 0 \end{matrix}]$ ， $Λ_{3} = [\begin{matrix} l (x) + \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & ς_{1} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & ς_{2} - \frac{1}{2} \end{matrix}]$ (32)

通过选择参数使得 $Λ$ 是正定的，由此式(30)可以被改写为：

${\dot{V}}_{3} \leq - e^{Τ} Λ e + ϑ \leq - j V + ϑ$ (33)

式中， $ϑ = \frac{ς_{1}^{2} W^{*}^{2}}{2} + \frac{ς_{2}^{2} V^{*}^{2}}{2} + \frac{(1 + l_{2}^{2}) ε_{f}^{2}}{2} + \frac{ε_{t}^{2}}{2} + \frac{l {(x)}^{2}}{2} {\tilde{f}}_{1}^{2} (x)$ ， $e = {[z_{1}, z_{2}, z_{3}, s, \tilde{d}, \tilde{W}, \tilde{V}]}^{Τ}$ ， $j = 2 λ_{\min} (Λ)$ ， $λ_{\min} (Λ)$ 表示矩阵 $Λ$ 的最小特征值。由Lyapunov稳定性理论可知，闭环系统稳定。求解式(33)可得：

$V (t) \leq V (0) \exp (- j t) + \frac{ϑ}{j} [1 - \exp (- j t)]$ (34)

因此，当 $t \to \infty$ 时， $\lim_{t \to \infty} V (t) = \frac{ϑ}{j}$ ，跟踪误差渐进收敛。

4. 仿真实验与分析

基于MATLAB/Simulink，进行控制器有效性仿真实验验证，仿真步长0.001 s。系统参数如表1所示。

选择最大误差 $M_{e}$ 、平均误差 $μ_{e}$ 、误差标准偏差 $σ_{e}$ 三项指标[14]，对比验证PID控制器、反步滑模控制器与所提控制器控制性能。

Table 1. Electro-hydraulic servo system parameters

表1. 泵控系统参数

参数	标称值
变量泵最大排量 $V_{p}$	$2 .8 \times 10^{- 5} m^{3} /rev$
电动机转速 $n$	$24 rev/s$
液压缸上的总质量 $m$	$50 kg$
液压缸无杆腔的有效面积 $A_{A}$	$1 .3 \times 10^{- 3} m^{2}$
液压缸有杆腔的有效面积 $A_{B}$	$6.41 \times 10^{- 4} m^{2}$
液压缸内泄露系数 $K_{L i}$	$2.34 \times 10^{- 12} m^{3} / (s \cdot Pa)$
粘性摩擦系数 $B_{m}$	$2400 N / (m / s)$
油液弹性模量 $β_{e}$	$1.7 \times 10^{9} Pa$

1) RBF神经网络预设性能滑模控制器(RBFPPCSMC)：参数设置为 $l = 1800,$ $k_{1} = 800,$ $k_{2} = 120,$ $l_{1} = 70,$ $l_{2} = 70,$ $ϕ_{0} = 5,$ $ϕ_{\infty} = 1,$ $m_{l} = 0.1,$ $m_{l} = 0.1,$ $r = 5,$ $κ = 2,$ $ϖ_{1} = 0.01,$ $μ_{1} = 0.5,$ $l (x) = 80$ $r_{1} = 0.0025,$ $r_{2} = 2300,$ $b_{N j} = 500 ，$ $c_{N i}$ 和 $b_{N i}$ 取 $[- 10 - 5 0 5 10]$ ，网络初始值设置为0.2。

2) 反步滑模控制器(BSMC)， $u$ 设计为：

$u = - g {(x)}^{- 1} [l_{1} {\dot{z}}_{1} + l_{2} {\dot{z}}_{2} + f_{40} (x) - {\dot{f}}_{10} (x) - {\overset{⃛}{x}}_{1 d} + k_{1} {\ddot{z}}_{1} + {\dot{z}}_{1} + k_{2} {\dot{z}}_{2} + k s + ε s i g n (s)]$ (35)

其中 $f_{10} (x)$ 和 $f_{40} (x)$ 用标称值代替。参数设置为： $l = 1800,$ $k_{1} = 800,$ $k_{2} = 120,$ $l_{1} = 70,$ $l_{2} = 70,$ $ε = 100$ 。

3) PID控制器：参数设置为 $k_{P} = 170,$ $k_{I} = 18,$ $k_{D} = 0$ 。

首先选择高频组合信号模拟复杂极端工况 $y = 0.5 (0.6 + 0.08 \sin (π t - 0.2 π) + 0.04 \sin (2 π t))$ ，增加组合正弦外负载干扰模拟实际工作中负载的变化，如图3为组合正弦信号的控制输入、图4为干扰信号及其观测情况。由图5、图6可知三种控制器都有跟踪效果，但与其他两种控制器相比，本文所设计的RBFPPCBSMC具有更高的跟踪精度，并且跟踪曲线更平滑，几乎没有抖振出现。图7、图8为模型未知非线性函数拟合效果，拟合结果与实际值高度一致，进一步验证RBF神经网络在本控制器中的优越效果。此外，如图3所示，本文所设计的RBFPPCBSMC的输入信号是光滑且有界的。其中，各控制器控制性能指标如表2所示，可以看出，RBFPPCBSMC的控制性能最佳，其平均跟踪误差与BSMC相比下降了93.5%，与PID相比下降了97.7%。

为测试三种控制算法的响应速度，并验证较大初始误差下控制器的有效性，选择阶跃信号

$y (t) = {\begin{cases} 0, t < 1 \\ 0.06, t \geq 1 \end{cases}$ 为期望信号。如图9所示，三种控制器均能有效跟踪阶跃信号，本文所提控制器响应

速度约为0.02 s，反步滑模控制器响应速度约为0.037 s，而PID控制器响应速度约为0.09 s。

Figure 3. Combined sine signal control input

图3. 组合正弦信号控制输入

Figure 4. Interference signal diagram

图4. 干扰信号图

Figure 5. Combined sinusoidal signal tracking effect comparison chart

图5. 组合正弦信号跟踪效果对比图

Figure 6. Combined sinusoidal signal tracking error comparison diagram

图6. 组合正弦信号跟踪误差对比图

Figure 7. The fitting effect diagram of $f_{1} (x)$

图7. $f_{1} (x)$ 的拟合效果图

Figure 8. The fitting effect diagram of $f_{4} (x)$

图8. $f_{4} (x)$ 的拟合效果图

Figure 9. Comparison of step signal tracking effect

图9. 阶跃信号跟踪效果对比

Table 2. Combined sinusoidal signal control performance index

表2. 组合正弦信号控制性能指标

性能指标	$M_{e} / m$	$μ_{e} / m$	$σ_{e} / m$
RBFPPCSMC	$4.2 \times 10^{- 4}$	$2.143 \times 10^{- 5}$	$2.861 \times 10^{- 5}$
BSMC	$1.2 \times 10^{- 3}$	$3.281 \times 10^{- 4}$	$3.401 \times 10^{- 4}$
PID	$3.0 \times 10^{- 3}$	$9.465 \times 10^{- 4}$	$7.417 \times 10^{- 4}$

5. 结论

针对泵控液压缸电液伺服系统存在的参数不确定和干扰未知等问题，本文在采用反步控制的基础上，引入改进趋近律的滑模控制，提高系统鲁棒性的同时消除系统抖振。利用RBF神经网络逼近拟合系统模型未知部分，进而实现精准控制。此外，干扰观测器观测未知外干扰，并在控制器中对其进行干扰补偿，进一步提高系统抗干扰能力。特别地，集成PPC技术确保系统瞬态和稳态位置响应在要求的有界范围内，进一步降低系统的跟踪误差。最后，仿真结果表明，本研究所提的控制器与反步滑模控制器和PID控制器相比，对于强干扰下的组合正弦跟踪信号，平均跟踪误差分别降低了93.5%和97.7%；对于阶跃信号，本文所提控制器具有更高的响应速度，因此所提控制器有效提高了泵控液压缸电液伺服系统的控制性能。

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