求解二维Allen-Cahn方程的保正隐式差分格式

Positive-Preserving Implicit Difference Scheme for Solving Two-Dimensional Allen-Cahn Equation

摘要: 本文研究求解二维Allen-Cahn方程的保正隐式差分格式。通过证明得到当网格比满足$1+\tau -2R_x-2R_y\ge 0$ 时，差分解具有保正性，且在无穷范数意义下有$O\left(\tau +h_x^2+h_y^2\right)$ 的收敛阶，最后数值实验表明数值结果与理论结果相吻合。

Abstract: In this paper, we study the positive-preserving implicit difference scheme for solving two-dimensional Allen-Cahn equation. It is proved that when the grid ratio satisfies $1+\tau -2R_x-2R_y\ge 0$ , the difference solution is positive-preserving and has the convergence order of $O\left(\tau +h_x^2+h_y^2\right)$ in the sense of infinite norm. Finally, numerical experiments show that the numerical results are consistent with the theoretical results.

1. 引言

Allen和Cahn [1]在描述晶体中反相边界运动时，首次提出Allen-Cahn方程。该方程广泛应用于各种领域[1]-[7]，例如二元合金在固定温度下的相分离过程、图像分割、囊泡膜、固体的成核、材料科学中的相变和界面动力学等。

本文将研究如下二维Allen-Cahn方程的初边值问题(IBVP)

$u_t-\alpha \Delta u+u^3-u=0$ , $\left(x,y\right)\in \Omega$ , $0<t\le T$ , (1)

$u\left(x,y,0\right)=u_0\left(x,y\right)$ , $\left(x,y\right)\in \overline{\Omega }$ , (2)

$u\left(x,y,t\right)=0$ , $\left(x,y\right)\in \Gamma$ , $0\le t\le T$ . (3)

其中，参数$\alpha \ge 0$ 代表界面宽度，$u\left(x,y,t\right)$ 表示二元合金中金属部分的浓度，$\overline{\Omega }=\left[X_l,X_r\right]\times \left[Y_l,Y_r\right]$ ，$\Omega$ 为$\overline{\Omega }$ 的内部点，$\Gamma$ 为$\overline{\Omega }$ 的边界点。

Allen-Cahn方程具有重要的理论意义和实际意义，因此对其理论和数值方面的研究显得尤为重要。一方面，文献[8]-[12]已经得到了许多的理论结果，例如，精确解的存在性和极大值原理、精确解的动力学行为、平衡解的性质，以及亚稳态模式的生成、持续和湮灭等。此外，文献[13] [14]分别通过tanh-coth法和首次积分法得到了部分特殊的精确解。另一方面，Allen-Cahn方程数值方法的研究受到了广泛关注。例如，差分法[15] [16]、有限元法[17] [18]。Tang等[19]提出了一种显–隐式差分方法，该方法在时空方向均有一阶精度。随后，一维和高维Allen-Cahn方程[20]-[26]的各种高阶差分方法被建立。上述保结构算法都是全离散的隐式格式，因此计算相对复杂。

本文将构造保正隐式差分格式，应用Vieta’s定理改造为显式差分方法，巧妙地避免了使用迭代法求解，提高了计算效率，此外该方法满足保正性的数学性质。

2. 记号与引理

首先，令时间步长$\tau =T/N\left(N\in Z^{+}\right)$ ，$t_k=k\tau \left(0\le k\le N\right)$ ，将时间区域$\left[0,T\right]$ 分割成${\overline{\Omega }}_{\tau }=\left\{t_k|k\tau ,0\le k\le N\right\}$ 。在${\overline{\Omega }}_{\tau }$ 中，引入记号${\delta }_t{V}^k=\left(V^{k+1}-V^k\right)/\tau$ 。

对于空间方向，记空间区域$\Omega =\left(X_l,X_r\right)\times \left(Y_l,Y_r\right)$ ，令$h_x=\left(X_r-X_l\right)/M_x$ ，$h_y=\left(Y_r-Y_l\right)/M_y$ 分别为$x$ 和$y$ 方向的空间步长，其中$M_x$ 、$M_y$ 为正整数。记$x_i=X_l+i{h}_x\left(0\le i\le M_x\right)$ ，$y_j=Y_l+j{h}_y\left(0\le j\le M_y\right)$ 。

定义离散网格${\Omega }_h=\left\{\left(i,j\right)|1\le i\le M_x-1,1\le j\le M_y-1\right\}$ 、$\partial {\Omega }_h=\{\left(i,j\right)|i,j=0或i=M_x,j=M_y\}$ 和${\overline{\Omega }}_h={\Omega }_h\cup \partial {\Omega }_h$ 。设${\Pi }_h=\left\{V_{i,j}|\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h\right\}$ 和${\Pi }_h^0=\{V_{i,j}|\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h且当\left(i,j\right)\in \partial {\Omega }_h时V_{i,j}=0\}$ 为${\overline{\Omega }}_h$ 上的网格函数。引入如下差分算子：

${\delta }_x^2{V}_{i,j}=\left(V_{i-1,j}-2V_{i,j}+V_{i+1,j}\right)/h_x^2$ , ${\delta }_y^2{V}_{i,j}=\left(V_{i,j-1}-2V_{i,j}+V_{i,j+1}\right)/h_y^2$ , ${\Delta }_h{V}_{i,j}={\delta }_x^2{V}_{i,j}+{\delta }_y^2{V}_{i,j}$

以及对任意的$V^k\in {\Pi }_h^0\left(k=0,1,\cdots ,N\right)$ ，定义如下范数

${\Vert V^k\Vert }_{\infty }=\underset{\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h,0\le k\le N}{\max }\left(V_{i,j}^k\right)$ , $\Vert V^k\Vert =\sqrt{h_x{h}_y{\displaystyle \sum _{i=1}^{M_x-1}{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_y-1}{\left(V_{i,j}^k\right)}^2}}}$ ,

$\Vert {\delta }_x{V}^k\Vert =\sqrt{h_x{h}_y{\displaystyle \sum _{i=0}^{M_x-1}{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_y-1}{\left({\delta }_x{V}_{i+\frac{1}{2},j}^k\right)}^2}}}$ , $\Vert {\delta }_y{V}^k\Vert =\sqrt{h_x{h}_y{\displaystyle \sum _{i=1}^{M_x-1}{\displaystyle \sum _{j=0}^{M_y-1}{\left({\delta }_y{V}_{i,j+\frac{1}{2}}^k\right)}^2}}}$ ,

${\Vert V^k\Vert }_{H^1}=\sqrt{{\Vert V^k\Vert }^2+{\Vert {\delta }_x{V}^k\Vert }^2+{\Vert {\delta }_y{V}^k\Vert }^2}$ .

引理1 (Gronwall不等式) 设$\left\{F^{k+1}|k\ge 0\right\}$ 为非负序列，且满足

$F^{k+1}\le \left(1+c\tau \right)F^k+\tau g$ ，$k=0,1,2,\cdots ,$

其中，$c$ 和$g$ 为非负常数，则有

$F^k\le e^{ck\tau }\left(F^0+\frac{g}{c}\right),$ $k=0,1,2,\cdots$

3. 差分格式的建立

记$U_{i,j}^k$ 和$u_{i,j}^k$ 分别表示方程(1)~(3)在$\left(x_i,y_j,t_k\right)$ 点处的精确解和数值解。在结点$\left(x_i,y_j,t_k\right)$ 处离散方程(1)，并注意到初边值条件(2)~(3)，可得

${\delta }_t{U}_{i,j}^k-$ $\alpha {\Delta }_h{U}_{i,j}^k+$ ${\left(U_{i,j}^{k+1}\right)}^2{U}_{i,j}^k-$ $U_{i,j}^k$ $=R_{i,j}^k$ , $\left(i,j\right)\in {\Omega }_h$ , $1\le k\le N$ , (4)

$U_{i,j}^0=u_0\left(x_i,y_j\right)$ , $\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ , (5)

$U_{i,j}^k=0$ , $\left(i,j\right)\in \partial {\Omega }_h$ , $0\le k\le N$ , (6)

设初边值问题(2)~(3)的精确解$u\left(x,y,t\right)\in C^{4,4,2}\left(\Omega \times \left[0,T\right]\right)$ ，则存在常数$C_1$ 使得

$\left|R_{i,j}^k\right|\le C_1\left(\tau +h_x^2+h_y^2\right)$ , $\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ , $0\le k\le N$ , (7)

成立。

在方程(4)中略去误差项$R_{i,j}^k$ ，用数值解$u_{i,j}^k$ 代替精确解$U_{i,j}^k$ ，得到如下保正隐式差分格式：

${\delta }_t{u}_{i,j}^k-$ $\alpha {\Delta }_h{u}_{i,j}^k+$ ${\left(u_{i,j}^{k+1}\right)}^2{u}_{i,j}^k-$ $u_{i,j}^k$ $=0$ , $\left(i,j\right)\in {\Omega }_h$ , $1\le k\le N$ , (8)

$u_{i,j}^0=u_0\left(x_i,y_j\right)$ , $\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ , (9)

$u_{i,j}^k=0$ , $\left(i,j\right)\in \partial {\Omega }_h$ , $0\le k\le N$ . (10)

4. 差分格式的保正性

本节讨论差分格式(8)~(10)的解的保正性。

记$R_x=\frac{\alpha \tau }{h_x^2}$ 和$R_y=\frac{\alpha \tau }{h_y^2}$ 。定理4.1表明当初值$u_0\left(x_i,y_j\right)$ 非负时，差分格式(8)~(10)的解是非负的。

定理4.1 令$\left\{u_{i,j}^k|\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h,0\le k\le N\right\}$ 是差分格式(8)~(10)的解。假设初值条件满足$u_0\left(x_i,y_j\right)\ge 0$ ，当$1+\tau -2R_x-2R_y\ge 0$ ，其解$u_{i,j}^k$ 仍然满足$u_{i,j}^k\ge 0$ ，$\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ ，$0\le k\le N$ 。

证明 下面证明差分格式(8)~(10)的保正性，首先将利用差分格式(8)~(10)进行整理得：

$\tau u_{i,j}^k{\left(u_{i,j}^{k+1}\right)}^2+u_{i,j}^{k+1}-R_x{u}_{i-1,j}^k-R_x{u}_{i+1,j}^k-\left(1+\tau -2R_x-2R_y\right)u_{i,j}^k-R_y{u}_{i,j-1}^k-R_x{u}_{i,j+1}^k=0$

利用韦达定理等价写成如下形式：

$u_{i,j}^{k+1}=$ $\frac{2H_{i,j}^k}{1+\sqrt{1+4\tau u_{i,j}^k{H}_{i,j}^k}}$ , $\left(i,j\right)\in {\Omega }_h$ , $1\le k\le N$ . (11)

其中，$H_{i,j}^k=R_x{u}_{i-1,j}^k+R_x{u}_{i+1,j}^k+\left(1+\tau -2R_x-2R_y\right)u_{i,j}^k+R_y{u}_{i,j-1}^k+R_x{u}_{i,j+1}^k$ 。

当$k=0$ 时，$u_{i,j}^k=u_0\left(x_i,y_j\right)\ge 0$ ，$\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ 显然成立。假设$k=1,2,\cdots ,K-1$ 时，有$u_{i,j}^k\ge 0$ ，$\left(i,j\right)\in {\Omega }_h$ 成立。根据边界条件$u_{i,j}^k=0$ ，$\left(i,j\right)\in \partial {\Omega }_h$ ，$0\le k\le N$ ，可知$u_{i,j}^k\ge 0$ ，$\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ ，$k=1,2,\cdots ,K-1$ 成立。

下面由归纳假设证明当$k=1,2,\cdots ,K-1,K$ 时，有$u_{i,j}^k\ge 0$ ，$\left(i,j\right)\in {\Omega }_h$ 成立。首先令$u_{i,j}^{k+1}=f\left(x\right)$ ，$x=H_{i,j}^k$ ，定义函数

$f\left(x\right)=$ $\frac{2x}{1+\sqrt{1+4\tau u_{i,j}^{k}x}}$ , (12)

其中，当$1+\tau -2R_x-2R_y\ge 0$ 时，$x\ge 0$ ，对$f\left(x\right)$ 求导得

$f^{\prime }\left(x\right)=$ $\frac{2\left[1+2\tau u_{i,j}^{k}x+\sqrt{1+4\tau u_{i,j}^{k}x}\right]}{{\left[1+\sqrt{1+4\tau u_{i,j}^{k}x}\right]}^2\sqrt{1+4\tau u_{i,j}^{k}x}}\ge 0$ (13)

因此，$f\left(x\right)$ 是单调递增函数，从而可得

$f\left(x\right)\ge f\left(0\right)=0$ (14)

因此，有$u_{i,j}^k\ge 0$ ，$\left(i,j\right)\in {\Omega }_h$ ，又因为$u_{i,j}^K=0$ ，$\left(i,j\right)\in \partial {\Omega }_h$ ，所以有$u_{i,j}^k\ge 0$ ，$\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ 成立。由归纳假设可证定理4.1成立。 □

5. 差分格式的收敛性

定理4.2 令$\left\{u_{i,j}^k|\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h,0\le k\le N\right\}$ 是差分格式(8)~(10)的数值解，$\left\{U_{i,j}^k|\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h,0\le k\le N\right\}$ 是(1)~(3)的精确解。令$e_{i,j}^k=U_{i,j}^k-u_{i,j}^k$ ，$\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ ，$0\le k\le N$ ，当$u_0\left(x_i,y_j\right)\ge 0$ ，$1+\tau -2R_x-2R_y\ge 0$ 时，则有如下

${\Vert e^k\Vert }_{\infty }\le C_2\left(\tau +h_x^2+h_y^2\right)$ , $0\le k\le N$ , (15)

成立，其中$C_2=e^T$ 。

证明 下面证明差分格式(8)~(10)的最大模估计，将方程(4)~(6)和(8)~(10)相减，得到如下误差方程：

${\delta }_t{e}_{i,j}^k-$ $\alpha {\Delta }_h{e}_{i,j}^k+$ ${\left(U_{i,j}^{k+1}\right)}^2{U}_{i,j}^k-{\left(u_{i,j}^{k+1}\right)}^2{u}_{i,j}^k$ $-e_{i,j}^k$ $=R_{i,j}^k$ , $\left(i,j\right)\in {\Omega }_h$ , $1\le k\le N$ , (16)

$e_{i,j}^0=0$ , $\left(i,j\right)\in {\overline{\Omega }}_h$ , (17)

$e_{i,j}^k=0$ , $\left(i,j\right)\in \partial {\Omega }_h$ , $0\le k\le N$ , (18)

其中，${\left(U_{i,j}^{k+1}\right)}^2{U}_{i,j}^k-{\left(u_{i,j}^{k+1}\right)}^2{u}_{i,j}^k$ $={\left(U_{i,j}^{k+1}\right)}^2{e}_{i,j}^k-{\left(U_{i,j}^{k+1}+u_{i,j}^{k+1}\right)}^2{u}_{i,j}^k{e}_{i,j}^{k+1}$ 。

将(16)等价地写成如下形式：

$\begin{array}{l}\left[1+\tau u_{i,j}^k\left(U_{i,j}^{k+1}+u_{i,j}^{k+1}\right)\right]e_{i,j}^{k+1}\\ =R_x{e}_{i-1,j}^k+R_x{e}_{i+1,j}^k+\left[\left(1+\tau -2R_x-2R_y\right)-\tau {\left(U_{i,j}^{k+1}\right)}^2\right]e_{i,j}^k+R_y{e}_{i,j-1}^k+R_y{e}_{i,j+1}^k+\tau R_{i,j}^k，\\ \left(i,j\right)\in {\Omega }_h,1\le k\le N,\end{array}$ (19)

对(19)两端分别取绝对值，并运用三角不等式，不难得到

$\begin{array}{c}\left|e_{i,j}^{k+1}\right|\le \left[1+\tau u_{i,j}^k\left(U_{i,j}^{k+1}+u_{i,j}^{k+1}\right)\right]\left|e_{i,j}^{k+1}\right|\\ \le R_x{\Vert e^k\Vert }_{\infty }+R_x{\Vert e^k\Vert }_{\infty }+\left\{1-2R_x-2R_y+\left[1-{\left(U_{i,j}^k\right)}^2\right]\tau \right\}{\Vert e^k\Vert }_{\infty }+R_y{\Vert e^k\Vert }_{\infty }+R_y{\Vert e^k\Vert }_{\infty }+\tau {\Vert R^k\Vert }_{\infty }\\ \le \left(1+\tau \right){\Vert e^k\Vert }_{\infty }+\tau {\Vert R^k\Vert }_{\infty }\end{array}$ (20)

则

${\Vert e^{k+1}\Vert }_{\infty }$ $\le \left(1+\tau \right){\Vert e^k\Vert }_{\infty }+\tau {\Vert R^k\Vert }_{\infty }$ , (21)

再运用引理1可得

${\Vert e^{k+1}\Vert }_{\infty }$ $\le e^T{\Vert R^k\Vert }_{\infty }$ . (22)

定理3.2证毕。 □

6. 数值算例

本节将给出求解一维和二维Allen-Cahn方程的两个数值算例。算例1和算例2表明保正隐式差分格式(8)~(10)在时空方向分别具有一阶和二阶精度，具有保正的数学性质。这些数值结果和理论结果是吻合的。

算例1 首先考虑如下一维Allen-Cahn方程的IBVP

$u_t-\alpha u_{xx}+u^3-u=0$ , $-L<x<L$ , $0<t\le T$ , (23)

$u\left(x,0\right)=\frac{1}{2}\tanh \left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}x\right)+\frac{1}{2}$ , $-L\le x\le L$ , (24)

$u\left(L,t\right)=\frac{1}{2}\tanh \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(L-\frac{3}{\sqrt{2}}t\right)\right]+\frac{1}{2}$ , $0\le t\le T$ (25)

$u\left(-L,t\right)=\frac{1}{2}\tanh \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(-L-\frac{3}{\sqrt{2}}t\right)\right]+\frac{1}{2}$ , $0\le t\le T$ (26)

当$\alpha =1$ 时，该方程的精确解为：

$u\left(x,t\right)=\frac{1}{2}\tanh \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x-\frac{3}{\sqrt{2}}t\right)\right]+\frac{1}{2}$

令$\Omega =\left[-5,5\right]$ ，$\left[0,T\right]=\left[0,1\right]$ ，由差分格式(8)~(10)获得的数值解，在$t=1$ 处的$L^{\infty }\text{-}$ 范数、$L^2\text{-}$ 范数和$H^1\text{-}$ 范数误差及相应的收敛阶分别记为$ME$ 、$LE$ 、$HE$ 、$r^{\infty }$ 、$r_{L^2}$ 、$r_H$ .

表1给出了差分格式(8)~(10)在取不同网格步长时所得数值解$u_i^k$ 的误差和收敛阶。它表明差分格式(8)~(10)在不同范数意义下在时空方向上分别具有一阶和二阶收敛阶。

为了验证数值解的保正性，记$RT=1+\tau -2R_x$ ，接下来在$\Omega =\left[-10,10\right]$ 、$\left[0,T\right]=\left[0,100\right]$ 上求解带任意参数$\alpha$ 的IBVP (23)~(26)。此时该问题没有精确解。

图1给出了当网格步长$h_x=1/16$ 、$\tau =0.5h_x^2/\alpha$ 以及参数$\alpha$ 取$0.01,0,10$ 时运用差分法(8)~(10)所得数值解的曲面图。从该图可观察到当$\alpha =0.01,1,10$ 时，$RT\ge 0$ ，数值解具有保正性。而表2给出了当$RT<0$ 时，数值解不满足保正性，例如$\alpha =1,10,h_x=1/16,\tau =h_x^2$ 。

Table 1. Error and convergence order $\left(\tau =\frac{1}{2}{h}_x^2\right)$ of $u_i^k$ when the difference scheme takes different step sizes

表1. 差分格式取不同步长时$u_i^k$ 的误差和收敛阶$\left(\tau =\frac{1}{2}{h}_x^2\right)$

$h_x$	$ME$	$r^{\infty }$	$LE$	$r_{L^2}$	$HE$	$r_H$	CPU
1/2	2.2262e−02	*	4.5074e−02	*	4.8544e−02	*	0.000181 s
1/4	5.9182e−03	1.9113	1.1954e−02	1.9148	1.2878e−02	1.9144	0.000424 s
1/8	1.5035e−03	1.9769	3.0347e−03	1.9778	3.2696e−03	1.9777	0.001239 s
1/16	3.7745e−04	1.9939	7.6162e−04	1.9944	8.2060e−04	1.9944	0.005073 s

(a) (b)

(c)

Figure 1. Surface diagrams of numerical solution when taking $\alpha =0.01,1,10$ , $h_x=1/16$ , and $\tau =0.5h_x^2/\alpha$

图1. 取$\alpha =0.01,1,10$ 、$h_x=1/16$ 、$\tau =0.5h_x^2/\alpha$ 时数值解的曲面图

Table 2. Numerical solution at $x=0,t=50$ when taking $\alpha =1,10$ , $h_x=1/16$ , and $\tau =h_x^2$

表2. 取$\alpha =1,10$ 、$h_x=1/16$ 、$\tau =h_x^2$ 时$x=0,t=50$ 处的数值解

$\alpha$	$h_x$	$\tau$	网格点	数值解
1	1/16	1/256	$x=0,t=50$	−1.2468e−60 − 22.6053i
10	1/16	1/256	$x=0,t=50$	−2.1950e−27 − 95.8794i

算例2 考虑如下二维Allen-Cahn方程的IBVP

$u_t-\alpha \Delta u+u^3-u=0$ , $\left(x,y\right)\in \Omega$ , $0<t\le T$ , (27)

$u\left(x,y,0\right)=\frac{1}{2}\tanh \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x\sin \phi +y\cos \phi \right)+C\right]+\frac{1}{2}$ , $\left(x,y\right)\in \overline{\Omega }$ , (28)

$u\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}\tanh \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x\sin \phi +y\cos \phi \right)+\frac{3}{4}t+C\right]+\frac{1}{2}$ , $\left(x,y\right)\in \Gamma$ , $0\le t\le T$ (29)

当$\alpha =1$ 时，该方程的精确解为：

$u\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}\tanh \left[-\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x\sin \phi +y\cos \phi \right)+\frac{3}{4}t+C\right]+\frac{1}{2}$

令$\overline{\Omega }=\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ ，$\left[0,T\right]=\left[0,1\right]$ ，由差分格式(8)~(10)获得的数值解，在$t=1$ 处的$L^{\infty }\text{-}$ 范数、$L^2\text{-}$ 范数和$H^1-$ 范数误差及相应的收敛阶分别记为$M{E}^{*}$ 、$L{E}^{*}$ 、$H{E}^{*}$ 、${\overline{r}}^{\infty }$ 、${\overline{r}}_{L^2}$ 、${\overline{r}}_H$ 。

表3给出了差分格式(8)~(10)在取不同网格步长时所得数值解$u_{i,j}^k$ 的误差和收敛阶。它表明差分格式(8)~(10)在不同范数意义下在时空方向上分别具有一阶和二阶收敛阶。

Table 3. Error and convergence order $\left(h_x^2=h_y^2,\tau =\frac{1}{4}{h}_x^2\right)$ of $u_{i,j}^k$ when the difference scheme takes different step sizes

表3. 差分格式取不同步长时$u_{i,j}^k$ 的误差和收敛阶$\left(h_x^2=h_y^2,\tau =\frac{1}{4}{h}_x^2\right)$

$h_x$	$M{E}^{*}$	${\overline{r}}^{\infty }$	$L{E}^{*}$	${\overline{r}}_{L^2}$	$H{E}^{*}$	${\overline{r}}_H$	CPU
1/4	1.2419e−04	*	6.8822e−05	*	3.0778e−04	*	0.001641 s
1/8	3.2041e−05	1.9545	1.7924e−05	1.9410	8.2523e−05	1.8990	0.006714 s
1/16	8.0771e−06	1.9880	4.5230e−06	1.9866	2.0998e−05	1.9745	0.036086 s
1/32	2.0269e−06	1.9945	1.1333e−06	1.9967	5.2730e−06	1.9936	0.295275 s

为了验证差分格式(8)~(10)的保正性，记$RRT=1+\tau -2R_x-2R_y$ ，下面在$\Omega =\left[0,10\right]\times \left[0,10\right]$ 和$\left[0,T\right]=\left[0,100\right]$ 上求解带任意参数$\alpha$ 的IBVP (23)~(26)。此时该问题没有精确解。

图2、图3分别展示了当网格步长$h_x=h_y=1/8$ 、$\tau =0.25h_x^2/\alpha$ 以及参数$\alpha$ 取$0.01,0,10$ 时运用差分格

(a) (b)

(c)

Figure 2. Surface diagrams of numerical solution of $x=5$ when taking $\alpha =0.01,1,10$ , $h_x=h_y=1/8$ , and $\tau =0.25h_x^2/\alpha$

图2. 取$\alpha =0.01,1,10$ 、$h_x=h_y=1/8$ 、$\tau =0.25h_x^2/\alpha$ 时$x=5$ 数值解的曲面图

(a) (b)

(c)

Figure 3. Surface diagrams of numerical solution of $y=5$ when taking $\alpha =0.01,1,10$ , $h_x=h_y=1/8$ , and $\tau =0.25h_x^2/\alpha$

图3. 取$\alpha =0.01,1,10$ 、$h_x=h_y=1/8$ 、$\tau =0.25h_x^2/\alpha$ 时$y=5$ 数值解的曲面图

式(8)~(10)所得$x=5$ 、$y=5$ 时数值解的曲面图。图4展示了当网格步长$h_x=h_y=1/8$ 、$\tau =0.25h_x^2/\alpha$ 以及参数$\alpha$ 取$0.01,0,10$ 时运用差分格式(8)~(10)所得不同$\left(x,y\right)$ 处数值解的曲面图。从这些图可观察到，当$\alpha =0.01,1,10$ 时，$RRT\ge 0$ ，数值解具有保正性。而表4给出了当$RRT<0$ 时，数值解不满足保正性，例如$\alpha =1,10,h_x=h_y=1/4,\tau =h_x^2$ 。

(a) (b)

(c)

Figure 4. Curves of numerical solutions at different points $\left(x,y\right)$ when taking $\alpha =0.01,1,10$ , $h_x=h_y=1/8$ , and $\tau =0.25h_x^2/\alpha$

图4. 取$\alpha =0.01,1,10$ 、$h_x=h_y=1/8$ 、$\tau =0.25h_x^2/\alpha$ 时不同$\left(x,y\right)$ 处数值解的曲线图

Table 4. Numerical solution at $x=5,y=5,t=50$ when taking $\alpha =1,10$ , $h_x=h_y=1/4$ , and $\tau =h_x^2$

表4. 取$\alpha =1,10$ 、$h_x=h_y=1/4$ 、$\tau =h_x^2$ 时$x=5,y=5,t=50$ 处的数值解

$\alpha$	$h_x$	$\tau$	网格点	数值解
1	1/4	1/16	$x=5,y=5,t=50$	−0.0000004 + 9.7468i
10	1/4	1/16	$x=5,y=5,t=50$	−0.00000000001 − 35.2156i

7. 结论

本文对二维Allen-Cahn方程的初边值问题建立了一个保正隐式差分格式，证明了该格式具有保正的数学性质，且在$L^{\infty }\text{-}$ 范数意义下有$O\left(\tau +h_x^2+h_y^2\right)$ 的收敛阶。此外，利用韦达定理将隐式格式改造成显式格式，极大地提高了计算效率。数值结果验证了只要网格步长以及参数$\alpha$ 满足$1+\tau -2R_x-2R_y\ge 0$ ，则数值解就满足收敛阶为$O\left(\tau +h_x^2+h_y^2\right)$ 和保正性。